高等數(shù)學教程　下冊　范周田 第4版 習題詳解匯 習題11

習題11.1(A)組設有一平面薄板（不計其厚度），占有平面的閉區(qū)域，薄板的面密度為在上連續(xù)，試用二重積分表示該薄板的質量。解：薄板質量。根據(jù)二重積分的幾何意義,確定下列積分值,其中解：表示半徑為的上半球體積。 比較下列各組積分值的大小(1)與其中是由圓周所圍成．解：設則有，因此在上恒有，則由二重積分得比較性質有。(2),及其中是由直線和所圍成．解：時，，則因此由二重積分得比較性質有。估計下列各積分的值(1),其中解：當時，，于是被積函數(shù)滿足則由估值定理得，即。(2),其中解：在區(qū)域D上，，D的面積則由估值定理。習題11.2(A)組1.畫出下列積分的區(qū)域，并按兩種不同的次序,將二重積分化為二次積分,其中積分區(qū)域是:(1)由拋物線與直線所圍成。解：交點為與先對積分，表示為—區(qū)域：于是先對，表示為—區(qū)域：于是。(2)由軸和左半圓所圍成。解：先對積分，表示為—區(qū)域：于是先對積分，表示為—區(qū)域：于是(3)由直線及曲線所圍成。解：分別聯(lián)立得交點為先對積分，表示為—區(qū)域：于是先對積分，表示為—區(qū)域：于是2.交換下列二次積分次序:(1)解：積分區(qū)域—區(qū)域化為—區(qū)域，于是。(2)解：積分區(qū)域—區(qū)域化為—區(qū)域，于是。(3)解：積分區(qū)域—區(qū)域化為—區(qū)域，于是。(4)解：積分區(qū)域—區(qū)域化為—區(qū)域，于是。(5)解：積分區(qū)域—區(qū)域解方程得交點坐標得化為型積分區(qū)域，于是。(6)解：積分區(qū)域—區(qū)域化為—區(qū)域，于是3.利用被積函數(shù)的奇偶性及區(qū)域的對稱性考察下列積分之間的關系：(1)與，其中，解：關于軸對稱，為偶函數(shù)，則。(2)與，其中，解：(3)與，其中是以為頂點的三角形區(qū)域，是在第一象限的部分。解：記在直線上方和下方部分分別為和。注意到關于軸對稱，而被積分函數(shù)是的奇函數(shù)，有又，關于軸對稱，而被積分函數(shù)是的偶函數(shù)，有4.計算下列二重積分(1),其中是由和所圍成。解：由對稱性得則。(2),其中為。解：(3),其中為。解：(4)，其中是以為頂點的三角形區(qū)域。解：(5),其中是由和所圍成。解：。(6),其中是由和軸所圍成的右半閉區(qū)域。解：。(7),其中是以為頂點的矩形區(qū)域。解：。(8),其中。解：(9),其中是由和所圍成。解：(10),其中是由直線及所圍成。解：(11),其中是由直線及所圍成。解：。(12),其中是由。解：由對稱性得其中為在第一象限的區(qū)域。5.畫出下列二次積分區(qū)域的圖形,并化為極坐標形式的二次積分(1)解：令，積分區(qū)域則。(2)解：積分區(qū)域則。(3)解：積分區(qū)域則。(4)解：積分區(qū)域則。(5)解：積分區(qū)域則。(6)解：積分區(qū)域則。6.利用極坐標計算下列二重積分(1)解：積分區(qū)域則=3π(2),其中為。解：積分區(qū)域則。(3),其中為。解：積分區(qū)域則。(4),其中為及所圍。解：積分區(qū)域則。7.計算下列二重積分(1),其中是圓所圍成的區(qū)域。解：積分區(qū)域則=π4(2),其中為。解：積分區(qū)域則。(3),其中是由直線,及曲線所圍成的區(qū)域。解：積分區(qū)域則。(4),其中是由直線,,及所圍成的區(qū)域。解：D1是直線y=x,y=-x,及y=1圍成的區(qū)域，D2是直線y=x,所以。(5),其中為圓周及坐標軸所圍成的在第一象限內的閉區(qū)域。解：。(6),其中是由直線和直線所圍成的區(qū)域。解：8.求由下列曲線所圍成的圖形的面積(1)曲線與所圍區(qū)域。解：由對稱性得(2)位于圓周的內部及心臟線的外部所圍區(qū)域。解：，由對稱性得9.設函數(shù)f1(x),f2(y)連續(xù),證明：,其中為。證明：10．設函數(shù)f(x)連續(xù)證明：解：將積分區(qū)域換成Y型。(B)組1.設在上連續(xù),利用二重積分證明。證明：得證。2*.利用二重積分的換元法計算下列二重積分(1),其中是由直線和直線所圍成的區(qū)域。解：令(2),其中是由所圍成的區(qū)域。解：，令則。習題11．3(A)組1．將三重積分化為直角坐標系下的三次積分，其中積分域分別是：(1)由錐面與平面及三個坐標面圍成的區(qū)域。解：積分區(qū)域則原式。(2)由柱面及平面,所圍成的區(qū)域。解：在面的投影為則原式。(3)由旋轉拋物面與拋物柱面及平面所圍成的區(qū)域。解：在面的投影為則原式。(4)由曲面與所圍成的區(qū)域。解：令，得在面的投影為則原式。2．設有一物體，占有空間閉區(qū)域，該物體在點的密度為，試計算該物體的質量。解：由題意得，質量3．在直角坐標系下計算下列三重積分:(1),其中．解：(2),其中是由曲面及平面和所圍成的區(qū)域．解：原式。(3),其中是由球面及三個坐標面所圍成的在第一象限內的區(qū)域．解：原式。(4),其中是由平面和所圍成的四面體．解：原式(5),其中是由拋物柱面及平面所圍成的區(qū)域．解：原式(6),其中是由曲面及平面所圍成的區(qū)域．解：由對稱性得原式(7),其中是由錐面,及平面所圍成的區(qū)域．解：原式(8),其中是由錐面及平面所圍成的區(qū)域．解：原式4．利用柱坐標計算下列三重積分(1),其中是由柱面及平面,所圍成的第二卦限內的區(qū)域．解：由題得原式。(2),其中是由與所圍成的區(qū)域．解：交面在平面上的投影為原式(3),其中是由與所圍成的區(qū)域．解：在平面投影為變型原式(4),其中是由曲線繞與軸旋轉一周形成的曲面與所圍成的區(qū)域．解：在平面的投影為，旋轉曲面為原式。5．已知積分區(qū)域是由,所確定,試將三重積分分別表示為直角坐標、柱坐標和球坐標系中的累次積分．解：面投影為直角坐標為柱坐標為球坐標為。(B)組1．利用球坐標計算下列三重積分：(1),其中是由球面所圍成的區(qū)域．解：在球坐標下原式(2),其中是球面在第一掛線內所圍成的區(qū)域．解：原式(3),其中是實心球和錐的公共部分．解：原式(4),其中是由所確定．解：原式2.設函數(shù)在上連續(xù),試證明其中,為球體．證明：原式=。3.設={(x,y,z)|axb,cyd,ezf},且函數(shù)f(x),g(y),h(z)連續(xù),則解：左式。習題11.4(A)組求由下列曲面所圍成的立體的體積．(1)解：(2)解：(3)解：(4)解：。2.求兩個底半徑相等的正交圓柱體的公共部分的體積．解：如圖建立直角坐標系，設公共部分的體積為V，兩個圓標體方程為：則。求平面被三個坐標面所割出部分的面積．解：求圓錐面z=x2+y解：5．求圓柱面在第一卦限中被平面所截下部分的曲面面積．解：其中則。6．求直線由至的一段繞軸旋轉所得的旋轉曲面的面積．解：，其中方程為則則7．設密度函數(shù)為,求由所圍成的三角形薄片的質量．解：8．(1)求由曲線所圍成的均勻薄片的重心．解：設重心坐標為，密度為。(2)求由曲面及平面所圍成的均勻物體的重心．解：由對稱性知則重心坐標為。9．若球體:中各點的密度與坐標原點的距離平方成反比,求（1）該球體的質量。解：（為常數(shù)）。（2）該物體的重心位置。解：設重心位置為。10．一個均勻薄片由拋物線與圍成,求它對x軸,y軸的轉動慣量．解：對x軸的轉動慣量為。11．設有一均勻物體（密度為常數(shù)）占有空間區(qū)域是由曲面和平面所圍成的，求該物體的體積。解：。該物體的重心。解：設重心坐標為，由對稱性得。該物體關于軸的轉動慣量。解：。(B)組1.求拋物面z=x2+y2+1上任意一點P0(x0,y0)處的切平面與拋物面z=x2+y2所圍立體的體積.解：切平面方程為。2.設有一半徑為R的球形物體,其內任意一點P處的體密度為r=|PP0|,其中P0為球心,求該物體的質量.解：以球心為原點建立坐標系，則球面方程為，密度函數(shù)為。球體質量綜合習題11(A)組1．計算下列各題(1)設區(qū)域,求。解：。(2)設是有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù),求解：則。(3)設為連續(xù)函數(shù),，求解：將積分區(qū)域化為Y型區(qū)域：則。(4)設為連續(xù)函數(shù),其中是由,所圍成,求解：則。2．將化為直角坐標系下的二重積分。解：，，則原式。3.計算下列各題(1)，其中是由所圍成的區(qū)域。解：。(2)。解：被積區(qū)域原式。(3),其中。解：由對稱性得原式。(4),其中。解：由對稱性，原式(5)計算，其中D是由直線x=2,y=0,y=2及曲線所圍成的平面區(qū)域.解：。(6)計算二重積分，其中積分區(qū)域D={(x,y)|x2+y2}.解：。(7),其中是由及所圍成區(qū)域。解：。(8)