第4章 正弦穩(wěn)態(tài)電路

第4章正弦穩(wěn)態(tài)電路

4.1正弦交流電的基本概念4.3單一參數(shù)元件的交流電路4.2正弦量的相量表示法4.4基爾霍夫定律的相量形式4.5阻抗和導(dǎo)納4.6正弦穩(wěn)態(tài)電路的分析4.7正弦穩(wěn)態(tài)電路的功率4.8電路的諧振本章重點(diǎn)·正弦交流電的基本概念·相量表示法·正弦交流電路的分析方法·功率因數(shù)提高的意義正弦穩(wěn)態(tài)電路的功率·正弦穩(wěn)態(tài)電路的功率4.1正弦量的基本概念初相4.1.1正弦量的“三要素”正弦電流的數(shù)學(xué)表達(dá)式為其波形圖

正弦交流電的“三要素”：最大值角頻率初相角頻率最大值4.1.2瞬時(shí)值、最大值、有效值·瞬時(shí)值：正弦量在任意瞬間的值，稱為瞬時(shí)值，用小寫字母表示，如u、

i、e分別表示電壓、電流、電動(dòng)勢(shì)的瞬時(shí)值?！ぷ畲笾担?/p>

正弦量在整個(gè)變化過程中所能達(dá)到的極值稱為最大值，又稱幅值，它確定了正弦量變化的范圍，用大寫字母加下標(biāo)m表示，如、、分別表示正弦電壓、電流、電動(dòng)勢(shì)的最大值。4.1正弦量的基本概念·有效值：正弦交流電流的有效值為它在一個(gè)周期內(nèi)的方均根值。有效值與最大值的關(guān)系為：正弦交流電的最大值等于其有效值的倍。

可見，我們也可以用、、來表示正弦交流電的三要素。因此，我們可以把正弦量i改寫為4.1正弦量的基本概念4.1正弦量的基本概念4.1.3周期、頻率和角頻率周期與頻率互為倒數(shù)周期：正弦量變化一次所需的時(shí)間稱為周期，用字母T表示。單位是秒（s）。頻率：正弦量每秒內(nèi)變化的次數(shù)稱為頻率，用字母f表示，單位赫茲（Hz）。角頻率：ω是正弦量在每秒內(nèi)變化的弧度，稱為角頻率，單位為弧度每秒(rad/s)。周期、頻率、角頻率的關(guān)系為周期、頻率和角頻率都是說明正弦交流電變化快慢的物理量。4.1.4相位、初相位、相位差相位初相兩個(gè)同頻率正弦量為正弦量它們的相位差

兩個(gè)同頻率正弦量的相位關(guān)系圖（a）所示，電壓超前電流

角，或稱電流滯后電壓

角圖（b）所示，電壓與電流同相

兩個(gè)同頻率正弦量的相位關(guān)系圖（c）所示，電壓與電流反相圖（d）所示，電壓與電流正交

相位關(guān)系的討論，只是針對(duì)相同頻率的正弦量來說的；兩個(gè)不同頻率的正弦量的相位差是隨時(shí)間變化的，不是常數(shù)，在此討論其相位關(guān)系是沒有意義的。注意：【例4-1】正弦交流電壓，其最大值為380V，f=50Hz，，當(dāng)t=0時(shí)，其瞬時(shí)值為190V，試寫出其瞬時(shí)值的表達(dá)式。當(dāng)t=0時(shí)，其電壓為190V，最大值為380V，則或正弦交流電壓瞬時(shí)值表達(dá)式為或

解：設(shè)該電壓的瞬時(shí)值表達(dá)式為解：i1的初相位i2的初相位

i1與i2的相位差為i1超前i2，或者說i2滯后i1

【例4-2】某兩個(gè)正弦電流分別為，試求兩者的相位差，并說明兩者的相位關(guān)系。4.2正弦量的相量表示法

通過上面的學(xué)習(xí)，我們知道正弦量可以用正弦函數(shù)及其波形圖直觀的表示出來。但是，利用這兩種方法來分析計(jì)算電路，運(yùn)算將會(huì)十分的繁瑣。為此，我們引入了“相量法”的概念，把三角函數(shù)運(yùn)算簡(jiǎn)化為復(fù)數(shù)形式的代數(shù)運(yùn)算，極大的簡(jiǎn)化了正弦交流電路的分析計(jì)算過程。

4.2.1復(fù)數(shù)1.復(fù)數(shù)的表示方法（1）復(fù)數(shù)的代數(shù)形式設(shè)A為一個(gè)復(fù)數(shù)，則其代數(shù)形式為A=a+jba、b是任意實(shí)數(shù)實(shí)部虛部虛數(shù)單位4.2正弦量的相量表示法復(fù)數(shù)A

也可以用復(fù)平面內(nèi)的一條有向線段來表示復(fù)數(shù)A的模復(fù)數(shù)A的輻角復(fù)數(shù)實(shí)部復(fù)數(shù)虛部4.2.1復(fù)數(shù)（2）復(fù)數(shù)的三角函數(shù)形式根據(jù)歐拉公式可以得出復(fù)數(shù)的指數(shù)形式（3）復(fù)數(shù)的指數(shù)形式（4）復(fù)數(shù)的極坐標(biāo)形式4.2.1復(fù)數(shù)2.復(fù)數(shù)的運(yùn)算（1）復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算一般采用代數(shù)形式和三角函數(shù)形式，即復(fù)數(shù)的實(shí)部與實(shí)部相加減；虛部與虛部相加減。例如則

復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算也可以在復(fù)平面內(nèi)用平行四邊形法則做圖來完成4.2.1復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)中關(guān)于虛數(shù)單位j，常有下列關(guān)系注意：j與復(fù)角之間的關(guān)系為4.2.2正弦量的相量表示法

用復(fù)數(shù)的模表示正弦量的大小，用復(fù)數(shù)的輻角表示正弦量的初相位，這種用來表示正弦量的復(fù)數(shù)稱為正弦量的相量。正弦量的相量：可見，正弦量與表示正弦量的相量是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。，其有效值相量形式為例如，正弦電流，其最大值相量形式為例如，正弦電流相量是一個(gè)復(fù)數(shù)，它在復(fù)平面上的圖形稱為相量圖例如，正弦電流其有效值相量分別為

相量圖相位差注意：2.只有同頻率的正弦量才能畫在同一個(gè)相量圖上，不同頻率的正弦量不能畫在同一個(gè)相量圖上，也無法用相量來進(jìn)行分析計(jì)算。1.畫相量圖時(shí)，相同的物理量應(yīng)成比例?！纠?-3】

試寫出正弦量的相量，并畫出相量圖。解：對(duì)應(yīng)的有效值相量為對(duì)應(yīng)的有效值相量為相量圖【例4-4】已知正弦量試求:解:

i1對(duì)應(yīng)的有效值相量為i2對(duì)應(yīng)的有效值相量為其對(duì)應(yīng)的正弦量為

4.3元件伏安關(guān)系的相量形式在正弦穩(wěn)態(tài)電路中，電阻、電感、電容元件的電壓、電流都是同頻率的正弦量。為了適應(yīng)使用相量進(jìn)行正弦穩(wěn)態(tài)分析，將元件的伏安關(guān)系方程表示為相量形式。4.3.1電阻元件伏安關(guān)系的相量形式

在關(guān)聯(lián)參考方向下，任意瞬時(shí)在電阻R兩端施加電壓為根據(jù)歐姆定律，通過電阻R的電流為

4.3.1電阻元件伏安關(guān)系的相量形式電阻電路的電壓和電流相量形式即歐姆定律的相量形式電阻電路的電壓和電流同相位結(jié)論：【例4-5】把一個(gè)100KΩ的電阻接到頻率為50Hz電壓有效值為220V的正弦電源上，求通過電阻的電流有效值是多少？如果電壓值不變，電源頻率改為500Hz，這時(shí)的電流又是多少？解：電阻電流的有效值為由于電阻元件電阻的大小與頻率無關(guān)，所以頻率改變后，電流仍為2.2mA?！纠?-6】今有一白熾燈，若其工作時(shí)的電阻為400Ω，兩端的正弦電壓為

求通過白熾燈的電流相量及瞬時(shí)值表達(dá)式。解：依題意，電壓相量為電流相量為則電流的瞬時(shí)值表達(dá)式為電阻電路中的功率（補(bǔ)充內(nèi)容）（1）瞬時(shí)功率：電路任意瞬時(shí)所吸收的功率，用p表示。瞬時(shí)功率單位：瓦【W(wǎng)】或千瓦【KW】瞬時(shí)功率p總是大于零，說明電阻是耗能元件。

（2）有功功率：瞬時(shí)功率在一個(gè)周期內(nèi)的平均值稱為平均功率或有功功率，用

表示P表示。有功功率單位：瓦【W(wǎng)】或千瓦【KW】結(jié)論：正弦電壓和電流的有效值

【例】今有一白熾燈，若其工作時(shí)的電阻為322.67Ω，兩端的正弦電壓為試求（1）通過白熾燈的電流相量及瞬時(shí)值表達(dá)式；（2）白熾燈工作時(shí)的平均功率。解：（1）電壓相量為電流相量為電流的瞬時(shí)值表達(dá)式為（2）平均功率電阻電路中的功率（補(bǔ)充內(nèi)容）4.3.2電感元件伏安關(guān)系的相量形式如設(shè)電流為參考相量，即

任意瞬時(shí)，電壓uL和電流iL在關(guān)聯(lián)參考方向下的關(guān)系為則有這里XL稱為電感元件的電抗，簡(jiǎn)稱感抗；單位：歐姆[Ω]。電感元件電流和電壓的相量形式分別為電感電路歐姆定律的相量形式4.3.2電感元件伏安關(guān)系的相量形式結(jié)論：當(dāng)正弦電流通過電感元件時(shí)，在電感上產(chǎn)生一個(gè)同頻率的、相位超前電流90o的正弦電壓。電感元件端電壓和電流的有效值之間符合歐姆定律。電感元件端電壓和電流的相量形式符合歐姆定律。4.3.2電感元件伏安關(guān)系的相量形式【例4-7】把一個(gè)0.15H的電感元件接到頻率為50Hz，電壓有效值為180V的正弦電源上，求通過電感的電流有效值是多少？如果電壓值不變，電源頻率改為1000Hz，這時(shí)的電流有效值又是多少？解：當(dāng)f=50Hz時(shí)當(dāng)f=1000Hz時(shí)電感電路中的功率（補(bǔ)充內(nèi)容）（1）瞬時(shí)功率（2）平均功率（有功功率）電感不消耗功率，只與電源之間存在著能量的交換；電感是一儲(chǔ)能元件。結(jié)論：（3）無功功率：電路中能量互換的速率,即電感與電源之間功率交換的最大值，用

Q表示。單位：乏兒[var],千乏兒[Kvar]4.3.2電感元件伏安關(guān)系的相量形式解：（1）（2）設(shè)電壓

為參考向量，即

電流的有效值，相位上滯后于電壓

【例4-8】設(shè)有一電感線圈，其電感

，電阻可略去不計(jì)，將其接于

、

的電源上，試求：（1）該電感的感抗

；（2）電路中的電流I及其與電壓的相位差。4.3.3電容元件伏安關(guān)系的相量形式任意瞬時(shí)，電壓uC和電流iC在關(guān)聯(lián)參考方向下的關(guān)系為設(shè)電壓為參考相量則有

式中容抗的單位：歐姆[Ω]電容元件電壓和電流的相量形式分別為

或

電容電路歐姆定律的相量形式當(dāng)電容元件兩端施加正弦電壓時(shí)，在電容上產(chǎn)生一個(gè)同頻率的、相位超前電壓90o的正弦電流。電容元件端電壓和電流的有效值之間符合歐姆定律。電容元件端電壓和電流的相量形式符合歐姆定律。結(jié)論：【例4-9】在電容為的電容器兩端加的電壓，試求電容的電流。解：因?yàn)?/p>

電容電流的有效值為

由于電容的電流要超前電壓而所以

則有

為參考向量，即（2）設(shè)電壓

【例4-10】設(shè)有一電容器，其電容，電阻可略去不計(jì)，將其接于的電源上，試求：（1）該電容的容抗（2）電路中的電流I及其與電壓的相位差

解：（1）容抗即，電流的有效值，相位上超前于電壓表4-1

交流電路中電路元件的基本性質(zhì)電路模型電路參數(shù)電阻R電感L電容C電壓與電流的關(guān)系瞬時(shí)值u=iR有效值U=IRU=IXLU=IXC相位電壓與電流同相電壓超前于電流90o電壓滯后于電流90o電阻或電抗RXL=ωL用向量表示電壓與電流的關(guān)系向量模型向量關(guān)系式向量圖有功功率P=UIP=0P=0無功功率Q=0電容電路中的功率(補(bǔ)充內(nèi)容)（1）瞬時(shí)功率（2）平均功率（有功功率）（3）無功功率：電容與電源之間功率交換的最大值，用

表示。結(jié)論：

電容不消耗有功功率，只與電源之間存在著能量的交換；所以，電容也是一儲(chǔ)能元件。4.3.3電容元件伏安關(guān)系的相量形式4.4基爾霍夫定律的相量形式

直流電路中由歐姆定律和基爾霍夫定律所推導(dǎo)出的結(jié)論、分析方法和定理，都可以擴(kuò)展到交流電路中。根據(jù)基爾霍夫電流定律，在電路中任意節(jié)點(diǎn)，任何時(shí)刻都有若這些電流都是同頻率的正弦量，則可以用相量形式表示為1.基爾霍夫電流定律的相量形式2.基爾霍夫電壓定律對(duì)電路中任意回路任一瞬時(shí)基爾霍夫電壓定律的相量形式（K=1···········n）即即解：圖（a）中，由于并聯(lián)電路中各支路的電壓相同，所以設(shè)端電壓為參考相量，即

【例4-11】如圖（a）所示電路中，已知電流表的讀數(shù)都是5A，圖（b）中電壓表

、、的讀數(shù)分別是30V、40V、80V，試求電路中電流表A和電壓表V的讀數(shù)。

（電阻元件上的電流與電壓同相）

（電感元件上的電流滯后電壓）

（電容元件上的電流超前電壓）由KCL得圖（a）中電壓表A的讀數(shù)為5A。在圖（b）中，由于串聯(lián)電路中各元件的電流相同，所以設(shè)電流為參考相量，即

（電阻元件上電流與電壓同相）

(電感元件上電流滯后電壓）

(電容元件上電流超前電壓）由KVL得圖（b）中電壓表V的讀數(shù)為50V。4.5阻抗和導(dǎo)納4.5.1阻抗1.阻抗如圖（a）所示為若以電流I為參考相量，即根據(jù)基爾霍夫電壓定律有對(duì)應(yīng)的相量式相量模型其中帶入上式，得等效復(fù)阻抗

等效阻抗阻抗三角形正弦交流電路歐姆定律的相量形式阻抗的模阻抗角電阻電抗4.5.1阻抗復(fù)阻抗Z,電抗X的單位[Ω]由可見，阻抗角φ也是電壓和電流的相位差角。

其中，結(jié)論：復(fù)阻抗Z僅由電路的參數(shù)及電源的頻率決定，與電壓、電流的大小無關(guān)4.5.1阻抗若XL＜XC，則X＜0，UL＜UC，φ＜0，電壓滯后電流，相量圖為（b）所示。2.電路的性質(zhì)3.單一參數(shù)的復(fù)阻抗

（1）電阻Z=R（2）電感（3）電容R、Z、X、XL、XC的單位為歐姆[Ω]。若XL＞XC，則X＞0，UL＞UC，φ＞0，電壓超前電流，相量圖為（a）所示。若XL=XC，則X=0，UL=UC，φ=0，電壓與電流同相，相量圖為（c）所示。試求：線圈兩端的電壓有效值U及u與i之間的相位差φ?！纠?-12】在RLC串聯(lián)電路中，已知電壓源電壓試求：該串聯(lián)電路的阻抗Z及電路中的電流i。解：

【例4-13】已知一線圈的電阻電感通過線圈的電流為解：線圈的電抗

線圈的復(fù)阻抗電壓有效值

u與i之間的相位差復(fù)導(dǎo)納角4.5.2導(dǎo)納阻抗的倒數(shù)定義為導(dǎo)納，用Y表示。導(dǎo)納的模導(dǎo)納Y的代數(shù)形式可寫為電導(dǎo)電納1.導(dǎo)納的定義：2.單個(gè)元件的導(dǎo)納（1）電阻（2）電感（3）電容其中：稱感納稱容納

3.一端口為RLC并聯(lián)的導(dǎo)納根據(jù)KCL定律Y的實(shí)部是電導(dǎo)

虛部是電納

導(dǎo)納三角形復(fù)導(dǎo)納角復(fù)導(dǎo)納模Y的模和導(dǎo)納角分別為

4.電路的性質(zhì)（1）當(dāng)B＞0

，＞時(shí),Y呈容性

＜（2）當(dāng)B＜0

，時(shí),Y呈感性

（3）當(dāng)B=0

，=時(shí),Y呈阻性

G、Y、B、BL、BC的單位為西門子[S]5.Y與Z的關(guān)系4.5.3阻抗的串聯(lián)和導(dǎo)納并聯(lián)1）阻抗的串聯(lián)

如圖所示為若干個(gè)阻抗的串聯(lián)電路，它的等效阻抗為

R稱為串聯(lián)電路的等效電阻，它等于各串聯(lián)電阻的和；X稱為串聯(lián)電路的等效電抗，它等于各串聯(lián)電抗的代數(shù)和（感抗取正值，容抗取負(fù)值）2.導(dǎo)納的并聯(lián)

如圖所示為若干個(gè)導(dǎo)納的并聯(lián)電路，它的等效阻抗Z的倒數(shù)等于各并聯(lián)阻抗的倒數(shù)和，即總復(fù)阻抗為【例4-14】如圖所示電路中，阻抗

試求各支路的電流阻抗外加電壓

解：4.6正弦穩(wěn)態(tài)電路的分析

在正弦交流電路中，以相量形式表示的歐姆定律和基爾霍夫定律與直流電路有相似的表達(dá)式；因而在直流電路中，由歐姆定律和基爾霍夫定律推導(dǎo)出的支路電流法、節(jié)點(diǎn)電壓法、疊加定理、等效電源定理等等都可以同樣擴(kuò)展到正弦交流電路中。

在擴(kuò)展中，直流電路中的各物理量在交流電路中用相量的形式來代替；直流電路中的電阻R用復(fù)阻抗Z來代替；直流電路中的電導(dǎo)G,用復(fù)導(dǎo)納Y

來代替。設(shè)

為參考相量，超前，則有【例4-15】如圖所示電路中，兩個(gè)電源的電壓有效均為220V，相位相差60o，內(nèi)阻抗負(fù)載阻抗，試求負(fù)載電流解：(1)用支路電流法求解各支路電流的參考方向如圖所示

由KCL定律得由KVL定律得

解得（2）用疊加定理求解(a)可視為是(b)和(c)的疊加，負(fù)載電流(3)

用節(jié)點(diǎn)電壓法來求解此題還可以用戴維南定理來求解，所得結(jié)果與上述完全一致?！纠?-16】在如圖所示電路中，已知R=5Ω，XL=5Ω，XC=5Ω，，試求：該電路的等效阻抗及各支路的電流。解：設(shè)等效阻抗為【例4-17】在如圖（a）所示電路中，

交流電流表A的讀數(shù)最小，其值為2.59A。求圖中交流電流表A1的讀數(shù)。電容可調(diào)，當(dāng)時(shí)，解：當(dāng)電容C變化時(shí)，始終不變，可以先定性畫出相量圖。設(shè)則故滯后電壓表示的電流相量組成的三角形如圖（b）所示。

當(dāng)C變化時(shí)，始終與正交，故的末端將沿圖中所示虛線變化，到達(dá)a點(diǎn)時(shí)，為最小。

用電流三角形解得電流表A1的讀數(shù)為這時(shí)I=2.59A，4.7正弦穩(wěn)態(tài)電路的功率

4.7.1二端網(wǎng)絡(luò)的功率1）瞬時(shí)功率如圖所示無源二端網(wǎng)絡(luò)，設(shè)

則瞬時(shí)功率為用p表示單位：瓦[W]或千瓦[KW]功率因數(shù)瞬時(shí)功率在一個(gè)周期內(nèi)的平均值稱為平均功率或有功功率。用P表示，即2）有功功率電壓和電流的有效值電壓和電流的相位差3）功率因數(shù)稱為功率因數(shù)，用表示。

單位：瓦[W]或千瓦[KW]。電阻是耗能元件；電感和電容是不消耗電能的，它們只與外電路進(jìn)行能量交換，是儲(chǔ)能元件。

4.7.1二端網(wǎng)絡(luò)的功率4）無功功率電感與電容與電源之間進(jìn)行能量的交換規(guī)模的大小用無功功率來衡量。無功功率用Q來表示單位乏[var]或千乏[kvar]將電壓和電流有效值的乘積定義為視在功率（設(shè)備的容量），用S表示5）視在功率單位：伏安[VA]。

4.7.1二端網(wǎng)絡(luò)的功率6）功率三角形我們可以用直角三角形來表示有功功率P、無功功率Q、視在功率S之間的關(guān)系

4.7.1二端網(wǎng)絡(luò)的功率7）復(fù)功率如圖示，設(shè)端口的電壓和電流分別為復(fù)功率定義為復(fù)功率的單位：復(fù)功率的模為視在功率S【例4-18】如圖所示電路，已知交流電壓表的讀數(shù)為100V，交流電流表的讀數(shù)為2A，功率表的讀數(shù)為120W，交流電源的頻率f=50Hz,求：電阻R和電感L的值。R和L串聯(lián)阻抗

解：得其模為【例4-19】求例4-18電路中線圈吸收的復(fù)功率解：設(shè)電壓由例4-18可知

則

因此有

1）提高功率因數(shù)的方法主要采用在感性負(fù)載兩端并聯(lián)電容器的方法對(duì)無功功率進(jìn)行補(bǔ)償。＞，因此，＜故并聯(lián)電容后功率因數(shù)提高了

4.7.2提高功率因數(shù)的方法及意義【例4-19】如圖所示，感性負(fù)載吸收的有功功率P=9KW，功率因數(shù)為0.6，將其接到220V、50HZ的交流電源上，今欲將其功率因數(shù)提高到0.9，試問：需要并聯(lián)的電容值為多大？所需補(bǔ)償?shù)臒o功功率QC為多少?解：未并聯(lián)電容時(shí),功率因數(shù)為0.6并聯(lián)電容后,功率因數(shù)為0.9所需補(bǔ)償?shù)臒o功功率為

由于

因此所需并聯(lián)的電容量為電路的無功功率為電路的無功功率為4.7.2提高功率因數(shù)的方法及意義2）提高功率因數(shù)的意義（1）使電源設(shè)備得到充分的利用一般交流電源設(shè)備（發(fā)電機(jī)、變壓器）都是根據(jù)額定電壓UN和額定電流IN來進(jìn)行設(shè)計(jì)、制造和使用的。它能夠供給負(fù)載的有功功率為。當(dāng)UN、IN值一定時(shí)，若低，則電源能夠供給負(fù)載的有功功率P1也低，電源的容量就沒有得到充分的利用

。因此，提高功率因數(shù)，可以提高電源設(shè)備的利用率。（2）降低線路損耗和線路壓降輸電線上的損耗為

，線路電壓為，而線路電流?？梢?，當(dāng)電源電壓U及輸出有功功率P1一定時(shí)，提高，可以使線路電流減小，從而降低了傳輸線上的損耗，提高了傳輸效率。同時(shí)，線路上的壓降減小，使負(fù)載的端電壓變化減小，提高了供電的質(zhì)量。2）提高功率因數(shù)的意義4.7.2提高功率因數(shù)的方法及意義4.7.3最大功率傳輸定理圖（a）所示電路為含源一端口向負(fù)載Z傳輸功率，當(dāng)傳輸?shù)墓β瘦^小不必計(jì)較傳輸效率時(shí)，常常要研究使負(fù)載獲得最大功率的條件。根據(jù)戴維南定理，問題可以簡(jiǎn)化為圖（b）所示的等效電路進(jìn)行研究。設(shè)，，則負(fù)載吸收的有功功率為如果R和X可以任意變動(dòng)，而其他參數(shù)不變時(shí)，則獲得最大功率的條件為4.7.3