人教A版(新教材)高中數(shù)學選擇性必修第二冊第四章 數(shù)列章末檢測卷

人教A版(新教材)高中數(shù)學選擇性必修第二冊PAGEPAGE1章末檢測卷(一)(時間：120分鐘滿分：150分)一、單項選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中只有一項符合題目要求)1.已知{an}是首項為1，公差為3的等差數(shù)列，如果an＝2023，則序號n等于()A.667 B.668C.669 D.675〖答案〗D〖解析〗由2023＝1＋3(n－1)，解得n＝675.2.在等差數(shù)列{an}中，a3＋a5＝12－a7，則a1＋a9＝()A.8 B.12C.16 D.20〖答案〗A〖解析〗由a3＋a5＝12－a7，得a3＋a5＋a7＝12＝3a5，即a5＝4，故a1＋a9＝2a5＝8.3.已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，a1＝2，其公差d≠0.若a5是a3和a8的等比中項，則S18＝()A.398 B.388C.189 D.199〖答案〗C〖解析〗由題可得aeq\o\al(2,5)＝a3a8，即(2＋4d)2＝(2＋2d)(2＋7d)，整理得d2－d＝0，由d≠0，所以d＝1.故S18＝18×2＋eq\f(1,2)×18×17×1＝189.4.等比數(shù)列{an}中，a2＝9，a5＝243，則{an}的前4項和是()A.81 B.120C.168 D.192〖答案〗B〖解析〗由a5＝a2q3得q＝3.∴a1＝eq\f(a2,q)＝3，S4＝eq\f(a1（1－q4）,1－q)＝eq\f(3（1－34）,1－3)＝120.5.已知數(shù)列{an}滿足遞推關(guān)系：an＋1＝eq\f(an,an＋1)，a1＝eq\f(1,2)，則a2020＝()A.eq\f(1,2019) B.eq\f(1,2020)C.eq\f(1,2021) D.eq\f(1,2022)〖答案〗C〖解析〗由an＋1＝eq\f(an,an＋1)得eq\f(1,an＋1)＝eq\f(1,an)＋1，所以數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是等差數(shù)列，首項eq\f(1,a1)＝2，公差為1，所以eq\f(1,a2020)＝2＋(2020－1)×1＝2021，則a2020＝eq\f(1,2021).6.設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若Sm－1＝5，Sm＝－11，Sm＋1＝21，則m等于()A.7 B.6C.5 D.4〖答案〗C〖解析〗由已知得Sm－Sm－1＝am＝－16，Sm＋1－Sm＝am＋1＝32，故公比q＝－2，又Sm＝eq\f(a1－amq,1－q)＝－11，故a1＝－1，又am＝a1qm－1＝－16，代入可求得m＝5.7.已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝3n(λ－n)－6，若數(shù)列{an}單調(diào)遞減，則λ的取值范圍是()A.(－∞，2) B.(－∞，3)C.(－∞，4) D.(－∞，5)〖答案〗A〖解析〗∵Sn＝3n(λ－n)－6，①∴Sn－1＝3n－1(λ－n＋1)－6，n＞1，②①－②得an＝3n－1(2λ－2n－1)(n＞1，n∈N*)，又{an}為單調(diào)遞減數(shù)列，∴an＞an＋1，且a1＞a2.∴3n－1(2λ－2n－1)＞3n(2λ－2n－3)，化為λ＜n＋2(n＞1)，且λ＜2，∴λ＜2，∴λ的取值范圍是(－∞，2).故選A.8.從2017年起，某人每年的5月1日到銀行存入a元的定期儲蓄，若年利率為p且保持不變，并約定每年到期，存款的本息均自動轉(zhuǎn)為新的一年的定期，到2021年的5月1日將所有存款及利息全部取出，則可取出錢(元)的總數(shù)為()A.a(1＋p)4 B.a(1＋p)5C.eq\f(a,p)〖(1＋p)4－(1＋p)〗 D.eq\f(a,p)〖(1＋p)5－(1＋p)〗〖答案〗D〖解析〗設(shè)自2018年起每年到5月1日存款本息合計為a1，a2，a3，a4.則a1＝a＋a·p＝a(1＋p)，a2＝a(1＋p)(1＋p)＋a(1＋p)＝a(1＋p)2＋a(1＋p)，a3＝a2(1＋p)＋a(1＋p)＝a(1＋p)3＋a(1＋p)2＋a(1＋p)，a4＝a3(1＋p)＋a(1＋p)＝a〖(1＋p)4＋(1＋p)3＋(1＋p)2＋(1＋p)〗＝a·eq\f(（1＋p）[1－（1＋p）4],1－（1＋p）)＝eq\f(a,p)〖(1＋p)5－(1＋p)〗.二、多項選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中有多項符合題目要求，全部選對得5分，選對但不全的得2分，有選錯的不得分)9.記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和.已知S5＝35，a4＝11，則()A.an＝4n－5 B.an＝2n＋3C.Sn＝2n2－3n D.Sn＝n2＋4n〖答案〗AC〖解析〗設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則由S5＝35，a4＝11，可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(5a1＋10d＝35，,a1＋3d＝11，))解得a1＝－1，d＝4，則an＝－1＋4(n－1)＝4n－5，Sn＝eq\f(n（－1＋4n－5）,2)＝2n2－3n，故選AC.10.已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，那么下列數(shù)列一定是等比數(shù)列的是()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an))) B.log2(an)2C.{an＋an＋1} D.{an＋an＋1＋an＋2}〖答案〗AD〖解析〗當an＝1時，log2(an)2＝0，所以數(shù)列{log2(an)2}不一定是等比數(shù)列；當q＝－1時，an＋an＋1＝0，所以數(shù)列{an＋an＋1}不一定是等比數(shù)列；由等比數(shù)列的定義知eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))和{an＋an＋1＋an＋2}都是等比數(shù)列.故選AD.11.朱世杰是元代著名數(shù)學家，他所著的《算學啟蒙》是一部在中國乃至世界最早的科學普及著作.《算學啟蒙》中涉及一些“堆垛”問題，主要利用“堆垛”研究數(shù)列以及數(shù)列的求和問題.現(xiàn)有100根相同的圓形鉛筆，小明模仿“堆垛”問題，將它們?nèi)慷逊懦煽v斷面為等腰梯形的“垛”，要求層數(shù)不小于2，且從最下面一層開始，每一層比上一層多1根，則該“等腰梯形垛”應堆放的層數(shù)可以是()A.4 B.5C.7 D.8〖答案〗BD〖解析〗設(shè)最上面一層放a1根，一共放n(n≥2)層，則最下面一層放(a1＋n－1)根，于是eq\f(n（2a1＋n－1）,2)＝100.整理得2a1＝eq\f(200,n)＋1－n，因為a1∈N*，所以n為200的因數(shù)，eq\f(200,n)＋(1－n)≥2且為偶數(shù)，驗證可得n＝5，8滿足題意.故選BD.12.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，點(n，Sn＋3)(n∈N*)在函數(shù)y＝3×2x的圖象上，等比數(shù)列{bn}滿足bn＋bn＋1＝an(n∈N*)，其前n項和為Tn，則下列結(jié)論正確的是()A.Sn＝2Tn B.Tn＝2bn－1C.Tn>an D.Tn<bn＋1〖答案〗BD〖解析〗因為點(n，Sn＋3)在函數(shù)y＝3×2x的圖象上，所以Sn＋3＝3×2n，即Sn＝3×2n－3.當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝3×2n－3－(3×2n－1－3)＝3×2n－1，又當n＝1時，a1＝S1＝3，所以an＝3×2n－1.設(shè)bn＝b1qn－1,則b1qn－1＋b1qn＝3×2n－1，可得b1＝1，q＝2，所以數(shù)列{bn}的通項公式為bn＝2n－1.由等比數(shù)列前n項和公式可得Tn＝2n－1.綜合選項可知，B，D正確.三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，把〖答案〗填在題中的橫線上)13.若數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝2an(n∈N*)，則a4＝________，前8項的和S8＝________.(本題第一空2分，第二空3分)〖答案〗8255〖解析〗由a1＝1，an＋1＝2an(n∈N*)，可知數(shù)列{an}為等比數(shù)列，故a4＝8，S8＝255.14.已知等比數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，Sn是{an}的前n項和.若a1，a3是方程x2－5x＋4＝0的兩個根，則S6＝________.〖答案〗63〖解析〗∵a1，a3是方程x2－5x＋4＝0的兩根，且q＞1，∴a1＝1，a3＝4，則公比q＝2，因此S6＝eq\f(1×（1－26）,1－2)＝63.15.“中國剩余定理”又稱“孫子定理”.1852年，英國來華傳教士偉烈亞力將《孫子算經(jīng)》中“物不知數(shù)”問題的解法傳至歐洲.1874年，英國數(shù)學家馬西森指出此法符合1801年由高斯得到的關(guān)于同余式解法的一般性定理，因而西方稱之為“中國剩余定理”.“中國剩余定理”講的是一個關(guān)于整除的問題，現(xiàn)有這樣一個整除問題：將1到2020這2020個數(shù)中，能被3除余1且被5整除余1的數(shù)按從小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列{an}，則此數(shù)列的項數(shù)為________.〖答案〗135〖解析〗因為能被3除余1且被5除余1的數(shù)就是能被15除余1的數(shù)，故an＝15n－14≤2020，解得n≤135eq\f(3,5)，數(shù)列{an}共有135項.16.將數(shù)列{3n－1}按“第n組有n個數(shù)”的規(guī)則分組如下：(1)，(3，9)，(27，81，243)，…，則第100組中的第一個數(shù)是________.〖答案〗34950〖解析〗在“第n組有n個數(shù)”的規(guī)則分組中，各組數(shù)的個數(shù)構(gòu)成一個以1為首項，1為公差的等差數(shù)列.因為前99組中數(shù)的個數(shù)共有eq\f(（1＋99）×99,2)＝4950個，且第1個數(shù)為30，故第100組中的第1個數(shù)是34950.四、解答題(本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17.(本小題滿分10分)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，已知a1＝－7，S3＝－15.(1)求{an}的通項公式；(2)求Sn，并求Sn的最小值.解(1)設(shè){an}的公差為d，由題意得3a1＋3d＝－15.由a1＝－7得d＝2.所以{an}的通項公式為an＝2n－9.(2)由(1)得Sn＝n2－8n＝(n－4)2－16.所以當n＝4時，Sn取得最小值，最小值為－16.18.(本小題滿分12分)已知數(shù)列{an}滿足a1＝eq\f(7,8)，且an＋1＝eq\f(1,2)an＋eq\f(1,3)，n∈N*.(1)求證：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an－\f(2,3)))是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列{an}的通項公式.(1)證明由已知得an＋1－eq\f(2,3)＝eq\f(1,2)an－eq\f(1,3)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(an－\f(2,3))).因為a1＝eq\f(7,8)，所以a1－eq\f(2,3)＝eq\f(5,24)，所以eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an－\f(2,3)))是以eq\f(5,24)為首項，eq\f(1,2)為公比的等比數(shù)列.(2)解由(1)知eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an－\f(2,3)))是以eq\f(5,24)為首項，eq\f(1,2)為公比的等比數(shù)列，所以an－eq\f(2,3)＝eq\f(5,24)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(n－1)，所以an＝eq\f(5,24)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(n－1)＋eq\f(2,3).19.(本小題滿分12分)已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝eq\f(1,3n－2)，n∈N*.(1)求數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an＋2,an)))的前n項和Sn；(2)設(shè)bn＝anan＋1，求eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(bn))的前n項和Tn.解(1)∵eq\f(2,an)＝6n－4，∴eq\f(an＋2,an)＝1＋eq\f(2,an)＝6n－3，所以eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an＋2,an)))是首項為3，公差為6的等差數(shù)列，所以Sn＝3n＋eq\f(n（n－1）,2)×6＝3n2.(2)∵bn＝anan＋1＝eq\f(1,3n－2)×eq\f(1,3n＋1)＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3n－2)－\f(1,3n＋1)))，∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn－1＋bn＝eq\f(1,3)〖eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)－\f(1,7)))＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3n－5)－\f(1,3n－2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3n－2)－\f(1,3n＋1)))〗＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3n＋1)))＝eq\f(n,3n＋1).20.(本小題滿分12分)已知首項為eq\f(3,2)的等比數(shù)列{an}不是遞減數(shù)列，其前n項和為Sn(n∈N*)，且S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差數(shù)列.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)設(shè)Tn＝Sn－eq\f(1,Sn)(n∈N*)，求數(shù)列{Tn}的最大項的值與最小項的值.解(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，因為S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差數(shù)列，所以S5＋a5－S3－a3＝S4＋a4－S5－a5，即4a5＝a3，于是q2＝eq\f(a5,a3)＝eq\f(1,4).又{an}不是遞減數(shù)列且a1＝eq\f(3,2)，所以q＝－eq\f(1,2).故等比數(shù)列{an}的通項公式為an＝eq\f(3,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))eq\s\up12(n－1)＝(－1)n－1·eq\f(3,2n)(n∈N*).(2)由(1)得Sn＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))eq\s\up12(n)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2n)，n為奇數(shù)，,1－\f(1,2n)，n為偶數(shù).))當n為奇數(shù)時，Sn隨n的增大而減小，所以1<Sn≤S1＝eq\f(3,2)，故0<Sn－eq\f(1,Sn)≤S1－eq\f(1,S1)＝eq\f(3,2)－eq\f(2,3)＝eq\f(5,6).當n為偶數(shù)時，Sn隨n的增大而增大，所以eq\f(3,4)＝S2≤Sn<1，故0>Sn－eq\f(1,Sn)≥S2－eq\f(1,S2)＝eq\f(3,4)－eq\f(4,3)＝－eq\f(7,12).綜上，對于n∈N*，總有－eq\f(7,12)≤Sn－eq\f(1,Sn)≤eq\f(5,6).所以數(shù)列{Tn}的最大項的值為eq\f(5,6)，最小項的值為－eq\f(7,12).21.(本小題滿分12分)2015年推出一種新型家用轎車，購買時費用為16.9萬元，每年應交付保險費、養(yǎng)路費及汽油費共1.2萬元，汽車的維修費為：第一年無維修費用，第二年為0.2萬元，從第三年起，每年的維修費均比上一年增加0.2萬元.(1)設(shè)該輛轎車使用n年的總費用(包括購買費用、保險費、養(yǎng)路費、汽油費及維修費)為f(n)，求f(n)的表達式；(2)這種汽車使用多少年報廢最合算(即該車使用多少年，年平均費用最少)?解(1)由題意，每年的維修費構(gòu)成一等差數(shù)列，n年的維修總費用為eq\f(n\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0＋0.2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－1)))),2)＝0.1n2－0.1n(萬元)，所以f(n)＝16.9＋1.2n＋(0.1n2－0.1n)＝0.1n2＋1.1n＋16.9(萬元)，n∈N*.(2)該輛轎車使用n年的年平均費用為eq\f(f（n）,n)＝eq\f(0.1n2＋1.1n＋16.9,n)＝0.1n＋eq\f(16.9,n)＋1.1≥2eq\r(0.1n·\f(16.9,n))＋1.1＝3.7(萬元).當且僅當0.1n＝eq\f(16.9,n)時取等號，此時n＝13.故這種汽車使用13年報廢最合算.22.(本小題滿分12分)若數(shù)列{