講析04 立體幾何（考點分析）（解析版）

講析04立體幾何一、知識網(wǎng)絡(luò)二、常考題型三、知識梳理1.平面的基本性質(zhì)（1）三個性質(zhì)如果直線l上的兩個點都在平面α內(nèi)，那么直線l上的所有點都在平面α內(nèi)．如果兩個平面有一個公共點，那么它們還有其他公共點，并且所有公共點的集合是過這個點的一條直線不在同一條直線上的三個點，可以確定一個平面（2）三個結(jié)論．直線與這條直線外的一點可以確定一個平面兩條相交直線可以確定一個平面兩條平行直線可以確定一個平面2.異面直線不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線.3.直線與平面平行（1）直線與平面平行的定義如果一條直線與一個平面沒有公共點，那么就稱這條直線與這個平面平行.直線與平面平行，記作∥.（2）直線與平面平行的判定如果平面外的一條直線與平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線與這個平面平行.（3）直線與平面平行的性質(zhì)如果一條直線與一個平面平行，并且經(jīng)過這條直線的一個平面和這個平面相交，那么這條直線與交線平行.4.平面與平面平行（1）平面與平面平行的定義如果兩個平面沒有公共點，那么稱這兩個平面互相平行．平面與平面平行，記做∥．（2）平面與平面平行的判定如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線都與另一個平面平行，那么這兩個平面平行．（3）平面與平面平行的性質(zhì)如果一個平面與兩個平行平面相交，那么它們的交線平行．5.直線與平面垂直的判定與性質(zhì)1.直線與平面垂直的判定如果一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線與這個平面垂直．2.直線和平面垂直的性質(zhì)垂直于同一個平面的兩條直線互相平行．6.面與平面垂直的判定與性質(zhì)1.平面與平面垂直的判定一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線則兩個平面垂直．2.平面與平面垂直的性質(zhì)7.空間兩條直線所成的角1.定義：經(jīng)過空間任意一點分別作與兩條異面直線平行的直線，這兩條相交直線的夾角叫做兩條異面直線所成的角2.范圍：3.垂直：如果兩條異面直線所成的角是直角，那么我們就說這兩條異面直線互相垂直，記作a⊥b．8.直線與平面所成的角有關(guān)概念對應(yīng)圖形斜線一條直線與平面α相交，但不與這個平面垂直，這條直線叫做這個平面的斜線，如圖中直線PA斜足斜線和平面的交點，圖中點A射影過斜線上斜足以外的一點向平面引垂線，過垂足和斜足的直線叫做斜線在這個平面上的射影，圖中斜線PA在平面α上的射影為直線AO9.平面與平面所成的角（1）二面角從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角．這條直線叫做二面角的棱，這兩個半平面叫做二面角的面．（2）二面角的平面角過棱上的一點，分別在二面角的兩個面內(nèi)作與棱垂直的射線，以這兩條射線為邊的最小正角叫做二面角的平面角（3）二面角的范圍二面角取值范圍是．四、?？碱}型探究考點一文字語言、符號語言和圖形語言的相互轉(zhuǎn)化例1．如果A點在直線上，而直線在平面內(nèi)，點在內(nèi)，可以用集合語言和符號表示為（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】B【解析】A點在直線上，而直線在平面內(nèi)，點B在內(nèi)，表示為：，，．故選B.例2．如圖所示，用符號語言可表達為（

）

A．，， B．，，C．，，， D．，，，【答案】A【分析】結(jié)合圖形及點、線、面關(guān)系的表示方法判斷即可．【詳解】如圖所示，兩個平面與相交于直線，直線在平面內(nèi)，直線和直線相交于點，故用符號語言可表達為，，，故選：A．【變式探究】1.用符號表示“點A在直線l上，l在平面α外”，正確的是(B)A．A∈l，l?α B．A∈l，l?α C．A?l，l?α D．A?l，l?α考點二線線位置關(guān)系的判斷例3．正方體ABCD－A1B1C1D1中，與對角線AC1異面的棱有(C)A．3條 B．4條C．6條 D．8條[解析]與AC1異面的棱有：A1D1，A1B1，DD1，CD，BC，BB1共6條．例4．下列說法中正確的是(B)A．若兩直線無公共點，則兩直線平行B．若兩直線不是異面直線，則必相交或平行C．過平面外一點與平面內(nèi)一點的直線，與平面內(nèi)任一直線均構(gòu)成異面直線D．和兩條異面直線都相交的兩直線必是異面直線[解析]對于A，空間兩直線無公共點，則兩直線可能平行，可能異面，故A不正確；對于C，過平面外一點與平面內(nèi)一點的直線，和平面內(nèi)過該點的直線是相交直線，故C不正確；對于D，和兩條異面直線都相交的兩條直線還可能是相交直線，如圖的三棱錐A－BCD中，l1與l2為異面直線，BC與AC均與l1，l2相交，但BC與AC也相交，故D不正確．【變式探究】1.在棱長為1的正四面體中，直線與是（

）．A．平行直線 B．相交直線 C．異面直線 D．無法判斷位置關(guān)系【答案】C【解析】作出正四面體，如圖，

因為平面，平面，，平面，所以與是異面直線.故選：C.2.垂直于同一條直線的兩條直線一定（

）A．平行 B．相交 C．異面 D．以上都有可能【答案】D【解析】垂直于同一條直線的兩條直線有可能平行，也有可能相交于一點，也有可能異面．故選：D．考點三線面位置關(guān)系的判斷例5.若直線是平面的一條斜線，則在平面內(nèi)與垂直的直線（

）A．有且只有一條 B．有無數(shù)條C．有且只有兩條 D．不存在【答案】B【解析】如圖設(shè)斜線與平面交于點，在平面內(nèi)過點作直線，則在平面內(nèi)所有與直線平行的直線均與直線垂直，故在平面內(nèi)與垂直的直線有無數(shù)條.故選：B例6.已知平面，，直線，若，，則直線與平面的位置關(guān)系為.【答案】【解析】根據(jù)面面平行的性質(zhì)即可判斷.【詳解】若，則與沒有公共點，，則與沒有公共點，故.故答案為：.【變式探究】1.如圖，在正方體中，直線與平面的位置關(guān)系為（

）A．直線在平面內(nèi) B．直線與平面相交但不垂直C．直線與平面相交且垂直 D．直線與平面平行【答案】B【分析】根據(jù)正方體性質(zhì)判斷直線與面的位置關(guān)系即可.【詳解】由正方體的性質(zhì)知：面即為面，而直線與面交于，但不垂直.故選：B2.過平面外一點，能做（

）條直線與平面平行.A．0 B．1 C．2 D．無數(shù)【答案】D【分析】根據(jù)線面平行的定義判斷可得；【詳解】解：過平面外一點有無數(shù)條直線與這個平面平行，這些直線在與這個平面平行的平面內(nèi)故選：D考點四線面平行的判定和性質(zhì)例7.已知直線a和平面α，那么a//α的一個充分條件是（）A．存在一條直線b，a//b且b?αB．存在一條直線b，a⊥b且b⊥αC．存在一個平面β，a?β且α//βD．存在一個平面β，a//β且α//β【答案】C【分析】根據(jù)線面平行的判定方法，結(jié)合選項可得答案.【詳解】在A，B，D中，均有可能a?α，錯誤；在C中，兩平面平行，則其中一個平面內(nèi)的任一條直線都平行于另一平面.故選：C．例8.在空間中，直線∥面，直線平面，則（

）A．m與n平行 B．m與n平行或相交 C．m與n異面或相交 D．m與n平行或異面【答案】D【分析】由線面線線的位置關(guān)系可得答案.【詳解】直線∥面，直線平面，可知，m與n平行或異面．故選：D【變式探究】1.下列條件中，能得出直線與平面平行的是（

）A．直線與平面內(nèi)的所有直線平行B．直線與平面內(nèi)的無數(shù)條直線平行C．直線與平面沒有公共點D．直線與平面內(nèi)的一條直線平行【答案】C【分析】根據(jù)線面平行的判定，線面平行的性質(zhì)逐個辨析即可.【詳解】對A，直線與平面內(nèi)的所有直線平行不可能，故A錯誤；對B，當(dāng)直線在平面內(nèi)時，滿足直線與平面內(nèi)的無數(shù)條直線平行，但與不平行；對C，能推出與平行；對D，當(dāng)直線在平面內(nèi)時，與不平行.故選：C.2.已知直線l∥平面α，l?平面β，α∩β=m，則直線l，m的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．平行 C．異面 D．相交或異面【答案】B【分析】根據(jù)直線l∥平面α，l?平面β，α∩β=m，結(jié)合直線與平面平行的性質(zhì)定理可知直線l，m平行【詳解】∵由題意，有∴根據(jù)直線與平面平行的性質(zhì)定理，知：l∥m故選：B考點五面面平行的判定和性質(zhì)例9.已知兩個平面、，在下列條件下，可以判定平面與平面平行的是（

）A．、都垂直于一個平面B．平面內(nèi)有無數(shù)條直線與平面平行C．l、m是內(nèi)兩條直線，且，D．l、m是兩條異面直線，且，，，【答案】D【分析】ABC選項，舉出反例，D選項可以利用面面平行的判定進行證明.【詳解】A選項，如圖所示，、都垂直于一個平面，但、相交，故A錯誤；B選項，如圖，已知，平面內(nèi)有無數(shù)條直線與平行，則這些直線也與平行，故B選項錯誤；C選項，當(dāng)l、m是兩條平行直線時，不能判定平面與平面平行，C錯誤；D選項，因為，，則在平面內(nèi)存在，因為l、m是兩條異面直線，所以為相交直線，因為，，所以，，故可以判定平面與平面平行.故選：D例10.設(shè)為兩個不同的平面，則的充要條件是（

）A．內(nèi)有無數(shù)條直線與平行B．垂直于同一平面C．平行于同一條直線D．內(nèi)的任何直線都與平行【答案】D【分析】根據(jù)面面平行、相交的知識確定正確選項.【詳解】A選項，內(nèi)有無數(shù)條直線與平行，與可能相交，A選項錯誤.B選項，垂直于同一平面，與可能相交，B選項錯誤.C選項，平行于同一條直線，與可能相交，C選項錯誤.D選項，內(nèi)的任何直線都與平行，則，D選項正確.故選：D【變式探究】1.設(shè)，為兩個不同的平面，則∥的一個充分條件是（

）A．內(nèi)有無數(shù)條直線與平行 B．，垂直于同一個平面C．，平行于同一條直線 D．，垂直于同一條直線【答案】D【分析】根據(jù)面面平行的判定一一判定即可.【詳解】對于A：內(nèi)有無數(shù)條直線與平行推不出∥，只有內(nèi)所有直線與平行才能推出，故A錯誤；對于B：，垂直于同一平面，得到∥或與相交，故B錯誤；對于C：，平行于同一條直線，得到∥或與相交，故C錯誤；對于D：因為垂直與同一條直線的兩平面平行，故，垂直于同一條直線可得∥，故：D正確．故選：D2.如圖所示，已知正方體ABCD－A1B1C1D1，求證：平面AB1D1∥平面BDC1．[解析]∵ABA1B1，C1D1A1B1，∴ABC1D1．∴四邊形ABC1D1為平行四邊形.∴AD1∥BC1．又AD1?平面AB1D1，BC1?平面AB1D1，∴BC1∥平面AB1D1．同理BD∥平面AB1D1．又∵BD∩BC1＝B，∴平面AB1D1∥平面BDC1．考點六線面垂直的判定和性質(zhì)例11.下面四個說法：①如果一條直線垂直于一個平面內(nèi)的無數(shù)條直線，那么這條直線和這個平面垂直；②過空間一定點有且只有一條直線和已知平面垂直；③垂直同一平面的兩條直線互相平行；④經(jīng)過一個平面的垂線的平面與這個平面垂直.其中正確的說法個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)線面垂直的判定及性質(zhì)判斷①②③；由面面垂直的判定定理判斷④.【詳解】如果一條直線與一個平面內(nèi)的無數(shù)條平行線垂直，這條直線可能在平面內(nèi)，可能與面平行，也可能與平面斜交，故①錯誤；由線面垂直的性質(zhì)可知，過空間一定點有且只有一條直線和已知平面垂直，故②正確；由線面垂直的性質(zhì)可知，垂直同一平面的兩條直線互相平行，故③正確；由面面垂直的判定定理可知，經(jīng)過一個平面的垂線的平面與這個平面垂直，故④正確.故選：C.例12.在長方體的六個面中，與直線垂直的面的個數(shù)有（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據(jù)長方體的結(jié)構(gòu)特征直接判斷與直線垂直的面的個數(shù).【詳解】如上圖示，僅有平面和平面與直線垂直.故選：B【變式探究】已知直線、，平面、，滿足且，則“”是“”的（

）條件A．充分非必要 B．必要非充分條 C．充要 D．既非充分又非必要【答案】A【分析】利用空間中的垂直關(guān)系和充分條件、必要條件的定義進行判定.【詳解】因為，所以，又因為，所以，即“”是“”的充分條件；如圖，在長方體中，設(shè)面為面、面為面，則，且與面不垂直，即“”不是“”的必要條件；所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A.考點七面面垂直的判定和性質(zhì)例13.設(shè)是兩個不同的平面，b是直線且，“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】由面面垂直的判定定理判斷．【詳解】由面面垂直的判定定理知，若，，則，反之，若，，不一定垂直，故”是“”的充分不必要條件，故選：A例14.空間四邊形ABCD中，若，，那么有（

）A．平面ABC平面ADC B．平面ABC平面ADBC．平面ABC平面DBC D．平面ADC平面DBC【答案】D【分析】證明線面垂直，從而證明面面垂直.【詳解】∵，，，平面，∴平面BDC．又∵AD平面ADC，∴平面平面DBC．故選：D【變式探究】1.下列命題中正確的是（）A．平面α和β分別過兩條互相垂直的直線，則α⊥βB．若平面α內(nèi)的一條直線垂直于平面β內(nèi)的兩條平行直線，則α⊥βC．若平面α內(nèi)的一條直線垂直于平面β內(nèi)的兩條相交直線，則α⊥βD．若平面α內(nèi)的一條直線垂直于平面β內(nèi)的無數(shù)條直線，則α⊥β【答案】C【分析】根據(jù)線面垂直的判定及面面垂直的判定方法結(jié)合選項可得答案.【詳解】當(dāng)平面α和β分別過兩條互相垂直且異面的直線時，平面α和β有可能平行，故A不正確;一條直線垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線才能得出線面垂直，由平面與平面垂直的判定定理知B，D均不正確，C正確.故選：C.考點八異面直線所成的角例15.在正方體中，為的中點，則直線與所成的角為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)正方體性質(zhì)，將直線平移到，再利用即可求得角的大小.【詳解】連接，如下圖所示：

根據(jù)正方體性質(zhì)可知，所以直線與所成的角即為直線與所成的角；設(shè)正方體棱長為2，易知，，，在中，滿足，即，因此，所以.故選：B【變式探究】已知正方體中，直線與直線所成角的大小為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)線線垂直證明線面垂直即可得兩直線垂直，進而可求解夾角大小.【詳解】由于在正方體中，平面，平面，所以，又，平面，所以平面，平面,故，所以直線與直線所成角為，故選：A

考點九直線與平面所成的角例16.已知正方形的邊長為平面，則與平面所成角是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)線面角的知識求得正確答案.【詳解】由于平面，平面，所以，故是與平面所成角，由于正方形的邊長為，所以，所以.故選：B例17.直線l與平面α所成的角為70°，直線l∥m，則m與α所成的角等于（）A．20° B．70°C．90° D．110°【答案】B【分析】由直線與平面所成角的概念求解【詳解】∵l∥m，∴直線l與平面α所成的角等于m與α所成的角，又直線l與平面α所成的角為70°，∴m與α所成的角為70°故選：B【變式探究】1.如圖所示，在正方體中，直線與平面所成的角是（

）A． B．