2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)單元素養(yǎng)檢測(cè)二第三章函數(shù)的概念與性質(zhì)含解析新人教A版必修第一冊(cè)

PAGE單元素養(yǎng)檢測(cè)(二)(第三章)(120分鐘150分)一、單項(xiàng)選擇題(本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)符合題目要求的)1.假如函數(shù)y=x2-2x的定義域?yàn)閧0,1,2,3},那么其值域?yàn)?()A.{-1,0,3} B.{y|-1≤y≤3}C.{0,1,2,3} D.{y|0≤y≤3}【解析】選A.x=0時(shí),y=0;x=1時(shí),y=-1;x=2時(shí),y=0;x=3時(shí),y=3,所以所求函數(shù)的值域?yàn)閧-1,0,3}.2.函數(shù)f(x)在區(qū)間[-2,5]上的圖象如圖所示,則此函數(shù)的最小值、最大值分別是()A.-2,f(2) B.2,f(2)C.-2,f(5) D.2,f(5)【解析】選C.由函數(shù)最值的幾何意義知,當(dāng)x=-2時(shí),有最小值-2;當(dāng)x=5時(shí)有最大值f(5).3.下列冪函數(shù)中過(guò)點(diǎn)(0,0),(1,1)且為偶函數(shù)是 ()A.y=QUOTE B.y=x4 C.y=x-1 D.y=x3【解析】選B.選項(xiàng)A中y=QUOTE=QUOTE是非奇非偶函數(shù),選項(xiàng)C中y=x-1是奇函數(shù),對(duì)于選項(xiàng)D中y=x3也是奇函數(shù),均不滿(mǎn)意題意;選項(xiàng)B中y=x4是偶函數(shù),且過(guò)點(diǎn)(0,0),(1,1),滿(mǎn)意題意.4.已知f(x)是一次函數(shù),且f(x-1)=3x-5,則f(x)的解析式為 ()A.f(x)=3x+2 B.f(x)=3x-2C.f(x)=2x+3 D.f(x)=2x-3【解析】選B.設(shè)f(x)=kx+b(k≠0),所以f(x-1)=k(x-1)+b=3x-5,即kx-k+b=3x-5,所以QUOTE解得k=3,b=-2,所以f(x)=3x-2.5.已知函數(shù)f(x)=QUOTE則f(f(1))等于 ()A.3 B.4 C.5 D.6【解析】選A.因?yàn)閒(x)=QUOTE所以f(1)=2+1=3,所以f(f(1))=f(3)=32-2×3=3.【補(bǔ)償訓(xùn)練】定義在R上的奇函數(shù)f(x),當(dāng)x>0時(shí),f(x)=3,則奇函數(shù)f(x)的值域是()A.(-∞,-3] B.[3,+∞)C.[-3,3] D.{-3,0,3}【解析】選D.因?yàn)閒(x)是定義在R上的奇函數(shù),所以f(-x)=-f(x),f(0)=0,設(shè)x<0,則-x>0,f(-x)=-f(x)=3,所以f(x)=-3,所以f(x)=QUOTE所以奇函數(shù)f(x)的值域是{-3,0,3}.6.若函數(shù)f(x)對(duì)于隨意實(shí)數(shù)x總有f(-x)=f(x),且f(x)在區(qū)間(-∞,-1]上是單調(diào)遞減的,則 ()A.fQUOTE<f(-1)<f(2)B.f(-1)<fQUOTE<f(2)C.f(2)<f(-1)<fQUOTED.f(2)<fQUOTE<f(-1)【解析】選B.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)對(duì)于隨意實(shí)數(shù)x總有f(-x)=f(x),所以f(x)為偶函數(shù),所以f(2)=f(-2),又因?yàn)閒(x)在區(qū)間(-∞,-1]上是單調(diào)遞減的且-2<-QUOTE<-1,所以f(-1)<fQUOTE<f(-2).即f(-1)<fQUOTE<f(2).【補(bǔ)償訓(xùn)練】定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿(mǎn)意:對(duì)隨意的x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2),有QUOTE<0,則 ()A.f(3)<f(-2)<f(1) B.f(1)<f(-2)<f(3)C.f(-2)<f(1)<f(3) D.f(3)<f(1)<f(-2)【解析】選A.隨意的x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2),有QUOTE<0.所以f(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞減,又f(x)是偶函數(shù),故f(x)在(-∞,0]上單調(diào)遞增.且滿(mǎn)意n∈N*時(shí),f(-2)=f(2),3>2>1>0,所以f(3)<f(-2)<f(1).7.已知函數(shù)f(x)=QUOTE,若f(x)在區(qū)間(0,1]上是單調(diào)遞減的,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ()A.[0,3] B.(0,3] C.(0,1] D.[3,+∞)【解析】選B.函數(shù)f(x)=QUOTE,若f(x)在區(qū)間(0,1]上是單調(diào)遞減的,則t=3-ax在區(qū)間(0,1]上為單調(diào)遞減的,且t≥0,分析可得a>0,且3-a≥0,可得0<a≤3,所以a的取值范圍為(0,3].8.某學(xué)校要召開(kāi)學(xué)生代表大會(huì),規(guī)定各班每10人推選一名代表,當(dāng)各班人數(shù)除以10的余數(shù)大于6時(shí)再增選一名代表,那么,各班可推選代表人數(shù)y與該班人數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系用取整函數(shù)y=[x]([x]表示不大于x的最大整數(shù))可以表示為()A.y=QUOTE B.y=QUOTEC.y=QUOTE D.y=QUOTE【解析】選B.依據(jù)規(guī)定每10人推選一名代表,當(dāng)各班人數(shù)除以10的余數(shù)大于6時(shí)增加一名代表,即余數(shù)分別為7,8,9時(shí)可以增選一名代表,也就是x要進(jìn)一位,所以最小應(yīng)當(dāng)加3,因此利用取整函數(shù)可表示為y=QUOTE,也可以用特別取值法,若x=56,y=5,解除C,D,若x=57,y=6,解除A.二、多項(xiàng)選擇題(本大題共4小題,每小題5分,共20分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分,選對(duì)但不全的得3分,有選錯(cuò)的得0分)9.下列函數(shù)中定義域與值域相同的是 ()A.y=x+1 B.y=2QUOTEC.y=x2-1 D.y=QUOTE【解析】選AD.A中y=x+1,定義域?yàn)镽,值域?yàn)镽;B中y=2QUOTE,定義域?yàn)閇-1,+∞),值域?yàn)閇0,+∞);C中y=x2-1,定義域?yàn)镽,值域?yàn)?-1,+∞);D中y=QUOTE,定義域?yàn)?-∞,0)∪(0,+∞),值域?yàn)?-∞,0)∪(0,+∞).所以A,D定義域與值域相同.10.下列各組函數(shù)中,表示同一個(gè)函數(shù)的是 ()A.f(x)=QUOTE·QUOTE,g(x)=QUOTEB.f(x)=QUOTE,g(x)=(QUOTE)2C.f(x)=QUOTE,g(x)=x+1(x≠1)D.f(x)=x2,g(x)=QUOTE【解析】選CD.A.f(x)的定義域?yàn)閇1,+∞),g(x)的定義域?yàn)?-∞,-1]∪[1,+∞),故不是同一個(gè)函數(shù);B.f(x)的定義域?yàn)镽,g(x)的定義域?yàn)閇0,+∞),故不是同一個(gè)函數(shù);C.f(x)、g(x)的定義域均為{x|x≠1},且對(duì)應(yīng)關(guān)系相同,故是同一個(gè)函數(shù);D.f(x)的定義域?yàn)镽,g(x)的定義域?yàn)镽,且兩函數(shù)解析式化簡(jiǎn)后為同一個(gè)解析式.11.如圖表示一位騎自行車(chē)和一位騎摩托車(chē)的旅行者在相距80km的甲、乙兩城間從甲城到乙城所行駛的路程與時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系,有人依據(jù)函數(shù)圖象,提出了關(guān)于這兩個(gè)旅行者的如下信息:其中正確信息的序號(hào)是 ()A.騎自行車(chē)者比騎摩托車(chē)者早動(dòng)身3h,晚到1hB.騎自行車(chē)者是變速運(yùn)動(dòng),騎摩托車(chē)者是勻速運(yùn)動(dòng)C.騎摩托車(chē)者在動(dòng)身1.5h后追上了騎自行車(chē)者D.騎摩托車(chē)者在動(dòng)身1.5h后與騎自行車(chē)者速度一樣【解析】選ABC.看時(shí)間軸易知A正確;騎摩托車(chē)者行駛的路程與時(shí)間的函數(shù)圖象是直線,所以是勻速運(yùn)動(dòng),而騎自行車(chē)者行駛的路程與時(shí)間的函數(shù)圖象是折線,所以是變速運(yùn)動(dòng),因此B正確;兩條曲線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)對(duì)應(yīng)著4.5,故C正確,D錯(cuò)誤.12.已知f(x)=3-2|x|,g(x)=x2-2x,F(x)=QUOTE則關(guān)于F(x)的說(shuō)法正確的是 ()A.最大值為3,最小值為-1B.最大值為7-2QUOTE,無(wú)最小值C.增區(qū)間是(-∞,2-QUOTE)和(1,QUOTE),減區(qū)間是(2-QUOTE,1)和(QUOTE,+∞)D.增區(qū)間是(-∞,0)和(1,QUOTE),減區(qū)間是(0,1)和(QUOTE,+∞)【解析】選BC.作出F(x)的圖象,如圖實(shí)線部分,知有最大值而無(wú)最小值,且最大值不是3,當(dāng)x≤0時(shí),由3+2x=x2-2x得x=2-QUOTE,當(dāng)x>0時(shí),由3-2x=x2-2x得x=QUOTE結(jié)合圖象可得增區(qū)間是(-∞,2-QUOTE)和(1,QUOTE),減區(qū)間是(2-QUOTE,1)和(QUOTE,+∞).三、填空題(本大題共4個(gè)小題,每小題5分,共20分.把答案填在題中的橫線上)13.若函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇-1,2],則函數(shù)f(3-2x)的定義域?yàn)開(kāi)_______.

【解析】由-1≤3-2x≤2,解得QUOTE≤x≤2,故定義域?yàn)閇QUOTE,2].答案:[QUOTE,2]14.若函數(shù)f(x)=(a-2)x2+(a-1)x+3是偶函數(shù),則f(x)的增區(qū)間是________.

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=(a-2)x2+(a-1)x+3是偶函數(shù),所以a-1=0,得a=1,所以f(x)=-x2+3,其圖象是開(kāi)口方向朝下,以y軸為對(duì)稱(chēng)軸的拋物線.故f(x)的增區(qū)間為(-∞,0].答案:(-∞,0]15.已知函數(shù)f(2x+1)=3x+2,則f(1)的值等于________.

【解析】由f(2x+1)=3x+2,得f(1)=f(2×0+1)=3×0+2=2.答案:216.已知函數(shù)f(x)=QUOTE,則f(1)=________,函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)開(kāi)_______.

【解析】由函數(shù)f(x)=QUOTE,可得f(1)=QUOTE=2,QUOTE解得x≤5且x≠0.則函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)?-∞,0)∪(0,5].答案:2(-∞,0)∪(0,5]【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知冪函數(shù)f(x)=QUOTE(-2<m<2,m∈Z)滿(mǎn)意:(1)在區(qū)間(0,+∞)上為單調(diào)遞增的.(2)對(duì)隨意的x∈R,都有f(-x)-f(x)=0.求同時(shí)滿(mǎn)意(1)(2)的冪函數(shù)f(x)的解析式,并求當(dāng)x∈[0,4]時(shí),f(x)的值域.【解析】因?yàn)楹瘮?shù)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,所以-m2-2m+3>0,解得:-3<m<1.因?yàn)?2<m<2,m∈Z,所以m=-1或m=0.又因?yàn)閒(-x)=f(x),所以f(x)是偶函數(shù),所以-m2-2m+3為偶數(shù).當(dāng)m=-1時(shí),-m2-2m+3=4滿(mǎn)意題意,當(dāng)m=0時(shí),-m2-2m+3=3不滿(mǎn)意題意,所以f(x)=x4,所以f(x)在[0,4]上單調(diào)遞增,所以f(x)min=f(0)=0,f(x)max=f(4)=256,所以值域是[0,256].四、解答題(本大題共6個(gè)小題,共70分,解答時(shí)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)17.(10分)已知函數(shù)f(x)=ax+b,且f(1)=2,f(2)=-1.(1)求f(m+1)的值.(2)推斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性,并用定義證明.【解析】(1)由f(1)=2,f(2)=-1,得a+b=2,2a+b=-1,即a=-3,b=5,故f(x)=-3x+5,f(m+1)=-3(m+1)+5=-3m+2.(2)函數(shù)f(x)在R上是減函數(shù).任取x1<x2(x1,x2∈R),則f(x2)-f(x1)=(-3x2+5)-(-3x1+5)=3x1-3x2=3(x1-x2),因?yàn)閤1<x2,所以f(x2)-f(x1)<0,即函數(shù)f(x)在R上是減函數(shù).【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知函數(shù)f(x)=QUOTE(1)求f(f(-1)).(2)若f(x0)>2,求x0的取值范圍.【解析】(1)因?yàn)閒(-1)=-(-1)+3=4,所以f(f(-1))=f(4)=4×4=16.(2)當(dāng)x0≤0時(shí),令2<-x0+3,得x0<1,此時(shí)x0≤0;當(dāng)x0>0時(shí),令2<4x0,得x0>QUOTE,所以x0≤0或x0>QUOTE.所以x0的取值范圍是{x|x0≤0或x0>QUOTE}.18.(12分)已知函數(shù)f(x)=x+QUOTE.(1)求f(-2020)+f(-2019)+f(-2018)+f(-2017)+…+f(-1)+f(1)+…+f(2017)+f(2018)+f(2019)+f(2020)的值.(2)證明:f(x)在(1,+∞)上為單調(diào)遞增的.【解析】(1)因?yàn)閒(x)的定義域?yàn)?-∞,0)∪(0,+∞),關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),又因?yàn)閒(-x)=-x+QUOTE=-QUOTE=-f(x),所以f(x)為奇函數(shù),所以f(-x)+f(x)=0,所以f(-2020)+f(-2019)+f(-2018)+f(-2017)+…+f(-1)+f(1)+…+f(2017)+f(2018)+f(2019)+f(2020)=0.(2)任取x1,x2∈(1,+∞),且x1>x2,則f(x1)-f(x2)=x1+QUOTE-QUOTE=(x1-x2)+QUOTE=(x1-x2)-QUOTE=(x1-x2)QUOTE.因?yàn)閤1,x2∈(1,+∞),x1>x2,所以x1-x2>0,x1x2-1>0,x1x2>0,所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2).所以f(x)在(1,+∞)上為單調(diào)遞增的.19.(12分)經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查,某商品在過(guò)去的100天內(nèi)的銷(xiāo)售量(單位:件)和價(jià)格(單位:元)均為時(shí)間t(單位:天)的函數(shù),且銷(xiāo)售量滿(mǎn)意f(t)=價(jià)格滿(mǎn)意g(t)=200-t(1≤t≤100,t∈N).(1)求該種商品的日銷(xiāo)售額h(t)與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系;(2)若銷(xiāo)售額超過(guò)16610元,商家認(rèn)為該商品的收益達(dá)到志向程度,請(qǐng)推斷該商品在哪幾天的收益達(dá)到志向程度?【解析】(1)由題意知,當(dāng)1≤t≤60時(shí),t∈N時(shí),h(t)=f(t)·g(t)=(60+t)·(200-t)=-t2+140t+12000,當(dāng)61≤t≤100,t∈N時(shí),h(t)=f(t)·g(t)=QUOTE·(200-t)=QUOTEt2-250t+30000,所求函數(shù)關(guān)系h(t)=QUOTE(2)當(dāng)1≤t≤60,t∈N時(shí),h(t)=-t2+140t+12000=-(t-70)2+16900,所以函數(shù)h(t)在[1,60]上單調(diào)遞增,所以h(t)max=h(60)=16800(元),當(dāng)61≤t≤100,t∈N時(shí),h(t)=QUOTEt2-250t+30000=QUOTE(t-250)2-1250,所以函數(shù)h(t)在[61,100]上單調(diào)遞減,所以h(t)max=h(61)=16610.5(元),若銷(xiāo)售額超過(guò)16610元,當(dāng)61≤t≤100時(shí),函數(shù)單調(diào)遞減,故只有第61天滿(mǎn)意條件.當(dāng)1≤t≤60時(shí),經(jīng)計(jì)算h(53)=16611滿(mǎn)意條件,又函數(shù)h(t)在[1,60]上單調(diào)遞增,所以第53,54,…,60天,滿(mǎn)意條件.即滿(mǎn)意條件的天數(shù)為第53,54,…60,61天,共9天.20.(12分)已知f(x)=-4x2+4ax-4a-a2.(1)當(dāng)a=1,x∈[1,3]時(shí),求函數(shù)f(x)的值域.(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,1]內(nèi)有最大值-5,求a的值.【解析】(1)當(dāng)a=1時(shí),f(x)=-4x2+4x-5的對(duì)稱(chēng)軸x=QUOTE,開(kāi)口向下,x∈[1,3]時(shí),函數(shù)f(x)單調(diào)遞減,當(dāng)x=1時(shí),函數(shù)有最大值f(1)=-5,當(dāng)x=3時(shí),函數(shù)有最小值f(3)=-29,故函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇-29,-5].(2)因?yàn)閒(x)=-4x2+4ax-4a-a2的開(kāi)口向下,對(duì)稱(chēng)軸x=QUOTEa,①當(dāng)QUOTEa≥1,即a≥2時(shí),f(x)在[0,1]上單調(diào)遞增,函數(shù)取最大值f(1)=-4-a2.令-4-a2=-5,得a2=1,a=±1<2(舍去).②當(dāng)0<QUOTEa<1,即0<a<2時(shí),x=QUOTEa時(shí),f(x)取最大值為-4a,令-4a=-5,得a=QUOTE∈(0,2).③當(dāng)QUOTEa≤0,即a≤0時(shí),f(x)在[0,1]內(nèi)遞減,所以x=0時(shí),f(x)取最大值為-4a-a2,令-4a-a2=-5,得a2+4a-5=0,解得a=-5,或a=1,其中-5∈(-∞,0].綜上所述,a=QUOTE或a=-5.【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c,滿(mǎn)意條件f(0)=0和f(x+2)-f(x)=4x.(1)求函數(shù)f(x)的解析式.(2)若函數(shù)g(x)=f(x)-2mx+2,當(dāng)x∈[1,+∞)時(shí),求函數(shù)g(x)的最小值.【解析】(1)由題意得,c=0,a(x+2)2+b(x+2)-ax2-bx=4ax+4a+2b=4x,即a=1,b=-2,所以f(x)=x2-2x.(2)g(x)=x2-2x-2mx+2,x∈[1,+∞),對(duì)稱(chēng)軸方程為:x=m+1,①當(dāng)m+1≤1時(shí),即m≤0,g(x)min=g(1)=1-2m,②當(dāng)1<m+1時(shí),即m>0,g(x)min=g(m+1)=-m2-2m+1,綜上,g(x)min=QUOTE21.(12分)已知函數(shù)f(x)滿(mǎn)意f(x+y)+f(