河南省洛陽市2025屆高三數(shù)學(xué)第二次統(tǒng)一考試試題理含解析

PAGE26-河南省洛陽市2025屆高三數(shù)學(xué)其次次統(tǒng)一考試試題理（含解析）本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．共150分．考試時(shí)間120分鐘．第Ⅰ卷（選擇題，共60分）留意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考號(hào)填寫在答題卡上．2．考試結(jié)束，將答題卡交回．一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.設(shè)集合，，則（）．A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)題意，求出集合A，進(jìn)而求出集合和，分析選項(xiàng)即可得到答案.【詳解】依據(jù)題意，則故選：D【點(diǎn)睛】此題考查集合的交并集運(yùn)算，屬于簡潔題目,2.已知復(fù)數(shù)滿意，其中為虛數(shù)單位，則（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先化簡求出，即可求得答案.【詳解】因?yàn)椋运怨蔬x：A【點(diǎn)睛】此題考查復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算，留意計(jì)算的精確度，屬于簡潔題目.3.已知角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊上有一點(diǎn)，則（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)角終邊上的點(diǎn)坐標(biāo)，求得，代入二倍角公式即可求得的值.【詳解】因?yàn)榻K邊上有一點(diǎn)，所以，故選：B【點(diǎn)睛】此題考查二倍角公式，嫻熟記憶公式即可解決，屬于簡潔題目.4.下圖是我國第24~30屆奧運(yùn)獎(jiǎng)牌數(shù)的回眸和中國代表團(tuán)獎(jiǎng)牌總數(shù)統(tǒng)計(jì)圖，依據(jù)表和統(tǒng)計(jì)圖，以下描述正確的是（）．金牌（塊）銀牌（塊）銅牌（塊）獎(jiǎng)牌總數(shù)2451112282516221254261622125027281615592832171463295121281003038272388A.中國代表團(tuán)的奧運(yùn)獎(jiǎng)牌總數(shù)始終保持上升趨勢B.折線統(tǒng)計(jì)圖中的六條線段只是為了便于視察圖象所反映的改變，不具有實(shí)際意義C.第30屆與第29屆北京奧運(yùn)會(huì)相比，奧運(yùn)金牌數(shù)、銀牌數(shù)、銅牌數(shù)都有所下降D.統(tǒng)計(jì)圖中前六屆奧運(yùn)會(huì)中國代表團(tuán)的奧運(yùn)獎(jiǎng)牌總數(shù)的中位數(shù)是54.5【答案】B【解析】【分析】依據(jù)表格和折線統(tǒng)計(jì)圖逐一推斷即可.【詳解】A.中國代表團(tuán)的奧運(yùn)獎(jiǎng)牌總數(shù)不是始終保持上升趨勢，29屆最多，錯(cuò)誤；B.折線統(tǒng)計(jì)圖中的六條線段只是為了便于視察圖象所反映的改變，不表示某種意思，正確；C.30屆與第29屆北京奧運(yùn)會(huì)相比，奧運(yùn)金牌數(shù)、銅牌數(shù)有所下降，銀牌數(shù)有所上升，錯(cuò)誤；D.統(tǒng)計(jì)圖中前六屆奧運(yùn)會(huì)中國代表團(tuán)的奧運(yùn)獎(jiǎng)牌總數(shù)依據(jù)依次排列的中位數(shù)為,不正確；故選：B【點(diǎn)睛】此題考查統(tǒng)計(jì)圖，關(guān)鍵點(diǎn)讀懂折線圖，屬于簡潔題目.5.拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)是上一點(diǎn)，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)拋物線定義得，即可解得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所?故選B【點(diǎn)睛】本題考查拋物線定義，考查基本分析求解實(shí)力，屬基礎(chǔ)題.6.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的值為8，則框圖中①處可以填（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)程序框圖寫出幾次循環(huán)的結(jié)果，直到輸出結(jié)果是8時(shí).【詳解】第一次循環(huán)：其次次循環(huán)：第三次循環(huán)：第四次循環(huán)：第五次循環(huán)：第六次循環(huán)：第七次循環(huán)：第八次循環(huán)：所以框圖中①處填時(shí)，滿意輸出的值為8.故選：C【點(diǎn)睛】此題考查算法程序框圖，依據(jù)循環(huán)條件依次寫出每次循環(huán)結(jié)果即可解決，屬于簡潔題目.7.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)，又在上是增函數(shù)的是（）．A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】奇函數(shù)滿意定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱且，在上即可.【詳解】A：因?yàn)槎x域?yàn)?，所以不行能時(shí)奇函數(shù)，錯(cuò)誤；B：定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，且滿意奇函數(shù)，又，所以在上，正確；C：定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，且滿意奇函數(shù)，，在上，因?yàn)?，所以在上不是增函?shù)，錯(cuò)誤；D：定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，且，滿意奇函數(shù)，在上很明顯存在變號(hào)零點(diǎn)，所以在上不是增函數(shù)，錯(cuò)誤；故選：B【點(diǎn)睛】此題考查推斷函數(shù)奇偶性和單調(diào)性，留意奇偶性的前提定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，屬于簡潔題目.8.在中，，，，點(diǎn)，分別在線段，上，且，，則（）．A. B. C.4 D.9【答案】B【解析】【分析】依據(jù)題意，分析可得,由余弦定理求得的值，由可得結(jié)果.【詳解】依據(jù)題意，，則在中，又,則則則則故選：B【點(diǎn)睛】此題考查余弦定理和向量的數(shù)量積運(yùn)算，駕馭基本概念和公式即可解決，屬于簡潔題目.9.已知直三棱柱中，，，，則異面直線與所成的角的正弦值為（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)M,N,P分別為和的中點(diǎn)，得出的夾角為MN和NP夾角或其補(bǔ)角，依據(jù)中位線定理，結(jié)合余弦定理求出和的余弦值再求其正弦值即可.【詳解】依據(jù)題意畫出圖形:設(shè)M,N,P分別為和的中點(diǎn)，則的夾角為MN和NP夾角或其補(bǔ)角可知，.作BC中點(diǎn)Q，則為直角三角形；中，由余弦定理得，在中，在中，由余弦定理得所以故選：C【點(diǎn)睛】此題考查異面直線夾角，關(guān)鍵點(diǎn)通過平移將異面直線夾角轉(zhuǎn)化為同一平面內(nèi)的夾角，屬于較易題目.10.已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，直線經(jīng)過點(diǎn)且與雙曲線的一條漸近線垂直，直線與雙曲線的左支交于不同的兩點(diǎn)，，若，則該雙曲線的離心率為（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直線的方程為，令和雙曲線方程聯(lián)立，再由得到兩交點(diǎn)坐標(biāo)縱坐標(biāo)關(guān)系進(jìn)行求解即可.【詳解】由題意可知直線的方程為,不妨設(shè).則，且將代入雙曲線方程中，得到設(shè)則由，可得，故則，解得則所以雙曲線離心率故選：A【點(diǎn)睛】此題考查雙曲線和直線相交問題，聯(lián)立直線和雙曲線方程得到兩交點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系和已知條件即可求解，屬于一般性題目.11.已知定義在上的奇函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，當(dāng)時(shí)，恒有．則不等式的解集為（）．A. B.C.或 D.或【答案】D【解析】【分析】先通過得到原函數(shù)為增函數(shù)且為偶函數(shù)，再利用到軸距離求解不等式即可.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，則由題可知，所以在時(shí)增函數(shù)；由為奇函數(shù)，為奇函數(shù)，所以為偶函數(shù)；又，即即又為開口向上的偶函數(shù)所以，解得或故選：D【點(diǎn)睛】此題考查依據(jù)導(dǎo)函數(shù)構(gòu)造原函數(shù)，偶函數(shù)解不等式等學(xué)問點(diǎn)，屬于較難題目.12.已知三棱錐中，為的中點(diǎn)，平面，，，則有下列四個(gè)結(jié)論：①若為的外心，則；②若為等邊三角形，則；③當(dāng)時(shí)，與平面所成的角的范圍為；④當(dāng)時(shí)，為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，若OM∥平面，則在內(nèi)軌跡的長度為2．其中正確的個(gè)數(shù)是（）．A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】由線面垂直的性質(zhì),結(jié)合勾股定理可推斷①正確;反證法由線面垂直的推斷和性質(zhì)可推斷②錯(cuò)誤;由線面角的定義和轉(zhuǎn)化為三棱錐的體積,求得C到平面PAB的距離的范圍,可推斷③正確;由面面平行的性質(zhì)定理可得線面平行,可得④正確.【詳解】畫出圖形：若為的外心，則，平面可得,即，①正確;若為等邊三角形，，又可得平面，即,由可得，沖突，②錯(cuò)誤;若，設(shè)與平面所成角為可得，設(shè)到平面的距離為由可得即有，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào).可得的最大值為，即的范圍為，③正確；取中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接由中位線定理可得平面平面可得在線段上，而，可得④正確；所以正確的是：①③④故選：C【點(diǎn)睛】此題考查立體幾何中與點(diǎn)、線、面位置關(guān)系有關(guān)的命題的真假推斷，處理這類問題，可以用已知的定理或性質(zhì)來證明，也可以用反證法來說明命題的不成立.屬于一般性題目.第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．）13.已知，則綻開式的系數(shù)為__________．【答案】【解析】【分析】先依據(jù)定積分求出的值，再用二項(xiàng)綻開式公式即可求解.【詳解】因?yàn)樗缘耐?xiàng)公式為當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，故綻開式中的系數(shù)為故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查定積分公式，二項(xiàng)綻開式公式等學(xué)問點(diǎn)，屬于簡潔題目.14.從4名男生和3名女生中選出4名去參與一項(xiàng)活動(dòng)，要求男生中的甲和乙不能同時(shí)參與，女生中的丙和丁至少有一名參與，則不同的選法種數(shù)為______.（用數(shù)字作答）【答案】23【解析】【分析】由排列組合及分類探討思想分別探討：①設(shè)甲參與，乙不參與，②設(shè)乙參與，甲不參與，③設(shè)甲，乙都不參與，可得不同的選法種數(shù)為9+9+5＝23，得解．【詳解】①設(shè)甲參與，乙不參與，由女生中的丙和丁至少有一名參與，可得不同的選法種數(shù)為9，②設(shè)乙參與，甲不參與，由女生中的丙和丁至少有一名參與，可得不同的選法種數(shù)為9，③設(shè)甲，乙都不參與，由女生中的丙和丁至少有一名參與，可得不同的選法種數(shù)為5，綜合①②③得：不同的選法種數(shù)為9+9+5＝23，故答案為23．【點(diǎn)睛】本題考查了排列組合及分類探討思想，精確分類及計(jì)算是關(guān)鍵，屬中檔題．15.已知函數(shù).若在區(qū)間上恒成立.則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．【答案】【解析】【分析】首先解不等式，再由在區(qū)間上恒成立，即得到不等組，解得即可.【詳解】解：且，即解得，即因?yàn)樵趨^(qū)間上恒成立，解得即故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查一元二次不等式及函數(shù)的綜合問題，屬于基礎(chǔ)題.16.在中，角的平分線交于，，，則面積的最大值為__________．【答案】15【解析】【分析】由角平分線定理得,利用余弦定理和三角形面積公式，借助三角恒等改變求出面積的最大值.【詳解】畫出圖形：因?yàn)?，，由角平分線定理得,設(shè)，則由余弦定理得：即當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)所以面積的最大值為15故答案為：15【點(diǎn)睛】此題考查解三角形面積的最值問題，通過三角恒等變形后利用均值不等式處理，屬于一般性題目.三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟，第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必需作答．第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17.已知是等差數(shù)列，滿意，，數(shù)列滿意，，且是等比數(shù)列.（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1），；（2）【解析】試題分析：（1）利用等差數(shù)列，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式先求得公差和公比，即得到結(jié)論;（2）利用分組求和法，由等差數(shù)列及等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可求得數(shù)列前n項(xiàng)和．試題解析：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由題意得d===3．∴an=a1+（n﹣1）d=3n設(shè)等比數(shù)列{bn﹣an}的公比為q，則q3===8，∴q=2，∴bn﹣an=（b1﹣a1）qn﹣1=2n﹣1，∴bn=3n+2n﹣1（Ⅱ）由（Ⅰ）知bn=3n+2n﹣1，∵數(shù)列{3n}的前n項(xiàng)和為n（n+1），數(shù)列{2n﹣1}的前n項(xiàng)和為1×=2n﹣1，∴數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為；考點(diǎn)：1.等差數(shù)列性質(zhì)的綜合應(yīng)用；2.等比數(shù)列性質(zhì)的綜合應(yīng)用；3.數(shù)列求和．18.如圖，在等腰梯形中，AD∥BC，，，，，分別為，，的中點(diǎn)，以為折痕將折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)位置（平面）．（1）若為直線上隨意一點(diǎn)，證明：MH∥平面；（2）若直線與直線所成角為，求二面角的余弦值．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】(1)依據(jù)中位線證明平面平面，即可證明MH∥平面；（2）以，，為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，找到點(diǎn)的坐標(biāo)代入公式即可計(jì)算二面角的余弦值.【詳解】（1）證明：連接，∵，，分別為，，的中點(diǎn)，∴，又∵平面，平面，∴平面，同理，平面，∵平面，平面，，∴平面平面，∵平面，∴平面．（2）連接，在和中，由余弦定理可得，，由與互補(bǔ)，，，可解得，于是，∴，，∵，直線與直線所成角為，∴，又，∴，即，∴平面，∴平面平面，∵為中點(diǎn)，，∴平面，如圖所示，分別以，，為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，．設(shè)平面的法向量為，∴，即．令，則，，可得平面的一個(gè)法向量為．又平面的一個(gè)法向量為，∴，∴二面角的余弦值為．【點(diǎn)睛】此題考查線面平行，建系通過坐標(biāo)求二面角等學(xué)問點(diǎn)，屬于一般性題目.19.某企業(yè)原有甲、乙兩條生產(chǎn)線，為了分析兩條生產(chǎn)線的效果，先從兩條生產(chǎn)線生產(chǎn)的大量產(chǎn)品中各抽取了100件產(chǎn)品作為樣本，檢測一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值．該項(xiàng)指標(biāo)值落在內(nèi)的產(chǎn)品視為合格品，否則為不合格品．乙生產(chǎn)線樣本的頻數(shù)分布表質(zhì)量指標(biāo)合計(jì)頻數(shù)2184814162100（1）依據(jù)甲生產(chǎn)線樣本的頻率分布直方圖，以從樣本中隨意抽取一件產(chǎn)品且為合格品的頻率近似代替從甲生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨意抽取一件產(chǎn)品且為合格品的概率，估計(jì)從甲生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品中任取5件恰有2件為合格品的概率；（2）現(xiàn)在該企業(yè)為提高合格率欲只保留其中一條生產(chǎn)線，依據(jù)上述圖表所供應(yīng)的數(shù)據(jù)，完成下面的列聯(lián)表，并推斷是否有90%把握認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值與生產(chǎn)線有關(guān)？若有90%把握，請從合格率的角度分析保留哪條生產(chǎn)線較好？甲生產(chǎn)線乙生產(chǎn)線合計(jì)合格品不合格品合計(jì)附：，．0.1500.1000.05000250.0100.0052.0722.7063.8415.0246.6357.879【答案】（1）0.0081（2）見解析，保留乙生產(chǎn)線較好．【解析】【分析】(1)先求出任取一件產(chǎn)品為合格品的頻率，“從甲生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品中任取5件，恰有2件為合格品”就相當(dāng)于進(jìn)行5次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，恰好發(fā)生2次的概率用二項(xiàng)分布概率即可解決.(2)獨(dú)立性檢驗(yàn)算出的觀測值即可推斷.【詳解】（1）依據(jù)甲生產(chǎn)線樣本的頻率分布直方圖，樣本中任取一件產(chǎn)品為合格品的頻率為：．設(shè)“從甲生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品中任取一件且為合格品”為事務(wù)，事務(wù)發(fā)生的概率為，則由樣本可估計(jì)．那么“從甲生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品中任取5件，恰有2件為合格品”就相當(dāng)于進(jìn)行5次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，事務(wù)恰好發(fā)生2次，其概率為：．（2）列聯(lián)表：甲生產(chǎn)線乙生產(chǎn)線合計(jì)合格品9096186不合格品10414合計(jì)100100200的觀測值，∵，，∴有90%把握認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值與生產(chǎn)線有關(guān)．由（1）知甲生產(chǎn)線的合格率為0.9，乙生產(chǎn)線的合格率為，∵，∴保留乙生產(chǎn)線較好．【點(diǎn)睛】此題考查獨(dú)立重復(fù)性檢驗(yàn)二項(xiàng)分布概率，獨(dú)立性檢驗(yàn)等學(xué)問點(diǎn)，認(rèn)準(zhǔn)特征代入公式即可，屬于較易題目.20.設(shè)函數(shù).（1）若，時(shí)，在上單調(diào)遞減，求的取值范圍；（2）若，，，求證：當(dāng)時(shí)，．【答案】（1）（2）見解析【解析】【分析】(1)在上單調(diào)遞減等價(jià)于在恒成立，分別參數(shù)即可解決.(2)先對求導(dǎo)，化簡后依據(jù)零點(diǎn)存在性定理推斷唯一零點(diǎn)所在區(qū)間，構(gòu)造函數(shù)利用基本不等式求解即可.詳解】（1），時(shí)，，，∵在上單調(diào)遞減．∴，．令，，時(shí)，；時(shí)，，∴在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)．∴，∴．∴的取值范圍為．（2）若，，時(shí)，，，令，明顯在上為增函數(shù)．又，，∴有唯一零點(diǎn)．且，時(shí)，，；時(shí)，，，∴在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)．∴．又，∴，，．∴．，．∴當(dāng)時(shí)，．【點(diǎn)睛】此題考查函數(shù)定區(qū)間上單調(diào)，和零點(diǎn)存在性定理等學(xué)問點(diǎn)，難點(diǎn)為找到最值后的構(gòu)造函數(shù)求值域，屬于較難題目.21.已知點(diǎn)、分別在軸、軸上運(yùn)動(dòng)，，．（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；（2）過點(diǎn)且斜率存在的直線與曲線交于、兩點(diǎn)，，求的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)設(shè)坐標(biāo)后依據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可得到軌跡方程.(2)聯(lián)立直線和橢圓方程，用坐標(biāo)表示出，得到，所以，代入韋達(dá)定理即可求解.【詳解】（1）設(shè)，，則，設(shè)，由得．又由于，化簡得的軌跡的方程為．（2）設(shè)直線的方程為，與的方程聯(lián)立，消去得，，設(shè)，，則，，由已知，，則，故直線．，令，則，由于，，．所以，的取值范圍為．【點(diǎn)睛】此題考查軌跡問題，橢圓和直線相交，留意坐標(biāo)表示向量進(jìn)行轉(zhuǎn)化的處理技巧，屬于較