行列式按行列展開定理

關(guān)于行列式按行列展開定理2可見一個(gè)三階行列式可以轉(zhuǎn)化成三個(gè)二階行列式來計(jì)算.

問題：一個(gè)n

階行列式是否可以轉(zhuǎn)化為若干個(gè)n

-1階行列式來計(jì)算？

一.按一行(列)展開行列式第2頁,共49頁，星期六，2024年，5月3定義1.5在

n

階行列式中,把元素所在的第i行和

余子式.記為稱為元素的代數(shù)余子式.例如第j列劃去后,余下的n-1階行列式叫做元素第3頁,共49頁，星期六，2024年，5月4的余子式.的代數(shù)余子式.第4頁,共49頁，星期六，2024年，5月5

注

行列式的每個(gè)元素都分別對應(yīng)著一個(gè)余子式和一個(gè)代數(shù)余子式.第5頁,共49頁，星期六，2024年，5月6

引理若在n

階行列式D的第i行中有一個(gè)元素aij≠0,其余元素全為零,則D=aijAij.

定理1.4

設(shè)n階行列式則n

階行列式D的值等于它的任意一行(列)的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和.即第6頁,共49頁，星期六，2024年，5月7證(只證按行展開第一式)將行列式D改寫為

D=a1jA1j+a2jA2j+…+anjAnj(j=1,2,…,n)

或第7頁,共49頁，星期六，2024年，5月8由行列式性質(zhì)2及引理，得

=ai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAin.(i=1,2,…,n)

同理可證按列展開式成立.第8頁,共49頁，星期六，2024年，5月9解按第一行展開,得例1

計(jì)算行列式第9頁,共49頁，星期六，2024年，5月10

推論

n階行列式D的任意一行(列)的元素與另一行(列)對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積的和等于零.即證由定理1,行列式等于某一行的元素分別與它們代數(shù)余子式的乘積之和.第10頁,共49頁，星期六，2024年，5月11在行列式中,如果令第i

行的元素等于另外一行,譬如第k

行的元素．第11頁,共49頁，星期六，2024年，5月12則行列式含有兩個(gè)相同的行,值為0.第12頁,共49頁，星期六，2024年，5月13綜上所述,得公式

注在計(jì)算數(shù)字行列式時(shí),直接應(yīng)用行列式展開公式并不一定簡化計(jì)算,因?yàn)榘岩粋€(gè)n階行列式換成n個(gè)(n－1)階行列式的計(jì)算并不減少計(jì)算量,只是在行列式中某一行或某一列含有較多的零時(shí),應(yīng)用展開定理才有意義，但展開定理在理論上是重要的．第13頁,共49頁，星期六，2024年，5月14利用行列式按行按列展開定理,并結(jié)合行列式性質(zhì),可簡化行列式計(jì)算：

計(jì)算行列式時(shí),可先用行列式的性質(zhì)將某一行(列)化為僅含1個(gè)非零元素,再按此行(列)展開,變?yōu)榈鸵浑A的行列式,如此繼續(xù)下去,直到化為三階或二階行列式.例2

計(jì)算行列式第14頁,共49頁，星期六，2024年，5月15解

第15頁,共49頁，星期六，2024年，5月16第16頁,共49頁，星期六，2024年，5月17例3計(jì)算n階行列式第17頁,共49頁，星期六，2024年，5月18解

將Dn按第一列展開于是,得遞推公式而由遞推公式,得繼續(xù)遞推公式,得第18頁,共49頁，星期六，2024年，5月19故例4證明范德蒙(Vandermonde)行列式第19頁,共49頁，星期六，2024年，5月20

證用數(shù)學(xué)歸納法(1)當(dāng)n=2時(shí),結(jié)論成立.(2)設(shè)n-1階范德蒙行列式成立,證明n階也成立.第20頁,共49頁，星期六，2024年，5月21n-1階范德蒙行列式第21頁,共49頁，星期六，2024年，5月22證畢.用降階法計(jì)算行列式的值.（按行按列展開）=57練習(xí)題第22頁,共49頁，星期六，2024年，5月23例5

利用性質(zhì)及展開定理計(jì)算行列式的值.解第23頁,共49頁，星期六，2024年，5月24按第二列展開按第二行展開第24頁,共49頁，星期六，2024年，5月25例6計(jì)算行列式第25頁,共49頁，星期六，2024年，5月26解

將行列式每一列加到第一列，則第26頁,共49頁，星期六，2024年，5月27第27頁,共49頁，星期六，2024年，5月28例7計(jì)算行列式解

我們稱行列式D為箭形行列式解決的目標(biāo)：化為上三角形行列式.第28頁,共49頁，星期六，2024年，5月29第29頁,共49頁，星期六，2024年，5月30例8計(jì)算行列式第30頁,共49頁，星期六，2024年，5月31箭形行列式第31頁,共49頁，星期六，2024年，5月32第32頁,共49頁，星期六，2024年，5月33例9（可以化為箭形行列式）第33頁,共49頁，星期六，2024年，5月34第34頁,共49頁，星期六，2024年，5月35第35頁,共49頁，星期六，2024年，5月36二.行列式按某k行(列)展開定義1.6在n階行列式D中任取k行k列(1≤k≤n),稱位于這些行與列的交叉點(diǎn)處的k2個(gè)元素按照其在D中的相對位置所組成的k階行列式N為D的一個(gè)k階子式.第36頁,共49頁，星期六，2024年，5月37稱劃去N所在的行與列后剩下的元素按照其在D中的相對位置所組成的n-k階行列式M為N的余子式.若N所在的行與列的行標(biāo)與列標(biāo)分別為第37頁,共49頁，星期六，2024年，5月38例10

設(shè)則D的位于第1、3行,第2、3列的2階子式為及則稱為N的代數(shù)余子式,記作A.即第38頁,共49頁，星期六，2024年，5月39，N1的代數(shù)余子式為D的位于第1、3、4行,第2、3、4列的3階子式為，N2的代數(shù)余子式為第39頁,共49頁，星期六，2024年，5月40顯然,n階行列式D位于某k行的k階子式有個(gè),從而D共有個(gè)k階子式.定理1.5n階行列式D等于其位于某k行的所有k階與其對應(yīng)的代數(shù)余子式A1,A2,...,At的乘積之和,即

顯然,定理1.4是定理1.5中k=1時(shí)的特例.按照定理1.5展開行列式似乎很繁,但當(dāng)行列式的某些行中有眾第40頁,共49頁，星期六，2024年，5月41多的零時(shí),定理1.5的實(shí)用價(jià)值立即展現(xiàn)出來.例11計(jì)算行列式解因?yàn)镈中第2、4

行的個(gè)2階子式中只有

一個(gè)是非零的.故將D按第2、4

行展開得第41頁,共49頁，星期六，2024年，5月42例12計(jì)算m+n階行列式第42頁,共49頁，星期六，2024年，5月43解按前m列展開,得第43頁,共49頁，星期六，2024年，5月44例13計(jì)算2n階行列式(其中未寫出的元素皆為零）解按第1、2n行展開,因位于這兩行的全部2階子式中只有1個(gè)(即位于第1、2n列的2階子式)可能非零且其余子式恰為0,相應(yīng)的代數(shù)余子式為第44頁,共49頁，星期六，2024年，5月45故得于是,得遞推公式從而第45頁,共49頁，星期六，2024年，5月46三.小結(jié)與思考題2.行列式按某行(列)展開降階方法