雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程課件-2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第一冊

3.2雙曲線雙曲線也是具有廣泛應(yīng)用的一種圓錐曲線，如發(fā)電廠冷卻塔的外形、通過聲音時差測定位等都要用到雙曲線的性質(zhì)本節(jié)我們將類比橢圓的研究方法研究雙曲線的有關(guān)問題．3.2.1雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程直線與橢圓的位置關(guān)系

課前回顧課前回顧A.相離 B.相切C.相交 D.無法確定Δ=22+12=16>0,故直線與橢圓相交.答案:C1、知道雙曲線的定義，能根據(jù)雙曲線的定義推導(dǎo)得出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。2、知道雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程兩種形式的結(jié)構(gòu)特征。3、會利用雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程解決簡單問題。學(xué)習(xí)目標(biāo)閱讀教材118—120頁，完成下列問題和例題：問題1：我們知道，與兩定點(diǎn)距離之和為非零常數(shù)（大于兩定點(diǎn)間的距離）的點(diǎn)的軌跡是橢圓。那么，與兩定點(diǎn)距離的差為非零常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是什么？探究類比求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的過程，我們?nèi)绾谓⑦m當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，得出雙曲線的方程？圖3.2-3德宏州民族第一中學(xué)思考：類比焦點(diǎn)在y軸上的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么？問題3：歸納比較雙曲線兩種標(biāo)準(zhǔn)方程思考：橢圓方程與雙曲線方程有何異同？分析:可先設(shè)出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,再構(gòu)造關(guān)于a,b的方程組,求得a,b,從而求得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.注意對平方關(guān)系c2=a2+b2的運(yùn)用.反思感悟

1.求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟(1)確定雙曲線的類型,并設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)求出a2,b2的值.2.當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸不確定時,需分焦點(diǎn)在x軸上和y軸上兩種情況討論.特別地,當(dāng)已知雙曲線經(jīng)過兩個點(diǎn)時,可設(shè)雙曲線方程為Ax2+By2=1(AB<0)來求解.(1)若雙曲線上一點(diǎn)M到它的一個焦點(diǎn)的距離等于16,求點(diǎn)M到另一個焦點(diǎn)的距離;(2)若點(diǎn)P是雙曲線上的一點(diǎn),且∠F1PF2=60°,求△F1PF2的面積.分析:(1)直接利用定義求解.(2)在△F1PF2中利用余弦定理求|PF1|·|PF2|.解:(1)設(shè)|MF1|=16,根據(jù)雙曲線的定義知||MF2|-16|=6,即|MF2|-16=±6.解得|MF2|=10或|MF2|=22.即點(diǎn)M到另一個焦點(diǎn)的距離為10或22.由定義和余弦定理得|PF1|-|PF2|=±6,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos

60°,∴102=(|PF1|-|PF2|)2+|PF1|·|PF2|,∴|PF1|·|PF2|=64,反思感悟

求雙曲線中的焦點(diǎn)三角形(△PF1F2)面積的方法(1)①根據(jù)雙曲線的定義求出||PF1|-|PF2||=2a;②利用余弦定理表示出|PF1|,|PF2|,|F1F2|之間滿足的關(guān)系式;③通過配方、整體的思想求出|PF1|·|PF2|的值;④利用公式

×|PF1|·|PF2|·sin

∠F1PF2求得面積.

圖3.2-5例3

已知A，B兩地相距800m，在A地聽到炮彈爆炸聲比在B地晚2s，且聲速為340m/s，求炮彈爆炸點(diǎn)的軌跡方程．分析：先根據(jù)題意判斷軌跡的形狀．由聲速及A，B兩處聽到炮彈爆炸聲的時間差，可知A，B兩處與爆炸點(diǎn)的距離的差為定值，所以爆炸點(diǎn)在以A，B為焦點(diǎn)的雙曲線上．因?yàn)楸c(diǎn)離A處比離B處遠(yuǎn)，所以爆炸點(diǎn)應(yīng)在靠近B處的雙曲線的一支上．圖3.2-5利用兩個不同的觀測點(diǎn)A，B測得同一點(diǎn)P發(fā)出信號的時間差，可以確定點(diǎn)P所在雙曲線的方程．如果再增設(shè)一個觀測點(diǎn)C，利用B，C（或A，C）兩處測得的點(diǎn)P發(fā)出信號的時間差，就可以確定點(diǎn)P所在另一雙曲線的方程．解這兩個方程組成的方程組，就能確定點(diǎn)P的準(zhǔn)確位置，這是雙曲線的一個重要應(yīng)用.【變式訓(xùn)練】

如圖所示,在△ABC中,已知|AB|=4,且三個內(nèi)角A,B,C滿足2sinA+sinC=2sinB,建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,求頂點(diǎn)C的軌跡方程.分析:建立平面直角坐標(biāo)系→由已知條件得到邊長的關(guān)系→判斷軌跡的形狀→寫出軌跡方程解:以AB邊所在的直線為x軸,AB的垂直平分線為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系,如圖所示,反思感悟

求與雙曲線有關(guān)的點(diǎn)的軌跡問題的方法(1)列出等量關(guān)系,化簡得到方程.(2)尋找?guī)缀侮P(guān)系,由雙曲線的定義,得出對應(yīng)的方程.提醒:①確定雙曲線的焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸是x軸還是y軸.②檢驗(yàn)所求的軌跡對應(yīng)的是雙曲線的一支還是兩支.ABMOxy圖3.2-61、雙曲線的定義

課堂小結(jié)2、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

課堂小結(jié)當(dāng)堂檢測練習(xí)（第121頁）課后作業(yè)習(xí)題3.2（第127頁）173.如圖，圓O的半徑為定長r，A是圓O外一個定點(diǎn)，P是圓上任意一點(diǎn)。線段AP的垂直平分線l和直線OP相交于點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動時，點(diǎn)Q的軌跡是什么？為什么？POQAl根據(jù)雙曲線定義，點(diǎn)Q的軌跡是以O(shè)，A為焦點(diǎn)，r為實(shí)軸長的雙曲線．5.相距1400m的A,B兩個哨所，聽到炮彈爆炸聲的時間相差3s，已知聲速是340m/s，問炮彈爆炸點(diǎn)在怎樣的曲線上，為什么？7.已知定點(diǎn)A(3,0)和定圓C:(x+3)2+y2=16,動圓和圓C相外切,并且過點(diǎn)A,求動圓圓心P的軌跡方程.解:設(shè)動圓半徑為r,則由已知|PA|=r,|PC|=r+4,∴|PC|=|PA|+4,即|PC|-|PA|=4.∵C(-3,0),A(3,0),∴|AC|=6,∴4<|AC|.∴點(diǎn)P的軌跡是以A,C為焦點(diǎn)的雙曲線的右支.∵a=2,c=3,∴b2=c2-a2=5.8、

設(shè)F1,F2是雙曲線

的焦點(diǎn),點(diǎn)P在雙曲線上,若點(diǎn)P到焦點(diǎn)F1的距離等于9,求點(diǎn)P到焦點(diǎn)F2的距離.解:雙曲線的實(shí)軸長為8,由雙曲線的定義得||PF1|-|PF2||=