直線與圓的位置關(guān)系課件 大單元教學(xué) 高二數(shù)學(xué)同步備課系列（人教A版2019選擇性必修第一冊(cè)）

人教版2019高一數(shù)學(xué)（選修一）第二章直線和圓的方程2.5.1

直線和圓的位置關(guān)系目錄/CONTENTS新知探究情景導(dǎo)入學(xué)習(xí)目標(biāo)課堂小結(jié)分層練習(xí)錯(cuò)因分析學(xué)習(xí)目標(biāo)1．理解并掌握直線與圓的位置關(guān)系的判定方法，培養(yǎng)和提高數(shù)學(xué)直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算能力；2．能用直線和圓的方程解決直線與圓的弦長及切線問題，體會(huì)用代數(shù)方法處理幾何問題的思想，培養(yǎng)和提高直觀想象、邏輯推理素養(yǎng)；3．借助圓的知識(shí)解決實(shí)際問題，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).情景導(dǎo)入海上日出是非常壯麗的美景.在海天交于一線的天際,一輪紅日慢慢升起,先是探出半個(gè)圓圓的小腦袋,然后冉冉上升,和天際線相連,再躍出海面,越來越高,展現(xiàn)著斑斕的霞光和迷人的風(fēng)采.這個(gè)過程中,太陽看作一個(gè)圓,海天交線看作一條直線,日出的過程中也體現(xiàn)了直線與圓的三種位置關(guān)系:相交、相切和相離.1.直線和圓的位置關(guān)系新知探究1.觀察下列三副圖，直線與圓的位置關(guān)系是怎樣的？它們交點(diǎn)有什么變化？直線與圓相交，有兩個(gè)公共點(diǎn)直線與圓相切，只有一個(gè)公共點(diǎn)直線與圓相離，沒有公共點(diǎn)2．怎樣判斷直線與圓的位置關(guān)系？2．怎樣判斷直線與圓的位置關(guān)系？

在初中，我們是利用圓心到直線的距離與半徑的關(guān)系，從而得到直線與圓的位置關(guān)系.到了高中，我們可以利用直線和圓的方程判斷它們之間的位置關(guān)系.下面，我們通過具體例子進(jìn)行研究．

課本例題思路1：將判斷直線與圓的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為判斷由它們的方程組成的方程組有無實(shí)數(shù)解、有幾個(gè)實(shí)數(shù)解；若相交，可以由方程組解得兩交點(diǎn)的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求得弦長.

課本例題

代數(shù)法課本例題思路2：依據(jù)圓心到直線的距離與半徑的關(guān)系，判斷直線與圓的位置關(guān)系；若相交，則可利用垂徑定理求得弦長.

幾何法：數(shù)形結(jié)合

方程有兩解直線與圓相交，有兩個(gè)交點(diǎn)，可通過兩點(diǎn)坐標(biāo)公式求弦長

方程有一解直線與圓相切，有一個(gè)交點(diǎn)

方程有0解直線與圓相離，無交點(diǎn)

概念歸納方法二：幾何法（數(shù)形結(jié)合）可以根據(jù)圓的方程求得圓心坐標(biāo)與半徑r，從而求得圓心到直線的距離d，通過比較d與r的大小,判斷直線與圓的位置關(guān)系.若相交,則可利用勾股定理求得弦長.d＜r，直線與圓相交，有兩個(gè)交點(diǎn)d＝r，直線與圓相切，有一個(gè)交點(diǎn)d＞r，直線與圓相離，無交點(diǎn)概念歸納

代數(shù)法是直接運(yùn)用直線和圓的方程組成的方程組有無實(shí)數(shù)解的情況判斷直線與圓的位置關(guān)系，是完全代數(shù)的方法；具有程序性、普適性.幾何法是利用圖形中的相關(guān)幾何量（圓心到直線的距離、圓的半徑）的大小判斷直線與圓的位置關(guān)系，涉及圓心到直線距離的計(jì)算。利用圖形的幾何性質(zhì)，有助于簡化計(jì)算.（數(shù)形結(jié)合）代數(shù)法與幾何法的比較：概念歸納

消去y后得到一個(gè)一元二次方程。

方程有一解直線與圓相切，有一個(gè)交點(diǎn)我們?cè)撊绾吻笏那芯€方程？課本例題

幾何法課本例題

幾何法

代數(shù)法課本例題

例3圖是某圓拱形橋一孔圓拱的示意圖.圓拱跨度AB=20m，拱高OP=4m，建造時(shí)每間隔4m需要用一根支柱支撐，求支柱A2P2的高度（精確到0.01m).利用平面直角坐標(biāo)系解決實(shí)際問題分析：建立如圖2.5-4所示的直角坐標(biāo)系，要得到支柱A2P2的高度，只需求出點(diǎn)P2的縱坐標(biāo).課本例題例3圖是某圓拱形橋一孔圓拱的示意圖.圓拱跨度AB=20m，拱高OP=4m，建造時(shí)每間隔4m需要用一根支柱支撐，求支柱A2P2的高度（精確到0.01m).

例3圖是某圓拱形橋一孔圓拱的示意圖.圓拱跨度AB=20m，拱高OP=4m，建造時(shí)每間隔4m需要用一根支柱支撐，求支柱A2P2的高度（精確到0.01m).【小結(jié)】：本例使用坐標(biāo)法，建立平面直角坐標(biāo)系，把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，利用點(diǎn)坐標(biāo)求得圓的方程，進(jìn)而求出點(diǎn)P2的縱坐標(biāo)即支柱高度.

例3圖是某圓拱形橋一孔圓拱的示意圖.圓拱跨度AB=20m，拱高OP=4m，建造時(shí)每間隔4m需要用一根支柱支撐，求支柱A2P2的高度（精確到0.01m).還有沒有其他解法？

可以看到，運(yùn)用綜合法需要添加多條輔助線，有一定的技巧，而且求解過程中利用了垂徑定理,并多次使用勾股定理進(jìn)行計(jì)算，過程比較復(fù)雜.例3圖是某圓拱形橋一孔圓拱的示意圖.圓拱跨度AB=20m，拱高OP=4m，建造時(shí)每間隔4m需要用一根支柱支撐，求支柱A2P2的高度（精確到0.01m).例4一個(gè)小島的周圍有環(huán)島暗礁,暗礁分布在以小島中心為圓心半徑為20km的圓形區(qū)域內(nèi).已知小島中心位于輪船正西40km處，港口位于小島中心止北30km處.如果輪船沿直線返港，那么它是否會(huì)有觸礁危險(xiǎn)?課本例題分析：先畫出示意圖，如圖所示，根據(jù)題意，建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求出暗礁所在區(qū)域的邊緣圓的方程，以及輪船返港直線的方程，利用方程判斷直線與圓的位置關(guān)系，進(jìn)而確定輪船是否有觸礁危險(xiǎn).Oyx港口輪船

Oyx港口輪船

思考：你還能用其他方法解決上述問題嗎？

幾何法例4.一個(gè)小島的周圍有環(huán)島暗礁,暗礁分布在以小島中心為圓心半徑為20km的圓形區(qū)域內(nèi).已知小島中心位于輪船正西40km處，港口位于小島中心止北30km處.如果輪船沿直線返港，那么它是否會(huì)有觸礁危險(xiǎn)?概念歸納用坐標(biāo)法解決平面幾何問題的“三步曲”：第一步：建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，用坐標(biāo)和方程表示問題中的幾何要素，如點(diǎn)、直線、圓，把平面幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題；第二步：通過代數(shù)運(yùn)算，解決代數(shù)問題；第三步：把代數(shù)運(yùn)算的結(jié)果“翻譯”成幾何結(jié)論．典例剖析題型1直線與圓的位置關(guān)系的判斷當(dāng)m為何值時(shí)，直線mx－y－1＝0與圓x2＋y2－4x＝0相交、相切、相離？直線與圓的位置關(guān)系的判定有兩種方法(1)代數(shù)法：通過直線方程與圓的方程所組成的方程組，根據(jù)解的個(gè)數(shù)來研究，若有兩組不同的實(shí)數(shù)解，即Δ>0，則相交；若有兩組相同的實(shí)數(shù)解，即Δ＝0，則相切；若無實(shí)數(shù)解，即Δ<0，則相離．(2)幾何法：由圓心到直線的距離d與半徑r的大小來判斷：當(dāng)d<r時(shí)，直線與圓相交；當(dāng)d＝r時(shí)，直線與圓相切；當(dāng)d>r時(shí)，直線與圓相離．提醒：利用幾何法來判定直線與圓的位置關(guān)系時(shí)，一定要明確圓心的坐標(biāo)．歸納總結(jié)1．判斷下列直線與圓的位置關(guān)系，若有公共點(diǎn)求出公共點(diǎn)的坐標(biāo)．(1)直線：x＋y＝0，圓：x2＋y2＋2x＋4y－4＝0；(2)直線：y＝x＋5，圓：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0；(3)直線：x＋y＝3，圓：x2＋y2－4x＋2y＋4＝0.練一練練一練練一練練一練

過點(diǎn)M(2,4)向圓(x－1)2＋(y＋3)2＝1引切線，求其切線的方程．題型2直線與圓相切的有關(guān)問題典例剖析所以切線方程為24x－7y－20＝0.又當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，直線x＝2與圓相切．綜上所述，所求切線方程為24x－7y－20＝0或x＝2.練一練2.過點(diǎn)M(2,4)向圓(x－1)2＋(y＋3)2＝1引切線，求其切線長．3.過點(diǎn)M(1，-2)向圓(x－1)2＋(y＋3)2＝1引切線，求其切線的方程．解：由于(1－1)2＋(－2＋3)2＝1，故點(diǎn)M在圓上．由已知圓心坐標(biāo)為C(1，－3)，此時(shí)直線MC的斜率不存在，故切線的斜率為0，所以切線的方程為y＝－2.練一練歸納總結(jié)

歸納總結(jié)(2)點(diǎn)(x0，y0)在圓外．①設(shè)切線方程為y－y0＝k(x－x0)，由圓心到直線的距離等于半徑建立方程，可求得k，即可求得切線方程．②當(dāng)用此法只求出一個(gè)方程時(shí)，另一個(gè)方程應(yīng)為x＝x0，因?yàn)樵谏厦娼夥ㄖ胁话ㄐ甭什淮嬖诘那闆r．③過圓外一點(diǎn)的切線有兩條．一般不用聯(lián)立方程組的方法求解．提醒：已知一點(diǎn)求圓的切線方程時(shí)，切勿漏掉斜率不存在的情況．4．過點(diǎn)A(4，－3)作圓C：(x－3)2＋(y－1)2＝1的切線，求此切線的方程．解：因?yàn)?4－3)2＋(－3－1)2＝17>1，所以點(diǎn)A在圓外．(1)若所求切線的斜率存在，設(shè)切線斜率為k，則切線方程為y＋3＝k(x－4)．練一練練一練(2)若直線斜率不存在，圓心C(3,1)到直線x＝4的距離也為1，這時(shí)直線與圓也相切，所以另一條切線方程是x＝4.綜上，所求切線方程為15x＋8y－36＝0或x＝4.典例剖析題型3直線與圓相交的有關(guān)問題探究1已知直線方程和弦長求圓的方程

過原點(diǎn)且傾斜角為60°的直線被圓x2＋y2－4y＝0所截得的弦長為________．典例剖析探究2已知直線和圓的方程求弦長解：由題意可知，若直線與圓相交，斜率須存在，設(shè)直線l的斜率為k，則方程可表示為y＋2＝k(x＋1)．又圓的方程為(x－1)2＋(y－1)2＝1，圓心為(1,1)，典例剖析探究3已知圓的方程和弦長求直線方程典例剖析歸納總結(jié)求直線與圓相交時(shí)弦長的兩種方法練一練練一練練一練1.直線3x+4y+12=0與圓(x-1)2+(y+1)2=9的位置關(guān)系是(

)A.過圓心 B.相切C.相離 D.相交但不過圓心2.若直線x+y+m=0與圓x2+y2=m相切,則m的值是(

)隨堂練DB隨堂練4.經(jīng)過點(diǎn)M(2,1)作圓x2+y2=5的切線,則切線的方程為

.

C2x+y-5=05.直線y=x+1與圓x2+y2+2y-3=0交于A,B兩點(diǎn),則|AB|=

.

1.趙州橋的跨度是37.4m,圓拱高約為7.2m.求這座圓拱橋的拱圓的方程.P課本練習(xí)ABPCxy課本練習(xí)2.某圓拱橋的水面跨度是20m,拱高4m,現(xiàn)有一船，寬10m,水面以上高3m,這條船能否從橋下通過?課本練習(xí)ABHOCFExy課本練習(xí)ABHOCFExy課本練習(xí)錯(cuò)因分析易錯(cuò)警示過一點(diǎn)求圓的切線方程錯(cuò)解分析：錯(cuò)誤的根本原因是沒有先判斷出點(diǎn)P與圓的位置關(guān)系，以及在設(shè)直線方程的時(shí)候沒有考慮到斜率不存在的情況，從而造成漏解．錯(cuò)因分析錯(cuò)因分析錯(cuò)因分析防范措施：1．明確點(diǎn)與圓的位置關(guān)系過一點(diǎn)求圓的切線時(shí)，首先要判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，以此來確定切線的條數(shù)，如本例中點(diǎn)P在圓外，故過點(diǎn)P與圓相切的切線應(yīng)有兩條．2．注重分類討論的意識(shí)求過一點(diǎn)與圓相切的直線時(shí)，在設(shè)直線的斜率時(shí)要考慮到斜率是否存在，要進(jìn)行分情況討論處理．如本例中當(dāng)斜率不存在時(shí)，過點(diǎn)P的直線也與圓相切.錯(cuò)因分析分層練習(xí)-基礎(chǔ)1．直線x－y＋1＝0與圓(x＋1)2＋y2＝1的位置關(guān)系是(

)A．相切B．直線過圓心C．直線不過圓心但與圓相交D．相離2．若直線3x＋4y＋k＝0與圓x2＋y2－6x＋5＝0相切，則k的值等于(

)A．1或－19 B．10或－1C．－1或－19 D．－1或19BA分層練習(xí)-基礎(chǔ)3．點(diǎn)M(x0，y0)是圓x2＋y2＝a2(a>0)內(nèi)不為圓心的一點(diǎn)，則直線x0x＋y0y＝a2與該圓的位置關(guān)系是(

)A．相切 B．相交C．相離 D．相切或相交4．平行于直線2x＋y＋1＝0且與圓x2＋y2＝5相切的直線的方程是(

)A．2x－y＋＝0或2x－y－＝0B．2x＋y＋＝0或2x＋y－＝0C．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0D．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0CD分層練習(xí)-基礎(chǔ)5．已知點(diǎn)M(a，b)在圓O：x2＋y2＝1外，則直線ax＋by＝1與圓O的位置關(guān)系是________．6．已知直線5x＋12y＋m＝0與圓x2－2x＋y2＝0相切，則m＝________.7．過點(diǎn)G(0,1)的直線與圓x2＋y2＝4相交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|的最小值為________．8．由直線y＝x＋1上的點(diǎn)向圓C：x2＋y2－6x＋8＝0引切線，則切線長的最小值為________．相交8或－18分層練習(xí)-基礎(chǔ)9．已知點(diǎn)P(x，y)是圓C：(x＋2)2＋y2＝1上任意一點(diǎn)．求P點(diǎn)到直線3x＋4