2023屆黑龍江省哈爾濱市第一中學(xué)校高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題

2023屆黑龍江省哈爾濱市第一中學(xué)校高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，，則（）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先解一元二次不等式求出集合，再根據(jù)交集的定義計(jì)算可得.【詳解】解：由，即，解得或，所以或，又，所以，故選：A．2．設(shè)，則A． B． C． D．【答案】C【詳解】分析：利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則：分子、分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，然后求解復(fù)數(shù)的模.詳解：，則，故選c.點(diǎn)睛：復(fù)數(shù)是高考中的必考知識(shí)，主要考查復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的運(yùn)算．要注意對(duì)實(shí)部、虛部的理解，掌握純虛數(shù)、共軛復(fù)數(shù)這些重要概念，復(fù)數(shù)的運(yùn)算主要考查除法運(yùn)算，通過(guò)分母實(shí)數(shù)化轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的乘法，運(yùn)算時(shí)特別要注意多項(xiàng)式相乘后的化簡(jiǎn)，防止簡(jiǎn)單問題出錯(cuò)，造成不必要的失分.3．若，則（）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用特殊值排除錯(cuò)誤選項(xiàng)，利用函數(shù)的單調(diào)性確定正確選項(xiàng).【詳解】取，則：，A選項(xiàng)錯(cuò)誤.，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.在R上單調(diào)遞增，故時(shí)，C選項(xiàng)正確.故選：C4．已知∈（0，），2sin2α=cos2α+1，則sinα=A． B．C． D．【答案】B【分析】利用二倍角公式得到正余弦關(guān)系，利用角范圍及正余弦平方和為1關(guān)系得出答案．【詳解】，．，又，，又，，故選B．【點(diǎn)睛】本題為三角函數(shù)中二倍角公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的考查，中等難度，判斷正余弦正負(fù)，運(yùn)算準(zhǔn)確性是關(guān)鍵，題目不難，需細(xì)心，解決三角函數(shù)問題，研究角的范圍后得出三角函數(shù)值的正負(fù)，很關(guān)鍵，切記不能憑感覺．5．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則下列結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)數(shù)列的前項(xiàng)和與第項(xiàng)的關(guān)系進(jìn)行求解即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴A，B均錯(cuò)誤；又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴D正確，故選：D．6．設(shè)是空間中的一個(gè)平面，，，是三條不同的直線，則（）A．若，，，，則B．若，，，則C．若，，，則D．若，，，則【答案】B【分析】AD可舉出反例，B選項(xiàng)，由線面垂直的判定定理得；C選項(xiàng)，可得到；【詳解】A選項(xiàng)，與相交、平行或，如圖1，當(dāng)時(shí)，與相交，故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，因?yàn)?，，所以，因?yàn)?，則由線面垂直的判定定理得，故B正確；C選項(xiàng)，因?yàn)?，，所以，因?yàn)?，所以，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，若，，，則與相交、平行或異面，如圖2，滿足，，，而與異面，故D錯(cuò)誤．故選：B．7．其類蓄電池的容量（單位：），放電時(shí)間（單位：）與放電電流（單位：）之間關(guān)系的經(jīng)驗(yàn)公式為，其中為Peukert常數(shù)．為了測(cè)算該類蓄電池的Peukert常數(shù)，在電池容量不變的條件下，當(dāng)放電電流時(shí)，放電時(shí)間；當(dāng)放電電流時(shí)，放電時(shí)間．則該蓄電池的Peukert常數(shù)大約為（參考數(shù)據(jù)：，）（）A． B． C． D．2【答案】B【分析】根據(jù)題意列出方程求得，再轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)運(yùn)算即可.【詳解】由題意，得，所以，所以．故選:B.8．設(shè)，，，則（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用導(dǎo)數(shù)可證明時(shí)，，即可證明，即．根據(jù)，構(gòu)造函數(shù)，求其導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)單調(diào)性，證明，由此可得答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，令，則此時(shí)遞增，故，即，得，即．，設(shè)，則，因?yàn)闀r(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，所以，所以．綜上所述，，故選：C二、多選題9．已知向量，，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．C．向量與向量的夾角為 D．在的投影向量是【答案】AC【分析】利用平面向量垂直的坐標(biāo)表示可判斷A選項(xiàng)；利用平面向量的模長(zhǎng)公式可判斷B選項(xiàng)；利用平面向量夾角的坐標(biāo)表示可判斷C選項(xiàng)；利用投影向量的概念可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，，則，故，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，，故，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，設(shè)向量、的夾角為，則，因?yàn)椋?，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，在方向上的投影向量為，D錯(cuò).故選：AC.10．已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則（）A．函數(shù)為奇函數(shù)B．函數(shù)在上單調(diào)遞增C．若，則的最小值為D．函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖象【答案】AC【解析】利用的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，即可求出的值，從而得出的解析式，再利用三角函數(shù)的性質(zhì)逐一判斷四個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】因?yàn)榈膱D象關(guān)于直線對(duì)稱，所以，得，，因?yàn)?，所以，所以，?duì)于A：，所以為奇函數(shù)成立，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于B：時(shí)，，函數(shù)在上不是單調(diào)函數(shù)；故選項(xiàng)B不正確；對(duì)于C：因?yàn)?，，又因?yàn)?，所以的最小值為半個(gè)周期，即，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于D：函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到，故選項(xiàng)D不正確；故選：AC【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用三角函數(shù)的對(duì)稱軸求函數(shù)解析式，考查了三角函數(shù)平移變換、三角函數(shù)的周期、單調(diào)性、最值，屬于中檔題11．已知是定義在R上的偶函數(shù)，且，若當(dāng)時(shí)，，則下列結(jié)論正確的是（）A．當(dāng)時(shí)， B．C．的圖象關(guān)于點(diǎn)（2，0）對(duì)稱 D．函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)【答案】AD【分析】求得當(dāng)時(shí)的解析式判斷選項(xiàng)A；求得的值判斷選項(xiàng)B；舉反例否定選項(xiàng)C；利用函數(shù)與的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷選項(xiàng)D.【詳解】設(shè)，則，又∵當(dāng)時(shí)，，∴，∵函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，∴，故A正確；∵，∴，∴函數(shù)是以4為周期的周期函數(shù)，∴，故B不正確；∵，∴，∴的圖象不關(guān)于點(diǎn)（2，0）對(duì)稱，故C錯(cuò)誤；函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)就是函數(shù)圖象與函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)同一坐標(biāo)系內(nèi)作函數(shù)與的圖象如下：觀察圖象知與有3個(gè)交點(diǎn)，故D正確.故選：AD.12．半正多面體亦稱“阿基米德多面體”，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形圍成的多面體，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美．二十四等邊體就是一種半正多面體，是由正方體切截而成的，它由八個(gè)正三角形和六個(gè)正方形圍成（如圖所示），若它所有棱的長(zhǎng)都為2，則（）A．平面B．該二十四等邊體的體積為C．與的夾角為D．該二十四等邊體的外接球的表面積為【答案】BD【分析】依題意補(bǔ)齊正方體，對(duì)于A，假設(shè)平面，得到，根據(jù)六邊形為正六邊形，，得出矛盾判斷A；對(duì)于B，結(jié)合集合圖形，該二十四等邊體的體積為正方體體積去掉八個(gè)三棱錐體積，從而求出B；對(duì)于C，由平移法找出異面直線所成角為，判斷C；對(duì)于D，取正方形對(duì)角線交點(diǎn)為，即為該二十四等邊體的外接球球心，從而求出半徑大小，進(jìn)而求出外接球體積，判斷D.【詳解】依題意，補(bǔ)齊正方體，如下圖，對(duì)于A，假設(shè)平面，平面，，，二十四等邊體就是一種半正多面體，由對(duì)稱性可知，六邊形為正六邊形，，這與“”矛盾，所以假設(shè)不成立，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，正方體的棱長(zhǎng)為，該二十四等邊體的體積為正方體體積去掉個(gè)三棱錐體積，即，B正確；對(duì)于C，，為異面直線與所成角（或補(bǔ)角），在等邊中，，又，所以與的夾角為與的夾角，即，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，如圖，取正方形對(duì)角線交點(diǎn)為，即為該二十四等邊體的外接球球心，在等腰中，，在正方形中，，即外接球半徑，該二十四等邊體的外接球的表面積，D正確.故選：BD.三、填空題13．在圓錐的軸截面中，若兩條母線的夾角為，且母線長(zhǎng)為4，則此圓錐的側(cè)面積為______.【答案】【分析】由題可得底面圓的半徑，然后根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式即得.【詳解】由題可得圓錐的底面圓的半徑為，又母線長(zhǎng)為4，所以圓錐的側(cè)面積為.故答案為：.14．設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線方程_________________.【答案】【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，即為切線的斜率，由直線方程的點(diǎn)斜式得答案．【詳解】由題意，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，可得曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，即切線的斜率為，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即為，即．故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)的切線方程，其中解答中明確曲線上某點(diǎn)處的切線的斜率等于函數(shù)在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.15．已知函數(shù)，則的值為_____．【答案】【分析】先由函數(shù)解析式得到，當(dāng)時(shí)，恒有，再由倒序相加的方法，即可求出結(jié)果.【詳解】當(dāng)，即時(shí)，有，即當(dāng)時(shí)，恒有，則，所以.故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查倒序相加的問題，熟記倒序相加的方法即可，屬于?？碱}型.16．如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，M、N、P分別是，，的中點(diǎn)，Q是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則下列命題：①不存在點(diǎn)Q，使平面MBN；②三棱錐B－CNQ的體積是定值；③平面PMN；④經(jīng)過(guò)C、M、B、N四點(diǎn)的球的表面積為.正確的是______.【答案】②③④【分析】如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法即可判斷①③；證明平面，可得點(diǎn)到平面的距離為定值，再根據(jù)即可判斷③；分別取的中點(diǎn)，構(gòu)造長(zhǎng)方體，則經(jīng)過(guò)C、M、B、N四點(diǎn)的球即為長(zhǎng)方體的外接球，求出外接球半徑，從而可判斷④.【詳解】解：如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，對(duì)于①，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，即，又平面MBN，平面MBN，所以平面MBN，故存在點(diǎn)Q，使平面MBN，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，因?yàn)?，平面，平面，所以平面，所以點(diǎn)到平面的距離為定值，又為定值，所以三棱錐的體積是定值，即三棱錐B－CNQ的體積是定值，故②正確；對(duì)于③，，因?yàn)?，所以，又平面，所以平面PMN，故③正確；對(duì)于④，分別取的中點(diǎn)，構(gòu)造長(zhǎng)方體，則經(jīng)過(guò)C、M、B、N四點(diǎn)的球即為長(zhǎng)方體的外接球，設(shè)所求外接球的半徑為，則，所以經(jīng)過(guò)C、M、B、N四點(diǎn)的球的表面積為，故④正確.故答案為：②③④.四、解答題17．設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，已知．（I）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)，求．【答案】（I）；（Ⅱ）.【解析】（1）利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式求公差，再求通項(xiàng)公式；（2）由（1）可知，再利用裂項(xiàng)相消法求和.【詳解】（I）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則由題意有，，．（Ⅱ）．18．已知的內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，滿足．(1)求角的大??；(2)若邊上的中線，且，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理化簡(jiǎn)可得的值，結(jié)合角的取值范圍可求得角的值；（2）分析可得，利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可得出關(guān)于的方程，解之即可.【詳解】（1）解：由及正弦定理可得，因?yàn)?、，則，可得，則，因此，.（2）解：，所以，，所以，，即，即，解得（負(fù)值舍去）.19．如圖，在直角梯形中，，，，，是的中點(diǎn)，是與的交點(diǎn)．將沿折起到的位置，如圖．（Ⅰ）證明：平面；（Ⅱ）若平面平面，求平面與平面夾角的余弦值．【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）．【詳解】試題分析：（Ⅰ）先證，，再可證平面，進(jìn)而可證平面；（Ⅱ）先建立空間直角坐標(biāo)系，再算出平面和平面的法向量，進(jìn)而可得平面與平面夾角的余弦值．試題解析：（Ⅰ）在圖1中，因?yàn)?，，是的中點(diǎn)，，所以即在圖2中，，從而平面又，所以平面．（Ⅱ）由已知，平面平面，又由（Ⅰ）知，，所以為二面角的平面角，所以．如圖，以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，所以得，．設(shè)平面的法向量，平面的法向量，平面與平面夾角為，則，得，取，，得，取，從而，即平面與平面夾角的余弦值為．【解析】1、線面垂直；2、二面角；3、空間直角坐標(biāo)系；4、空間向量在立體幾何中的應(yīng)用．20．近年來(lái)，師范專業(yè)是高考考生填報(bào)志愿的熱門專業(yè).某高中隨機(jī)調(diào)查了本校2022年參加高考的90位文科考生首選志愿（第一個(gè)院校專業(yè)組的第一個(gè)專業(yè)）填報(bào)情況，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，首選志愿填報(bào)與性別情況如下表：（單位：人）首選志愿為師范專業(yè)首選志愿為非師范專業(yè)女性2535男性525(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù).能否有95%的把握認(rèn)為首選志愿為師范專業(yè)與性別有關(guān)？(2)用樣本估計(jì)總體，用本次調(diào)研中首選志愿樣本的頻率代替首選志愿的概率，從2022年全國(guó)文科考生中隨機(jī)抽取3人，設(shè)被抽取的3人中首選志愿為師范專業(yè)的人數(shù)為，求的分布列、數(shù)學(xué)期望和方差.附：，.【答案】(1)有95%的把握認(rèn)為首選志愿為師范專業(yè)與性別有關(guān)；(2)分布列見解析，，.【分析】（1）求出，比較臨界值可得；（2）求得某個(gè)考生首選志愿為師范專業(yè)的概率，的所有可能取值為0，1，2，3，由二項(xiàng)分布求得概率得分布列，再由二項(xiàng)分布的期望公式、方差公式計(jì)算期望與方差．【詳解】（1），∴有95%的把握認(rèn)為首選志愿為師范專業(yè)與性別有關(guān).（2）某個(gè)考生首選志愿為師范專業(yè)的概率，的所有可能取值為0，1，2，3，，，，，∴的分布列如下：0123，.21．已知數(shù)列的首項(xiàng)為，且滿足，其前項(xiàng)和為.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和；(3)在（2）的條件下，若對(duì)任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）由題意，整理遞推公式，利用累乘法，可得答案；（2）由題意，整理數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用錯(cuò)位相減法，可得答案；（3）根據(jù)（1）判斷數(shù)列為等差數(shù)列，進(jìn)而求得，由（2）求得的，分為奇數(shù)與偶數(shù)，整理不等式，利用基本不等式，可得答案.【詳解】（1）∵，∴，∴，∴，當(dāng)時(shí)，上式成立，∴；（2）∵，∴，∴，①，②①-②得，整理得；（3）由（1）可知的通項(xiàng)公式，則數(shù)列為等差數(shù)列，即，∵，∵①若為偶數(shù)，整理可得恒成立，即，∴，整理得，∵，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，∴當(dāng)時(shí)，取最小值為，∴；②若為奇數(shù)，則恒成立，∴，整理得，∴當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最大值為，∴.綜上可得：.【點(diǎn)睛】由遞推公式推導(dǎo)通項(xiàng)公式時(shí)，常用方法有累加法、累乘法、輔助數(shù)法等，其中在使用累加法與累乘法時(shí)，一定注意最后檢驗(yàn)，檢驗(yàn)首項(xiàng)是否符合通項(xiàng)；在面對(duì)一個(gè)等差數(shù)列與等比數(shù)列的乘積所成的新數(shù)列時(shí)，錯(cuò)位相減法求解，除此之外，裂項(xiàng)相消，倒序相加也是一般數(shù)列求和常用的方法.22．已知函數(shù)，．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）求導(dǎo)得，分兩種情況：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，