專題圓形磁場問題

帶電粒子在圓形磁場中的運(yùn)動任其春一輪專題復(fù)習(xí)BvO邊界圓帶電粒子在圓形勻強(qiáng)磁場中的運(yùn)動往往涉及粒子軌跡圓與磁場邊界圓的兩圓相交問題。軌跡圓O′αθθ+α=π兩圓心連線OO′與點(diǎn)C共線。BO邊界圓軌跡圓BCAO＇θ結(jié)論1：對準(zhǔn)圓心射入,必定沿著圓心射出。例題：電視機(jī)的顯像管中，電子束的偏轉(zhuǎn)是用磁偏轉(zhuǎn)技術(shù)實(shí)現(xiàn)的。電子束經(jīng)過電壓為U的加速電場后，進(jìn)入一圓形勻強(qiáng)磁場區(qū)，如圖所示。磁場方向垂直于圓面。磁場區(qū)的中心為O，半徑為r。當(dāng)不加磁場時，電子束將通過O點(diǎn)而打到屏幕的中心M點(diǎn)。為了讓電子束射到屏幕邊緣P，需要加磁場，使電子束偏轉(zhuǎn)一已知角度θ，此時磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度B應(yīng)為多少？

θθ/2O1Rθ/2例題：如圖，虛線所圍圓形區(qū)域內(nèi)有方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場B。電子束沿圓形區(qū)域的直徑方向以速度v射入磁場，經(jīng)過磁場區(qū)后，電子束運(yùn)動的方向與原入射方向成θ角。設(shè)電子質(zhì)量為m，電荷量為e，不計(jì)電子之間的相互作用力及所受的重力。求：（1）電子在磁場中運(yùn)動軌跡的半徑R；（2）電子在磁場中運(yùn)動的時間t；（3）圓形磁場區(qū)域的半徑r。vBOrvθ解：（1）（2）由幾何關(guān)系得：圓心角：α=θ（3）由如圖所示幾何關(guān)系可知，所以：例題：在圓形區(qū)域的勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，一群速率不同的質(zhì)子自A點(diǎn)沿半徑方向射入磁場區(qū)域，如圖所示，已知該質(zhì)子束中在磁場中發(fā)生偏轉(zhuǎn)的最大角度為1060，圓形磁場的區(qū)域的半徑為R，質(zhì)子的質(zhì)量為m，電量為e，不計(jì)重力，則該質(zhì)子束的速率范圍是多大？O1O2O3O4結(jié)論2：對準(zhǔn)圓心射入，速度越大，偏轉(zhuǎn)角和圓心角都越小，運(yùn)動時間越短。BvO例題(多選)如圖虛線所示區(qū)域內(nèi)有方向垂直于紙面的勻強(qiáng)磁場，一束速度大小各不相同的質(zhì)子正對該區(qū)域的圓心O射入這個磁場；結(jié)果，這些質(zhì)子在該磁場中運(yùn)動的時間有的較長，有的較短，其中運(yùn)動時間較長的粒子（）A．射入時的速度一定較大B．在該磁場中運(yùn)動的路程一定較長C．在該磁場中偏轉(zhuǎn)的角度一定較大D．從該磁場中飛出的速度一定較小θ1R1s1θ2R2s2CD結(jié)論3：運(yùn)動速度v相同,方向不同，弧長越長對應(yīng)時間越長。(直徑對應(yīng)的弧最長)例題：如圖，半徑為r=3×10－2m的圓形區(qū)域內(nèi)有一勻強(qiáng)磁場B=0.2T，一帶正電粒子以速度v0=106m/s的從a點(diǎn)處射入磁場，該粒子荷質(zhì)比為q/m=108C/kg，不計(jì)重力。若要使粒子飛離磁場時有最大的偏轉(zhuǎn)角，其入射時粒子的方向應(yīng)如何（以v0與oa的夾角表示）？最大偏轉(zhuǎn)角多大？說明：半徑確定時，通過的弧越長，偏轉(zhuǎn)角度越大。而弧小于半個圓周時，弦越長則弧越長。解析：R=mv/Bq=5×10-2m>rOaBv0bααRr

=37o，sin=r/R最大偏轉(zhuǎn)角為2

=74o。

例題：如圖所示，在真空中半徑r＝3.0×10－2m的圓形區(qū)域內(nèi)，有磁感應(yīng)強(qiáng)度B＝0.2T，方向如圖的勻強(qiáng)磁場，一批帶正電的粒子以初速度v0＝1.0×106m/s，從磁場邊界上直徑ab的一端a沿著各個方向射入磁場，且初速度方向與磁場方向都垂直，該粒子的比荷為q/m＝1.0×108C/kg，不計(jì)粒子重力．

(1)粒子的軌跡半徑；

(2)粒子在磁場中運(yùn)動的最長時間；

(sin37°＝0.6，cos37°＝0.8)

VVV平行會聚于一點(diǎn)一點(diǎn)發(fā)散成平行RRrr結(jié)論4：如果在圓形勻強(qiáng)磁場區(qū)域的邊界上某點(diǎn)向磁場發(fā)射速率相同的帶電粒子，且粒子在磁場中運(yùn)動的軌道半徑與磁場區(qū)域半徑相同，那么粒子射出磁場時運(yùn)動方向一定相同．反之，粒子以相同速度平行射人這樣的磁場，粒子就能會聚于磁場邊界上的某點(diǎn)。磁會聚平行飛入，定點(diǎn)會聚磁擴(kuò)聚定點(diǎn)發(fā)射，平行飛出例題：在xoy平面內(nèi)有很多質(zhì)量為m，電量為e的電子，從坐標(biāo)原點(diǎn)O不斷以相同速率沿不同方向射入第一象限，如圖所示．現(xiàn)加一垂直于xOy平面向里、磁感強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場，要求這些入射電子穿過磁場都能平行于x軸且沿x軸正向運(yùn)動，試問符合該條件的磁場的最小面積為多大？（不考慮電子間的相互作用）xyOv0O1O2O3O4O5On所有電子的軌跡圓半徑相等，且均過O點(diǎn)。這些軌跡圓的圓心都在以O(shè)為圓心，半徑為r的且位于第Ⅳ象限的四分之一圓周上，如圖所示。

電子由O點(diǎn)射入第Ⅰ象限做勻速圓周運(yùn)動解1:xyOv0O1O2O3O4O5On即所有出射點(diǎn)均在以坐標(biāo)(0，r)為圓心的圓弧abO上，顯然，磁場分布的最小面積應(yīng)是實(shí)線1和圓弧abO所圍的面積，由幾何關(guān)系得由圖可知，a、b、c、d等點(diǎn)就是各電子離開磁場的出射點(diǎn)，均應(yīng)滿足方程x2+(r－y)2=r2。解2:設(shè)P(x，y)為磁場下邊界上的一點(diǎn)，經(jīng)過該點(diǎn)的電子初速度與x軸夾角為

，則由圖可知：x=rsin

，

y=r－rcos

，得:x2+(y－r)2=r2。所以磁場區(qū)域的下邊界也是半徑為r，圓心為(0，r)的圓弧應(yīng)是磁場區(qū)域的下邊界。磁場上邊界如圖線所示。xyOv0θP(x,y)Orr兩邊界之間圖形的面積即為所求。圖中的陰影區(qū)域面積，即為磁場區(qū)域面積：例題：（2009年浙江卷）如圖，在xOy平面內(nèi)與y軸平行的勻強(qiáng)電場，在半徑為R的圓內(nèi)還有與xOy平面垂直的勻強(qiáng)磁場。在圓的左邊放置一帶電微粒發(fā)射裝置，它沿x軸正方向發(fā)射出一束具有相同質(zhì)量m、電荷量q(q＞0)和初速度v的帶電微粒。發(fā)射時，這束帶電微粒分布在0＜y＜2R的區(qū)間內(nèi)。已知重力加速度大小為g。（1）從A點(diǎn)射出的帶電微粒平行于x軸從C點(diǎn)進(jìn)入有磁場區(qū)域，并從坐標(biāo)原點(diǎn)O沿y軸負(fù)方向離開，求電場強(qiáng)度和磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小與方向。（2）請指出這束帶電微粒與x軸相交的區(qū)域，并說明理由。（3）在這束帶電磁微粒初速度變?yōu)?v，那么它們與x軸相交的區(qū)域又在哪里？并說明理由。xyRO/Ov帶點(diǎn)微粒發(fā)射裝置CAxyRO/OvCAxyRO/vQPORθ解析：（1）由mg=qE得E=mg/q；由qvB=mv2/r，r=R得B=mv/qR，方向垂直于紙面向外（2）這束帶電微粒都通過坐標(biāo)原點(diǎn)。方法一：從任一點(diǎn)P水平進(jìn)入磁場的帶電微粒在磁場中做半徑為R的勻速圓周運(yùn)動，其圓心位于其正下方的Q點(diǎn)，這束帶電微粒進(jìn)入磁場后的圓心軌跡是如圖的虛線半圓，此圓圓心是坐標(biāo)原點(diǎn)O。方法二：從任一點(diǎn)P水平進(jìn)入磁場的帶電微粒在磁場中做半徑為R的勻速圓周運(yùn)動。P點(diǎn)與O′點(diǎn)的連線與y軸的夾角為θ，其圓心Q的坐標(biāo)為（-Rsinθ，Rcosθ）,圓周運(yùn)動軌跡方程解得：x=0y=0（原點(diǎn)O）和x=-Rsinθy=R(1+cosθ)（P點(diǎn)）當(dāng)速度變?yōu)?V的帶電粒子，不具備“磁會聚”的條件，因此不會都通過O點(diǎn)。但此題可采用極端分析法，帶電微粒在磁場中經(jīng)過一段半徑為r’=2R的圓弧運(yùn)動后，將在y軸的右方(x>0)的區(qū)域離開磁場并做勻速直線運(yùn)動，如圖所示?？拷隙它c(diǎn)發(fā)射出來的帶電微粒在突出磁場后會射向x同正方向的無窮遠(yuǎn)處；靠近下端點(diǎn)發(fā)射出來的帶電微粒會在靠近原點(diǎn)之處穿出磁場。所以，這束帶電微粒與x同相交的區(qū)域范圍是x>0.AxyRO/Ov帶點(diǎn)微粒發(fā)射裝置CPQr例題：如右圖所示，紙面內(nèi)有寬為L水平向右飛行的帶電粒子流，粒子質(zhì)量為m，電荷量為－q，速率為v0，不考慮粒子的重力及相互間的作用，要使粒子都匯聚到一點(diǎn)，可以在粒子流的右側(cè)虛線框內(nèi)設(shè)計(jì)一勻強(qiáng)磁場區(qū)域，則磁場區(qū)域的形狀及對應(yīng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度可以是(其中，A、C、D選項(xiàng)中曲線均為半徑是L的1/4圓弧，B選項(xiàng)中曲線為半徑是L/2的圓)()A例題：如圖，環(huán)狀勻強(qiáng)磁場圍成的中空區(qū)域內(nèi)有自由運(yùn)動的帶電粒子，但由于環(huán)狀磁場的束縛，只要速度不很大，都不會穿出磁場的外邊緣。設(shè)環(huán)狀磁場的內(nèi)半徑為R1=0.5m，外半徑為R2=1.0m，磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度B=1.0T，若被縛的帶電粒子的荷質(zhì)比為q/m=4×107C/kg，中空區(qū)域中帶電粒子具有各個方向的速度。試計(jì)算：（1）粒子沿環(huán)狀的半徑方向射入磁場，不能穿越磁場的最大速度。（2）所有粒子不能穿越磁場的最大速度。OBR2R1R2rvv答案：（1）1.5×107m/s，（2）1.0×107m/s。圓形磁場臨界問題例題：如圖，帶電質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量為m，電量為q，以平行于Ox軸的速度v從y軸上的a點(diǎn)射入圖中第一象限所示的區(qū)域。為了使該質(zhì)點(diǎn)能從x軸上的b點(diǎn)以垂直于Ox軸的速度v射出，可在適當(dāng)?shù)牡胤郊右粋€垂直于xy平面、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場。若此磁場僅分布在一個圓形區(qū)域內(nèi)，試求這圓形磁場區(qū)域的最小半徑。重力忽略不計(jì)。yOaxbv02RBOrrMN解：質(zhì)點(diǎn)在磁場中圓周運(yùn)動半徑為r=mv/Bq。質(zhì)點(diǎn)在磁場區(qū)域中的軌道是1/4圓周，如圖中M、N兩點(diǎn)間的圓弧。在通過M、N兩點(diǎn)的不同的圓中，最小的一個是以MN連線為直徑的圓周。圓形磁場區(qū)域的最小半徑R=MN/2=mv/qB圓形磁場最小面積問題例題：如圖，質(zhì)量為m、帶電量為+q的粒子以速度v從O點(diǎn)沿y

軸正方向射入磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的圓形勻強(qiáng)磁場區(qū)域，磁場方向垂直紙面向外，粒子飛出磁場區(qū)域后，從b處穿過x軸，速度方向與x

軸正方向的夾角為30o，同時進(jìn)入場強(qiáng)為E、方向沿與與x軸負(fù)方向成60o角斜向下的勻強(qiáng)電場中，通過了b點(diǎn)正下方的C點(diǎn)。不計(jì)重力，試求：（1）圓形勻強(qiáng)磁場區(qū)域的最小面積；（2）C點(diǎn)到b點(diǎn)的距離h。vyxEbO30°60°vhAO2O1vyxEbO30°60°vhAO2O1解：(1)反向延長vb交y軸于O2點(diǎn)，作∠bO2

O的角平分線交x