專題8.7空間向量及其運算和空間位置關(guān)系

專題8.7空間向量及其運算和空間位置關(guān)系【核心素養(yǎng)】1．考查空間向量的概念及運算，凸顯數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算、直觀想象的核心素養(yǎng)．2．考查空間向量的應(yīng)用，凸顯邏輯推理、數(shù)學(xué)運算、直觀想象的核心素養(yǎng)．知識點知識點一平行(共線)向量與共面向量平行(共線)向量共面向量定義位置關(guān)系表示空間向量的有向線段所在的直線的位置關(guān)系：互相平行或重合平行于同一個平面的向量特征方向相同或相反特例零向量與任意向量共線充要條件對空間任意兩個向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實數(shù)λ，使a＝λb向量p與不共線向量a，b共面的充要條件是存在惟一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)使p＝xa＋yb推論對空間任意一點O，點P在直線l上的充要條件是存在實數(shù)t滿足等式eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋ta，向量a為直線l的方向向量或在直線l上取向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，則eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(AB,\s\up6(→))點P位于平面ABC內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使eq\o(AP,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))或?qū)臻g任意一點O，有eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))知識點知識點二數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)a，b都是非零向量，〈a，b〉＝θ，①a∥b時，θ＝0或π，θ＝0時，a與b同向；θ＝π時，a與b反向．②a⊥b?θ＝eq\f(π,2)?a·b＝0．③θ為銳角時，a·b>0，但a·b>0時，θ可能為0；θ為鈍角時，a·b<0，但a·b<0時，θ可能為π．④|a·b|≤|a|·|b|，特別地，當θ＝0時，a·b＝|a|·|b|，當θ＝π時，a·b＝－|a|·|b|．⑤對于實數(shù)a、b、c，若ab＝ac，a≠0，則b＝c；對于向量a、b、c，若a·b＝a·c，a≠0，卻推不出b＝c，只能得出a⊥(b－c)．⑥a·b＝0eq\o(?,/)a＝0或b＝0，a＝0時，一定有a·b＝0．⑦不為零的三個實數(shù)a、b、c，有(ab)c＝a(bc)成立，但對于三個向量a、b、c，(a·b)c≠a(b·c)，因為a·b是一個實數(shù)，(a·b)c是與c共線的向量，而a(b·c)是與a共線的向量，a與c卻不一定共線．知識點知識點三空間向量基本定理(1)如果三個向量a、b、c不共面，那么對空間任一向量p，存在有序?qū)崝?shù)組{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc．(2)如果三個向量a、b、c不共面，那么所有空間向量組成的集合就是{p|p＝xa＋yb＋zc，x，y，z∈R}，這個集合可看作是由向量a、b、c生成的，我們把{a，b，c}叫做空間的一個基底，a、b、c都叫做基向量，空間任何三個不共面的向量都可構(gòu)成空間的一個基底，同一(相等)向量在不同基底下的坐標不同，在同一基底下的坐標相同．知識點知識點四空間向量的正交分解及其坐標表示設(shè)e1、e2、e3為有公共起點O的三個兩兩垂直的單位向量(我們稱它們?yōu)閱挝徽换?．以e1、e2、e3的公共起點O為原點，分別以e1，e2，e3的方向為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標系O－xyz．對于空間任意一個向量p一定可以把它平移，使它的起點與原點O重合，得到向量eq\o(OP,\s\up6(→))＝p，由空間向量基本定理可知，存在有序?qū)崝?shù)組{x，y，z}，使得p＝xe1＋ye2＋ze3．我們把x、y、z稱作向量p在單位正交基底e1、e2、e3下的坐標，記作p＝(x，y，z)．知識點知識點五用向量描述空間平行關(guān)系設(shè)空間兩條直線l、m的方向向量分別為a＝(a1，a2，a3)、b＝(b1，b2，b3)，兩個平面α，β的法向量分別為u＝(u1，u2，u3)，v＝(v1，v2，v3)，則有如下結(jié)論：位置關(guān)系向量關(guān)系向量運算關(guān)系坐標關(guān)系l∥ma∥ba＝kb，k∈Ra1＝kb1，a2＝kb2，a3＝kb3l∥αa⊥ua·u＝0a1u1＋a2u2＋a3u3＝0u∥vα∥βu∥vu＝kv，k∈Ru1＝kv1，u2＝kv2，u3＝kv3知識點知識點六用向量證明空間中的垂直關(guān)系①設(shè)直線l1和l2的方向向量分別為v1和v2，則l1⊥l2?v1⊥v2?v1·v2＝0.②設(shè)直線l的方向向量為v，平面α的法向量為u，則l⊥α?v∥u.③設(shè)平面α和β的法向量分別為u1和u2，則α⊥β?u1⊥u2?u1·u2＝0.知識點知識點七共線與垂直的坐標表示設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，則a∥b?a＝λb?a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)，a⊥b?a·b＝0?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a，b均為非零向量)．?？碱}型剖析?？碱}型剖析題型一：空間向量的運算【典例分析】例11．（2001·全國·高考真題）在平行六面體中，M為AC與BD的交點，若，，，則下列向量中與相等的向量是（

）．A． B．C． D．【答案】A【分析】利用空間向量線性運算法則進行運算即可.【詳解】因為在平行六面體中，，所以.故選：A.例12.（2023秋·廣東廣州·高二廣州市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，空間四邊形OABC中，，點M在OA上，且滿足，點N為BC的中點，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)空間向量的線性運算即可求解.【詳解】由于N為BC的中點，，所以，,，故選：D【方法技巧】用基向量表示指定向量的方法(1)結(jié)合已知向量和所求向量觀察圖形．(2)將已知向量和所求向量轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中．(3)利用三角形法則或平行四邊形法則把所求向量用已知基向量表示出來．【變式訓(xùn)練】變式11.（安徽·高考真題）在四面體中，，，，為的中點，為的中點，則．（用、、表示）【答案】【分析】利用空間向量的基本定理可得出向量關(guān)于、、的表達式.【詳解】連接，如下圖所示：，.故答案為：.變式12.（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在三棱錐O-ABC中，點P，Q分別是OA，BC的中點，點D為線段PQ上一點，且，若記，，，則等于（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，由空間向量的線性運算，即可得到結(jié)果.【詳解】因為.故選：A題型二：共線(共面)向量定理的應(yīng)用例21.【多選題】（2023秋·河北滄州·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知是空間中三個向量，則下列說法錯誤的是（

）A．對于空間中的任意一個向量，總存在實數(shù)，使得B．若是空間的一個基底，則也是空間的一個基底C．若，，則D．若所在直線兩兩共面，則共面【答案】ACD【分析】根據(jù)空間向量基本定理分別判斷.不共面時.才能作為基底，才能得到，故A錯誤：若是空間的一個基底，則不共面.也不共面，所以也是空間的一個基底，故B正確；若，，則不一定平行，故C錯誤；若所在直線兩兩共面，則不一定共面，故D錯誤.故選：ACD.例22.（2023秋·四川成都·高三成都七中?？奸_學(xué)考試）在四棱柱中，，．(1)當時，試用表示；(2)證明：四點共面；【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)空間向量線性運算進行求解；（2）設(shè)（不為0），推導(dǎo)出，進而證明出四點共面.【詳解】（1）四棱柱中，，因為，所以；（2）設(shè)（不為0），，則共面且有公共點，則四點共面；【總結(jié)提升】證明三點共線和空間四點共面的方法比較三點(P，A，B)共線空間四點(M，P，A，B)共面eq\o(PA,\s\up7(→))＝λeq\o(PB,\s\up7(→))且同過點Peq\o(MP,\s\up7(→))＝xeq\o(MA,\s\up7(→))＋yeq\o(MB,\s\up7(→))對空間任一點O，eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\o(OA,\s\up7(→))＋teq\o(AB,\s\up7(→))對空間任一點O，eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\o(OM,\s\up7(→))＋xeq\o(MA,\s\up7(→))＋yeq\o(MB,\s\up7(→))對空間任一點O，eq\o(OP,\s\up7(→))＝xeq\o(OA,\s\up7(→))＋(1－x)eq\o(OB,\s\up7(→))對空間任一點O，eq\o(OP,\s\up7(→))＝xeq\o(OM,\s\up7(→))＋yeq\o(OA,\s\up7(→))＋(1－x－y)eq\o(OB,\s\up7(→))【變式訓(xùn)練】變式21.（2022·全國·高三專題練習(xí)）下列關(guān)于空間向量的命題中，正確的有．①若向量、與空間任意向量都不能構(gòu)成空間向量的一組基底，則；②若非零向量、、滿足，，則有；③若、、是空間向量的一組基底，且，則、、、四點共面；④若向量、、是空間向量的一組基底，則、、也是空間向量的一組基底．【答案】①③④【分析】利用反證法可判斷①④；利用空間向量的位置關(guān)系可判斷②；利用共面向量的基本定理可判斷可判斷③.【詳解】對于①，假設(shè)、不共線，則存在空間向量，使得當與、不共線，此時，、、能構(gòu)成空間向量的一組基底，與題設(shè)矛盾，假設(shè)不成立，所以，若向量、與空間任意向量都不能構(gòu)成空間向量的一組基，則，①對；對于②，若非零向量、、滿足，，則與不一定共線，②錯；對于③，若、、是空間向量的一組基，且，則，即，所以，、、、四點共面，③對；對于④，因為向量、、是空間向量的一組基底，假設(shè)、、共面，若，不妨設(shè)，設(shè)存在、，使得，，所以，，，，此時，向量、、共線，與題設(shè)矛盾；若、、共面，且、不共線，則存在、，使得，則，，所以，、、共面，與題設(shè)矛盾，故、、也是空間向量的一組基底，④對.故答案為：①③④.變式22.（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知向量，，不共面，，，．求證：B，C，D三點共線．【答案】證明見解析【分析】將三點共線問題轉(zhuǎn)化為求證向量共線問題求證即可.【詳解】因為，，，所以，，所以，所以，又為公共點，所以B，C，D三點共線．題型三：空間向量數(shù)量積及其應(yīng)用【典例分析】例31.【多選題】（2023·福建寧德·?？寄M預(yù)測）已知空間單位向量，，兩兩夾角均為，，，則下列說法中正確的是（

）A．、、、四點可以共面B．C．D．【答案】BC【分析】根據(jù)向量共面即可判斷點共面，進而可判斷A，根據(jù)數(shù)量積的運算律即可求解B，根據(jù)模長的計算公式即可判斷C，根據(jù)夾角公式即可求解D.【詳解】由于單位向量，，兩兩夾角均為，所以，假設(shè)、、、四點可以共面，則共面，所以存在，使得，分別用，，與點乘，則，由于該方程組無解，所以不存在，使得共面，故、、、四點不共面，故A錯誤，對于B，,故B正確，對于C，由得，由得,所以,則,故C正確；對于D，，故，故D錯誤，故選：BC.例32.（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面ABCD是邊長為1的正方形，側(cè)棱PA的長為2，且PA與AB、AD的夾角都等于60°，M是PC的中點，設(shè)，，.（1）試用，，表示向量；（2）求BM的長.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）將，代入中化簡即可得到答案；（2）利用，結(jié)合向量數(shù)量積運算律計算即可.【詳解】（1）是PC的中點，.，，，結(jié)合，，，得.（2），，

，.，，，.由（1）知，，，即BM的長等于.【規(guī)律方法】空間向量數(shù)量積的應(yīng)用【變式訓(xùn)練】變式31.（2023·江蘇淮安·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在四面體中，，，，，則的值為（

）A．7 B．9 C．11 D．13【答案】B【分析】根據(jù)空間數(shù)量積的運算律計算可得.【詳解】因為，，所以，又，所以，即，即，所以，所以.故選：B變式32.【多選題】（2023秋·福建莆田·高三莆田八中?？茧A段練習(xí)）設(shè)、為空間中的任意兩個非零向量，下列各式中正確的有（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】利用空間數(shù)量積的定義、運算性質(zhì)逐項判斷，可得出合適的選項.【詳解】對于A選項，向量不能作除法，A錯；對于B選項，，B對；對于C選項，，C錯；對于D選項，，D對.故選：BD.題型四：空間向量的坐標運算例41.【多選題】（2021·全國·高考真題）在正三棱柱中，，點滿足，其中，，則（

）A．當時，的周長為定值B．當時，三棱錐的體積為定值C．當時，有且僅有一個點，使得D．當時，有且僅有一個點，使得平面【答案】BD【解析】【分析】對于A，由于等價向量關(guān)系，聯(lián)系到一個三角形內(nèi)，進而確定點的坐標；對于B，將點的運動軌跡考慮到一個三角形內(nèi)，確定路線，進而考慮體積是否為定值；對于C，考慮借助向量的平移將點軌跡確定，進而考慮建立合適的直角坐標系來求解點的個數(shù)；對于D，考慮借助向量的平移將點軌跡確定，進而考慮建立合適的直角坐標系來求解點的個數(shù)．【詳解】易知，點在矩形內(nèi)部（含邊界）．對于A，當時，，即此時線段，周長不是定值，故A錯誤；對于B，當時，，故此時點軌跡為線段，而，平面，則有到平面的距離為定值，所以其體積為定值，故B正確．對于C，當時，，取，中點分別為，，則，所以點軌跡為線段，不妨建系解決，建立空間直角坐標系如圖，，，，則，，，所以或．故均滿足，故C錯誤；對于D，當時，，取，中點為．，所以點軌跡為線段．設(shè)，因為，所以，，所以，此時與重合，故D正確．故選：BD．例42.（江蘇·高考真題）記動點P是棱長為1的正方體的對角線上一點，記．當為鈍角時，求的取值范圍．【答案】【解析】建構(gòu)如圖所示空間直角坐標系，設(shè)正方體的棱長為1，則相關(guān)點的坐標分別為：???，則.由，得，而；又.由，化簡得，解得.【變式訓(xùn)練】變式41.（寧夏·高考真題（理））已知向量，且，則____________．【答案】3【解析】【分析】利用向量的坐標運算求得求出，根據(jù)空間向量模的公式列方程求解即可.【詳解】因為，所以，可得，因為，解得，故答案為3.變式42.（2017·全國·高考真題）如圖，以長方體的頂點為坐標原點，過的三條棱所在的直線為坐標軸，建立空間直角坐標系，若的坐標為，則的坐標為________【答案】【解析】【詳解】如圖所示，以長方體的頂點為坐標原點，過的三條棱所在直線為坐標軸，建立空間直角坐標系，因為的坐標為，所以,所以.題型五：利用空間向量證明平行【典例分析】例51.【多選題】（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面為正方形，底面，，、分別為線段、的中點，為線段上的動點（不含端點），則下列說法正確的是（

）A．對任意點，則有、、、四點共面B．存在點，使得、、、四點共面C．對任意點，則有平面D．存在點，使得平面【答案】BD【解析】【分析】以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，設(shè)，利用空間向量法可判斷各選項的正誤.【詳解】因為底面，四邊形為正方形，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，設(shè)，則、、、、、、，設(shè)，其中，則，，，設(shè)，則，解得，故存在點，使得、、、四點共面，B對；，，，設(shè)，所以，，解得，不合乎題意，A錯；，，若平面，平面，則，解得，C錯；設(shè)平面的法向量為，，，則，取，則，，若平面，則，解得，故當點與點重合時，平面，D對.故選：BD.例52.（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，已知為空間的9個點，且，，求證：（1）四點共面，四點共面；（2）；（3）.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）證明見解析.【解析】【分析】（1）利用共面向量定理證明四點共面；（2）利用向量加減及數(shù)運算找到的關(guān)系，證明；（3）利用向量加減及數(shù)運算可得.【詳解】證明：（1），∴A、B、C、D四點共面．，∴E、F、G、H四點共面．（2）.（3）.【規(guī)律方法】利用空間向量證明平行的方法1.線線平行:證明兩直線的方向向量共線2.線面平行:①證明該直線的方向向量與平面的某一法向量垂直；②證明直線的方向向量與平面內(nèi)某直線的方向向量平行3.面面平行:①證明兩平面的法向量為共線向量；②轉(zhuǎn)化為線面平行、線線平行問題【變式訓(xùn)練】變式51.已知長方體中，，，，點S、P在棱、上，且，，點R、Q分別為AB、的中點．求證：直線直線．【答案】證明見解析.【解析】以點D為原點，分別以、與的方向為x、y與z軸的正方向，建立空間直角坐標系．則、、、、、、、，由題意知、、、，∴，．∴，又，不共線，∴.變式52.（2020·全國·高三專題練習(xí)（理））如圖所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD為正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F(xiàn)，G分別是線段PA，PD，CD的中點.求證：（1）PB//平面EFG；（2）平面EFG//平面PBC.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】（1）平面PAD⊥平面ABCD，且ABCD為正方形，構(gòu)建空間直角坐標系A(chǔ)xyz，并確定A，B，C，D，P，E，F(xiàn)，G的坐標，法一：求得，即可確定平面EFG的一個法向量，又有，則PB//平面EFG得證；法二：由，，，可知，根據(jù)向量共面定理即有，與共面，進而可證PB//平面EFG；（2）由（1）有即，可得BC//EF，根據(jù)線面平行的判定有EF//平面PBC，GF//平面PBC，結(jié)合面面平行的判定即可證平面EFG//平面PBC.【詳解】（1）因為平面PAD⊥平面ABCD，且ABCD為正方形，所以AB，AP，AD兩兩垂直.以A為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系A(chǔ)xyz，則A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，E(0,0,1)，F(xiàn)(0,1,1)，G(1,2,0).法一：設(shè)平面EFG的法向量為，則,即,令z＝1，則為平面EFG的一個法向量，∵，∴，所以，∵PB?平面EFG，∴PB//平面EFG.法二：，，.設(shè)，即(2,0,－2)＝s(0,－1,0)＋t(1,1,－1)，所以解得s＝t＝2.∴，又與不共線，所以，與共面.∵PB?平面EFG，∴PB∥平面EFG.（2）由（1）知：，∴，所以BC//EF.又EF?平面PBC，BC?平面PBC，所以EF//平面PBC，同理可證GF//PC，從而得出GF//平面PBC.又EF∩GF＝F，EF?平面EFG，GF?平面EFG，∴平面EFG//平面PBC.題型六：利用空間向量證明垂直【典例分析】例61.（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）在正方體中，E，F(xiàn)分別為的中點，則（

）A．平面平面 B．平面平面C．平面平面 D．平面平面【答案】A【分析】證明平面，即可判斷A；如圖，以點為原點，建立空間直角坐標系，設(shè)，分別求出平面，，的法向量，根據(jù)法向量的位置關(guān)系，即可判斷BCD.【詳解】解：在正方體中，且平面，又平面，所以，因為分別為的中點，所以，所以，又，所以平面，又平面，所以平面平面，故A正確；選項BCD解法一：如圖，以點為原點，建立空間直角坐標系，設(shè)，則，，則，，設(shè)平面的法向量為，則有，可取，同理可得平面的法向量為，平面的法向量為，平面的法向量為，則，所以平面與平面不垂直，故B錯誤；因為與不平行，所以平面與平面不平行，故C錯誤；因為與不平行，所以平面與平面不平行，故D錯誤，故選：A.選項BCD解法二：解：對于選項B，如圖所示，設(shè)，，則為平面與平面的交線，在內(nèi)，作于點，在內(nèi)，作，交于點，連結(jié)，則或其補角為平面與平面所成二面角的平面角，由勾股定理可知：，，底面正方形中，為中點，則，由勾股定理可得，從而有：，據(jù)此可得，即，據(jù)此可得平面平面不成立，選項B錯誤；對于選項C，取的中點，則，由于與平面相交，故平面平面不成立，選項C錯誤；對于選項D，取的中點，很明顯四邊形為平行四邊形，則，由于與平面相交，故平面平面不成立，選項D錯誤；故選：A.例62.（河南省部分地區(qū)聯(lián)考20232024學(xué)年高二上學(xué)期階段性測試（一）數(shù)學(xué)試題）已知點，，，則下列向量是平面的法向量的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】表示出向量，根據(jù)法向量定義，依次驗證各選項中的向量與是否都垂直即可.【詳解】由題意知：，，對于A，，，與均垂直，是平面的一個法向量，A正確；對于B，，與不垂直，不是平面的一個法向量，B錯誤；對于C，，與不垂直，不是平面的一個法向量，C錯誤；對于D，，與不垂直，不是平面的一個法向量，D錯誤.故選：A.【規(guī)律方法】利用空間向量證明垂直的方法1.線線垂直：證明兩直線所在的方向向量互相垂直，即證它們的數(shù)量積為零2.線面垂直：證明直線的方向向量與平面的法向量共線，或?qū)⒕€面垂直的判定定理用向量表示3.面面垂直：證明兩個平面的法向量垂直，或?qū)⒚婷娲怪钡呐卸ǘɡ碛孟蛄勘硎尽咀兪接?xùn)練】變式61.（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在正四棱柱中，是底面的中心，分別是的中點，則下列結(jié)論正確的是（

）A．//B．C．//平面D．平面【答案】B【解析】【分析】建立空間直角坐標系，利用空間位置關(guān)系的向量證明，逐項分析、判斷作答.【詳解】在正四棱柱中，以點D為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，令，是底面的中心，分別是的中點，則，，，對于A，顯然與不共線，即與不平行，A不正確；對于B，因，則，即，B正確；對于C，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，，因此與不垂直，即不平行于平面，C不正確；對于D，由選項C知，與不共線，即不垂直于平面，D不正確.故選：B變式62．（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）在空間四邊形ABCD中，已知，，求證：．【答案】證明詳見解析【分析】通過向量法求得從而證得結(jié)論成立.【詳解】，所以.題型七：空間距離、角的簡單計算【典例分析】例71.（2001·全國·高考真題）正三棱柱中，若，則與所成的角的大小為（

）A．60° B．90° C．45° D．120°【答案】B【解析】選出向量的基底，選，，為基底，將、用基底表示，求出兩個向量的數(shù)量積，利用向量垂直的充要條件求出兩個向量的夾角．【詳解】設(shè)，，，，則，，，∴，∴與所成的角的大小是，故選：B例72.（2023秋·江蘇常州·高三江蘇省前黃高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在空間直角坐標系中，點關(guān)于軸的對稱點為點，則點到直線的距離為.【答案】/【分析】利用向量的模、單位方向向量、數(shù)量積運算、距離公式運算即可得解.【詳解】解：由題意，，，則∴的單位方向向量，又∵，∴，∴點到直線的距離為.故答案為：.【變式訓(xùn)練】變式71.（2023秋·福建莆田·高三?？茧A段練習(xí)）如圖，平行六面體的底面是矩形，，，，且，則線段的長為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，由，轉(zhuǎn)化為向量的模長，然后結(jié)合空間向量數(shù)量積運算，即可得到結(jié)果.【詳解】由，可得，因為底面為矩形，，，，所以，，又，所以，則.故選：B變式72．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知，，則以為鄰邊的平行四邊形的面積為．【答案】【分析】將平行四邊形分成兩個三角形，利用三角形的面積公式結(jié)合向量的夾角公式進行求解.【詳解】設(shè)的夾角為，則，故，根據(jù)夾角公式，，于是，不妨設(shè)，，以為鄰邊的平行四邊形為，連接，則，而根據(jù)三角形的面積公式，，故.故答案為：一、單選題1.（2023秋·福建莆田·高三?？奸_學(xué)考試）設(shè)，向量，，且，則（

）A． B． C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)空間向量平行與垂直的坐標表示，求得的值，結(jié)合向量模的計算公式，即可求解.【詳解】由向量且，可得，解得，所以，，則，所以.故選：C.2（2022·全國·高三專題練習(xí)）正方體分別為的中點，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】建立空間直角坐標系，利用向量法求異面直線所成角的余弦值.【詳解】設(shè)正方體棱長為2，以的原點，分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，，，所以異面直線與所成角的余弦值為.故選：B3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知為直線的方向向量，、分別為平面、的法向量（、不重合），那么下列說法中：①；②；③；④.其中正確的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】根據(jù)線面位置關(guān)系的空間向量表示分別判斷各個小題即可.【詳解】①，判斷正確；②，判斷正確；③，判斷錯誤；④或，判斷錯誤.故選：B4．（2023秋·遼寧沈陽·高三東北育才學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知空間向量兩兩夾角均為，且.若向量滿足，則的最小值是（

）A． B． C．0 D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，取一個三棱錐，用其棱表示對應(yīng)的向量，結(jié)合題中所給的條件，將相應(yīng)的邊長求出，之后應(yīng)用空間向量運算法則，表示出對應(yīng)的結(jié)果，從而判斷出取最值時對應(yīng)的情況，求值即可.【詳解】取一三棱錐，，且，，所以，，設(shè)，因為，所以，即，所以在以為直徑的球上，球半徑為，設(shè)球心為，又由同理可知在以為直徑的球上，球半徑為，設(shè)球心為，球心距，所以兩球相交，即點與點可以重合，又，所以.故選：C.二、多選題5．（2023秋·四川眉山·高二仁壽一中?？茧A段練習(xí)）下面四個結(jié)論正確的是（

）A．向量，若，則．B．若空間四個點，，則三點共線．C．已知向量，，若，則為鈍角．D．已知是空間的一組基底，若，則也是空間的一組基底；【答案】ABD【分析】由空間向量的數(shù)量積及其運算性質(zhì)可判斷AC，由空間向量的基本定理與共線定理以及向量基底可判斷BD.【詳解】對于A：因為，，則，故A正確；對于B：因為，則，即，又與有公共點，所以三點共線，故B正確；對于C：若為鈍角：則，且與不共線，由得，當時與平行時，，由與不共線得，于是得當且時，為鈍角，故C錯誤；對于D：是空間的一組基底，則向量不共面，由，所以也不共面，故也是空間的一組基底，故D正確，故選：ABD.6.（2022秋·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱七十三中?？计谥校┤鐖D，在平行六面體中，其中以頂點A為端點的三條棱長均為6，且彼此夾角都是，下列說法中不正確的是（

）A．B．C．向量與夾角是