2022屆山西省太原市高三第一次模擬數(shù)學(xué)（理）試題（解析版）

2022屆山西省太原市高三第一次模擬數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1．，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用復(fù)數(shù)除法運(yùn)算求出復(fù)數(shù)，再由共軛復(fù)數(shù)的意義求解作答.【詳解】依題意，，所以.故選：A2．已知全集為，集合，，集合和集合的韋恩圖如圖所示，則圖中陰影部分可表示為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】圖中陰影部分是表示不在集合中，但在集合中的元素.【詳解】圖中陰影部分是表示不在集合中，但在集合中的元素，根據(jù)題意，，故選：A3．設(shè)為非零向量，，則下列命題為真命題的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】D【分析】根據(jù)向量垂直的數(shù)量積表示判斷A，由向量共線判斷BC，利用數(shù)量積的運(yùn)算判斷D．【詳解】對(duì)于A，，結(jié)論不成立，命題為假；對(duì)于B，當(dāng)與方向相反時(shí)，結(jié)論不成立，命題為假；對(duì)于C，當(dāng)與共線時(shí)，結(jié)論不成立，命題為假；對(duì)于D，若，則，即，則，所以，命題為真．故選：D．4．南北朝時(shí)期數(shù)學(xué)家，天文學(xué)家祖暅提出了著名的祖暅原理：冪勢(shì)既同，則積不容異，其中“冪”指截面積，“勢(shì)”指幾何體的高.意思是說：兩個(gè)等高幾何體，若在每一等高處截面積都相等，則兩個(gè)幾何體體積相等，已知某不規(guī)則幾何體與一個(gè)由正方體和三棱錐組成的幾何體滿足“冪勢(shì)同”，組合體的三視圖如圖所示，則該不規(guī)則幾何體的體積為（

）A． B．10 C．12 D．【答案】A【分析】根據(jù)三視圖還原得該幾何體為一個(gè)正方體與一個(gè)三棱錐的組合體，結(jié)合正方體和三棱錐的體積公式計(jì)算即可.【詳解】由三視圖還原得該幾何體為一個(gè)正方體與一個(gè)三棱錐的組合體，由題意可得，．故選：A．5．的內(nèi)角的對(duì)邊分別為.若，，，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用余弦定理可構(gòu)造方程求得，利用三角形面積公式可求得結(jié)果.【詳解】由余弦定理可得：，解得：，，.故選：C.6．為了促進(jìn)邊疆少數(shù)民族地區(qū)教育事業(yè)的發(fā)展，我市教育系統(tǒng)選派了3名男教師和2名女教師去支援新疆教育，要求這5名教師被分派到3個(gè)學(xué)校對(duì)口支教，每名教師只去一個(gè)學(xué)校，每個(gè)學(xué)校至少安排1名教師，其中2名女教師分派到同一個(gè)學(xué)校，則不同的分派方法有（

）A．18種 B．36種 C．68種 D．84種【答案】B【分析】由題意：2名女教師分派到同一個(gè)學(xué)校考慮該校是否分配男教師，即可求出答案.【詳解】根據(jù)題意，分派方案可分為兩種情況:①2名女教師和1名男教師分派到同一個(gè)學(xué)校，則有種方法.②2名女教師分派到同一個(gè)學(xué)校，且該學(xué)校沒有分配沒有男教師，則有：種方法.故一共有：36種分配方法.故選：B.7．下列函數(shù)圖象中，函數(shù)的圖象不可能的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】當(dāng)時(shí)，驗(yàn)證正確.當(dāng)時(shí)，驗(yàn)證正確.當(dāng)時(shí)，驗(yàn)證正確.【詳解】當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.，則為偶函數(shù).當(dāng)時(shí)，.則即函數(shù)在上單調(diào)遞增，則函數(shù)在上單調(diào)遞減.此時(shí)函數(shù)的圖象可能為選項(xiàng).當(dāng)時(shí)，，定義為且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.，則為偶函數(shù).當(dāng)時(shí)，.則當(dāng)時(shí)，即函數(shù)在上單調(diào)遞減當(dāng)時(shí)，即則函數(shù)在上單調(diào)遞增.根據(jù)對(duì)稱性可知，此時(shí)函數(shù)的圖象可能為選項(xiàng).當(dāng)時(shí)，，定義為關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.，則為奇函數(shù).當(dāng)時(shí)，.則令，則即并且在上單調(diào)遞增，并且在上單調(diào)遞增.根據(jù)對(duì)稱性可知，此時(shí)函數(shù)的圖象可能為選項(xiàng).故選：C【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的圖象，判斷函數(shù)的奇偶性，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，屬于較難的題.8．設(shè)，是橢圓：的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)斜率為的直線交橢圓于點(diǎn)，若，則橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)給定條件求出，由橢圓半焦距為c表示，然后利用橢圓定義列式計(jì)算作答.【詳解】因過點(diǎn)斜率為的直線交橢圓于點(diǎn)，則有，，因此，在中，，令橢圓半焦距為c，于是得，，由橢圓定義得：，，所以橢圓的離心率是.故選：B9．已知α為銳角，且，則α的值為（

）A．70° B．60° C．50° D．40°【答案】D【分析】直接利用三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換求出即得解.【詳解】解：由可得，即，所以，又為銳角，故.故選：D.10．在平面直角坐標(biāo)系中，從軸上點(diǎn)向圓作一條切線，設(shè)切線長(zhǎng)為，點(diǎn)到直線的距離為，當(dāng)取最小值時(shí)，的值為（

）A．2 B．3 C． D．4【答案】B【分析】利用切線長(zhǎng)定理求出m的表達(dá)式，結(jié)合幾何意義將問題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)P到定點(diǎn)距離與到定直線距離的和最小求解作答.【詳解】圓的圓心，半徑，過點(diǎn)P作圓的切線PA，A為切點(diǎn)，連接PC，AC，如圖，

則有，，表示動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)的距離，令直線為l，過P作于點(diǎn)R，則，過M作于N，交x軸于點(diǎn)Q，連PM，MR，，當(dāng)且僅當(dāng)P，Q重合時(shí)取“=”，直線的斜率為，其方程為：，令，得，則，當(dāng)取最小值時(shí)，的值為3.故選：B11．已知實(shí)數(shù)，滿足，，則（

）A．112 B．28 C．7 D．4【答案】B【分析】等式化為：，構(gòu)造函數(shù)并探討其單調(diào)性，求出x，y的關(guān)系推理計(jì)算作答.【詳解】由得：，即，顯然有，令，則有，即有在上單調(diào)遞增，依題意，，即得：，又，則，解得，所以.故選：B【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及含有不同變量的兩個(gè)等式，細(xì)心挖掘問題的內(nèi)在聯(lián)系，構(gòu)造函數(shù)，分析并運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性求解作答.12．已知函數(shù)，若函數(shù)恰有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】令，易知0是其中一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，轉(zhuǎn)化為，令，作出函數(shù)的圖象，由有兩個(gè)不同的交點(diǎn)求解.【詳解】解：令，當(dāng)時(shí)，成立，當(dāng)時(shí)，可化為，令，當(dāng)時(shí)，，則，令，則，所以遞減，則即，所以在上遞增，作出函數(shù)的圖象，如圖所示：因?yàn)楹瘮?shù)恰有三個(gè)零點(diǎn)，且0是其中一個(gè)零點(diǎn)，所以有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，由圖象知：，故選：C二、填空題13．的展開式中的系數(shù)為__________．【答案】【分析】根據(jù)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，又的展開式的通項(xiàng)所以的展開式中的系數(shù)為.故答案為：.14．已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，點(diǎn)在雙曲線的漸近線上，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形（為原點(diǎn)），則雙曲線的方程為___________．【答案】【分析】由題意可知，進(jìn)而可得出，再結(jié)合可求得、的值，由此可得出雙曲線的方程.【詳解】由于是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，則，由題意可得，解得，因此，雙曲線的方程為.故答案為：.15．已知在三棱錐中，平面，，，若三棱錐的外接球體積為，則異面直線與所成角的余弦值為__________.【答案】0.5【分析】根據(jù)給定條件，確定出三棱錐外接球球心并求出球半徑，再借助空間向量計(jì)算作答.【詳解】在三棱錐中，因平面，平面，則，，而，，平面，因此，平面，又平面，則，取PC中點(diǎn)O，連接BO，AO，如圖，于是得，即有O是三棱錐的外接球球心，由得：，，而，則有，而，，則，從而有，所以異面直線與所成角的余弦值為.故答案為：16．設(shè)函數(shù)，給出下列四個(gè)結(jié)論：①的最小正周期為；

②的值域?yàn)椋虎墼谏蠁握{(diào)遞增；

④在上有4個(gè)零點(diǎn).其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是__________.【答案】①②④【分析】討論的范圍去掉絕對(duì)值可得到，結(jié)合圖象逐項(xiàng)分析可得答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，的圖象如下所以的最小正周期為，①正確；

的值域?yàn)椋谡_；在上有增有減，③錯(cuò)誤；

在上有4個(gè)零點(diǎn)，④正確.故答案為：①②④.三、解答題17．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，，數(shù)列滿足，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(3)設(shè)數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)；(2)；(3).【分析】（1）根據(jù)遞推公式，結(jié)合數(shù)列前項(xiàng)和與第項(xiàng)之間的關(guān)系、等比數(shù)列的定義進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)遞推公式，結(jié)合（1）中的結(jié)論進(jìn)行求解即可；（3）根據(jù)平方差公式，結(jié)合等差數(shù)列前項(xiàng)和公式進(jìn)行即可.【詳解】(1)由因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，得：，所以，當(dāng)時(shí)，也適合，因此；(2)因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，兩式相減得：，由（1）可知：，所以，當(dāng)時(shí)，，也適合上式，故；(3)因?yàn)?，所以，因?18．某校從高三年級(jí)中選拔一個(gè)班級(jí)代表學(xué)校參加“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)知識(shí)大賽”，經(jīng)過層層選拔，甲、乙兩個(gè)班級(jí)進(jìn)入最后決賽，規(guī)定回答1道相關(guān)問題做最后的評(píng)判選擇由哪個(gè)班級(jí)代表學(xué)校參加大賽．每個(gè)班級(jí)4名選手，現(xiàn)從每個(gè)班級(jí)4名選手中隨機(jī)抽取2人回答這個(gè)問題．已知這4人中，甲班級(jí)有3人可以正確回答這道題目，而乙班級(jí)4人中能正確回答這道題目的概率均為，甲、乙兩班級(jí)每個(gè)人對(duì)問題的回答都是相互獨(dú)立、互不影響的．(1)求甲、乙兩個(gè)班級(jí)抽取的4人都能正確回答的概率．(2)設(shè)甲、乙兩個(gè)班級(jí)被抽取的選手中能正確回答題目的人數(shù)分別為，，求隨機(jī)變量，的期望，和方差，，并由此分析由哪個(gè)班級(jí)代表學(xué)校參加大賽更好．【答案】(1)(2)，，，甲班級(jí)代表學(xué)校參加大賽更好.【分析】（1）根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式即可求出答案；（2）結(jié)合超幾何分布和二項(xiàng)分布，根據(jù)數(shù)學(xué)期望和方差的定義依次求出，，，，由此可求出答案．【詳解】(1)解：甲、乙兩個(gè)班級(jí)抽取的4人都能正確回答的概率；(2)解：甲班級(jí)能正確回答題目人數(shù)為，則的可能取值為1，2，，，則，．乙班級(jí)能正確回答題目人數(shù)為，則的可能取值為0，1，2．所以，∴，．由，可知，由甲班級(jí)代表學(xué)校參加大賽更好．19．已知一圓形紙片的圓心為，直徑，圓周上有、兩點(diǎn).如圖，，，點(diǎn)是上的動(dòng)點(diǎn).沿將紙片折為直二面角，并連結(jié)，，，.(1)當(dāng)平面時(shí)，求的長(zhǎng)；(2)當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，求二面角的余弦值.【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用線面平行可得，進(jìn)而求出等腰的底角即可計(jì)算作答.（2）由已知證明平面，再由體積最大可得，然后作出二面角的平面角，借助直角三角形求解作答.【詳解】(1)因平面，平面內(nèi)，平面平面，則有，因此，，而，則，所以的長(zhǎng)是.(2)因，平面平面，平面平面，平面ABC，則平面，三棱錐的體積，因此，三棱錐的體積最大，當(dāng)且僅當(dāng)，即，取PD中點(diǎn)M，連接OM，CM，由，可得，如圖，于是得，即是二面角的平面角，而，在中，，則，，所以二面角的余弦值是.20．已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，一條直線過定點(diǎn)與拋物線相交于、兩點(diǎn)，且.(1)求拋物線方程；(2)連接，并延長(zhǎng)交拋物線于、兩點(diǎn)，設(shè)和的面積分別為和，則是否為定值？若是，求出其值；若不是，請(qǐng)說明理由.【答案】(1)；(2)存在定值，定值為.理由見解析.【分析】（1）根據(jù)題意設(shè)出直線方程，利用平面向量互相垂直的性質(zhì)，結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)三角形面積公式，結(jié)合（1）中的方法進(jìn)行求解即可.【詳解】(1)設(shè)直線的方程為：，與拋物線方程聯(lián)立為：，設(shè)，所以，因?yàn)?，所以，化?jiǎn)得：，把代入得：，所以拋物線的方程為；(2)拋物線的焦點(diǎn)，設(shè)直線的方程為：，與拋物線方程聯(lián)立為：，設(shè)，所以，即，設(shè)，同理可得：，即，，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，而，，，所以，因此為定值，定值?【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用一元二次根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.21．已知函數(shù).(1)求函數(shù)在區(qū)間上的最值；(2)討論方程實(shí)根個(gè)數(shù).【答案】(1)最小值為，最大值為(2)答案見解析【分析】（1）首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再分析函數(shù)的單調(diào)性，再求函數(shù)的最值；(2)構(gòu)造函數(shù)，再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)求出單調(diào)性、最值，結(jié)合圖像，即可求解.【詳解】(1)函數(shù)的定義域是，令則在上單調(diào)遞增.又時(shí)，，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.故函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又且顯然函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，最大值為(2)即為，得，即，令,易知在上單調(diào)遞增，故，構(gòu)造函數(shù)，則故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增..①當(dāng)時(shí)，恒成立，方程沒有實(shí)根；②當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，恒成立；方程有1個(gè)實(shí)根；③當(dāng)時(shí)，，先證：時(shí)，，令，即時(shí)，，當(dāng)時(shí)，即在上分別有一個(gè)零點(diǎn)，而在上單調(diào)遞遞減，在上單調(diào)遞遞增，所以在上分別有一個(gè)零點(diǎn)，因此方程有2個(gè)實(shí)根.22．在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，點(diǎn)的極坐標(biāo)為.(1)求點(diǎn)的直角坐標(biāo)和曲線的直角坐標(biāo)方程；(2)若直線和曲線交于，兩點(diǎn)，求點(diǎn)到線段中點(diǎn)的距離.【答案】(1)；；(2).【分析】（1）利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化公式求出點(diǎn)的直角坐標(biāo)和曲線的直角坐標(biāo)方程.（2）將直線的參數(shù)方程代入曲線的直角坐標(biāo)方程，求出點(diǎn)M所對(duì)參數(shù)，再結(jié)合參數(shù)的幾何意義計(jì)算作答.【詳解】(1)點(diǎn)的極坐標(biāo)為，由可得點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為，曲線：，即，于是得曲線的直角坐標(biāo)方程：.(2)顯然點(diǎn)在直線上，將直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）代入方程得：，整理得：，設(shè)點(diǎn)，所對(duì)參