河南省信陽某中學2022-2023學年高一年級上冊12月測試（二）數(shù)學試題（含答案解析）

河南省信陽高級中學2022-2023學年高一上學期12月測試

（二）數(shù)學試題

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.已知集合4=｛（種）卜+、4296可，則A中元素的個數(shù)為（）

A.4B.5C.6D.無數(shù)個

2.若對于任意實數(shù)x,卜］表示不超過x的最大整數(shù)，例如［&］=1,［司=1,=-2,

那么“國=3”是中-y|<l"的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.已知偶函數(shù)/（x）的定義域為R,當XG［O,M）時，〃X）=言，則/（工一1）<1的解

集為（）

5.已知定義在R上的奇函數(shù)滿足“x-4)=-〃x),且在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù)，

則()

A./(16)</(-17)</(18)B./(18)</(16)</(-17)

C./(16)</(18)</(-17)D./(-17)</(16)</(18)

6.若兩個正實數(shù)x,y滿足以+丫=孫且存在這樣的x,y使不等式x+4〈蘇+3機有

4

解，則實數(shù)加的取值范圍是()

A.(-1,4)B.(-4,1)C.(一--4)=(1,+8)

D.(-<?,-3)=(0,+8)

7.若不等式iog2ll沁匕也?》(x-l)k)g23對任意x?F,l)恒成立，則實數(shù)a的范

圍是()

A.(-oo,0]B.(-oo,l]C.[0,+co)D.[l,+oo)

8.若一圓弧長等于其所在圓的內接正三角形的邊長，則其圓心角a(0<a<外的弧度數(shù)

為().

冗乃

A.—B.—C.\/3D.5/2

32

二、多選題

9.設函數(shù)/(x)=ln(x2-x+1),則下列命題中正確的是()

A.函數(shù)的定義域為RB.函數(shù)是增函數(shù)

C.函數(shù)f(x)的值域為RD.函數(shù)的圖像關于直線x對稱

10.已知函數(shù)=下列是關于函數(shù)y=/[〃x)]+i的零點個數(shù)的判斷，

試卷第2頁，共4頁

其中正確的是（）

A.當4>0時，有3個零點B.當ZvO時，有2個零點

C.當4>0時，有4個零點D.當％<0時，有1個零點

11.已知正實數(shù)滿足a+b=，/力+〃，則下列結論中正確的是（）

A.若"z=l,"=0,貝l]a/?N4

B.若，"=1,"=。，則a+644

C.若，"=0,〃=1,則」—+二-2.3+2夜

2a+bb+13

D.若m=1,九=一1,則〃+播+2

12.已知正數(shù)羽丁，2滿足3*=4>=61則下列說法中正確的是（）

111°,2

A.-+—=-B.3x>4y>6zC.孫>2z~

x2yz

D.x+y>[^-+>/2z

三、填空題

13.函數(shù)y=的定義域為______.

?2X2-3X-2

14.設函數(shù)〃月=可三上在區(qū)間[-2,2]上的最大值為M,最小值為N,則

（M+N-咪°”的值為.

sincos0

15.已知tan8=2,則

2sinJ+cos。

16.若函數(shù)/（幻=k1-1|（。>0,且在區(qū)間卬3（2；-1）|上單調遞減,則實數(shù)

、L1

a的取值范圍是

四、解答題

17.已知函數(shù)/（力=言|.

⑴判斷函數(shù)f（x）的奇偶性并加以證明；

（2）TxeR,不等式/（加+2）+/（2x-l）>0成立，求實數(shù)。的取值范圍.

18.設函數(shù)尸的2-蛆-l.

（1）若對任意xGR,使得）<0成立，求實數(shù)機的取值范圍；

(2)若對于任意xe[l,3],y<-,"+5恒成立，求實數(shù)相的取值范圍.

19.某科研單位在研發(fā)鈦合金產(chǎn)品的過程中使用了一種新材料.該產(chǎn)品的性能指標值是

這種新材料的含量x(單位：克)的函數(shù)，且性能指標值越大，該產(chǎn)品的性能越好.當

0<x<7時，y和x的關系為以下三種函數(shù)模型中的一個：?y=ax2+hx+c.?y=k-ax

(a>0且。目)；③產(chǎn)出咋產(chǎn)(。>0且“片1)；其中A,a,b,c均為常數(shù).當xN7時，

y其中m為常數(shù).研究過程中部分數(shù)據(jù)如下表:

X(單位：克)02610......

-488......

y9

(1)指出模型①②③中最能反映y和x(0Vx<7)關系的一個，并說明理由；

(2)求出y與x的函數(shù)關系式；

(3)求該新合金材料的含量x為多少時，產(chǎn)品的性能達到最佳.

20.已知函數(shù)〃x)=3-2k>g2X,^(x)=log2x.

⑴求函數(shù)乃/(f)"(6)+2g(x)在[1,4]上的零點；

⑵若函數(shù)/?(x)=[/(x)+l}g(x)T在[1,4]上有零點，求實數(shù)人的取值范圍.

21.已知函數(shù)7(刈=不二+。是奇函數(shù).

2—1

(1)求。的值；

(2)若[/(x)—l}lnx<0,且x>l求x的取值范圍.

22.已知函數(shù)〃x)=x+q-4,g(x)=fcr+3

⑴對任意的。44,6],函數(shù)|/(x)|在區(qū)間[1,向上的最大值為|〃，”)|,試求實數(shù)，”的取值

范圍；

⑵對任意的aw[l,2],若不等式|/(3)|-『(々)|<8(3)-8(&)任意辦,々且2,4](±<々)

恒成立，求實數(shù)k的取值范圍.

試卷第4頁，共4頁

參考答案：

1.C

【分析】利用列舉法表示出集合A，即可判斷；

【詳解】解：A={(x,y)|x+yM29wN}={(0,0),(0』),(0,2),(1,0),(1,1),(2,0)},

故集合A中含有6個元素；

故選：C

2.A

【分析】根據(jù)高斯函數(shù)的定義以及充分必要條件的定義推導即可.

【詳解】如果［x］=［H=〃,〃wZ,則有％=〃+44=〃+』2,4，&€［°，1)，

.-.\x-y\=|4-d21V1，所以［小3是—|<1的充分條件;

反之，如果|x-y|Vl,比如x=3.9,y=4.1,則有k一“0.2<1,

根據(jù)定義，國=3,卜］=4,國*國，即不是必要條件，

故卜］=m是卜-乂<1的充分不必要條件；

故選：A.

3.D

【分析】采用分離常數(shù)法和偶函數(shù)的性質可確定/(x)的單調性，結合】可構造不等

式求得結果.

【詳解】:〃X)==="(X+1)+3=T+-1-,\/(x)在［0,+向上單調遞減，又“X)為

X+1X+1入+1

偶函數(shù)，

=,解得：或x>5，

.?./(1)<1的解集為［?,3)1|(|,+℃).

故選：D.

4.A

【分析】利用X=2時y>o排除選項D,利用x=—2時y<0排除選項C,利用X時y<0

排除選項B,所以選項A正確.

答案第1頁，共14頁

【詳解】函數(shù)y=的定義域為{小=±1}

產(chǎn)金=上>。，

當x=2時,可知選項D錯誤;

打-I*

(-2)-8八

當x=-2時，三=水］=強肛可知選項C錯誤;

當x=g時,

可知選項B錯誤，選項A正確.

故選：A

5.D

【分析】推導出函數(shù)〃x)是周期函數(shù)，且周期為8,以及函數(shù)f(x)在區(qū)間［-2,2］上為增函

數(shù)，利用函數(shù)的周期性和單調性可得出了(16)、/(-17)、/(18)的大小關系.

【詳解】由題意可知/(x+8)=-/(x+4)=〃x),故函數(shù)〃x)是周期函數(shù)，且周期為8,

則〃16)=/(0),/(-17)=/(-1),/(18)=/(2),

因為奇函數(shù)〃x)在區(qū)間［0,2］上是增函數(shù)，則該函數(shù)在區(qū)間［-2,0］上也為增函數(shù)，

故函數(shù)〃x)在區(qū)間［-2,2］上為增函數(shù)，所以/(—1)</(0)<〃2),即

/(-17)</(16)</(18).

故選：D.

6.C

41v

【分析】依題意可得一+一=1,再利用乘“1”法及基本不等式求出X+：的最小值，即可得到

yx4

川+3m>4,解一元二次不等式即可.

41

【詳解】解：因為x>0,y>0^4X+y=xy,所以一+—=1,

Vx

所以》+，=口+上］(±+，〕=2+竺+上22+2、^^=4,

4V4八yxjy4x

當且僅當4一x=+y，即y=4x=8時等號成立，

y4x

答案第2頁，共14頁

所以加2+3〃?>4,即(相+4)(〃1-1)>0,解得帆<T或/>1,

所以用的取值范圍是(y,Y)5i,+e).

故選：C

7.B

【分析】利用對數(shù)函數(shù)的性質不等式，然后結合函數(shù)的單調性得出結論.

(詳解】題設不等式化為log21+》bg231,即1+231,

1+2'"33"嗎)+(|),

易知y=+(1)是減函數(shù)，x<l時，y<|+|=l,

所以由不等式+(|)在S,1)上恒成立得a<\.

故選：B

8.C

【分析】不妨設等邊的外接圓的半徑為2,根據(jù)圖形所作的輔助線，可求出邊長，再

根據(jù)弧長公式即可求出答案.

【詳解】不妨設等邊AABC的外接圓的半徑為2,

取BC的中點￡>,連接OO,0C,則NOC3=30。.

由垂徑定理的推論可知，OD±BC,

在RtjDCD中，OD=g()C=l,:.CD=C，：.邊長BC=26

設該圓弧所刻圓心角的弧度數(shù)為6,

則由弧長公式可得，=絲=6.

故選：C

【點睛】本題考查了圓的內接正三角形的邊長與半徑的關系及弧長公式，理解以上知識和計

算方法是解決問題的關鍵.

答案第3頁，共14頁

9.AD

【分析】根據(jù)對數(shù)型復合函數(shù)的性質對選項逐一判斷即可.

【詳解】A正確，???/—%+]=卜一；)+?>0恒成立，...函數(shù)〃》)的定義域為口；

B錯誤，函數(shù)/(x)=ln(f-x+1)在(；,+[上是增函數(shù)，在卜8,；]上是減函數(shù)；

C錯誤，由/_》+1=卜_￡)-+:21可得〃刈=111(》2-犬+1)21弓，

.??函數(shù)〃x)的值域為In；,+8)；

D正確，函數(shù)〃x)的圖像關于直線x對稱.

故選:AD.

10.CD

【解析】令y=0得/[f(x)]=-l,利用換元法將函數(shù)分解為/(x)=/和/。)=-1,作

出函數(shù)/(X)的圖象，利用數(shù)形結合即可得到結論.

【詳解】令y=/[〃x)]+l=O,得/[〃x)]=T，設/(X)=t,則方程/卜(切=—1等價

為/1⑺=-1.

①若4>0,作出函數(shù)/(x)的圖象如圖：?./(八=-1,

.?.此時方程/G)=-1有兩個根其中f2<0，0<Z/<l,由/(x)=攵<0，此時x有兩解，

由f(x)=t￡(0,I)知此時x有兩解，此時共有4個解，

即函數(shù)y="(x)J+1有4個零點.

②若ZV0,作出函數(shù)/(x)的圖象如圖：?.",(/)=-1,...此時方程/G)=-1有一個根

h，其中0<勿<1,

由f(x)=t￡(0,I),此時x只有1個解，即函數(shù)]+1有-1個零點.

故選：CD.

答案第4頁，共14頁

解決本題的關鍵，屬于難題.

11.ACD

【分析】把"，”的相應值代入，結合基本不等式及相關結論分別檢驗各選項即可.

【詳解】解：當機="=0時，a+h=ab>14ab,

當且僅當a=6=2時取等號，解得而24,故A正確;

a+b=ab<(^\,當且僅當a=6=2時取等號,

解得。+匕24,故B錯誤;

當機=0,〃=1時，a+b=\,貝ij勿+/?+。+1=3,

「廣一121(2。+/?+人+14。+2b+2b+2

所以-----+----=------------+-------------

2a+bb+13(2a+b力+1

lf3+±LL+±L^klf3+2e+144+2”_3+2夜當日僅當―一

312a+bb+\1一31\2a+bb+1)3'三乂2a+Z?b+l

時取等號，所以C正確,

當機=1,〃=T時，a+b=ab-\<^^-1,當且僅當a=%時取等號，

解得a+Z?220+2(舍負)，故D正確.

故選：ACD.

12.ACD

【分析】將已知條件轉化為對數(shù)的形式，利用對數(shù)運算、商比較法、基本不等式等指數(shù)對選

項進行分析，從而確定正確答案.

【詳解】正數(shù)x,y,z滿足3*=4'=6=,設3*=4'=&=(>1),

答案第5頁，共14頁

則J=10g3，,y=10g4t,Z=log6t.

對于A，l+±=log,341ogz4=log,6=|,故A正確;

對于B,3x=31og3/,4y=41og/,6z=6Iog61,

3x31og/3,4I

v—=—^-=-log4<l,A3x<4y,

4y4logJ43

4y41og.r2,,I

?/7^=-----=-log6<l,，4y<6z,；.3x<4y<6z,故B錯誤;

6z610g6f34

對于c,由'=4+，-

>2—(x*2y),兩邊平方，可得町>2z:故C正確;

zx2y\2xy

1等+&Z(XH)，),故D正確.

對于D,由Ay>2z2,可得工+丁>2，^>2嶼？=2夜2>

故選：ACD

13.-2'4

4-v2>0

【分析】根據(jù)函數(shù)解析式有意義，列出不等式組2--版-2/?！獠坏仁郊纯傻么鸢?

4—r>011

【詳解】解：由題意得、，"、八，解得—24x<—：或-彳<》<2,

2X2-3X-2^022

所以函數(shù)的定義域是-2,-；卜卜利.

故答案為：々-J卜卜;，2).

14.1

【分析】先將函數(shù)化簡變形得/(月=小2+1,然后構造函數(shù)g(x)=±0,可判斷g(x)

X+1X"+1

為奇函數(shù)，再利用奇函數(shù)的性質結合/(x)=g(x)+l可得V+N=2,從而可求得結果

【詳解】由題意知，〃x)==^+l(xe［-2,2］),

設g(x)=］號，則/(x)=g(x)+l,

因為g(r)=q^=-g(x),

所以g(x)為奇函數(shù)，

g(x)在區(qū)間［-2,2］上的最大值與最小值的和為0,

答案第6頁，共14頁

故M+N=2,

所以(〃+N_l)E=(2_l)M2

故答案為：1

15.-##0.2

5

【分析】分子分母同除以cos。，弦化切，進行求解.

■、乂〃力、八?八Ei人…“口sinO-cos，tan，一12-11

【詳解】分子分母同除以COS0得：云H罰=三雨=不存

故答案為：!

35

16.

416

【分析】利用指數(shù)函數(shù)的圖象變換，分類討論，根據(jù)單調性建立不等式求解即可.

【詳解】函數(shù)y="i-l（a>0,且awl）的圖象是將函數(shù)y="（a>0,且awl）的圖

象向右平移1個單位，再向下平移1個單位得到的,

故函數(shù)（。>0,且的圖象恒過點（1,0）.當0<〃<1時，結合函數(shù)”X）

0＜。＜1

若函數(shù)/（x）在區(qū)間（a,32；T）3(21),35

上單調遞減,則丁角牟得

246

2

當。>1時，結合函數(shù)“X）的圖象:

答案第7頁，共14頁

若在區(qū)間.，空I二0］上單調遞減，則,a<3（2：T）,無實數(shù)解.

\272

3（2”1）々

.2

綜上，實數(shù)”的取值范圍為.

（46J

解法二：

若1<"X<3（2aT）,則優(yōu)T_1>0,所以/（X）=卜產(chǎn)一1|在區(qū)間［4,警-羽上單調遞增，

不符合題意；

當0<a<l時，函數(shù)y=/T在區(qū)間a,3（2；T）J上單調遞減,要使函數(shù)/'（x）=|“i-"在區(qū)間

（3（247-1）^1上

--—上單調遞減，

則在區(qū)間a,3（2；T）上恒成立，

0<〃<1

35f35

所以解得土）.故實數(shù)〃的取值范圍是

2

故答案為：（；，1?

146.

17.（1）/。）為奇函數(shù)，證明見解析

⑵（1,內）

答案第8頁，共14頁

【分析】（1）首先求出函數(shù)的定義域，再只要檢驗/（-X）與/（X）的關系即可判斷；

（2）首先判斷函數(shù)的單調性，再結合函數(shù)的單調性及奇偶性將函數(shù)不等式轉化為自變量的

不等式，然后結合二次不等式的恒成立問題進行求解.

【詳解】（D解：函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，證明如下：

函數(shù)/（司=:3的定義域R,

因為“一力=汽=三“A力

所以/（X）為R上的奇函數(shù)；

（2）解：因為〃x）==二=1-三，因為f（x）=l+e*在定義域上單調遞增，且r（x）=l+e，>l,

e+11+e

又丫=、在（1,內）上單調遞增，

所以f（x）在R上單調遞增，

則不等式/（改2+2）+/（2x-l）>0恒成立，即/（62+2）>-/（2》-1）恒成立，

即/（加+2）>/（l-2x）恒成立，

所以52+2>l-2x恒成立，即以2+2*+1>0恒成立，

fa>0

所以A彳/n'解得〃>1，

[A=4-4a<0

所以”的范圍為（l,+°o）.

18.（1）（-4,0]

（2）（?昌

【分析】（1）由如A/nx-lvO,對任意x￡R恒成立，利用判別式法求解；

A

（2）由當無￡[1,3]時，尸加+5恒成立，轉化為m-----對x￡[l,引時恒成立求解.

廣一x+1

【詳解】（1）解：要使/nf-m-lvO,對任意/ER恒成立，

若"2=0,顯然一1<0,滿足題意;

m<0

若，*0,則

=+4/n<0

解得~4v〃?v0

綜上，-4<^t<0,即a的取值范圍是（-4,0].

答案第9頁，共14頁

(2)當3］時,產(chǎn)加+5恒成立,

即當3］時，m(f-x+l)?6<0成立.

因為%2-x+l=(x_g)+|>0,且-x+l)-6<0,

所以〃2〈二----7，

廠一X+1

66

■y=-----------=-----------------z

因為函數(shù)f-x+1］.1］+3在［1,3］上的最小值為

所以只需根<。即可，

即實數(shù)機的取值范圍為,8,g).

19.⑴模型①；

-X2+8X-4,0<X<7

x-8

⑵1闿I,x>7

(3)當x=4克時產(chǎn)品的性能達到最佳.

【分析】(1)根據(jù)題中數(shù)據(jù)結合條件即得；

(2)結合待定系數(shù)法，代入數(shù)據(jù)運算即得；

(3)按04x<7,xN7分類，結合指數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)的性質分別求最值，進而即得.

【詳解】(1)模型①最能反映y和x(0<x<7)的關系，

由題可知x=0時，y=T,顯然模型③不合題意，

若為模型②>=貝iJ&=T,y=-4a'<0不合題意，

故模型①最能反映y和x(0<x<7)的關系；

(2)當04x<7時，y=ax2+bx+c,(a*0),

由X=O,y=-4可得c=T,

由x=2,y=8得4a+2Z?=12,

由x=6,y=8得36。+66=12,

解得a=-1,b=8,

所以y=-f+8x-4；

答案第10頁，共14頁

當x?7時,>=(；),

由x=10,y=1,可得曾j'」，

解得加=8,即有y=(；).

-X2+8X-4,0<X<7

綜上，可得y舊心7

(3)當0〈x<7時，y=-x2+8x-4=-(x-4)2+12,

即有x=4時，性能指標值取得最大值12；

當XN7時，y=(；)單調遞減，

所以當x=7時，性能指標值取得最大值3；

綜上可得，當x=4克時產(chǎn)品的性能達到最佳.

20.⑴x=2

⑵[0,2].

【分析】(1)通過換元法將復合函數(shù)轉化為以「為自變量的二次函數(shù)，整理之后求出令函數(shù)為

0的”直，求出對應x值即為其零點；

(2)求出/z(x)=0時&的表達式，通過換元法用f表示為,根據(jù)f的取值范圍判斷人的取值范圍

即可.

【詳解】(1)由/(x2)./(?)+2g(x)=0,得(3-4摩2力(3—log2X)+21og2X=0.

令ylog^x,因為xe[l,4],所以問0,2],

則原式可轉化為(3-旬(3-/)+2/=0,化簡為4/-⑶+9=0,

9

解得r=l或f(舍去)，所以1嗚%=1,所以x=2,

即函數(shù)y=/(x*/(6)+2g(x)在[1,4]上的零點為x=2.

答案第11頁，共14頁

2

(2)/?(x)=(4-21og2x)-log2=-2(log2x-l)+2-^,

令FlogzX,因為xe[l,4],所以fe[0,2],

令/i(x)=O,W*=-2(/-l)2+2,

因為fe[0,2],所以-2(f-l)2+2e[0,2],即實數(shù)火的取值范圍為[0,2].

21.(1)a=—；

(2)(log23,+oo)

【分析】(1)根據(jù)=⑴，列出方程即可求得答案；

(2)由x>l,得lnx>0,所以"然后逐步轉化即可得到答案.

【詳解】(1)?.?/(X)是奇函數(shù)，且定義域為{x|xeR,x*0},

/(-1)=-/(D,即^^+〃=-(1+〃)，