蘇教版高中數(shù)學選擇性必修第一冊第3章圓錐曲線與方程3-3-1拋物線的標準方程練習含答案

3.3拋物線3.3.1拋物線的標準方程基礎過關練題組一拋物線的定義及其應用1.(教材習題改編)一個動圓P與定圓F:(x-3)2+y2=4相外切,且與直線l:x=-1相切,則動圓圓心P的軌跡方程為()A.y2=12xB.y2=8xC.y2=6xD.y2=4x2.(2023江蘇徐州睢寧第一中學期中)已知拋物線D:y2=4x的焦點為F,準線為l,點P在D上,過點P作準線l的垂線,垂足為A,若PA=AF,則PF=()A.2B.22C.23.(2024江蘇鹽城一中、大豐中學聯(lián)考)已知過拋物線C:y2=2x的焦點F且傾斜角為60°的直線交C于A,B兩點,Q為AB的中點,P為C上一點,則PF+PQ的最小值為()A.84.(2023河南鄭州外國語學校期中)若點P(x,y)滿足方程(x-1)題組二拋物線的標準方程和準線方程5.(2024江蘇鎮(zhèn)江丹陽期中)已知拋物線C:y2=2px(p>0)過點M(x0,3),且點M到C的焦點F的距離為3,則C的準線方程為()A.x=-326.(多選題)(2023山東濱州實驗中學)經(jīng)過點P(4,-2)的拋物線的標準方程為()A.y2=xB.x2=8yC.x2=-8yD.y2=-8x7.(2024廣東南粵名校聯(lián)考)拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F,點M在拋物線上,且MF=3,FM的延長線交y軸于點N,若M為線段FN的中點,則p=()A.2B.22C.4D.6題組三直線與拋物線的位置關系8.(2024江蘇曲塘高級中學期中)已知拋物線y2=4x的焦點為F,過F的直線l與拋物線交于A、B兩點,若△AOF的面積是△BOF面積的2倍,則AB=()A.4B.99.(2024浙江金華第一中學期中)設經(jīng)過拋物線y2=8x的焦點F且斜率為1的直線l與拋物線交于A,B兩點,拋物線的準線與x軸交于C點,則cos∠ACB=.

10.(2024吉林長春質檢)過拋物線E:y2=2px(p>0)的焦點F,且斜率為-1的直線l與拋物線交于A、B兩點,AB=8.(1)求拋物線E的方程;(2)過焦點F作直線l',交E于C、D兩點,直線AC與BD的交點是否在一條直線上?若是,求出該直線的方程;若不是,說明理由.能力提升練題組一拋物線的定義及標準方程的應用1.(2024江蘇連云港七校期中)已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,點A(3,1)在C的內部,點B是C上的一個動點,且△ABF周長的最小值為4+5,則p=()A.1B.2C.3D.42.(2023江蘇徐州睢寧第一中學月考)已知拋物線x2=2py(p>0)的焦點為F,準線為l,過點F且傾斜角為30°的直線交拋物線于點M(M在第一象限),MN⊥l,垂足為N,MN交x軸于點E,直線NF交x軸于點D,若MD=23,則拋物線的方程是()A.x2=yB.x2=2yC.x2=4yD.x2=8y3.(多選題)(2024江蘇鹽城響水學情分析)設拋物線y2=8x的頂點為O,焦點為F,點M是拋物線上異于O的一動點,直線OM交拋物線的準線于點N,下列結論正確的是()A.若MF=4,則OM=25B.若MF=4,則O為線段MN的中點C.若MF=8,則OM=45D.若MF=8,則OM=3ON4.(多選題)(2024重慶云陽高級中學月考)拋物線E:y2=4x的焦點為F,點M,N為拋物線上兩個位于第一象限的動點,且有xM2=xF·xN(xA.當xN=9時,MF=FAB.當xM=2時,S△MFN∶S△ABF=4∶5C.當xM=2時,AF∶BF=9∶5D.當xM=3時,延長NM交準線于C,S△CBM∶S△ANF=5∶6題組二直線與拋物線的位置關系5.(2024浙江杭師大附中期中)設拋物線C:y2=4x的焦點為F,直線l過點F,且與C交于A,B兩點,以AB為直徑的圓與y軸交于D,E兩點,且DE=35A.6x±3y?C.2x±y-2=0D.x±2y-1=06.(2023江蘇南京師范大學附屬中學期中)已知拋物線y2=4x的焦點為F,直線l過點F且與拋物線交于A,B兩點,過點A作拋物線準線的垂線,垂足為M,∠MAF的平分線與拋物線的準線交于點P,線段AB的中點為Q.若AB=16,則PQ=()A.2B.4C.6D.87.(多選題)(2024湖南長沙長郡中學月考)已知O為坐標原點,點A(1,1)在拋物線C:x2=2py(p>0)上,過點B(0,-1)的直線l交C于P,Q兩點,則下列說法正確的是()A.C的準線方程為y=-14C.OP·OQ≥OA2D.BP·BQ>BA28.(多選題)(2024江蘇南京期中)已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點F與橢圓x2A.拋物線的標準方程為y2=4xB.ABMFC.過A,B分別作AA',BB'與準線垂直,則△A'FB'為直角三角形D.△ABM的面積為定值9.(2024江蘇鹽城八校期中)已知動點P在拋物線y2=4x上,過點P引圓C:(x-3)2+y2=1的兩條切線,切點分別為A,B,則AB的最小值為.

10.(2023江蘇常州溧陽期中)在平面直角坐標系xOy中,拋物線C:y2=ax(a>0)的焦點F到其準線的距離為2,直線l過點P(0,1)且與C交于A、B兩點.(1)求a的值及直線l的斜率的取值范圍;(2)若AF+BF=8,求直線l的方程.11.(2024江西南昌外國語學校月考)已知拋物線C:y2=4x,過其焦點F作兩條相互垂直且不平行于x軸的直線,分別交拋物線C于點A,B和點C,D,AB,CD的中點分別為M,N.(1)若直線AB的斜率為2,求直線MN的方程;(2)求線段MN的中點E的軌跡方程.12.(2024江西師大附中期中)在平面直角坐標系xOy中,已知拋物線E:y2=2px(p>0),兩定點P(1,1),Q(1,4),點R在E上,且滿足OR=(1)求拋物線E的標準方程;(2)判斷直線AC是否恒過定點,若是,求出該定點坐標;若不是,請說明理由.答案與分層梯度式解析3.3拋物線3.3.1拋物線的標準方程基礎過關練1.A圓F的圓心為F(3,0),半徑為2,設動圓圓心P(x,y),半徑為r,P到直線x=-1的距離為d,則根據(jù)兩圓相外切及直線與圓相切的性質可得PF-2=r,d=r,∴PF-d=2,∴PF=d+2,即P到F(3,0)的距離與P到直線x=-3的距離相等,∴動圓圓心P的軌跡為以(3,0)為焦點的拋物線,∴所求軌跡方程為y2=12x.故選A.2.D由題知F(1,0),準線l:x=-1,設準線與x軸的交點為C,則由拋物線的定義及已知得PA=AF=PF,則△PAF為等邊三角形.解法一:在Rt△ACF中,CF=2,∠AFC=60°,則AF=4,故PF=AF=4.解法二:過F作FB⊥AP于點B,則B為AP的中點,因為AB=2,所以AP=4,所以PF=AP=4.3.B由題意得焦點F12,0,準線方程為x=-12由y=3x設A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=53,線段AB的中點Q的橫坐標xQ=x過Q作準線的垂線,垂足為點D,交拋物線于點P,則PF+PQ=PD+PQ=QD=56在拋物線C上任取點P',過P'作準線的垂線,垂足為D',連接P'F,P'Q,D'Q,則P'F+P'Q=P'D'+P'Q≥D'Q≥QD,當且僅當點P'與點P重合時取等號,所以PF+PQ的最小值為43.故選B.4.答案拋物線解析由(x得(x易知等式左邊表示點P(x,y)到點(1,2)的距離,右邊表示點P(x,y)到直線3x+4y+12=0的距離,即點P(x,y)到點(1,2)的距離與到直線3x+4y+12=0的距離相等,又因為點(1,2)不在直線3x+4y+12=0上,所以由拋物線的定義知,點P的軌跡是以(1,2)為焦點,直線3x+4y+12=0為準線的拋物線.5.A由已知得32=2px0,6.AC∵點P(4,-2)位于第四象限,∴設所求的拋物線方程為y2=2px(p>0)或x2=-2py(p>0),∴4=2p·4或16=-2p·(-2),∴p=12故所求的拋物線方程為y2=x或x2=-8y.故選AC.7.C過點M作MA⊥y軸于點A,交拋物線的準線于點B(圖略),由題意得Fp2,0,設M由拋物線定義可知MF=MB=n22因為M為FN的中點,所以AM=12OF,所以n2由①②得p=4,故選C.8.B由題意得F(1,0),當直線l的斜率為0時,此時與拋物線只有1個交點,不合要求,舍去;設l:x=1+my,與y2=4x聯(lián)立,得y2-4my-4=0,設A(x1,y1),B(x2,y2),y1>0,y2<0,則y1+y2=4m,y1y2=-4,因為△AOF的面積是△BOF面積的2倍,所以y1=-2y2,則y1y2=-2y22=-4,所以y2=-2,則y1=-2y2=2則4m=y1+y2=2,解得m=24,故x1+x2=24(y1+y2)+2=52,則AB=x9.答案1解析由題意得F(2,0),C(-2,0),直線l的方程為y=x-2,設A(x1,y1)(y1>0),B(x2,y2)(y2<0),聯(lián)立y=x-2,故y1=4+42,y2=4?42,則x故A(6+42,4+42),B(6?4BC=(8-42)2+(4-42由余弦定理得cos∠ACB=AC10.解析(1)由已知得直線l:y=-x+p2,設A(x1,y1),B(x2,y2聯(lián)立y=-x+p2所以x1+x2=3p,AB=x1+x2+p=4p=8,解得p=2,故拋物線E的方程為y2=4x.(2)由(1)可知y1+y2=-4,y1·y2=-4,F(1,0).設l'的方程為x=my+1,C(x3,y3),D(x4,y4),聯(lián)立x=my+1,y2=4x,消去x得y2-4my-4=0,所以y3直線AC的斜率為y1所以直線AC的方程為y-y3=4y1+y3(x-x同理可得直線BD的方程為y=4x+由①②得4(y1-y2+y3-y4)x=y1y2(y3-y4)+y3y4(y1-y2)=-4(y1-y2+y3-y4),解得x=-1,所以直線AC與直線BD的交點都在x=-1上.能力提升練1.B由已知得拋物線的準線方程為x=-p2,設為l,過點B作BM⊥l于M,過A作AH⊥由拋物線的定義可知BF=BM,∴△ABF的周長為AB+AF+BF=AB+BM+AF≥AH+AF=4+5,易得AH=3+p2∴3+p2+p24+10-32.C如圖所示,過點F作FA⊥MN,垂足為A.由題得∠AFM=30°,所以∠NMF=60°.因為MF=MN,所以△MNF是等邊三角形.因為O是FB的中點,所以DF=DN,所以MD⊥DF,所以FM=23所以MN=4,則AN=2.所以AE=EN=1,則AE=OF=1,∴p2=1,∴所以拋物線的方程是x2=4y.故選C.3.ABD由已知可得F(2,0),準線方程為x=-2.對于A,設M(x1,y1),根據(jù)拋物線的定義得MF=x1+2=4,解得x1=2,可得y12=16,可得OM=22+16對于B,由y12=16,得y令x=-2,可得y=-4,即N(-2,-4),所以O為線段MN的中點,B正確;對于C,設M(x2,y2),根據(jù)拋物線的定義得MF=x2+2=8,解得x2=6,則y22=48,可得OM=對于D,由y22=48,可得y2=±43,不妨設M(6,4則直線OM的方程為y=233x,令x=-2,得y=-43則ON=(-2)2+-4334.ACD拋物線的焦點為F(1,0),準線方程為x=-1,則xA=xB=-1,由xM2=xF·xN(xM>1),得xM2=x對于A,當xN=9時,xM=3,則MFAF∴MF=AF,故A正確;對于B,當xM=2時,M(2,22),N(4,4),則FM=1+8=3,FN=設直線MF:x=my+1,把M(2,22)代入,可得m=24令x=-1,得y=-42,∴A(?1,?4則FA=4+32=6,FB=因為∠AFB=∠MFN,所以sin∠AFB=sin∠MFN,所以S△對于C,由B知AF∶BF=6∶103=9∶5,故C正確對于D,當xM=3時,xN=9,則N(9,6),∴MC∶NC=(3+1)∶(9+1)=2∶5,∴S△CBM=25S△CBN,∴S△CBM=23S△NBM,由A知MF=AF,∴S△MFN=S△NF∶FB=(9-1)∶[1-(-1)]=4∶1,∴S△MFN=45S△NBM,∴S△NFA=45S△∴S△CBM∶S△NFA=23S△NBM∶45S△NBM=5∶6,故D正確.故選5.A分別過A,B向準線x=-1作垂線,垂足分別為A1,B1,取AB的中點M,作MN⊥y軸于點N(圖略).設AB=2r(2r≥4),則2(MN+1)=AA1+BB1=AF+BF=AB=2r,所以MN=r-1,則DE=2r2-(r解得r=5或r=59(舍去),則xM設直線l的方程為y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2),由y=k(x-1),y2=4x則x1+x2=2k2+4所以直線方程為y=±63(x-1),即6故選A.6.D易得焦點為F(1,0),準線方程為x=-1.若直線l的斜率不存在,則直線l的方程為x=1,由x=1,所以直線l的斜率存在,設l的方程為y=k(x-1).由y=k(x-1),y2=4x消去y,化簡得k2Δ=[-(2k2+4)]2-4k4=16k2+16>0,設A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=2k則AB=x1+x2+2=4+4k2=16,故k2=13不妨取k=33,A在第一象限,則直線l:y=33(x-1),傾斜角為π6,所以∠MAF=π6,①式為13x2?23+4y1=33tanπ12所以MP=MA·tanπ12則yP=y1-4=23,所以P(-1,23).由于x1+x2=14,y1+y2=43,故x1+x22=7,方法技巧求解直線和拋物線相交所得弦長問題,一定要注意的是判斷直線的斜率是否存在.如果直線過拋物線的焦點,則可用AB=x1+x2+p來進行求解,其他情況用AB=1+k27.ACD將點A(1,1)代入x2=2py,得p=12,所以拋物線的方程為x2=y,故準線方程為y=-14,故AkAB=1-(-1)1-0=2,所以直線AB的方程為y=2x-1,聯(lián)立y=2x若l與y軸重合,則l與C只有一個交點,不合題意,舍去,所以l的斜率存在,設其方程為y=kx-1,P(x1,y1),Q(x2,y2),聯(lián)立y=kx-1,x所以k>2或k<-2,y1y2=(x1x2)2=1,又OP=x1所以OP·OQ=y1y2(1+y1因為BP=1+k2|x所以BP·BQ=(1+k2)|x1x2|=1+k2>5,又BA2=12+[1-(-1)]2=5,故D正確.故選ACD.8.ABC對于A,易知橢圓的右焦點為(1,0),即拋物線C的焦點F(1,0),可得p=2,所以拋物線的標準方程為y2=4x,故A正確.對于B,當直線AB的斜率不存在時,易得AB=2p=4,MF=2,所以ABMF當直線AB的斜率存在時,設其方程為y=k(x-1)(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),由y=k(x-1),y2=4x則Δ=16(k2+1)>0,x1+x2=2(k2+2)k2可得AB=x1+x2+2=4(k易知直線FM的方程為y=-1k由y=-1k則MF=22+4k2=21+k對于C,由拋物線定義知AA'=AF,BB'=BF,則∠AA'F=∠AFA',∠BB'F=∠BFB',又因為AA'∥OF∥BB',所以∠AA'F=∠A'FO,∠BB'F=∠B'FO,可得∠A'FB'=12(∠AFA'+∠A'FO+∠BFB'+∠故△A'FB'為直角三角形,故C正確.對于D,當直線AB的斜率不存在時,AB=2p=4,MF=2,可得S△ABM=12AB·當直線AB的斜率存在時,由B知AB=4(k可得S△ABM=12AB·MF=4(k2故選ABC.9.答案142解析易得圓C的圓心為C(3,0),半徑為1,則四邊形APBC的面積S=12AB·PC=2S△APC=2×12×AP·AC=AP,所以AB=在Rt△PAC中,AP=PC所以AB=2AP設P(x0,y0),由點P在拋物線上,可得y02=4x0,則PC2=(x0-3)2+y02=(x0?3)當x0=1時,PC2取得最小值,最小值為8,所以AB的最小值為21-110.解析(1)因為拋物線C:y2=ax(a>0)的焦點F到其準線的距離為2,所以a2所以拋物線方程為y2=4x,設直線l的方程為y=kx+1,聯(lián)立y=kx+1,y2故k2≠0,且Δ=(2k-4)2-4k2>0,解得k<1且k≠0.所以直線l的斜率的取值范圍為(-∞,0)∪(0,1).(2)設A(x1,y1),B(x2,y2),由(1)知x1+x2=4-2k易知