蘇教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)第1章直線與方程1-5平面上的距離課件

平面上P1(x1,y1),P2(x2,y2)兩點(diǎn)間的距離公式為P1P2=

.1.5

平面上的距離知識(shí)點(diǎn)1

兩點(diǎn)間的距離對(duì)于平面上的兩點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2),線段P1P2的中點(diǎn)是M(x0,y0),則x0=

,y0=

.知識(shí)點(diǎn)2

中點(diǎn)坐標(biāo)公式1.點(diǎn)P0(x0,y0)到直線l:Ax+By+C=0(A,B不全為0)的距離d=

.2.兩條平行直線l1:Ax+By+C1=0與l2:Ax+By+C2=0(A,B不全為0,C1≠C2)間的距離d=

.注:應(yīng)用兩條平行直線間的距離公式時(shí),兩條平行直線的方程需為一般式,且x,y的系數(shù)對(duì)

應(yīng)相等.知識(shí)點(diǎn)3

點(diǎn)到直線的距離知識(shí)辨析1.求解直線外一點(diǎn)到直線的距離,除了利用點(diǎn)到直線的距離公式之外,還可以用什么方法?2.點(diǎn)P(x0,y0)到直線y=kx+b的距離可以寫(xiě)成

嗎?3.直線l1:x+y-3=0與l2:3x+3y-1=0之間的距離d=

=

,對(duì)嗎?一語(yǔ)破的1.還可以看作求直線外一點(diǎn)到直線上任意一點(diǎn)的距離的最小值,利用兩點(diǎn)間距離公式化為一

元函數(shù)求最小值.2.不可以.要將直線方程化為一般式,即kx-y+b=0,則點(diǎn)P(x0,y0)到直線的距離為

.3.不對(duì).應(yīng)用兩條平行直線間的距離公式時(shí),應(yīng)先將方程化為一般式,且x,y的系數(shù)對(duì)應(yīng)相等,即l1:3x+3y-9=0,故兩直線間的距離d=

=

.平面上兩點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2)之間的距離為P1P2=

.注:兩點(diǎn)間的距離公式與兩點(diǎn)的先后順序無(wú)關(guān),即公式既可以寫(xiě)成P1P2=

,也可以寫(xiě)成P1P2=

,利用此公式可以實(shí)現(xiàn)幾何問(wèn)題與代數(shù)問(wèn)題的相互轉(zhuǎn)化.

特別地,當(dāng)直線P1P2平行或重合于坐標(biāo)軸時(shí)距離公式仍然成立,但一般我們用下列方法求距

離:當(dāng)直線P1P2平行或重合于x軸時(shí),P1P2=|x2-x1|;當(dāng)直線P1P2平行或重合于y軸時(shí),P1P2=|y2-y1|.定點(diǎn)1平面上兩點(diǎn)間的距離公式?關(guān)鍵能力定點(diǎn)破典例著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)過(guò):“數(shù)形結(jié)合百般好,隔離分家萬(wàn)事修.”事實(shí)上,有很多代數(shù)問(wèn)

題可以轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題加以解決,如:

可以轉(zhuǎn)化為平面上點(diǎn)M(x,y)與點(diǎn)N(a,b)的距離.結(jié)合上述觀點(diǎn),可得

-

的最大值為

.解析

-

=

-

,可轉(zhuǎn)化成x軸上一點(diǎn)P(x,0)到點(diǎn)M(1,2)的距離與到點(diǎn)N(0,1)的距離之差.PM-PN≤MN=

=

,當(dāng)且僅當(dāng)M,N,P三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立,所以

-

的最大值為

.方法技巧

代數(shù)式

可以看作點(diǎn)(x,y)到定點(diǎn)(a,b)的距離;代數(shù)式

可以看作x軸上的點(diǎn)(x,0)到定點(diǎn)(a,b)的距離;代數(shù)式

可以看作y軸上的點(diǎn)(0,y)到定點(diǎn)(a,b)的距離.應(yīng)用點(diǎn)到直線的距離公式時(shí)的注意事項(xiàng)(1)當(dāng)點(diǎn)在直線上時(shí),點(diǎn)到該直線的距離為0,點(diǎn)到直線的距離公式仍然適用.(2)點(diǎn)到直線的距離公式對(duì)于直線的一般式方程中A=0或B=0的情況仍然適用.(3)在應(yīng)用點(diǎn)到直線的距離公式時(shí),若給出的直線方程不是一般式,則應(yīng)先把方程化為一般式.定點(diǎn)2點(diǎn)到直線的距離?1.當(dāng)直線的方程為一般式時(shí),可利用兩平行線間的距離公式,其步驟如下:

解題時(shí)必須注意兩直線方程中x,y的系數(shù)要對(duì)應(yīng)相等,若不相等,則先將系數(shù)化為相等,再

代入公式求解.定點(diǎn)3兩條平行線之間的距離2.當(dāng)直線的方程為斜截式,即l1:y=kx+b1,l2:y=kx+b2,且b1≠b2時(shí),d=

.3.利用化歸思想將求兩平行直線間的距離轉(zhuǎn)化為求其中一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線

的距離.典例已知斜率存在的兩直線l1與l2,直線l1經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,3),直線l2經(jīng)過(guò)點(diǎn)(4,0),且l1∥l2.(1)若l1與l2之間的距離為4,求兩直線的方程;(2)若l1與l2之間的距離最大,求最大距離,并求此時(shí)兩直線的方程.思路點(diǎn)撥

(1)設(shè)兩直線的斜率均為k,得出l1,l2的一般式方程,然后由條件建立方程求解;(2)當(dāng)l1,l2與經(jīng)過(guò)(0,3),(4,0)兩點(diǎn)的直線垂直時(shí),距離最大,然后根據(jù)兩點(diǎn)連線的斜率得出直線l1,l2的斜率,進(jìn)而求出兩直線方程.解析

(1)由l1與l2的斜率都存在且l1∥l2,可設(shè)兩直線的斜率均為k,得l1的方程為y=kx+3,即kx-y+

3=0,l2的方程為y=k(x-4),即kx-y-4k=0.又直線l1上的點(diǎn)(0,3)到直線l2的距離d=

=4,所以16k2+24k+9=16k2+16,所以k=

.所以l1:7x-24y+72=0,l2:7x-24y-28=0.(2)當(dāng)l1,l2與經(jīng)過(guò)(0,3),(4,0)兩點(diǎn)的直線垂直時(shí),距離最大,最大距離為(0,3),(4,0)兩點(diǎn)間的距離,

為5,因?yàn)閮牲c(diǎn)連線的斜率為-

,所以直線l1,l2的斜率為

,所以l1:4x-3y+9=0,l2:4x-3y-16=0.1.點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱求點(diǎn)P1(x1,y1)關(guān)于點(diǎn)P2(x2,y2)的對(duì)稱點(diǎn)P(x,y)時(shí),可由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得

則有

2.點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(1)點(diǎn)P(x1,y1)關(guān)于直線l:Ax+By+C=0(A,B均不為0)對(duì)稱的點(diǎn)為P'(x2,y2),則可根據(jù)直線PP'垂直

于l,及線段PP'的中點(diǎn)在l上列方程組,即

解出x2,y2即可.定點(diǎn)4常見(jiàn)的對(duì)稱問(wèn)題?①點(diǎn)(x0,y0)關(guān)于直線y=0(即x軸)的對(duì)稱點(diǎn)為(x0,-y0);②點(diǎn)(x0,y0)關(guān)于直線x=0(即y軸)的對(duì)稱點(diǎn)為(-x0,y0);③點(diǎn)(x0,y0)關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)為(y0,x0);④點(diǎn)(x0,y0)關(guān)于直線y=-x的對(duì)稱點(diǎn)為(-y0,-x0);⑤點(diǎn)(x0,y0)關(guān)于直線x=m(m≠0)的對(duì)稱點(diǎn)為(2m-x0,y0);⑥點(diǎn)(x0,y0)關(guān)于直線y=n(n≠0)的對(duì)稱點(diǎn)為(x0,2n-y0).3.直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱求直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的直線方程的方法:方法一:在已知直線上取兩點(diǎn),利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出它們關(guān)于已知點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)坐標(biāo),

再由兩點(diǎn)式求出直線方程.方法二:在已知直線上取一點(diǎn),求出該點(diǎn)關(guān)于已知點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn),再利用兩對(duì)稱直線平行,由(2)點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的常用結(jié)論:點(diǎn)斜式得到所求直線的方程.方法三:由平行直線系,結(jié)合兩條平行線間的距離公式求得.4.直線關(guān)于直線的對(duì)稱已知直線l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,求直線l1關(guān)于直線l2對(duì)稱的直線方程:(1)若l1∥l2,則設(shè)所求直線的方程為A1x+B1y+m=0

,然后在l1上找一點(diǎn)P(x,y),求出點(diǎn)P關(guān)于直線l2的對(duì)稱點(diǎn)P'(x',y'),再將(x',y')代入A1x+B1y+m=0,即可解出m;(2)若l1與l2相交,則先求出l1與l2的交點(diǎn)N,然后在l1上確定一點(diǎn)M(不同于交點(diǎn)N),找出點(diǎn)M關(guān)于l2

的對(duì)稱點(diǎn)M',由點(diǎn)N,M'即可確定所求直線的方程.典例已知直線l:x+2y-2=0,試求:(1)點(diǎn)P(-2,-1)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo);(2)直線l1:y=x-2關(guān)于l對(duì)稱的直線l2的方程;(3)直線l關(guān)于點(diǎn)A(1,1)對(duì)稱的直線方程.解析

(1)設(shè)點(diǎn)P(-2,-1)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為P'(x0,y0),線段PP'的中點(diǎn)為M,則M在直線l上,且PP'

⊥l.所以有

解得

故點(diǎn)P'的坐標(biāo)為

.(2)解法一:由

得

即直線l與l1的交點(diǎn)為(2,0),記N(2,0),在l1上任取一點(diǎn)B(0,-2),設(shè)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為B'(x1,y1),則

解得

即B'

,所以直線l2的斜率kNB'=

=7,所以l2的方程為y=7(x-2),即7x-y-14=0.解法二:由于直線l1:y=x-2關(guān)于直線l對(duì)稱的直線為l2,因此l2上任一點(diǎn)P1(x,y)關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)P'1(x',

y')一定在直線l1上.由

得

把(x',y')代入方程y=x-2并整理得7x-y-14=0,故l2的方程為7x-y-14=0.(3)設(shè)直線l關(guān)于點(diǎn)A(1,1)對(duì)稱的直線為l',則直線l'上任一點(diǎn)P'2(x'2,y'2)關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)P2(x2,y2)

一定在直線l上.由

得

將(x2,y2)代入直線l的方程得x'2+2y'2-4=0,所以直線l'的方程為x+2y-4=0.方法技巧

關(guān)于對(duì)稱問(wèn)題,要充分利用“垂直平分”這個(gè)基本條件,“垂直”是指兩個(gè)對(duì)稱

點(diǎn)的連線與已知直線垂直,“平分”是指兩個(gè)對(duì)稱點(diǎn)連成的線段的中點(diǎn)在已知直線上,可通

過(guò)這兩個(gè)條件列方程組求解.1.在直線l上求一點(diǎn)P,使P到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和最小的求法(1)當(dāng)兩定點(diǎn)A,B在l的異側(cè)時(shí),如圖①,連接AB,線段AB交l于點(diǎn)P,此時(shí)AB與l的交點(diǎn)P到兩定點(diǎn)

的距離之和最小,為線段AB的長(zhǎng).在l上任取一點(diǎn)P',則P'A+P'B≥AB.(2)當(dāng)兩定點(diǎn)A,B在l的同側(cè)時(shí),如圖②,作點(diǎn)A關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)A',連接A'B交l于點(diǎn)P,此時(shí)點(diǎn)P到兩

定點(diǎn)的距離之和最小.定點(diǎn)5對(duì)稱在求最值中的應(yīng)用?2.在直線l上求一點(diǎn)P,使P到兩定點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值最大的求法(1)當(dāng)兩定點(diǎn)A,B在直線l的同側(cè)時(shí)(A,B連線與l不平行),如圖③,連接BA并延長(zhǎng),交直線l于點(diǎn)P.

此時(shí)點(diǎn)P到兩定點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值最大,最大值為線段AB的長(zhǎng).在l上任意取一點(diǎn)P’,則有|P'B-P'A|≤AB.(2)當(dāng)兩定點(diǎn)A,B在直線l的異側(cè)時(shí),如圖④,作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A',連接BA'(BA'所在直線

與l不平行)并延長(zhǎng),交l于點(diǎn)P.此時(shí)點(diǎn)P到兩定點(diǎn)距離之差的絕對(duì)值最大,最大值為線段A'B的

長(zhǎng),即|PB-PA|=|PB-PA'|=A'B.在l上任取一點(diǎn)P',則有|P'B-P'A|=|P'B-P'A'|≤A'B.典例已知平面上兩點(diǎn)A(4,1)和B(0,4),在直線l:3x-y-1=0上求一點(diǎn)M,(1)使|MA-MB|的值最大;(2)使MA+MB的值最小.思路點(diǎn)撥

(1)由題設(shè)求出B關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)C(m,n),再根據(jù)|MA-MB|=|MA-MC|≤AC即可求最大

值,由此得直線AC的方程,與l的方程聯(lián)立得交點(diǎn)M的坐標(biāo).(2)利用兩點(diǎn)間線段最短,即可求最小值,即(MA+MB)min=AB,由此得直線AB的方程,與l的方程

聯(lián)立,得交點(diǎn)M的坐標(biāo).解析

(1)若C(m,n)為B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn),則BC的中點(diǎn)

在直線l上,所以

得

則C(3,3),由MB=MC,則|MA-MB|=|MA-MC|≤AC,要使|MA-MB|的值最大,只需A,C,M共線,則|MA-MB|max=AC=

.此時(shí)直線AC的方程為

=

,即2x+y-9=0,由

解得

所以M(2,5).即在直線l:3x-y-1=0上存在點(diǎn)M(2,5),使|MA-MB|的值最大,最大值為

.(2)要使MA+MB的值最小,只需A,B,M共線,則(MA+MB)min=AB=5.易得直線AB的方程為

=

,即3x+4y-16=0.由

解得

即在直線l:3x-y-1=0上存在點(diǎn)M

,使MA+MB的值最小,最小值為5.學(xué)科素養(yǎng)情境破素養(yǎng)

在利用直線系方程證明平面幾何問(wèn)題的過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)素養(yǎng)解讀直線系是指具有某種共同性質(zhì)的直線的集合,在解析幾何中,常見(jiàn)的直線系有平行直線

系、垂直直線系、在兩坐標(biāo)軸截距滿足一定關(guān)系的直線系、過(guò)定點(diǎn)的直線系等,利用直線系

方程解決有關(guān)問(wèn)題,可以把握研究對(duì)象的數(shù)學(xué)特征,將直線的幾何性質(zhì)與方程的代數(shù)特征結(jié)

合起來(lái),進(jìn)一步理解數(shù)學(xué)結(jié)論的一般性,感悟通性通法的數(shù)學(xué)原理及其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想,有

助于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).典例呈現(xiàn)例題在△ABC中,BC<AC,M是邊AB的中點(diǎn),過(guò)點(diǎn)A,B分別作