湘教版高中數學選擇性必修第一冊第2章平面解析幾何初步含答案

第2章平面解析幾何初步(滿分150分,考試用時120分鐘)一、單項選擇題(本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)1.“a=1”是“直線ax-y+2=0與直線(a+3)x+4y-4=0垂直”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件2.已知直線l的傾斜角為3π4,直線l1經過點A(3,2)和B(a,-1),且直線l與l1平行,則實數aA.0 B.1C.6 D.0或63.若點P(1,1)在圓C:x2+y2+x-y+k=0的外部,則實數k的取值范圍是()A.(-2,+∞) B.-2,-C.-2,124.已知圓C1:(x-2)2+(y+2)2=r2(r>0)與圓C2:(x+1)2+(y-2)2=4,若圓C1與圓C2有且僅有一個公共點,則實數r等于()A.7 B.3C.3或7 D.55.已知點A(-1,1),B(3,5),若點A,B到直線l的距離都為2,則直線l的方程不可能為()A.x-y+2-22=0 B.x-y+2+22=0C.y=3 D.x-y-1=06.過點P(2,3)向圓C:x2+y2=1作兩條切線,切點分別為A,B,則弦AB所在的直線方程為()A.2x-3y-1=0 B.2x+3y-1=0C.3x+2y-1=0 D.3x-2y-1=07.直線kx-y+3-3k=0與曲線y=2+-x2+2x+3有兩個不同的交點A.14,+∞ C.-34,148.設點M(3,3)在圓O:x2+y2=r2(r>0)外,若圓O上存在點N,使得∠OMN=π4,則實數r的取值范圍是A.[3,22] B.[22,23)C.[6,22) D.[6,23)二、多項選擇題(本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得5分,部分選對的得2分,有選錯的得0分)9.下列說法正確的是()A.過(x1,y1),(x2,y2)兩點的直線方程為y-yB.點(1,3)關于直線x-y+1=0的對稱點為(2,2)C.直線2x-y+4=0與兩坐標軸圍成的三角形的面積是4D.經過點(1,1)且在x軸和y軸上截距都相等的直線方程為x+y-2=010.設有一組圓Ck:(x-k)2+(y-k)2=4(k∈R),下列結論正確的是()A.無論k如何變化,圓心Ck始終在一條直線上B.存在圓Ck,經過點(3,0)C.存在定直線始終與圓Ck相切D.若圓Ck上總存在兩點到原點的距離為1,則k∈211.已知圓C1:x2+y2=1,圓C2:(x-3)2+(y+4)2=r2(r>0),下列判斷正確的是()A.若圓C1與圓C2無公共點,則0<r<4B.當r=5時,兩圓的公共弦所在直線的方程為6x-8y-1=0C.當r=2時,P,Q分別是圓C1與圓C2上的點,則|PQ|的取值范圍為[2,8]D.當0<r<4時,過直線6x-8y+r2-26=0上任意一點分別作圓C1、圓C2的切線,則切線長相等12.設m∈R,過定點A的動直線l1:x+my=0和過定點B的動直線l2:mx-y-m+3=0交于點P,圓C:(x-2)2+(y-4)2=3,則下列說法正確的有()A.直線l2過定點(1,3)B.直線l2與圓C相交的最短弦長為2C.動點P的曲線與圓C相交D.|PA|+|PB|的最大值為5三、填空題(本題共4小題,每小題5分,共20分)13.已知圓C:x2+y2-4x-2y+1=0,直線l:3x-4y+m=0與圓C交于A,B兩點,且∠ACB=120°,則實數m的值為.

14.已知直線l1:xa+yb=1經過點P(1,2),且與直線l2:2x+y+m=0平行,則a+b=;若這兩條平行線之間的距離為5,且l2不經過第一象限,則m=15.點B在y軸上運動,點C在直線l:x-y-2=0上運動,若A(2,3),則△ABC的周長的最小值為.

16.在平面直角坐標系xOy中,已知圓C1:(x-2)2+(y-1)2=5,線段AB是圓C2:(x+4)2+(y+2)2=4的一條動弦,且|AB|=22,線段AB的中點為Q,則直線OQ被圓C1截得的弦長的取值范圍是.

四、解答題(本題共6小題,共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17.(10分)在以下這三個條件中任選一個,補充在下面的問題中,并求解.①圓經過點C(3,4);②圓心在直線x+y-2=0上;③圓截y軸所得弦長為8且圓心M的坐標為整數.已知圓M經過點A(-1,2),B(6,3),且.

(1)求圓M的方程;(2)求以(2,1)為中點的弦所在的直線方程.18.(12分)等腰直角△ABC的直角為∠C,且點C(0,-1),斜邊AB所在的直線方程為x+2y-8=0.(1)求△ABC的面積;(2)求斜邊AB的中點D的坐標.19.(12分)已知△ABC中,BC邊上的高所在的直線方程為x-2y+1=0,∠A的平分線所在的直線方程為y=0,點C的坐標為(1,2).(1)求點A和點B的坐標;(2)過點C作直線l,分別與x軸、y軸的正半軸交于點M,N,求△MON(O為坐標原點)面積的最小值及此時直線l的方程.20.(12分)在平面直角坐標系xOy中,已知圓N過點(-1,0),(1,0),且圓心N在直線l:x+y-1=0上,圓M:(x-3)2+(y-4)2=8.(1)求圓N的標準方程,并判斷圓M與圓N的位置關系;(2)直線MN上是否存在點B,使得過點B分別作圓M與圓N的切線,切點分別為T,S(不重合),滿足|BS|=2|BT|?若存在,求出點B的坐標,若不存在,請說明理由.21.(12分)如圖所示,為保護河上古橋OA,規(guī)劃建一座新橋BC,同時設立一個圓形保護區(qū).規(guī)劃要求:新橋BC與河岸AB垂直;保護區(qū)的邊界為圓心M在線段OA上并與BC相切的圓,且古橋兩端O和A到該圓上任意一點的距離均不小于80m.經測量,點A位于點O正北方向60m處,點C位于點O正東方向170m處(OC為河岸),tan∠BCO=43(1)求新橋BC的長;(2)當|OM|為多少時,圓形保護區(qū)的面積最大?22.(12分)已知點P1(-5+1,0),P2(5+1,0),P3(1,1)均在圓C上.(1)求圓C的方程;(2)若直線3x-y+1=0與圓C相交于A,B兩點,求線段AB的長;(3)設過點(-1,0)的直線l與圓C相交于M,N兩點,試問:是否存在直線l,使得以MN為直徑的圓經過原點O?若存在,求出直線l的方程;若不存在,請說明理由.答案與解析1.A由直線ax-y+2=0與直線(a+3)x+4y-4=0垂直,可得a(a+3)+(-1)×4=0,即a2+3a-4=0,解得a=1或a=-4,∴“a=1”是“直線ax-y+2=0與直線(a+3)x+4y-4=0垂直”的充分不必要條件.故選A.2.C由題意得直線l的斜率為tan3π4=-1,直線l1的斜率為-1-2a-3,因為直線l與l1平行,所以-1-2a3.C由題意得1+1+1-1+k>0,1+1-4k>0,解得4.C由題意知圓C1與圓C2內切或外切,因為|C1C2|=(-3)所以r-2=5或r+2=5,所以r=7或r=3,故選C.5.D由題意得直線AB的斜率為5-13-(-1)=1.當直線l與直線AB平行時,設直線l的方程為x-y+m=0,點A到直線l的距離為|m-2|2=2,解得m=2±22,直線l的方程為x-y+2-22=0或x-y+2+22=0.當直線l過AB的中點(1,3)時,若直線l的斜率存在,設直線l的方程為y-3=k(x-1),整理得kx-y+3-k=0,點A到直線l的距離為|2-2k|k2+1=2,解得k=0,直線l的方程為y=3;若直線l的斜率不存在6.B因為PC垂直平分AB,所以弦AB可以看作是以PC為直徑的圓與圓x2+y2=1的公共弦,而以PC為直徑的圓的方程為(x-1)2+y-322=134.根據兩圓的公共弦的求法,可得弦AB所在直線的方程為(x-1)2+y-3227.C由kx-y+3-3k=0得k(x-3)-y+3=0,則直線過定點C(3,3),由y=2+-x2+2x+3得(x-1)2+(y-2)2=4(y≥2).如圖所示,當直線與半圓相切時,圓心(1,2)到直線的距離d=|當直線過點A(-1,2)時,-k-2+3-3k=0,解得k=14由于直線與曲線有兩個不同的交點,故-34<k≤14,8.D如圖所示,由題意得,當∠OMN的最大值大于或者等于π4時,一定存在點N,使得∠OMN=π4,當MN與圓相切時,∠OMN取得最大值,此時,sin∠OMN=|ON||OM|=|ON|23≥22,解得r=|ON|≥6,又M(3,3)在圓外9.BC當x1=x2或y1=y2時,方程不成立,故A錯誤;點(1,3)和點(2,2)連線的斜率k=3-21-2=-1,與直線x-y+1=0垂直,并且兩點到直線x-y+1=0的距離均為22,所以點(1,3)關于直線x-y+1=0的對稱點為(2,2),故B正確;直線2x-y+4=0與兩坐標軸的交點坐標分別是(-2,0)和(0,4),所以直線2x-y+4=0與兩坐標軸圍成的三角形的面積是12×2×4=4,故C正確;當直線過原點時,設其方程為y=kx,代入(1,1),得k=1,所以直線方程是y=x,當直線不過原點時,設其方程為xa+ya=1,代入(1,1),得1a+1a=1,解得a=2,此時直線方程是x2+y210.AC圓心Ck(k,k)的軌跡為直線y=x,即無論k如何變化,圓心Ck始終在一條直線上,A正確;圓Ck中,當x=3,y=0時,(3-k)2+k2=4?2k2-6k+5=0,因為Δ=(-6)2-4×2×5=-4<0,所以關于k的方程無實數根,B錯誤;選取直線l:x-y±22=0,圓心Ck(k,k)到直線l的距離d=|k-k±22|12+(-1)2=2,即直線l與圓Ck相切,C正確;到原點距離為1的點的軌跡是單位圓O:x2+y2=1,當圓O與圓Ck相交時滿足條件,此時|OCk|=2|k|∈(1,3),得k11.BCD圓C1:x2+y2=1的圓心為C1(0,0),半徑r1=1;圓C2:(x-3)2+(y+4)2=r2(r>0)的圓心為C2(3,-4),半徑為r,則|C1C2|=(0-3)2+(0+4)2=5.若圓C1與圓C2無公共點,則只需|C1C2|<|r-1|或|C1C2|>r+1,解得r>6或0<r<4,故A錯;若r=5,則圓C2:(x-3)2+(y+4)2=25,由x2+y2=1與(x-3)2+(y+4)2=25兩式作差,可得兩圓的公共弦所在直線的方程為6x-8y-1=0,故B正確;若r=2,則圓C2:(x-3)2+(y+4)2=4,此時|C1C2|=5>2+1=3,所以圓C1與圓C2外離,又P,Q分別是圓C1與圓C2上的點,所以|C1C2|-(1+2)≤|PQ|≤|C1C2|+1+2,即2≤|PQ|≤8,故C正確;當0<r<4時,兩圓外離,記直線6x-8y+r2-26=0上任意一點為M(x0,y0),則6x0-8y0+r2-26=0,所以|MC1|=x02+y02,|MC2|=(x0-3)2+(y0+4)2=x02+y02-612.ABC由題意得直線l1過定點A(0,0),直線l2過定點B(1,3),所以A正確;由圓的方程可得圓心C(2,4),半徑r=3,所以圓心C到直線l2的距離d=|2m-4-m+3|1+m2=|m-1|1+m2,所以弦長為2r2-d2=22+2mm2+1=22+2m+1m∈[2,22)∪(22,23],即弦長的最小值為2,故B正確;因為兩條直線始終互相垂直,P是兩條直線的交點,所以PA⊥PB,可得P的軌跡為圓,設為圓Q,則圓心為Q12,32,半徑r'=|AB|2=102,因為|CQ|=2-122+4-322=342∈(r-r',r+r'),兩圓相交,所以C13.答案3或-7解析圓C的標準方程是(x-2)2+(y-1)2=4,圓心為C(2,1),半徑R=2,由∠ACB=120°,知C到AB的距離d=Rcos60°=1,所以|6-4+m|32+14.答案6;1解析∵l1過點P(1,2),∴1a+2b=1①,∵l2的斜率為-2,且與l1平行,∴-ba=-2②,由①②可得a=2,b=4,∴a+b=6,∴l(xiāng)1:x2+y4=1,即2x+y-4=0,∴m+45=5,解得m=1或m=-9.當m=-9時,l15.答案58解析設A關于y軸的對稱點為M,A關于l:x-y-2=0的對稱點為D,∴|MB|=|BA|,|AC|=|CD|,連接MD交直線l于點C,交y軸于點B,則△ABC的周長=|AB|+|BC|+|AC|=|MB|+|BC|+|CD|≥|MD|,∴當M,B,C,D四點共線時,△ABC的周長最小.易知M(-2,3).設點D(x,y),則y-3x-2×1=-1,x+22-y+316.答案[32,25]解析由題意得圓C1的圓心為C1(2,1),半徑r1=5,圓C2的圓心為C2(-4,-2),半徑r2=2.由弦長|AB|=22可得,圓心C2到直線AB的距離d=r22-|AB|22=4-2=2,即|C2Q|=2,所以點Q的軌跡方程為(x+4)2+(y+2)2=2.設直線OQ與圓Q相切的直線為y=kx,則|-4k+2|1+k2=2,解得k=1或k=17,當直線為y=x時,圓心C1到直線的距離d1=|2-1|12+12=22,弦長為2r12-d12=25-12=32;當直線為y=17x,17.解析(1)選條件①.設圓M的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,由題意得5-D+2E解得D所以圓M的方程為x2+y2-6x+2y-15=0,即(x-3)2+(y+1)2=25.(6分)選條件②.設圓M的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,由題意得5-D+2E解得D所以圓M的方程為x2+y2-6x+2y-15=0,即(x-3)2+(y+1)2=25.(6分)選條件③.設圓M的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,由題意得5-D因為圓截y軸所得弦長為8,所以方程y2+Ey+F=0有兩個不等的實數根y1,y2,且|y1-y2|=(y1+即E2-4F=64,(ii)(3分)由(i)(ii)可得D=-6,E=2,F=-15或D=-20649,E=-747,F=又因為圓心M的坐標為整數,所以D=-6,E=2,F=-15,故圓M的方程為x2+y2-6x+2y-15=0,即(x-3)2+(y+1)2=25.(6分)(2)由(1)知圓心M的坐標為(3,-1),弦的中點為N(2,1),弦的斜率k=-1kMN=-2-31-(-1)=1所以弦所在的直線方程為y-1=12(x-2),即y=12x.(1018.解析(1)頂點C到斜邊AB所在的直線的距離d=|0+2×(-1)-8|12+22=10所以|AB|=2d=45,(4分)故△ABC的面積S=12×|AB|×d=12×45×25=20.(6(2)由題意知,CD⊥AB,又因為kAB=-12,所以kCD=2,(7分所以直線CD的方程為y=2x-1,即2x-y-1=0,(9分)由x+2y-8=0,2x所以點D的坐標為(2,3).(12分)19.解析(1)易知點A在BC邊上的高所在的直線x-2y+1=0上,且在∠A的平分線所在的直線y=0上,解方程組x-2y+1=0,y=0,得因為BC邊上的高所在的直線方程為x-2y+1=0,所以kBC=-2,因為點C的坐標為(1,2),所以直線BC的方程為2x+y-4=0.(4分)因為kAC=1,所以kAB=-kAC=-1,所以直線AB的方程為x+y+1=0,解方程組x+y+1=0,2x+(2)依題意得直線l的斜率存在,設直線l的方程為y-2=k(x-1)(k<0),則Mk-2k,0所以S△MON=12·k-2=12·4-k-4k當且僅當-k=-4k,即k=-2時取等號,所以(S△MON)min=4,此時直線l的方程是2x+y-4=0.(12分20.解析(1)由題意知,圓心N也在直線x=0上,聯(lián)立x+y∴N(0,1),易知圓N的半徑rN=2,∴圓N的標準方程為x2+(y-1)2=2.(3分)∵M(3,4),且|MN|=(3-0)2+(4-1rM+rN=22+2=32=|MN|,∴圓M與圓N外切.(6分)(2)存在.∵N(0,1),M(3,4),∴直線MN的方程為x-y+1=0,設B(a,a+1),由|BS|=2|BT|可知,|BS|2=4|BT|2,即|BN|2-2=4(|BM|2-8),所以|BN|2=4|BM|2-30,即a2+(a+1-1)2=4[(a-3)2+(a+1-4)2]-30,(9分)整理得a2-8a+7=0,解得a=1或a=7,∴B(1,2)或B(7,8),當B的坐標為(1,2)時,點B為圓N與圓M的公切點,此時T,S,B重合,不符合題意.∴存在點B(7,8),滿足|BS|=2|BT|.(12分)21.解析(1)如圖,以O為坐標原點,OC所在直線為x軸建立平面直角坐標系xOy.由條件知,A(0,60),C(170,0),kBC=-tan∠BCO=-43又因為AB⊥BC,所以kAB=34.(2分設點B的坐標為(a,b),則kBC=b-0a-170=-43,kAB=b-60解得a=80,b=120.所以|BC|=(170-80)因此新橋BC的長為150m.(