高二數(shù)學(xué)：4-1 數(shù)列的概念與簡單表示法1（人教A版選擇性必修第二冊）（解析版）

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4.1數(shù)列的概念與簡單表示法（1）

一、單選題

1.己知數(shù)列｛4｝中，4,=2n+5,則%=（）

A.13B.12C.11D.10

【答案】C

【解析】由已知得q=2x3+5=11.

故選C.

2.有下面四個結(jié)論：①數(shù)列的通項公式是唯一的；②每個數(shù)列都有通項公式；③數(shù)列可以看作一個定義在

正整數(shù)集上的函數(shù)；④數(shù)列的圖象是坐標(biāo)平面上有限或無限個離散的點.其中真命題的個數(shù)為（）

A.0個B.1個C.2個D.3個

【答案】B

【解析】對①，數(shù)列其通項公式對=（一1嚴，也可以是為=（-1）2,故①錯誤；

對②，數(shù)列的項與〃具備一定的規(guī)律性，才可求出數(shù)列的通項公式，所以有的數(shù)列是無通項公式的，

故②錯誤；

對③，數(shù)列可以看作一個定義在正整數(shù)集上或正整數(shù)集的子集上的函數(shù)，故③錯誤；

對④，由數(shù)列的定義知命題正確.

故選B.

3.己知數(shù)列-1,0,一，…，三一，…中，則2是其（）

98n272

A.第14項B.第12項C.第10項D.第8項

【答案】B

〃一25

【解析】令——=一，化為：5層-72〃+144=0,

n272

解得〃=12,或榕/（舍去）.

故選B.

4.數(shù)列｛4｝的通項公式?！?2〃（〃€^1*）不滿足下列遞推公式的是（）

A.4=%_1+2（〃..2）B.%=2%_|-。"_2（九?3）

C.2(a”—2)=(a”—.2)D.an=2aH_((n..2)

【答案】D

【解析】將4=2〃代入四個選項得：

A.2/7—2(M—1)+2成立；

B.2“=2x2(”—1)—2("-2)成立；

C.2(2〃-2)=2(〃-1)[2〃一2(〃一1)]成立；

D.2〃=2x2〃不恒成立。

故選D

5.數(shù)列2,3,4,5,…的一個通項公式為()

A.%=〃B.an=n+1C.a“=〃+2D.an=2n

【答案】B

【解析】A項4=n的前四項為1、2、3、4，與題意不符;

B項=〃+1的前四項為2、3、4、5，與題意相符；

C項4=〃+2的前四項為3、4、5、6,與題意不符；

D項勺=2〃的前四項為2、4、6、8，與題意不符；綜上所述，

故選B

6.數(shù)列2,5,11,20,x,47…中的x等于()

A.28B.32C.33D.27

【答案】B

【解析】因為數(shù)列的前幾項為2,5,11,20,x,47,

其中5—2=1x3,11—5=2x3,20—11=3x3,

可得20=4x3,解得x=32,

故選B.

7.數(shù)列-LL—……的一個通項公式是()

24816

1R(-1)"「(-1嚴D(-1)"

A.——

2”2"2"2"+,

【答案】B

【解析】所給的數(shù)列每一項的分子都是1,分母等于2",每一項的符號為（-1）

故此數(shù)列的一個通項公式是（一1），也可以通過將帶入選項，驗證選項，得到答案.

2"24816

故選B.

8.已知數(shù)列0,右,20,JTL..,則26是這個數(shù)列的（）

A.第六項B.第七項C.第八項D.第九項

【答案】B

【解析】由數(shù)列前幾項歸納可知通項公式為4=J亞斤，

J3〃-1=2時.〃=7，為數(shù)列第七項，

故選B.

9.已知數(shù)列｛%｝對任意的p,qwN*滿足與+?=%,+4,且4=-6,那么/等于（）

A.-165B.-33C.-30D.-21

【答案】C

【解析】???對任意的p,qCW,滿足即M=ap+〃g,??卬=夕=九時,有。2-=2%.

又〃2=-6,.??〃8=244=4他=-24,故00=42+。8=-30.

故選C

10.數(shù)列｛4｝的通項公式是％=-1+4〃+21,（neN*）,這個數(shù)列第幾項起各項都為負數(shù)？（）

A.第6項B.第7項C.第8項D.第9項

【答案】C

【解析】由題，令%=—〃2+4〃+21<0.即（〃—7）（〃+3）>0.r.〃>7或〃<一3

ri?N*，：.n>7

數(shù)列從第8項起各項都為負,

故選C

11.已知q=1,an=n（.an+l-an）（“wN*），則數(shù)列｛6,｝的通項公式是（）

M-LI2

A.2n-lB.（之尸C.nD.n

n

【答案】C

［解析］由a“=〃（%+i-%），得：（〃+1）%=na“+］,=%

.??［巴4為常數(shù)列，即%=色=1,故4=〃，

InJn1

故選C

12.已知數(shù)列｛a.｝,q=蒼生=y,a“=a“_］-4”2（〃一3），那么的。珀等于（）

A.x-yB.y-xc.-xD.-y

【答案】A

【解析】由已知得：

a3=a2-at=y-x,a4=a3-a2=-x,a5=a4-a3=-y,a6=a5-a4=x-y,

a,=a6-a5=x,as=ay-a6=y,4zg=?8-a7=y-x=a3,

故數(shù)列｛a,,｝為周期數(shù)列，周期為6,

?e?“2016=%35x6+6=4=%一，

故選A

二、填空題

13.已知數(shù)列｛%｝的通項公式為4=嬴石，那么再是這數(shù)列的第項.

【答案】9

11°

【解析】令:~—=-＞即/+2〃—99=0,解得〃=9或—11（舍去），

則擊是這數(shù)列的第9項，

故填9.

14.數(shù)列—2,―,―,—W,…的一個通項公式為.

315356399

/1、〃2〃

【答案】㈠）而而而

【解析】數(shù)列中的每一項是一負一正交替出現(xiàn)，所以通項有(-1)”,

22x142x262x3

因為-T=...-;-=-，-=一二

31x3153x5355x7

/1\n2〃

所以"f(")(2西

故填(可(2-3+1)?

2a”,0叫；，

15.已知數(shù)列｛4｝滿足。，向則q(w

C.1,

2a“T,]<a“<1，

4

【答案】y

3124

【解析】丫4=g，a,24—1=—,iZj2a2—>tz42a3—>>'-%

4

得到%=4，故數(shù)列為周期為4的周期數(shù)列，：.400c=%x249+4=q=1。

4

故填一

5

16.根據(jù)下列5個圖形及相應(yīng)點的個數(shù)變化規(guī)律.試猜測第6個圖形中有個點.

【答案】31

【解析】觀察圖像得第一圖1個點，第二圖3=lx2+l個點，第三圖7=2x3+l個點，第四圖13

=3x4+1個點，第五圖21=4x5+1個點，所以猜想第〃個圖有(n-1)〃+1個點，

故4=(6-l)x6+l=31,

故填31.

2?

17.已知正項數(shù)列｛斯｝,滿足斯+1=弓=」，則為與斯+i的大小關(guān)系是________.

2+an

【答案】為+15

【解析】：4用=棄」

2+%

2a-an

：.an..-an--一-——an=———

2+42+a.

?.?數(shù)列｛%｝為正項數(shù)列

,a,用一凡<°，即勺+1<%?

故填a,+i<%.

18.設(shè)數(shù)列｛%｝中，4=2,%+|=凡+〃+1,則通項an=.

【答案】」——^+1

2

[解析]:弓=2,a.=%+〃+1a,=a,i+(〃_l)+l,tz?_!=￡Z,;_2+(n-2)+l,

a”_2=4-3+(〃—3)+1,…，。3=4+2+1,4=。1+1+1，a\—2=1+1

將以上各式相加得：a?=[(〃-1)+(〃—2)+(“-3)H--F2+1]+〃+1

(〃一—1)+1](〃一n(n+i]

222

故填」——^+1

2

三、解答題

19.已知數(shù)列｛aj滿足a,.=%+i+2%,且《0=341,《2=1365,求a”，al3.

【解析】???凡+2=/+1+2對，二當(dāng)〃=10時，%2=41+2。10,

即1365=%+2x341,解得a”=683,

當(dāng)〃=11時，a,3=?|2+2?n,即《3=1365+2x683,解得。仃2731

綜上：q[=683,=2731

20.根據(jù)下列數(shù)列的首項和遞推公式，寫出數(shù)列前5項，并由此歸納出它的通項公式.

(1)4=2,4+]=3%+2；

〃+2

(2)q=1,

【解析】(1),/at=2,an+i=3a?+2,

45

:.af=2=3-1,4=8=32—1,4=26=33—1,a4=80=3-1,a5=242=3-l,

所以，數(shù)歹U{%}的通項公式為q=3"—l(〃eN*)；

1〃+2

(2)va,=l,a=-a.

ll+]n+ln

23r456

/.4=—,%=—，W=2=—,a=—,&=o3=一.

2■22A252

所以，數(shù)列｛4｝的通項公式為勺=等

21.在數(shù)列｛凡｝中，已知a“=一一—,(n>2,rteN*).

an-\

⑴求證:%+2=%；

(2)若q=4,求4o的值；

(3)若。］=I,求4+4+4+“4+%+。6+%的值.

____1____1_

【解析】(1)