高中數(shù) 1.2.3.3簡單的線面角及點面線面距離同步訓(xùn)練 蘇教版必修2

【創(chuàng)新設(shè)計】-版高中數(shù)學(xué)1.2.3.3簡單的線面角及點面線面距離同步訓(xùn)練蘇教版必修2eq\a\vs4\al\co1(雙基達(dá)標(biāo)限時15分鐘)1．若正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面邊長為1，AB1與底面ABCD成60°角，則A1C1到底面解析依題可知∠B1AB＝60°，平面A1B1C1D1∥平面ABCD，A1C1?平面A1B1C1D1，∴B1B即為A1C1到底面ABCD的距離．B1B＝eq\r(3).答案eq\r(3)2．如圖，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)棱長為eq\r(2)，底面三角形的邊長為1，則BC1與側(cè)面ACC1A1所成的角是________．解析作BD⊥AC于點D，連接C1D，則BD⊥平面ACC1A1，∴∠BC1D為所求，sin∠BC1D＝eq\f(BD,BC1)＝eq\f(\f(\r(3),2),\r(3))＝eq\f(1,2)，∴∠BC1D＝30°.答案30°3.如圖，在底面為菱形的四棱錐P－ABCD中，PA＝AB＝a，PB＝PD＝eq\r(2)a，AC＝a，則直線PC與底面ABCD所成角的大小為________．解析∵PA＝AB＝a，PB＝eq\r(2)a，即PA2＋AB2＝PB2，∴PA⊥AB，同理可證PA⊥AD，又AD∩AB＝A，∴PA⊥平面ABCD，則∠PCA為直線PC與底面ABCD所成的角，∵AC＝a，∴∠PCA＝45°.答案45°4．已知正三棱柱ABC－A1B1C1的側(cè)棱長與底面邊長相等，則AB1與側(cè)面ACC1A解析如圖，取A1C1的中點D，可知B1D⊥平面ACC1A1，則∠DAB1為AB1與側(cè)面ACC1A1所成的角．sin∠DAB1＝eq\f(B1D,AB1)＝eq\f(\f(\r(3),2)AB,\r(2)AB)＝eq\f(\r(6),4).答案eq\f(\r(6),4)5．正方體ABCD－A1B1C1D1中，A1C1與平面ABC1D解析作A1E⊥AD1于點E，則A1E⊥平面ABC1D1，且點E為AD1的中點，sin∠A1C1E＝eq\f(A1E,A1C1)＝eq\f(1,2).答案eq\f(1,2)6.如圖，已知AB是圓O的直徑，C為圓上一點，AB＝2，AC＝1，P為⊙O所在平面外一點，且PA垂直于圓O所在平面，PB與平面所成的角為45°.(1)求證：BC⊥平面PAC；(2)求點A到平面PBC的距離．(1)證明∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.∵AB是圓O的直徑，C為圓上一點，∴BC⊥AC.又∵PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC.(2)解如圖，過點A作AD⊥PC于點D，∵BC⊥平面PAC，AD?平面PAC，∴BC⊥AD，∴AD⊥平面PBC.∴AD即為點A到平面PBC的距離．∴依題意知∠PBA為PB與平面ABC所成角，即∠PBA＝45°，∴PA＝AB＝2，AC＝1，可得PC＝eq\r(5).∵AD·PC＝PA·AC.∴AD＝eq\f(2×1,\r(5))＝eq\f(2\r(5),5)，即點A到平面PBC的距離為eq\f(2\r(5),5).eq\a\vs4\al\co1(綜合提高限時30分鐘)7．已知正方體ABCD－A1B1C1D1中，F(xiàn)是AD的中點，G為AB上一點，若CF⊥FG，則∠C1FG解析如圖，∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(CC1⊥FG，,CF⊥FG，,CC1∩CF＝C，))∴FG⊥平面C1CF.又∵C1F?平面C1CF，∴FG⊥C1F，即∠C1FG＝eq\f(π,2).答案eq\f(π,2)8．已知平面α外兩點A、B到平面α的距離分別是2和4，則A，B的中點P到平面α的距離是________．解析若A，B在α同側(cè)，如圖①，則P到α距離為3；若A，B在α異側(cè)，如圖②，則P到α距離為PO′－OO′＝3－2＝1.答案3或19．如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面是邊長為2的菱形，且∠ABC＝45°，PA＝AB，則直線AP與平面PBC所成角的正切值為________．解析作AE⊥BC于點E，則BC⊥平面PAE，故∠APE為所求．AE＝ABsin45°＝eq\r(2)，∴tan∠APE＝eq\f(AE,PA)＝eq\f(\r(2),2).答案eq\f(\r(2),2)10．正三棱錐P－ABC的高為2，側(cè)棱與底面所成角為45°，則點A到側(cè)面PBC的距離是________．解析如圖，取BC中點D，作AE⊥PD于點E，則AE為所求．由∠PAO＝45°，PO＝2，可求PA＝2eq\r(2)，AO＝2，AD＝3，PD＝eq\r(5)，由PD·AE＝PO·AD，可得AE＝eq\f(6,5)eq\r(5).答案eq\f(6,5)eq\r(5)11．如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中點．(1)證明：CD⊥AE；(2)證明：PD⊥平面ABE.證明(1)在四棱錐P－ABCD中，因PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，故PA⊥CD.∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC.而AE?平面PAC，∴CD⊥AE.(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.∵E是PC的中點，∴AE⊥PC.由(1)知，AE⊥CD，且PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD.而PD?平面PCD，∴AE⊥PD.∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AB又∵AB⊥AD，AB⊥平面PAD，又∵PD?平面PAD.∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.12．如圖，已知P為矩形ABCD所在平面外一點，且PA⊥平面ABCD，Q為AP的中點，AB＝3，BC＝4，PA＝2，求：(1)點Q到直線BD的距離；(2)點P到平面BQD的距離．解(1)∵PA⊥平面ABCD，∴QA⊥BD過A作AH⊥BD于點H，連接QH.∵QA⊥BD，BD⊥AH，QA∩AH＝A.∴BD⊥平面AHQ.∴BD⊥QH，∴QH即為Q點到直線BD的距離．在Rt△BAD中，BA＝3，AD＝4，∴BD＝5，∴AH＝eq\f(12,5).在Rt△QAH中，QH＝eq\r(QA2＋AH2)＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,5)))2)＝eq\f(13,5).∴點Q到直線BD的距離為eq\f(13,5).(2)連接DQ、BQ.∵PA和平面BQD相交于Q點，且Q是PA的中點，∴點P到平面BQD的距離即為點A到平面BQD的距離．在平面AQH內(nèi)過點A作AE⊥QH，交QH于點E，由(1)BD⊥平面AHQ，BD?平面BQD，∴平面AHQ⊥平面BQD.則AE即為點A到平面BQD的距離．在Rt△QAH中，AE＝eq\f(QA·AH,QH)＝eq\f(1×\f(12,5),\f(13,5))＝eq\f(12,13).即點P到平面BQD的距離為eq\f(12,13).13．(創(chuàng)新拓展)如圖，在棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，P是側(cè)棱CC1上的一點，CP＝m(1)試確定m的值，使得直線AP與平面BDD1B1所成角的正切值為3eq\r(2)；(2)在線段A1C1上是否存在一個定點Q，使得對任意的m，D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP解(1)連接AC，設(shè)AC∩BD＝O，AP與平面BDD1B1交于點G，連接OG.因為PC∥B1B，B1B?平面BDD1B1，所以PC∥平面BDD1B1，平面BDD1B1∩平面APC＝OG，故OG∥PC，所以O(shè)G＝eq\f(1,2)PC＝eq\f(m,2).又AO⊥DB，AO⊥BB1，DB∩BB1＝B，所以AO⊥平面BDD1B1.故∠AGO即為AP與平面BDD1B1所成的角．在Rt△AOG中，tan∠AGO＝eq\f(AO,GO)＝eq\f(\f(\r(2),2),\f(m,2))＝3eq\r(2)，即m＝eq\f(1,3).故當(dāng)m＝eq\