高中數(shù) 2.2.2直線與圓的位置關(guān)系同步訓(xùn)練 蘇教版必修2

【創(chuàng)新設(shè)計】-版高中數(shù)學(xué)2.2.2直線與圓的位置關(guān)系同步訓(xùn)練蘇教版必修2eq\a\vs4\al\co1(雙基達(dá)標(biāo)限時15分鐘)1．直線3x＋4y－14＝0與圓(x－1)2＋(y＋1)2＝4的位置關(guān)系是________．解析∵圓心(1，－1)到直線3x＋4y－14＝0的距離為d＝eq\f(|3－4－14|,5)＝3＞2，∴相離．答案相離2．以點(2，－1)為圓心且與直線3x－4y＋5＝0相切的圓的方程為________．解析圓心(2，－1)到直線3x－4y＋5＝0的距離即為圓的半徑，即r＝d＝eq\f(|6＋4＋5|,5)＝3，∴圓的方程為(x－2)2＋(y＋1)2＝9.答案(x－2)2＋(y＋1)2＝93．圓x2＋y2－4x＝0在點P(1，eq\r(3))處的切線方程為________．解析∵點(1，eq\r(3))在圓x2＋y2－4x＝0上，∴點P為切點，從而圓心與P的連線應(yīng)與切線垂直．又∵圓心為(2,0)，∴eq\f(0－\r(3),2－1)·k＝－1(k為切線斜率)．解得k＝eq\f(\r(3),3).∴切線方程為x－eq\r(3)y＋2＝0.答案x－eq\r(3)y＋2＝04．直線y＝ax＋1與圓x2＋y2＝2的位置關(guān)系是________．解析直線y＝ax＋1恒過定點(0,1)，此點在圓x2＋y2＝2的內(nèi)部．∴直線與圓的位置關(guān)系是相交．答案相交5．直線x＋2y＝0被曲線x2＋y2－6x－2y－15＝0所截得的弦長等于________．解析曲線即為(x－3)2＋(y－1)2＝25，圓心到直線的距離d＝eq\r(5)，圓的半徑r＝5，所以弦長的一半為eq\r(r2－d2)＝2eq\r(5)，弦長為4eq\r(5).答案4eq\r(5)6．(1)求證：直線(a－1)x＋(a＋3)y－4a＝0與圓x2＋y2－6x(2)求過點A(2,4)向圓x2＋y2＝4所引的切線方程．(1)證明由(a－1)x＋(a＋3)y－4a＝0得a(x＋y－4)＋(3y－x∴無論a取何值，直線(a－1)x＋(a＋3)y－4a＝0必過兩條直線x＋y－4＝0與3y－x＝0的交點A(3,1)；圓的方程x2＋y2－6x＋5＝0即為(x－3)2＋y2＝4，故圓心為C(3,0)，半徑為r＝2；∵AC＝eq\r(3－32＋1－02)＝1，故AC＜r，所以點A(3,1)在圓的內(nèi)部，所以直線(a－1)x＋(a＋3)y－4a＝0與圓x2＋y2－6x＋5＝0相交．(2)解顯然x＝2為所求切線之一；設(shè)另外一條切線方程為y－4＝k(x－2)，即為kx－y＋4－2k＝0，由eq\f(|4－2k|,\r(k2＋1))＝2，解得k＝eq\f(3,4)，∴切線為3x－4y＋10＝0.綜上，所求切線方程為x＝2或3x－4y＋10＝0.eq\a\vs4\al\co1(綜合提高限時30分鐘)7．若圓C的半徑為1，圓心在第一象限，且與直線4x－3y＝0和x軸都相切，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是________．解析∵圓心在第一象限，與x軸相切，半徑為1，∴可設(shè)圓心為(a,1)(其中a＞0)；又圓與直線4x－3y＝0相切，∴d＝r即eq\f(|4a－3|,5)＝1，解得正數(shù)a＝2；∴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x－2)2＋(y－1)2＝1.答案(x－2)2＋(y－1)2＝18．如果直線l：y＝kx－10與圓x2＋y2＋mx＋2y－4＝0交于M、N兩點，且M、N關(guān)于直線x＋2y＝0對稱，則直線l截圓所得的弦長為________．解析∵圓上兩點M、N關(guān)于直線x＋2y＝0對稱，∴圓心eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(m,2)，－1))在直線x＋2y＝0上，即－eq\f(m,2)－2＝0，解得m＝－4；∴圓的方程為x2＋y2－4x＋2y－4＝0，即為(x－2)2＋(y＋1)2＝9；又直線l：y＝kx－10上兩點M、N關(guān)于x＋2y＝0對稱，∴直線l的斜率k＝2，即直線l方程為y＝2x－10；∵圓心(2，－1)到直線l的距離d＝eq\f(|4－－1－10|,\r(5))＝eq\r(5)，圓的半徑r＝3.∴直線l截圓所得的弦長為2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(9－5)＝4.答案49．已知圓x2＋y2＋x－6y＋m＝0與直線x＋2y－3＝0相交于P，Q兩點，O為原點，且OP⊥OQ，則實數(shù)m的值為________．解析設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由OP⊥OQ，得kOP×kOQ＝－1，即eq\f(y1,x1)eq\f(y2,x2)＝－1，即x1x2＋y1y2＝0①另一方面，(x1，y1)，(x2，y2)是方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y－3＝0，,x2＋y2＋x－6y＋m＝0))的解，即x1，x2是方程5x2＋10x＋4m－27＝0②的兩個解，∴x1＋x2＝－2，x1x2＝eq\f(4m－27,5)③又P，Q在直線x＋2y－3＝0上，∴y1y2＝eq\f(1,4)(3－x1)(3－x2)＝eq\f(1,4)[9－3(x1＋x2)＋x1x2]，將③代入得y1y2＝eq\f(m＋12,5)④將③④代入①解得：m＝3.代入方程②，檢驗Δ＞0成立．∴m＝3.答案310．已知直線ax＋by＋c＝0(abc≠0)與圓x2＋y2＝1相切，則三條邊長分別為|a|、|b|、|c|的三角形是________三角形．解析由題意得eq\f(|a·0＋b·0＋c|,\r(a2＋b2))＝1，即c2＝a2＋b2，∴由|a|、|b|、|c|構(gòu)成的三角形為直角三角形答案直角11．已知一條直線經(jīng)過點Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，－\f(3,2)))，且被圓x2＋y2＝25截得的弦長為8，求此直線的方程．解(1)當(dāng)斜率k不存在時，過點P的直線方程為x＝－3，代入x2＋y2＝25，得y1＝4，y2＝－4.∴弦長為|y1－y2|＝8，符合題意．(2)當(dāng)斜率k存在時，設(shè)所求方程為y＋eq\f(3,2)＝k(x＋3)，即kx－y＋3k－eq\f(3,2)＝0.由已知，弦心距|OM|＝eq\r(52－42)＝3∴eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(k·0－0＋3k－\f(3,2))),\r(k2＋1))＝3，解得k＝－eq\f(3,4).所以此直線方程為y＋eq\f(3,2)＝－eq\f(3,4)(x＋3)，即3x＋4y＋15＝0.綜上，所求直線方程為x＋3＝0或3x＋4y＋15＝0.12．一個圓的圓心在直線x－y－1＝0上，與直線4x＋3y＋14＝0相切，在3x＋4y＋10＝0上截得弦長為6，求圓的方程．解由圓心在直線x－y－1＝0上，可設(shè)圓心為(a，a－1)，半徑為r，由題意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(|4a＋3a－1＋14|,5)＝r，,r2＝9＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3a＋4a－1＋10,5)))2，))經(jīng)計算得a＝2，r＝5，所以所求圓的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝25.13．(創(chuàng)新拓展)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A(a,0)(a＞0)，B(0，a)，C(－4,0)，D(0,4)，設(shè)ΔAOB的外接圓為⊙E，(1)若⊙E與直線CD相切，求實數(shù)a的值；(2)問是否存在這樣的⊙ E，⊙E上到直線CD的距離為3eq\r(2)的點P有且只有三個；若存在，求出⊙E的標(biāo)準(zhǔn)方程；若不存在，請說明理由．解(1)由已知，直線CD方程為y＝x＋4，圓心Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，\f(a,2)))，半徑r＝eq\f(\r(2),2)a.由⊙E與直線CD相切，得eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)－\f(a,2)＋4)),\r(2))＝eq\f(\r(2),2)a，解得a＝4.(2)要使⊙E上到直線CD的距離為3eq\r(2)的點P有且只有三個，只須與CD平行且與CD距離為3eq\r(2)的兩條直線