高中數(shù)學(xué)：6-3平面向量基本定理（學(xué)案）

第05講平面向量的基本定理

色目標(biāo)導(dǎo)航

課程標(biāo)準(zhǔn)課標(biāo)解讀

1.了解平面向量的基本定理及意義.

通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，要求理解與掌握平面向量的基本定

2.能正確地運(yùn)用平面向量的基本定理表

理，會(huì)用同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量作為基底表示平

示平面內(nèi)的任意向量.

面內(nèi)的向量，并且選擇更加有利于解決問(wèn)題的基底表示

3.了解向量的基底與向量的關(guān)系，并能

向量.

準(zhǔn)確選擇向量的基底表示向量.

冊(cè)”知識(shí)精講

i.平面向量基本定理

如果e”e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量”，有且

只有一對(duì)實(shí)數(shù)九，22，使a=2iei+22e2.其中，不共線的向量ei，e?叫作表示這一平面內(nèi)

所有向量的一組基底.

（1）基底4,e2必須是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，零向量不能作為基底；

（2）若基底給定，則同一向量的分解形式唯一；

（3）如果對(duì)于一組基底61,62,有。=%|61+2262=〃|6|+〃202,則可以得到.

區(qū)=

2.兩個(gè)向量的夾角

（1）向量夾角的幾何表示

依據(jù)向量夾角的定義，兩非零向量的夾角是將兩個(gè)向量的起點(diǎn)移到同一點(diǎn)，這樣它們所

成的角才是兩向量的夾角.已知兩向量a,6,作。4=a,OB=b,則NAOB為a與6的

夾角.

（2）夾角范圍

①向量的夾角是針對(duì)非零向量定義的；

②向量的夾角和直線的夾角范圍是不同的，它們分別是［0,可和［0,二］;

2

③當(dāng)兩向量方向相同時(shí)，夾角為0，當(dāng)方向相反時(shí)，夾角為兀.

【即學(xué)即練1］若上"?｝是平面內(nèi)的一個(gè)基底，則下列四組向量能作為平面向量的基底的是

()

—

A.e,—e2>e2C|B.一e2,e〕+e2

C.2e,—e(，—2e,+D.2e1+e2,4e1+2e,

【答案】B

【分析】

不共線的向量能作為基底，逐一判斷選項(xiàng)即可.

【詳解】

不共線的向量能作為基底，

因?yàn)閝-02=-卜2-。)，所以向量備一02，02-烏共線，故排除A；

假設(shè)烏一02=”《+02),解得IT,,無(wú)解，

IA——1

所以向量q—e；,q+e2不共線，故B正確；

因?yàn)?02-。=-卜21+弓)，所以2/-q,-2e?+e；共線，故排除C；

因?yàn)?q+e?=5(4q+26)，所以Zq+e2,4q+Ze?共線，故排除D,

故選：B

【即學(xué)即練2］若e-e?是平面內(nèi)的一組基底，則下面的四組向量中不能作為一組基底的是

().

A.q+e,和q—e,B.3句—2e,和4e,—6e1

C.q+3e?和e2+3qD.e?，和q+e,

【答案】B

【分析】

根據(jù)平面向量的基底的概念：平面內(nèi)不共線的兩個(gè)向量可以作為平面的一組基底，結(jié)合共線

向量的判定方法，逐項(xiàng)判定，即可求解.

【詳解】

因?yàn)橄蛄縜，4是平面內(nèi)的一組基底，可得向量?，02為平面內(nèi)不共線向量，

fl=A

對(duì)于A中，設(shè)q+e2=〃q—e,),可得〈/此時(shí)方程組無(wú)解，

所以向量q+02和q-e2不共線，可以作為平面的一組基底；

對(duì)于B中，設(shè)招一2/=〃姐一66］),可得｛,解得力=-彳，

I—2=4/t2

所以向量3q-2e2和4/-6q為共線向量，不能作為平面的一組基底;

|1=3A

對(duì)于C中，設(shè)q+3e?=2（e2+3q）,可得(3=4此時(shí)方程組無(wú)解,

所以向星G+3?2和S+3《不共線，可以作為平面的一組基底;

對(duì)于D中，設(shè)02=〃4+02）,可得此時(shí)方程組無(wú)解,

1=A,

所以向量e?和q+e?不共線，可以作為平面的一組基底.

共線：B.

UUL1

【即學(xué)即練3］已知矩形ABCD中,對(duì)角線交于點(diǎn)O,若BC=5q,Z）C=3e2,則0C=（）

——

A.5（5q+3e,）B.—（5f13^）C.—（3^2）D.萬(wàn)（5乙一3q）

【答案】A

【分析】

由向量共線的性質(zhì)以及向量的運(yùn)算法則可得OC=gAC,AC=AB+BC,AB=DC,進(jìn)而可得

結(jié)果.

【詳解】

根據(jù)題意畫出圖如下，

因?yàn)锳8C。是矩形，

所以0C=1AC,AC=A8+BC,AB=￡>C,

2

所以0C=g（DC+8C）=：b4+5eJ

故選A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查向量的幾何運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.向量的運(yùn)算有兩種方法，?是幾何運(yùn)算往往結(jié)

合平面幾何知識(shí)和三角函數(shù)知識(shí)解答，運(yùn)算法則是：（1）平行四邊形法則（平行四邊形的

對(duì)角線分別是兩向量的和與差）；（2）三角形法則（兩箭頭間向量是差，箭頭與箭尾間向量

是和）；二是坐標(biāo)運(yùn)算：建立坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化為解析幾何問(wèn)題解答（求最值與范圍問(wèn)題，往往利

用坐標(biāo)運(yùn)算比較簡(jiǎn)單).

【即學(xué)即練4】在梯形ABC。中，AD//BC,己知AZ)=4,BC=6,若CO=n?BA+〃BC(%，

”CR),則'=()

n

A.-3B.——

3

C.-D.3

3

【答案】A

【解析】

過(guò)點(diǎn)A作AE〃CO,交BC于點(diǎn)E,則8E=2,CE=4,所以+〃8c=CD=EA=EB

iIm

+BA=--BC+BA=--BC+BA>所以一=-3

33n

答案：A

【即學(xué)即練5】在正方形A8C￡>中，點(diǎn)￡是。C的中點(diǎn)，點(diǎn)F是8C上靠近B的三等分點(diǎn).若

￡尸=〃*8+，*。，則2桃一3〃=()

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【詳解】

在正方形ABCD中，點(diǎn)￡是。C的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BC上靠近B的三.等分點(diǎn)，故

121212

EF=EC+CF=-AB+-CB=-AB一一AD,m=-,n=-一，2加一3”=3，故選C.

232323

【即學(xué)即練6】如圖所示，四邊形ABC￡>為梯形，其中AB〃C￡>,AB=2CD,M,N分

別為A3,C。的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是()

B.MC=-AC+-BC

22

C.MN=AD+-ABD.BC=AD--AB

42

【答案】ABD

【分析】

根據(jù)向量運(yùn)算法則依次計(jì)算每個(gè)選項(xiàng)得到答案.

【詳解】

___.1—

AC=AD+DC=AD+-AB.A正確；

2

MC=MA+AC=-BA+AC=-(BC-AC\+AC=-AC+-BC,B正確；

22、,22

MN=MA+AD+DN=--AB+AD+-AB=AD--AB,C錯(cuò)誤；

244

BC=BA+AD+DC=-AB+AD+-AB=AD--AB,D正確.

22

故選：ABD.

【點(diǎn)睛】

本題考查了向量的運(yùn)算，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.

【即學(xué)即練7】如果用.是平面a內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，那么下列說(shuō)法中正確的是()

A.+〃e2(Z〃€R),可以表示平面a內(nèi)的所有向量

B.對(duì)于平面a內(nèi)任一向量a,使a=/le|+〃e2,的實(shí)數(shù)對(duì)(％M)有無(wú)窮多個(gè)

C.若向量4弓+〃?與幅+.共線，則有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)，，使得

46+〃?=力他6+人)

D.若存在實(shí)數(shù)4〃使得媽+22=(),則7=〃=0

【答案】AD

【分析】

根據(jù)平面向量基本定理可知4、。是正確的，選項(xiàng)8不正確；對(duì)于選項(xiàng)C,當(dāng)兩個(gè)向量均為6

時(shí)，力有無(wú)數(shù)個(gè)，故不正確.

【詳解】

由平面向量基本定理可知力、。是正確的.

對(duì)于8,由平面向量基本定理可知,如果一個(gè)平面的基底確定，

那么任意一個(gè)向量在此基底下的實(shí)數(shù)對(duì)是唯一的，所以不正確；

對(duì)于C當(dāng)兩向量的系數(shù)均為零，即4=4=4=〃2=0時(shí)，

這樣的人有無(wú)數(shù)個(gè)，所以不正確.

故選:AD

【點(diǎn)睛】

本題考查平面向量基本定理的辨析，熟記并理解定理內(nèi)容是關(guān)鍵，解題中要注意特殊值的應(yīng)

用，屬于基礎(chǔ)題.

【即學(xué)即練8】下列結(jié)論：①若向量a，h，c共面，則存在實(shí)數(shù)x，y，使a=x〃+yc；②

若向量a，b，c不共面，則不存在實(shí)數(shù)x，必使。=_^+”；③若向量”，匕，c共面，b，

c不共線，則存在實(shí)數(shù)X，>，使a=xb+yc；④若a=x￡>+yc,則向量a，8,c共面.其中,

正確的個(gè)數(shù)是.

【答案】3

【分析】

根據(jù)共面向量定理的定義即可判斷.

【詳解】

對(duì)于①，若b，c共線，且”，5不共線，

則不存在實(shí)數(shù)x，），，使。=x6+yc,故①錯(cuò)誤；

由共面向量定理可知②、③、④均正確，

故正確的個(gè)數(shù)是3.

故答案為：3

但能力拓展

考法01

I.平面向量基本定理

如果ei，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a,有且

只有一對(duì)實(shí)數(shù)為，及，使。=7向+2202.其中，不共線的向量e1，e?叫作表示這一平面內(nèi)所有

向量的一組基底.

（1）基底的理解：

①平面內(nèi)的任何兩個(gè)不共線的向量都可以作為這個(gè)平面的一組基底；

②基底一旦確定，平面內(nèi)任一向量用該基底表示的形式是唯一的.

（2）平面向量基本定理的作用：

由平面向量基本定理知，在平面內(nèi)任取兩個(gè)不共線的向量作基底，平面內(nèi)的任一向量都可用

這一組基底表示出來(lái).但在選取基底時(shí)，應(yīng)盡量使用有利于解決問(wèn)題的基底.

【典例1】己知向量用02不共線，則下列各對(duì)向量可以作為平面內(nèi)的一組基底的是（）

A.q—e,與%一備

C.-—2e,與2f|+4e,

D.e}-2e22e}-e2

【答案】D

【分析】

根據(jù)基底不共線原則判斷即可.

【詳解】只要兩向量不共線便可作為基底，

故對(duì)于A選項(xiàng)，ey-e2=-（e2-e^,共線，不滿足；

對(duì)于B選項(xiàng)，2e「3e2=2（e「|eJ,共線，不滿足；

對(duì)于C選項(xiàng)，24+40=-2卜弓-24）共線，不滿足；

對(duì)于D選項(xiàng)，6-羽與20-/不共線，故滿足.

故選：D.

【典例2】設(shè)知弓是不共線的兩個(gè)向量，則下列四組向量不能構(gòu)成基底的是（）

A.e,-^e,+e2B.e〕-2e2與e2-Ze1

C.C1-2e,與4e,一2e1D.e1+e2與一e2

【答案】C

【分析】

在同一平面內(nèi)，只要兩個(gè)向量不共線，就可以作為這個(gè)平面的一組基底，逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】

對(duì)于A選項(xiàng)：設(shè)4+e2=/te],名吃是不共線的兩個(gè)向量，，J1.。,無(wú)解,與s+e?不共

線，.?.e；與d+e2可以構(gòu)成一組基底；

對(duì)于B選項(xiàng)：設(shè)S-262=彳,-2eJ,e,.e2是不共線的兩個(gè)向量，二工人，無(wú)解，，e「2e2

與e2-2%不共線，廠.d-Ze2與62-2?1可以構(gòu)成一組基底；

對(duì)于C選項(xiàng)：設(shè)e「2e2=2（4e；-2ej,.0e；是不共線的兩個(gè)向量，

-2e2=-^（4e2-2e）j,.\ei-2e2與4e2-2鳥共線，-2e2與4e2-2e1不能構(gòu)成一組基

底；

對(duì)于D選項(xiàng)：設(shè)e1+?2=九卜1-e?）,ef是不共線的兩個(gè)向量，.無(wú)解，+e2勺

e,-e2不共線，+e2與e1-e2可以構(gòu)成一組基底；

故選：C

【即學(xué)即練9】如圖所示，設(shè)0是平行四邊形A8CD的兩條對(duì)角線的交點(diǎn)，給出下列向量

組，其中可作為該平面內(nèi)所有向量的基底的是（）

A.AD^ABB.DA^BC

,uum,

c.CA與DCD.OD與OB

【答案】AC

【分析】

分析兩個(gè)向量是否共線，不共線的兩個(gè)向量可以作為基底.

【詳解】

UUU1

B中OA與8右共線，D中。。與。月共線，A、C中兩向量不共線，

故選：AC.

【即學(xué)即練101e“e2是平面a內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，那么下列說(shuō)法中不正確的是（）

A.Ae,+jue2（九"GR）可以表示平面a內(nèi)的所有向量

B.對(duì)于平面a內(nèi)任一向量a，使a=融1的實(shí)數(shù)對(duì)（九"）有無(wú)窮多個(gè)

C.若向量九e,+juie2與Ce1+42e；共線,則有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)z,使得九q+川e2=犯25+〃2e；）

D.若實(shí)數(shù)2,〃使得2勺+4%=0,則2=〃=0

【答案】BC

【分析】

根據(jù)平面向量基本定理可以判定ABD,取向量4e；與/2e,+^e2均為零向量或者

he,+niez為零向量的特殊情況，可以判定C.

【詳解】

由平面向量基本定理可知，A,D是正確的.

對(duì)于B,由平面向量基本定理可知，若一個(gè)平面的基底確定，那么該平面內(nèi)的任意一個(gè)向量

在此基底下的實(shí)數(shù)時(shí)是唯一的.

對(duì)于C,當(dāng)兩個(gè)向量均為零向量時(shí)，即右=，2=川=〃2=0時(shí),這樣的A有無(wú)數(shù)個(gè),或當(dāng)21%+3e；

為非零向量，而，2耳+”202為零向量(72=〃2=0),此時(shí)4不存在.

故選:BC.

【點(diǎn)睛】本題考查平面向量基本定理，屬基礎(chǔ)題，要準(zhǔn)確全面掌握平面向量的基本定理的內(nèi)

容和意義.判定C時(shí)要注意考慮問(wèn)題要周密.

考法02

2.平面向量基本定理的應(yīng)用

【典例3】已知q,e?是不共線向量，則下列各組向量中，是共線向量的有()

①a=5q,。=76；②“.勺-卜，b-3e1-2e2；

③a=q+e?,l>—3e,—3e2.

A.①@B.①③C.②③D.①②③

【答案】A

【分析】

根據(jù)平面向量共線定理得到，對(duì)于①^故兩向量共線；對(duì)于②a=:以故兩向量共

線；對(duì)于③不存在實(shí)數(shù)4滿足a=肪，故不共線.

【詳解】

對(duì)于①a=5q,b=let,a=^b,故兩向量共線：

對(duì)于②&=一!G，b=〃=J力，故兩向量共線；

23o

對(duì)于③s=6+/,b=3q—3a,

假設(shè)存在Aya=Ab=>4+。2=之(3g-3。2)

n(34—1)弓=(3>1+1)/,因?yàn)?，G是不共線向量，

故得到32-1=3/1+1無(wú)解.

故選：A.

21

【典例4】如圖，設(shè)P為AABC內(nèi)一點(diǎn)，且AP=gA3+yAC,則A4放的面積與A4BC的

面積之比等于().

p

【答案】A

【分析】

連接CP并延長(zhǎng)交A3于D，由CP=AP-AC，求出CP，由CP,CO共線，可設(shè)CO=/ICP，

PD\

然后求出4力，再由ARAB共線可求得2,從而可得局，這也是所求兩個(gè)三角形的面積

比.

【詳解】

24

連接CP并延長(zhǎng)交AB于。，則CP=AP-4C=gAB-《AC,

2424

設(shè)CO=/LCP=W4A3-w/lAC,則++a—

45

,**AD〃AB，1--A=0,2=—.

54

1PDi

:?DP=—DC,即——=-,

5CD5

SPD1

SMBCCD5

故選A.

【點(diǎn)睛】

本題考查平面向量基本定理，考查向量在平面幾何中的應(yīng)用.本題關(guān)鍵是設(shè)CD=4C戶，這

PD

樣可表示出A。，而ARAB共線，就可求得；I,從而得出五一

【典例5】在平行四邊形A8CZ）中，E,F分別是BC,C。的中點(diǎn)，DE交AF于點(diǎn)、H,記A3、

8C分別為。，b,則（用a,b表示）.

24

【答案】-a+-b

55

【解析】如圖，E,F分別為BC,CD的中點(diǎn)，

A,H,尸三點(diǎn)共線，.?.存在實(shí)數(shù)%,使

AH=^AF=^AD+DF^=^C+^AB^=ABC+^AB,VD,H,E三點(diǎn)共線，

存在〃，使￡>〃=〃OE=〃（OC+CE）=〃（A3—；BC）,

/.AH=AD+DH=BC+p^AB-^BC^=〃AB+11一搭/。，

4=1-幺

72---24

.??根據(jù)平面向量基本定理得：《/,解得〃=—,，AH=—4+—尻故答案為:

A555

.2=；/

B

【名師點(diǎn)睛】利用平面向量基本定理解題的策略：

（1）先選擇?組基底，并運(yùn)用平面向量基本定理將條件和結(jié)論表示成該基底的線性組

合，再進(jìn)行向量的運(yùn)算.

（2）在基底未給出的情況下，合理地選取基底會(huì)給解題帶來(lái)方便，另外，要熟練運(yùn)用

線段中點(diǎn)的向量表達(dá)式.

［即學(xué)即練11］四邊形ABCD^,AB//CD,

NA=90,AB=2A￡>=2DC,8c=3EC,AE=2AF,則下列表示正確的是（）

A.CB=--AB+ADB.AF=-AB+-AD

233

C.CF=-AB--ADD.BF^--AB+-AD

6333

【答案】BD

【分析】

利用向量的線性運(yùn)算將CBAF，CF,8F用基底48和AO表示，與選項(xiàng)比較即可得正確選項(xiàng).

【詳解】

對(duì)于選項(xiàng)A：CB=CD+DA+AB=--AB+DA+AB=-AB+DA,故選項(xiàng)A不正確；

22

AF=；AE=g(A8+8E)=gA8+可］=：(|48-|可=gA8+gAO故選項(xiàng)

B正確；

CF=CD+DA+AF=--AB-AD+-AB+-AD=--AB--AD,故選項(xiàng)C不正確，

23363

11?1

BF=AF-AB=-AB+-AD-AB=——AB+-AD,故選項(xiàng)D正確：

3333

故選：BD

【即學(xué)即練12】已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,向量a,/7滿足A8=2a，AD=2a+b)則

()

A.\h\=2\/2B.aLhC.a?b2D.(4a+Z?)±Z?

【答案】AD

【分析】

把A8，AO作為基底結(jié)合正方形性質(zhì)即可.

【詳解】

1UUUULUUUU11LUKIL

由條件可匕=4Z)-A8=BO，所以|=|比)|=2及，A正確；

a=^AB,與8。不垂直，B錯(cuò)誤；

rriHIDutn

ab=-ABBD=-2,C錯(cuò)誤；

2

rIULULIUUUUU!pl1

4a+b=AB+AD=AC＜根據(jù)正方形的性質(zhì)有AC_L80，所以(4a+/?)_L。，D正確.

故選:AD

【點(diǎn)睛】

選擇恰當(dāng)?shù)幕资墙鉀Q問(wèn)題的關(guān)鍵，注意特定圖形的性質(zhì)運(yùn)用.

M分層提分

題組A基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練

1.如圖，向量4,e2,。的起點(diǎn)與終點(diǎn)均在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，若a=雞,則幾+〃=

（）

A.-1B.3

C.1D.-3

【答案】A

【解析】根據(jù)圖可知。=-3勺+（62+4）=-24+62,所以

2=—2,〃=10,/1+〃=—2+1=—1,故選A.

【名師點(diǎn)睛】本小題主要考查平面向量的線性運(yùn)算，考查平面向量基本定理，考查數(shù)形結(jié)合

的數(shù)學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)題.根據(jù)題圖，將。表示成4,02的線性和形式，由此求得力,〃的

值，進(jìn)而求得丸+〃的值.

2.已知非零向量。4,。8不共線，5.2OP=xOA+yOB,若P4=248（/1eR）,則％V滿足的

關(guān)系是（）

A.x+y-2=0B.2x+y-l=0C.x+2y-2=0D.2x+y-2=0

【答案】A

【詳解】

由20P=xOA+yOB得OP=OA+]08,由PA=eR）得三點(diǎn)P,A,B共線，所以

-+-=1,即x+y-2=0,選A.

22

12

【點(diǎn)睛】向量共線：a/",bwO=m；l￡R,4=勸，BA=AAC^OA=--OB+——OC.

1+21+A

3.如圖，在aABC中，設(shè)A3=a，AC=b，AP的中點(diǎn)為Q,BQ的中點(diǎn)R,CR的中點(diǎn)為

P，AP=ma+nh，則加，〃對(duì)應(yīng)的值為（）

c

2411

7-，7-2-4-

Ac.B,

12D.13

6-,7-6-7-

試題分析：由題意可得AP=2QP,QB=2QR,A3=。=AQ+Q8=gAP+2QR,①

AC=\P+PC=AP+RP=AP+QP-QR=AP+^\P-QR=^AP-QR=h,②

2404

由①②解方程求得AP=即加，〃對(duì)應(yīng)的值為"，y

【考點(diǎn)】平面向量基本定理

4.如圖四邊形ABCD為平行四邊形，AE=g/lB,。尸=；FC,若AF=/tAC+〃OE,則彳-〃

的值為（）

【答案】D

【分析】

選取為基底將向量AF進(jìn)行分解，然后與條件對(duì)照后得到幾-〃的值.

【詳解】

選取AB,4。為基底，

則AF=AD+DF=-AB+AD,

3

^AF=AAC+^DE=A（AB++AD）+^\^AB-AD^=^+^AB+（A-^AD,

將以上兩式比較系數(shù)可得幾-〃=1.

故選D.

【點(diǎn)睛】

應(yīng)用平面向量基本定理應(yīng)注意的問(wèn)題

（1）只要兩個(gè)向量不共線，就可以作為平面的一組基底，基底可以有無(wú)窮多組，合理地選

擇基底會(huì)給解題帶來(lái)方便；

（2）利用已知向量表示未知向量，實(shí)質(zhì)就是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的

加減運(yùn)算或數(shù)乘運(yùn)算；

（3）一個(gè)向量按照同一組基底進(jìn)行分解后，所得結(jié)果具有唯一性.

--,.一＞o.一）

5.如圖，在△ABC中，AN=§NC,尸是8N上的一點(diǎn)，若AP=〃?4B+§AC,則實(shí)數(shù)機(jī)的值為

（）

A.|B.1C.-D.3

39

【答案】C

【分析】

先根據(jù)共線關(guān)系用基底后已表示人,，再根據(jù)平面向量基本定理得方程組解得實(shí)數(shù)機(jī)的

值.

【詳解】

如下圖，三點(diǎn)共線，，而〃麗，二麗.久麗，即萬(wàn)一15=%證-旃,

二/a?45+AN①，又,：AN=QNC,4c.4AN'

1+久1+/3

AP=niAB+-AC=mAB+-AC@^

99

對(duì)比①，②，由平面向量基本定理可得:

89

9

【點(diǎn)睛】

本題考查向量表示以及平面向量基本定理，考查基本分析求解能力.

6.在AABC中，。為邊4c的中點(diǎn)，若=則（）

A.4=2,〃=一1B.2=-1,〃=2

C.2=-2,/z=lD.九=1,〃=2

【答案】C

【分析】

利用平面向量的線性運(yùn)算，即可用基底表示AB，從而得到結(jié)果.

【詳解】

因?yàn)锳B=AC+CB=2DC-BC=2（BC-BD）-BC=-2BD+BC,

所以4=-2,〃=1,

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題考查平面向量的線性運(yùn)算，考查用基底表示向量，考查推理能力，屬于基礎(chǔ)題.

7.如圖，在△4BC中，D,E,尸分別為線段8C,AD,8E的中點(diǎn)，則AF=（）

B.-AB--AC

88

D.-AB+-AC

88

【答案】D

【分析】利用中線所在向量結(jié)合向量加減法，不難把A尸轉(zhuǎn)化為AfiaiAC，得解.

【詳解】

解：VAF=^AB+AE)

=-AB+-x-AD

222

=-AB+-x-(AB+AC]

242、>

=|AB+1AC,故選￡>.

88

【點(diǎn)睛】本題考查用基底表示向量，考查平面向量線性運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

8.如圖，在正方形ABCD中，尸是邊CO上靠近D點(diǎn)的三等分點(diǎn)，連接8E交AC于點(diǎn)E,

BE^mAB+nAC,則加+〃的值是()

【答案】C

【分析】

由題意知，B,E,F三點(diǎn)共線，則=用BC和BA表示出BE,根據(jù)E,C,A三點(diǎn)共線，可

得到〃值，整理化簡(jiǎn)即可得到m和n值，從而可得答案.

【詳解】

由題意如，B,E,F三點(diǎn)共線，/是邊C。上靠近。點(diǎn)的三等分點(diǎn)，

貝ijBE=〃BF=〃(BC+1可=+：/.iBA,

又E,C,A一點(diǎn)共線則〃+§2〃=§5〃=1,即〃=(3,

貝IJ5E=3C+|BA=|(AC-A8)-|AB=-AB+|AC,

_32

所以m=-l,n=-,Sfcm+n=-y

故選C

【點(diǎn)睛】

本題考查平面向量基本定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用，考查三點(diǎn)共線的應(yīng)用，考查分析推理能力.

9.如圖，在四邊形A8CO中，AB=3DC,E為邊BC的中點(diǎn)，若A￡=%48+〃AO,則/+〃=

()

【答案】C

【分析】

根據(jù)平面向量線性運(yùn)算法則將AE用AB,AD表示，再結(jié)合平面向量基本定理即可得答案.

【詳解】

連接AC,因?yàn)镋為8c的中點(diǎn)，

所以AE」AB+'AC=■!■A8+,（A。+AC）」NB+LAD+lx1AB=2AB+'AO,

2222222332

又因?yàn)锳E=AAB+,根據(jù)平面向量基本定理可得

217

義=工，〃=彳，于是幾+〃=2?

3Zo

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查平面向量的線性運(yùn)算及其平面向量的基本定理，屬于基礎(chǔ)題.

10.已知等邊三角形ABC中，。是線段AC的中點(diǎn)，DE1AB,垂足為￡F是線段的

中點(diǎn)，則OE=()

3535

A.——BD+-FCB.-BD--FC

8484

1313

C.-BD--FCD.——BD+-FC

8484

【答案】C

【解析】?.?尸是線段BD的中點(diǎn)，??.CF=L（CO+CB）=LC4+LCB=3BC.

2、'4244

???￡＞是線段AC的中點(diǎn)，（.+8右）.

.―一叫班一叫叫網(wǎng)+叫叫叱

令DE=兀BDtRFC，

則那-梟。=3助+8。）+q。A=4苦）加亭￥）”

.L"幺--=-+^,解得〃=一,，A=-,ADE=-fiD--FC,

"4-242244884

故選c.

【名師點(diǎn)睛】本題考查/平面向量基本定理的應(yīng)用，考查了中線向量定理、向量相等的概念

及應(yīng)用，屬于中檔題.求解時(shí)，先由中線向量定理得到cF=g（a5+cs）,

京5=g（84+BC）,再將CD，CB，說(shuō)都用基底BABC表示，利用向量相等，求得關(guān)

系.

______2

11.已知。為AABC內(nèi)一點(diǎn)，且有。A+OC=18C,則AO8C和AABC的面積之比為（）

11I2

C

A.6-B.-32-D.3-

【答案】C

【分析】

取AC中點(diǎn)，利用向量中線定理，得到中線與平行，三角形的面積比轉(zhuǎn)化為邊長(zhǎng)比.

【詳解】

設(shè)。是AC的中點(diǎn)，則0A+0C=20D，

2.

又因?yàn)镺A+OC==BC,

3

2

所以20￡>=§BC,8c=300，OD//BC-

ADBC℃

所以一S__J_

^AABCAC2

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題主要考查向量基本定理，屬于基礎(chǔ)題.

12.如圖所示，在，ABC中，AB=2,BC=3,NABC=60。，4。為8c邊上的高，M為AO

的中點(diǎn)，若+則彳+〃的值為（）

【答案】D

【分析】

利用平面向量的加法、數(shù)乘運(yùn)算以及平面向量的基本定理即可求解.

【詳解】

因?yàn)樵贘8c中，AB=2,BC=3,ZABC=a）°,

AO為BC邊上的高，所以在△A3。中，BD=-AB=\,

2

又BC=3,r.BD=-BC,

3

AD=AB+BD=^+-BCt

M為AO的中點(diǎn)，

:.AM=-AD=-AB+-BC,

226

AM=AAB+fjBC,:.A=—,/z=,

,2

故選：D.

題組B能力提升練

T1Tf1T

1.如圖，在中，">=148,=BE和CD相交于點(diǎn)尸，則向量第等于（）

]T2T[T3T

A.—AB-\—ACB.-AB+-AC

7777

1-2-]—3T

C.—A8+—ACD.—AB+—AC

14141414

【答案】B

【分析】

過(guò)點(diǎn)廠分別作FM〃A8交AC于點(diǎn)M,作RV〃AC交AB于點(diǎn)N,由平行線得出三角形相

->]->—>1->T3T->1T

似,得出線段成比例，結(jié)合加行3AE=-AC,證出AM=—AC和AN=—AB,最后

277

由平面向量基本定理和向量的加法法則,即可得幾和就表示后.

【詳解】

解：過(guò)點(diǎn)F分別作FM//AB交AC于點(diǎn)M,作FN//AC交AB于點(diǎn)N,

—>i->->1—>

已知A￡?=-A3.AE=-AC,

42

FN//AC,則△MFEAABE和ZXMC尸△ACD,

MFMEMFMC

則:---=-------=----

ABAEADAC

MFMC

MF2ME2ME4MC

即:~AB~AC且那AC，所以MF

ABACAC

3

則:MC=8ME,所以AM=-AC,

7

T3T

解得：AM=-AC

7f

同理根//AB,△A?尸△ABE和△'￡￡)/XACD,

NFNB口NFND

n則l?——=——且——=——,

*AEABACAD

NFNBNFND1_

即：LACA3且AC，A5,所以NF=2-4ND,

24AC~AB~AB

則：NB=8ND,^AB-AN=S（AD-AN）,

所以48-4V=8（；A8-4NJ,即AB-4V=245-84V,

得：AN=-AB,

7

T1T

解得：AN=-AB,

7

四邊形AMFN是平行四邊形，

???由向量加法法則，得/=A0+A卷，

T]f3T

所以AF=-AB+-4C.

77

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查平面向量的線性運(yùn)算、向量的加法法則和平面向量的基本定理，考查運(yùn)算能力.

2.（多選題）設(shè)“是已知的平面向量，向量。，b,e在同一平面內(nèi)且兩兩不共線，其中真

命題是（）

A.給定向量。，總存在向量e,使°=6+（?；

B.給定向量b和C,總存在實(shí)數(shù)幾和〃，使+〃c；

c.給定單位向量6和正數(shù)〃，總存在單位向量e和實(shí)數(shù)幾，使。=〃7+MC；

D.若|a|=2,存在單位向量c和正實(shí)數(shù)4,〃，使。=助+“，則￥+3">6.

【答案】ABD

【分析】

利用平面向量基本定理依次判斷，即得解

【詳解】

對(duì)于選項(xiàng)A,給定向量4和人，只需求得其向量差￡4即為所求的向量C,故總存在向量C,

^.a-b+C'故A正確；

對(duì)于選項(xiàng)B,當(dāng)向量各，e和d在同一平面內(nèi)且兩兩不共線時(shí)，向量萬(wàn)，e可作基底，由平

面向量基本定理可知結(jié)論成立，故B正確；

對(duì)于選項(xiàng)C,取a=(4,4),〃=23=(1,0)，無(wú)論4取何值，向量。都平行于x軸，而向量應(yīng)

的模恒等于2,要使a=+成立，根據(jù)平行四邊形法則，向量〃c的縱坐標(biāo)一定為4,故

找不到這樣的單位向量c使等式成立，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)D,,,[a]=(Xb+fic)1=A2+/Z2+2A/ZCOS<Z>,C>=4,又〃，C不共線，

/.A2+/Z2+2A/Z>4,即(Jl+〃)2>4,即/l+〃>2,

「34+3"N2,3"3"=2丁3"+“(當(dāng)且僅當(dāng)義=〃時(shí)等號(hào)成立)，

2折+“>2x3=6，得3'+3">6，故D正確

故選：ABD.

3.(多選題)已知M是一A8C的重心，。為BC的中點(diǎn)，下列等式成立的是()

A.AD=^AB+^ACB.MA+MB+MC=0

C.BM=-BA+-CDD.CM=-CA+-CD

3333

【答案】ABD

【分析】

作出示意圖，由點(diǎn)M是《血的重心，。為BC的中點(diǎn)，得到E,F是AC,AB的中點(diǎn)，結(jié)合

向量的線性運(yùn)算法則和三角形重心的性質(zhì)，逐項(xiàng)判定，即可求解.

【詳解】

如圖所示，因?yàn)辄c(diǎn)M是二ABC的重心，。為8C的中點(diǎn)，可得E,F是ACA8的中點(diǎn)，

由A￡)=AB+8￡)=A8+,8C=A8+L(AC-AB)=LA8+!AC,所以A正確；

2222

由。為BC的中點(diǎn)，根據(jù)向量的平行四邊形法則，可得MB+MC=2MQ，

又由M是ABC的重心，根據(jù)重心的性質(zhì)，可得|M4|=2|M￡)|,所以■+2避)=3，

即M4+MB+MC=0，所以B正確；

22I|12

根據(jù)三角形重心的性質(zhì)，可得BM=—BE=—x-(BA+BC)=—(助-2CD)=-BA—CD,

332333

所以C不正確；

221112

由重心的性質(zhì)，=-CF=-x-(CA+CB)=-(CA+2CD)=-CA+-CD,

332333

所以D正確.故選：ABD.

D

4.（多選題）若點(diǎn)。是線段BC外一點(diǎn)，點(diǎn)P是平面上任意一點(diǎn)，且。P=4OB+/ca，n

GR）,則下列說(shuō)法正確的有（）

A.若在〃=1且%>0,則點(diǎn)P在線段BC的延長(zhǎng)線上

B.若在幺=1且2<0,則點(diǎn)P在線段8c的延長(zhǎng)線上

C.若則點(diǎn)P在△08C外

D.若在〃<1,則點(diǎn)尸在△OBC內(nèi)

【答案】BC

【分析】

根據(jù)向量的減法運(yùn)算，向量數(shù)乘的幾何意義，向量加法的平行四邊形法則，以及相反向量的

概念即可判斷出每一項(xiàng)的正誤.

【詳解】

因?yàn)镺尸=XOB+〃OC（Z

若2+〃=1且2>0,則OP=2O8+（1-2）OC=OC+2（OB-OC）,

故OP-OC=2（O8-OC）,即CP=4C8,又力>0,則點(diǎn)P在線段8C或其反向延長(zhǎng)線上，A

錯(cuò)誤；

若2+"=1且2<0,同上可得CP=/IC8，而2<（），則點(diǎn)。在線段8c的延長(zhǎng)線上，B正確；

若2+">1,OP=AOB+（\-A}OC+^+^-\）OC,同上可得CP=/lCB+（；l+〃一l）OC,當(dāng)

時(shí)，A+H-1>0,根據(jù)向量加法的平行四邊形法則可以看出則點(diǎn)尸在△O8C外，C正

確；

若2+"<1,不妨令2=0,〃=-1則0尸=_0。，很顯然此時(shí)點(diǎn)P在線段CO的延長(zhǎng)線上，不

在