考向26空間幾何體的表面積與體積（重點(diǎn)）-2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)微（學(xué)生版）

考向26空間幾何體的表面積

和體積

「經(jīng)典

1.（2022年甲卷理9文10）甲、乙兩個(gè)圓錐的母線長相等，側(cè)面展開圖的圓心角之和為2），側(cè)面積分別為

際和S乙，體積分別為％和%,若生=2,則%=

s乙

A.75B.242C.VioD.平

【答案】C

【解析】如圖，甲、乙兩個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖剛好拼成一個(gè)圓,設(shè)圓的半徑（即圓錐母線）為3,甲、乙兩

個(gè)圓錐的底面半徑分別為4,4，高分別為4,h2,則2仍=4萬，2萬4=2萬，則｛=2,r2=\,由勾股定理,

得％=6,S，所以地=善_工型=*義專=而.

2.（2022年乙卷理9文12）已知球。的半徑為1,四棱錐的頂點(diǎn)為O,底面的四個(gè)頂點(diǎn)均在球。的球面上,

則當(dāng)該四棱錐的體積最大時(shí)，其高為

A.1B,1C.2D.也

3232

【答案】C

【解析】考慮與四棱錐的底面形狀無關(guān)，不是一般性，假設(shè)底面是

邊長為a的正方形，底面所在圓面的半徑為r,則r=也。

2

3.（2022年新高考1卷第8題）已知正四棱錐的側(cè)棱長為/,其各頂點(diǎn)都在同一球面上.若該球的體積為36兀,

且3捌/圭心6，則該正四棱雉體積的取值范圍是

D.[18,27]

【答案】C

【解析】記三棱錐高與側(cè)棱夾角為。，高為防，底面中心到各頂點(diǎn)的距離為機(jī)，

cos0=-----------=—G[—,——],貝ij/=6cos。，m=/?sine=6sinecos。，

2x3x/622

一旦=6sin蜉SJ6COS2,%=乂2/2租=2療，

tandsin。底2

cos。

故底/=

V=gs；x2trrh=144(sinOcos20)2,

令y=sin^cos20=sin-sin26)=x(l-x2)=-^+x,x=sin?！闧g,

"_3/+]V>0,

4.（2022年新高考2卷第7題）正三棱臺(tái)高為1,上下底邊長分別是3力和46,所有頂點(diǎn)在同一球面上,

則球的表面積是

A.100〃B.128萬C.1444D.192萬

【答案】A

【解析】由題意得，上底面所在平面截球所得圓的半徑是3,

下底面所在平面截球所得圓的半徑是4,

則軸截面中由幾何知識(shí)可得7/?2-32+V/?2-42=1,或7/?2-32-J/?—?=1

解得夫2=25,因此球的表面積是$=4萬店=4萬-25=100萬.故選A.

5.（2022年新高考2卷第11題）如圖，四邊形A3CO為正方形，平面A3C￡）,FB//ED,AB=ED=2FB,

記三棱錐E-ACD,F-ABC,F-ACE的體積分別為乂，匕，匕，則

A-匕=2匕B.匕叫C.匕=匕+匕D.2匕=3乂

【答案】CD

【解析】設(shè)/U?=ED=2fB=2,則耳=±、2乂2=2,V.=-x2x]=-.連結(jié)3。交AC于M,連結(jié)EM、FM,

1

33233

IoB1

則尸M=K，EM=G，EF=3,故，V3=-StiEMFxAC=2,匕=耳+匕，2匕=3匕，故

選CD.

6.（2022年北京卷第9題）己知正三棱錐尸-ABC的六條棱長均為6,S是AABC及其內(nèi)部的點(diǎn)構(gòu)成的集

合.設(shè)集合7={。€5|八2<5},則7表示的區(qū)域的面積為（）

3兀CC

A.—B.兀C.27rD.37r

4

【答案】B

【解析】

設(shè)頂點(diǎn)尸在底面上的投影為0,連接80,則。為三角形ABC的中心,

且8O=2x6x立=26，故PO*672=2巫.

32

因?yàn)镻Q=5,故OQ=1,

故S的軌跡為以0為圓心，1為半徑的圓，

2x3x36

而三角形ABC內(nèi)切圓的圓心為0,半徑為?彳J[萬）]，

3^6—-〉

故S的軌跡圓在二角形ABC內(nèi)部，故其面積為萬，故選：B

1.空間幾何體表面積的求法

①旋轉(zhuǎn)體的表面積問題注意其側(cè)面展開圖的應(yīng)用.

②多面體的表面積是各個(gè)面的面積之和；組合體的表面積注意銜接部分的處理.

2.空間幾何體體積問題的常見類型及解題策略

①直接利用公式進(jìn)行求解.

②用轉(zhuǎn)換法、分割法、補(bǔ)形法等方法進(jìn)行求解.

3“切’,”接,，問題的處理規(guī)律

①，，切，，的處理：解決與球有關(guān)的內(nèi)切問題主要是指球內(nèi)切于多面體或旋轉(zhuǎn)體，解答時(shí)首先要找準(zhǔn)切點(diǎn)，通過

作截面來解決.如果內(nèi)切的是多面體，則作截面時(shí)主要抓住多面體過球心的對(duì)角面.

②，，接，，的處理：把一個(gè)多面體的幾個(gè)頂點(diǎn)放在球面上即為球的外接問題.解決這類問題的關(guān)鍵是抓住外接的

特點(diǎn)，即球心到多面體的頂點(diǎn)的距離等于球的半徑.

1.與體積有關(guān)的幾個(gè)結(jié)論

(1)一個(gè)組合體的體積等于它的各部分體積的和或差.

(2)底面面積及高都相等的兩個(gè)同類幾何體的體積相等.

2.幾個(gè)與球有關(guān)的切、接常用結(jié)論

(1)正方體的棱長為“，球的半徑為R,

①若球?yàn)檎襟w的外接球，則2R=g；

②若球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球，則2R=n：

③若球與正方體的各棱相切，則2/?=會(huì)。

(2)若長方體的同一頂點(diǎn)的三條棱長分別為a,b,c,外接球的半徑為R,則2區(qū)=7。2+扶+?.

(3)由棱柱的上下底面平行和球的對(duì)稱性，可知直棱柱外接球的球心為上下底面外接圓圓心連線的中點(diǎn),

根據(jù)勾股定理求直棱柱外接球的半徑.

(4)設(shè)正四面體的棱長為小則它的高為半“，內(nèi)切球半徑「=吟4,外接球半徑7?=乎。正四面體的外接

1、基礎(chǔ)知識(shí)不扎實(shí)

(1)對(duì)立幾中一些常見結(jié)論要做到了然于胸，如：關(guān)于三棱錐中頂點(diǎn)在底面三角形上的射影問題的相關(guān)條

件和結(jié)論要在理解的基礎(chǔ)上加以熟記；

(2)在思維受阻時(shí)，要養(yǎng)成回頭看條件的習(xí)慣，問一問自己條件是否都用了呢？

2、平面化處理意識(shí)不強(qiáng)，簡單的組合體畫不出適當(dāng)?shù)慕孛鎴D致誤

3、“想圖、畫圖、識(shí)圖、解圖”能力的欠缺，多面體與幾何體的結(jié)構(gòu)特征不清楚導(dǎo)致計(jì)算錯(cuò)誤

一、單選題

1.一只會(huì)飛行的昆蟲被長為12cm的細(xì)繩子綁在一個(gè)封閉的正方體空盒子內(nèi)一角(忽略捆綁長度)，若盒子

的棱長為12cm,則飛蟲活動(dòng)范圍的體積為()

A.144"B.288萬C.576%D.864萬

2.已知四棱錐的底面是邊長為近的正方形，側(cè)棱長均為右.若圓柱的一個(gè)底面的圓周經(jīng)過四棱錐四條側(cè)

棱的中點(diǎn)，另一個(gè)底面的圓心為四棱錐底面的中心，則該圓柱的體積為（）

A.七B.三C.二D."

423

3.一個(gè)底面積為1的正四棱柱的頂點(diǎn)都在同一球面上，若此球的表面積為2071,則該四棱柱的高為（）

A.8B,2C.3正D.回

4.已知圓錐的軸截面是等腰直角三角形，且面積為4,則圓錐的體積為（）

八4-4八8八8

A.-B,—7iC.—D.-7t

3333

5.如圖，某多面體的體積是其三視圖如圖所示，則正視圖中的高〃=（）

6.已知點(diǎn)A,B,C是球。的小圓O|上的三點(diǎn)，^AB=BC=CA=3y[3,0（9,=4,則球。的表面積為（）

A.647rB.100兀C.144兀D.200兀

7.我國古代經(jīng)典數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有一段表述:'今有圓堡端（dao）,周四丈八尺，高一丈一尺”，

意思是有一個(gè)圓柱，底面周長為4丈8尺，高為1丈1尺.則該圓柱的表面積約為（）（注:1丈=10尺，兀

取3）

A.1088平方尺B.912平方尺C.720平方尺D.656平方尺

8.據(jù)《九章算術(shù)》中記載，“陽馬'’是以矩形為底面，一棱與底面垂直的四棱錐.現(xiàn)有一個(gè)“陽馬”，PAL底

ffiABCD,底面ABC。是矩形，且己4=5,45=4,BC=3,則這個(gè)“陽馬”的外接球表面積為（）

A.5兀B.200兀C.50兀D.IOOTT

二、多選題

9.傳說古希臘科學(xué)家阿基米德的墓碑上刻著一個(gè)圓柱，圓柱內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球，這個(gè)球的直徑與圓柱的高相

等.因?yàn)榘⒒椎抡J(rèn)為這個(gè)“圓柱容球''是他在幾何上最為得意的發(fā)現(xiàn)，于是留下遺言：他去世后，墓碑上要

刻上一個(gè)“圓柱容球''的幾何圖形.設(shè)圓柱的體積與球的體積之比為m,圓柱的表面積與球的表面積之比為〃,

若/"）=（生貝|］（）

nx

B./（x）的展開式中的x"的系數(shù)為56

C./（x）的展開式中的各項(xiàng)系數(shù)之和為0D./⑴=-16,其中i為虛數(shù)單位

10.已知正方體ABCD-AgCQ的棱長為小點(diǎn)P為側(cè)面8CCg上一點(diǎn)（含邊界），點(diǎn)。為該正方體外接

球球面上一點(diǎn).則下面選項(xiàng)正確的是（）

1T

A.直線AP與平面A3CO所成最大角為了

B.點(diǎn)。到正方體各頂點(diǎn)距離的平方之和為12/

C.點(diǎn)Q到點(diǎn)A和點(diǎn)G的距離之和最大值為（1+及）。

TT7T

D.直線AP與直線8。所成角范圍為J.y

三、填空題

11.半徑為4的球的球面上有四點(diǎn)AB，C,O,己知AABC為等邊三角形且其面積為96,則三棱錐D-A5c

體積的最大值為.

12.圓柱上、下底面的圓周都在一個(gè)體積為等的球面上，圓柱底面直徑為8,則該圓柱的體積為

13.如圖為某幾何體的三視圖，該幾何體的表面積是.

14.蹴鞠，2006年5月20日，已作為非物質(zhì)文化遺產(chǎn)經(jīng)國務(wù)院批準(zhǔn)列入第一批國家非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄.蹴

有用腳蹴、踢、蹋的含義，鞠最早系外包皮革、內(nèi)實(shí)米糠的球，因而蹴鞠就是指古人以腳蹴、蹋、踢皮球

的活動(dòng)，類似今日的足球.已知某鞠（球）的表面上有四個(gè)點(diǎn)（不共

面）4B、C、D,AB=CD=2,AC=BD=?BC=AD=&貝ij該鞠（球）的體積為

一、單選題

1.（2022.山東濟(jì)南.模擬預(yù)測(cè)）擬柱體（所有頂點(diǎn)均在兩個(gè)平行平面內(nèi)的多面體）可以用辛普森（Simpson）

公式丫=!〃（5+45。+5,）求體積，其中〃是高，5是上底面面積，邑是下底面面積，、是中截面（到上、

O

下底面距離相等的截面）面積.如圖所示，在五面體48a中，底面ABC。是邊長為2的正方形，EF=1,

且直線EF到底面的距離為2,則該五面體的體積為（）

2.（2022.遼寧鞍山.一模）如圖，某加工廠要在一圓柱體材料中打磨出一個(gè)直三棱柱模具，已知該圓柱底面

圓面積為16兀，高為6,則能截得直三棱柱體積最大為（）

A.54月B.726C.96>/3D.10873

3.（2023?安徽省宣城中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知正方體A8CO-44CQ的棱長為2,M,N分別為8月，CD

①三棱錐A-MNR在平面。QCG上的正投影圖為等腰三角形:

②直線MN//平面AQG；

③在棱BC上存在一點(diǎn)E,使得平面AEBi，平面MNB；

④若F為棱AB的中點(diǎn)，且三棱錐的各頂點(diǎn)均在同一求面上，則該球的體積為茄兀.

其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

4.（2022?北京二中模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，一套組合玩具需在一半徑為3的球外罩上一個(gè)倒置圓錐，則圓錐

體積的最小值為（）

A.64兀B.40萬C.84乃D.72乃

【答案】D

5.（2022?河南?通許縣第一高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））如圖，圓臺(tái)的側(cè)面展開圖為半圓環(huán)，圖中線段AB=8,

C。,。為線段A3的四等分點(diǎn)，則該圓臺(tái)的表面積為（）

C.6兀D.54

2

6.（2022?安徽?合肥一六八中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））劉徽構(gòu)造的幾何模型“牟合方蓋”中說：“取立方棋八枚，皆

令立方一寸，積之為立方二寸.規(guī)之為圓困，徑二寸，高二寸.又復(fù)橫規(guī)之，則其形有似牟合方蓋矣牟

合方蓋是一個(gè)正方體被兩個(gè)圓柱從縱橫兩側(cè)面作內(nèi)切圓柱體時(shí)的兩圓柱體的公共部分，計(jì)算其體積的方法

是將原來的“牟合方益”平均分為八份，取它的八分之一（如圖一）.記正方形OA8C的邊長為r,設(shè)OP=〃,

過P點(diǎn)作平面PQRS平行于平面048C.OS=OO=r,由勾股定理有PS=PQ=y/r2-h2，故此正方形PQRS

面積是尸-爐.如果將圖一的幾何體放在棱長為r的正方體內(nèi)（如圖二），不難證明圖二中與圖一等高處陰

影部分的面積等于（如圖三）設(shè)此棱錐頂點(diǎn)到平行于底面的截面的高度為/?,不難發(fā)現(xiàn)對(duì)于任何高度/?,

此截面面積必為"，根據(jù)祖隨原理計(jì)算牟合方蓋體積（）

注：祖晅原理：“幕勢(shì)既同，則積不容異”.意思是兩個(gè)同高的立體,如在等高處的截面積相等，則體積相等

16n163

A.BD.一r

-53

7.（2022?江蘇泰州?模擬預(yù)測(cè)）《算數(shù)書》是已知最早的中國數(shù)學(xué)著作，于上世紀(jì)八十年代出土，大約比現(xiàn)

有傳本的《九章算術(shù)》還要早近二百年.《算數(shù)書》內(nèi)容豐富，有學(xué)者稱之為“中國數(shù)學(xué)史上的重大發(fā)現(xiàn)在

《算數(shù)書》成書的時(shí)代，人們對(duì)圓周率的認(rèn)識(shí)不多，用于計(jì)算的近似數(shù)與真實(shí)值相比誤差較大.如書中記

載有求“困蓋”的術(shù)：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一.此術(shù)相當(dāng)于給出了圓錐的體積丫的

計(jì)算公式為『人,其中L和〃分別為圓錐的底面周長和高.這說明，該書的作者是將圓周率近似地取為（）

A.3.00B.3.14C.3.16D.3.20

8.（2022?江蘇泰州?模擬預(yù)測(cè)）為慶祝神州十三號(hào)飛船順利返回，某校舉行“特別能吃苦，特別能戰(zhàn)斗，特

別能攻關(guān)，特別能奉獻(xiàn)”的航天精神演講比賽，其冠軍獎(jiǎng)杯設(shè)計(jì)如下圖，獎(jiǎng)杯由一個(gè)半徑為6cm的銅球和一

個(gè)底座組成，底座由邊長為36cm的正三角形銅片沿各邊中點(diǎn)的連線向上折疊成直二面角而成，則冠軍獎(jiǎng)杯

的高度為（）cm.

B.6+1273C.9+96D.9+18w

二、多選題

9.（2022?山東濟(jì)南?模擬預(yù)測(cè)）在正四面體ABC。中，若AB=0，則下列說法正確的是（）

A.該四面體外接球的表面積為37r

B.直線AB與平面BCD所成角的正弦值為也

3

C.如果點(diǎn)A/在。。上，則40+的最小值為"

D.過線段AB一個(gè)三等分點(diǎn)且與AB垂直的平面截該四面體所得截面的周長為旭藥

3

10.（2022?福建省漳州第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）如圖，在多面體砂G-A5co中，四邊形ABC。，CFGD,ADGE

均是邊長為1的正方形，點(diǎn)H在棱EF上，則（）

B.點(diǎn)。在平面巫尸內(nèi)的射影為ABEF的垂心

C.G"+8”的最小值為白D.存在點(diǎn)H,使得/

三、填空題

7T

11.（2022?黑龍江?哈爾濱三中模擬預(yù)測(cè)（理））已知菱形ABCD的邊長為2,且NA8C=§,點(diǎn)M,N分別

為線段AB,CD上的動(dòng)點(diǎn)，沿DW將^ADM翻折至^ADM,若點(diǎn)C在平面ADM內(nèi)的射影恰好落在直線

DMh,則當(dāng)線段AN最短時(shí)，三棱錐A-CMN的體積為.

12.（2022?江蘇淮安?模擬預(yù)測(cè)）周總理紀(jì)念館是由正方體和正四棱錐組合體建筑設(shè)計(jì)，如圖所示，若該組

合體接于半徑R的球。（即所有頂點(diǎn)都在球上），記正四棱錐側(cè)面P4G與正方體底面A8cA所成二面角

為0,則tan0=

13.（2022.山東?煙臺(tái)市教育科學(xué)研究院二模）魯班鎖是我國傳統(tǒng)的智力玩具，起源于中國古代建筑中的梯

卯結(jié)構(gòu)，其內(nèi)部的凹凸部分嚙合十分精巧.圖1是一種魯班鎖玩具，圖2是其直觀圖.它的表面由八個(gè)正

三角形和六個(gè)正八邊形構(gòu)成，其中每條棱長均為2.若該玩具可以在一個(gè)正方體內(nèi)任意轉(zhuǎn)動(dòng)（忽略摩擦），

則此正方體表面積的最小值為

圖I

14.（2022?北京朝陽?二模）如圖，在正方體ABCO-ABCQ,中，E,F,G分別為棱人從其與小。上的點(diǎn)

（與正方體頂點(diǎn)不重合），過A作AH_L平面EFG,垂足為從設(shè)正方體ABC。-AAGA的棱長為1，給

出以下四個(gè)結(jié)論:

①若E,F,G分別是AA，AA，AA的中點(diǎn)，則

②若E,F,G分別是A4A4，AQ的中點(diǎn)，則用平行于平面WG的平面去截正方體A88-AMCQ，得

到的截面圖形一定是等邊三角形；

③AEFG可能為直角三角形：

1[11

④+A尸+AG?-a.?

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

[真題練）

1.（2020年全國三卷）如圖為某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積是

A.6+45/2B,4+4>/2c.6+2百D,4+2百

2.（2021年全國高考甲卷數(shù)學(xué)（文）試題）已知一個(gè)圓錐的底面半徑為6,其體積為30%則該圓錐的側(cè)面

積為.

3.（2016年全國ffl）如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗實(shí)線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面

體的表面積為

A.18+36君B.54+18石C.90D.81

4.（2017新課標(biāo)II）如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗實(shí)線畫出的是某幾何體的三視圖，該幾何體

由一平面將一圓柱截去一部分所得，則該幾何體的體積為

A.90%B.63%C.42%D.36%

5.（2015新課標(biāo)）一個(gè)正方體被一個(gè)平面截去一部分后，剩余部分的三視圖如圖，則截去部分體積與剩余

部分體積的比值為

6.（2019全國HI理16）學(xué)生到工廠勞動(dòng)實(shí)踐，利用3D打印技術(shù)制作模型.如圖，該模型為長方體

ABC?！谌ニ睦忮FO—EFGH后所得幾何體，其中。為長方體的中心，E,F,G,，分別

為所在棱的中點(diǎn)，AB=BC=6cm,A4,=4cm,3D打印所用原料密度為0.9g/cnP,不考慮打印損耗,

制作該模型所需原料的質(zhì)量為（g）.

D,C.

7.（2019年新課標(biāo)2卷）中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形狀多為長方體、

正方體或圓柱體，但南北朝時(shí)期的官員獨(dú)孤信的印信形狀是“半正多面體”（圖1）.半正多面體是由兩種

或兩種以上的正多邊形圍成的多面體.半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美.圖2是一個(gè)棱數(shù)為48的半正多

面體，它的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上，且此正方體的棱長為1.則該半正多面體共有一個(gè)面,

其棱長為一.

圖I

8.（2016全國H）如圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為

A.2071B.24nC.28兀D.32兀

9.（2021年全國新高考?【卷數(shù)學(xué)試題）已知圓錐的底面半徑為血，其側(cè)面展開圖為一個(gè)半圓，則該圓錐

的母線長為（）

A.2B.272C.4D.472

10.（2021上海卷）在圓柱中，底面圓半徑為1,高為2,上底面圓的直徑為是底面圓弧上的一個(gè)動(dòng)

點(diǎn)、,繞著底面圓周轉(zhuǎn)，則AABC的面積的范圍________.

11.（2018年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)（新課標(biāo)I卷））已知圓柱的上、下底面的中心分別

為?！浮?,過直線的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為

A.12岳B.12兀C.8a兀D.l(k

基礎(chǔ)練

1.【答案】B

【解析】根據(jù)題意可知，飛蟲的活動(dòng)范圍是半徑為R=12的球的：，

O

44

球的體積為/=-^3=-^X123=2304^,

故丫=4=2881.

8

故選：B.

2.【答案】A

【解析】由題意四棱錐的底面是邊長為友的正方形，側(cè)棱長均為石，所以四棱錐的高為6斤=2,

若圓柱的一個(gè)底面的周圓經(jīng)過四棱錐四條側(cè)棱的中點(diǎn)，圓柱的底面半徑為3，一個(gè)底面的圓心為四棱錐底

面的中心，故圓柱的高為1,

故圓柱的體積為萬x(g)xl=?.

故選：A.

3.【答案】C

【解析】設(shè)球的半徑為R,貝14成2=2。7t，解得析=5

設(shè)四棱柱的高為A，則后+I+I=4R2,解得〃=3及

故選：C

4.【答案】D

1Q

【解析】由題設(shè)，圓錐的體高、底面半徑均為2,所以圓錐的體積為gx2x乃x2?=］乃.

故選：D

5.【答案】B

【解析】由三視圖還原出原幾何體為三棱錐，如圖所示，

D

1113

結(jié)合三視圖得該三棱錐體積為：V=^xlx2x2x?=l,所以"=

故選:B.

6.【答案】B

【解析】因?yàn)锳8=5C=CA=3b,所以AABC是正三角形，。I是其外接圓圓心，所以AABC的外接圓半

徑r=0①=|x曰x34=3,球。的半徑尺=打了:7="^=5,所以球。的表面積為

4TTR2=4兀x25=100兀.

故選：B.

7.【答案】B

【解析】由1丈=10尺，則4丈8尺=48尺，1丈1尺=11尺，如下圖：

則BC=11,2mA8=48,解得A8=8,

則圓柱底面積為E=2XKAB?=128x3=384,側(cè)面積為S?=2兀?AB-CQ=2x3x8xl1=528,

則圓柱的表面積$=品+$2=912（平方尺），

故選：B.

8.【答案】C

【解析】把四棱錐P-A8CZ）補(bǔ)成一個(gè)長方體，如圖，長方體的對(duì)角線就是其外接球也是四棱錐P-43CD的

外接球直徑，

設(shè)球半徑為R,則（2R）2=PA2+AB2+BC2=50,

球表面積為S=4nR2=50K.

故選：C.

9.【答案】AC

【解析】對(duì)于A,設(shè)內(nèi)切球的半徑為心則圓柱的高為2小

7ir2-2r3

?in=-------=—2兀，‘+2兀r?2尸3ATM.

1,432，〃=-------：----二一，A正確;

—Ttr4口22

3

從而可知%=1

n

對(duì)于B,〃x)展開式通項(xiàng)公式為：=C；針=(T)'C；/』，

令24-4r=4,解得r=5,.../(x)的展開式中的/的系數(shù)為(-1)5仁=-56,B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,/(1)=0,即“X)展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為0,C正確；

對(duì)于D,/('?)=(『-；］=(T+i)8=o,D錯(cuò)誤.

故選：AC.

10.【答案】AB

【解析】由題意得：

選項(xiàng)A:過點(diǎn)作平面ABC。的垂線，垂足為M,PM最大且AM最小時(shí)，所求角最大，此時(shí)點(diǎn)P為點(diǎn)名，所

成角為丁，A正確；

選項(xiàng)B:因?yàn)锳G為外接球的直徑，所以NAQG=90。，QT+QC：=AC；=3/,所以點(diǎn)Q到正方體各頂點(diǎn)

距離的平方之和為12/,B正確；

選項(xiàng)C:(QA+QCj2=3/+2Q4QG=3/+4SASC,，當(dāng)三角形aG為等腰直角三角形時(shí)，點(diǎn)。到4G的距

離最大，此時(shí)最大面積為空，所以QA+QG的最大值為na，C錯(cuò)誤；

4

7T

選項(xiàng)D:當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)8重合時(shí)，直線A尸與直線8。所成角為了，故D錯(cuò)誤.

4

故選：AB

11.【答案】18后

【解析】設(shè)AABC的中心為。，三棱錐D-A8C外接球的球心為0,

則當(dāng)體積最大時(shí)，點(diǎn)。，0,,。在同一直線上，且垂直于底面ABC,如圖,

因?yàn)锳MC為等邊三角形且其面積為9石，所以AMC的邊長x滿足走/=96，故x=6,所以AO，=2g,

4

DO=AO=4,OO'=ACT-AO2=V16-12=2>

故三棱錐的高。。=00+0。=6,所以丫=gx9百x6=18行

故答案為：18道

12.【答案】967

【分析】由球體積求得球半徑，再由球的截面性質(zhì)求得圓柱的高，從而得圓柱體積.

【詳解】球的半徑為K,爭(zhēng)、誓，解得R=5,圓柱的高為：質(zhì)二F=6-可得V=16萬-6=96萬.

故答案為：967.

13.【答案】7兀

【解析】根據(jù)幾何體的三視圖復(fù)原原幾何體的直觀圖，如圖示,

該幾何體為一組合體，上部分為半徑為1的半球，下部分為底面半徑為1,高為2的圓柱,

故該兒何體的表面積為5X4兀xF+ZTtxlxZ+TtxF=7兀,

故答案為：7兀

14.【答案】顯兀

【解析】由題可知，三棱錐A-38的外接球的體積即為所求鞠（球）的體積，

又AB=CD=2,AC=BD=>/3,BC=AD=6,故三棱錐A—BCD的三組對(duì)棱均相等,

如圖，將三棱錐A-BCD嵌入到在長方體AC'Biy-ACB'D中，

則三棱錐A-BCD的外接球即為在長方體AC'BD'-A'CB'D的外接球，

設(shè)AAr=x,ACr=y,ADr=z,

貝ljAC=BD=yjx2+y2,AB=CD=yjy2+z2,BC=AD=yjx2+z2.

x2+/=3

故<V+Z2=4,解得f+y2+z2=6,

又長方體AC'Biy-ACB'D外接球的直徑即為長方體AC'BD'-ACB'D的體對(duì)角線,

故三棱錐A-BCD的外接球的半徑為R=獷+y±:=1,

4

則三棱錐A-BCD的外接球的體積為：V=-=府.

故答案為：瓜冗.

B'

提升綠

1.【答案】D

【解析】由題意得：h=2,5,=0,邑=2x2=4,

分別取8F,C￡DE,AE的中點(diǎn)G,H,K,J,順次連接，得到截面GHK/為中截面，且為長方形，邊長為

1+23

GJ=KH=~KJ=HG=\,

22

所以品3=口\3,

所以K=/(S1+4SO+S2)=:X2X(0+4X1+410

T

故選：D

2.【答案】B

【解析】由題意可知，設(shè)底面圓的半徑為R,則5=?？?16兀，解得R=4.

因?yàn)橹比庵亩x可知，要使能截得直三棱柱體積最大，只需要圓的內(nèi)接三角形面積最大即可,

S=—absinC=—?27?sinA-27?sinB-sinC=2R2sinA-sinB-sinC

22

42R[sinA+si;8+sinCj<gin筆叼=2R?]嗚：手內(nèi)

當(dāng)且僅當(dāng)$inA=sin8=sinC,即4=8=C=g時(shí)。等號(hào)成立，

所以三角形是正三角形時(shí)，圓的內(nèi)接三角形面積最大，

V=S/?=^X42X6=726.所以能截得直三棱柱體積最大為726?

4

故選：B.

3.【答案】D

【解析】對(duì)于①，設(shè)CG的中點(diǎn)為連接MM-DM，NM、,如圖,

又AQ±平面DtDCCt,MM,±平面￡>,￡>CC,,

???點(diǎn)A,M在平面ROC￡上的正投影分別為R，M，

且點(diǎn)A,N在平面QDCG上的正投影分別為其本身，

???三棱錐4-MN%在平面ROC￡上的正投影圖為AD、M,N,

又DN=DM=H=布,

即為等腰三角形，①正確；

對(duì)于②，以點(diǎn)。為原點(diǎn)，分別以D4，DC，OR所在直線為x，y，z軸,

則。(0,0,0),4(2,0,2),G(0,2,2),3(2,2,0),A(0,0,2),M(2,2,1),N(0,1,0),

.?.麗=(-2,-1,-1),函=(2,0,2),西=(0,2,2),瓶=(2,2,-2),

?.取.函=2x2+0x2+2x(-2)=0,.?.用璃，B|]D,B1DAt,

?.?印?西=0x2+2x2+2x(—2)=0,.?.用J_西，即R8_L￡>G，

又DA}nDC,=D,力4u平面AiDCl,DC,u平面A,DC,,

平面Ag，

即用=(2,2,-2)是平面AQG的一個(gè)法向量，

而印.麗=(-2)x2+㈠)x2+㈠)X(-2)=-4H0,

二印與麗不垂直，不與平面4QG平行，②錯(cuò)誤;

對(duì)于③，如圖

設(shè)BC的中點(diǎn)為E,連接AE,由②知，E(l,2,0),AE-(-l,2,0),

麗=(-2,-1,0),麗=(_2,T,T),

?.?荏?麗=(-l)x(-2)+2x(-l)+0=0,.?.通,麗，即

?.?荏?麗=(-l)x(-2)+2x(-l)+0=0,.-.AE±MN,即腦V,

又BNcMN=N,BNu平面MNB,MNu平面MNB,

平面MV8,又AEu平面AE81,平面AE81_L平面A/N8,③正確;

若尸為棱AB的中點(diǎn)，又N為棱8的中點(diǎn)，.?.M7/8C,

3C_L平面AtABBt,NFJ_平面AIABBI,

又MB1BN,：.RtANFM和RtAMBN有公共的斜邊MN,

設(shè)MN的中點(diǎn)為O,則點(diǎn)。到M,MB,尸的距離相等，

為三棱錐M-外接球的球心，MN為該球的直徑，

:.2R=4BCCN°+BM。=〃+1+4=逐，R=9，

該球的體積為丫=±兀斤=3、（直］兀="兀，④正確.

33I2J

綜上所述，正確的結(jié)論為①③④.

故選：D.

4.【答案】D

【解析】設(shè)母線與底面的夾角2々，底面半徑R,內(nèi)切球半徑r=3,圓錐的高心

貝U：R=---二一--,//=/??tan2a=---tan2a=---—,

tanatanatana1-tan~a

圓錐的體積y=:乃/?2.=:萬x(-^—]x-_

33VtanaJ1-tana

=184x——---1-------,

(tancr)(l-tan-a)

ITij0°<2a<90°,0°<a<45°,所以O(shè)vtanavl,l-tan2a>0又因?yàn)椋簍a/a+a-tan2a)=1定值

r-r-Ki，、/、、(tan2a+l-tan2aY1

所以(ztaira)(l-tan-ax)W---------------=-,

當(dāng)且僅當(dāng)tan2a=1-tai?a,即tana=農(nóng)時(shí)，所以喙/儂、占=72萬.

2

故選：D.

5.【答案】A

【解析】設(shè)圓臺(tái)上底面半徑為，下底面半徑為R,

則2/ZT=gx2/x2,2TFH=JX2乃x4,解得：r=l,R=2,

2

二?圓臺(tái)上、下底面面積分別為：S、=兀尸=冗，S2=TTR=,

2

又圓臺(tái)的側(cè)面積導(dǎo)=—--=6萬，.??圓臺(tái)的表面積5=S.+52+53=lU.

故選：A.

6.【答案】C

【解析】Vw-1^=1xr2xr=i/-3,由祖隨原理圖二中牟合方蓋外部的體積等于丫蜥=；

所以圖1中幾何體體積為丫=所以牟合方蓋體積為8丫=，.

故選：C.

7.【答案】A

【解析】因?yàn)橐?2%r,所以r=上，則丫"［上］〃=旦=身，.?.萬=3.

2兀3(2/12乃36

故選：A.

8.【答案】C

【解析】A,B,C在底面內(nèi)的射影為M,N,P分別為對(duì)應(yīng)棱的中點(diǎn)，

/.AB=MN=-DF=-x36=9,：.XABC是邊長為9的等邊三角形，

24

2r=9=18_6也r=3G

設(shè)△ABC外接圓圓心0,半徑r,則一@一6-'一，

V

=,36-27=3,AM=A/182-92=9^>二。到平面。EF距離=96，

二冠軍獎(jiǎng)杯的高度為6+3+96=9+9百，

9.【答案】ACD

【解析】

正四面體4SCZ）中，AB=Z，圖中點(diǎn)。為外接球的球心，半徑為R=OA=OB,為△8C。的外心,

nn_1V2_V2_V6

所以“5、耳一的'一?，由于。82+。。：=。8）

2

又因?yàn)椤禔=J（可-住=￥，所以（用+1苧-R=R2,解得R=*，

（日）=3萬，故A正確;

因此外接球的表面積為4;TX

由于BE=當(dāng),80小坐,AQ=半，且AB與平面38所成的角為ZAB0,,

2石

因此揄4畋=2=:=?故B錯(cuò)誤；

AB63

因?yàn)锳￡，C￡）于E,所以AMmin=AE；3E，8于E,^BM^n=BE-

因此當(dāng)M與E點(diǎn)重合時(shí)，A/+3M最小，最小值為2、且=卡，故C正確；

2

在平面ABC中過點(diǎn)T作PT_LAB交AC于P,在平面ADC中過點(diǎn)T作皮交AO于R,連接網(wǎng),

又因?yàn)镽TcPT=T,所以AB_L平面7PR,因此平面7PR即為所求，

TP=TR=顯,AD=PR=^^,

33

則門PR的周長為逅+逅+述=2&25,

3333

同理在平面A8C中過點(diǎn)N作NQ_LA8交5c于Q,在平面48n中過點(diǎn)N作NSJ_A8交8￡）于S,

連接QS,可得平面NQS,而平面NQS即為所求，

NQ=NS=顯,BQ=QS=AP,

貝UANQS的周長為邁+遠(yuǎn)+速=亞土逑，故D正確.

3333

故選：ACD.

10.【答案】BD

【解析】由題意，可將該幾何體補(bǔ)成正方體，如圖,

則該兒何體的體積為正方體體積去掉一個(gè)三棱錐8-EFN的體積，所以Y=『-/_￡m=l-gx《xlxlxl=2,

故A錯(cuò)誤；

由題意知，ABEF為等邊三角形,因?yàn)镈E=DF=DB,所以點(diǎn)。在平面BE尸內(nèi)的射影為所的外心，即

△3EF的中心，故B正確；

把ABEF所在面沿EF折起，當(dāng)E8FG四點(diǎn)共面時(shí)，連接8G,則G//+3H的最小值即為8G的長，由余弦

定理知，BG2=I2+(V2)2-2x1xV2cos(45°+60°)=2+^,故BG=?+瓜,即+的最小值為

2

立力色，故C錯(cuò)誤；

2

,?,四邊形AZXJE為正方形，.,./)E_LAG,-.-BF//AG.?.￡>E_L8尸，二當(dāng)“與E重合時(shí)，DH工BF,故D正

確.

故選：BD

11.【答案】—

12

【解析】設(shè)點(diǎn)C在平面A7W內(nèi)的射影是直線DW上的點(diǎn)T,如圖,

TT

設(shè)AMDN=--e.

CT_L平面AMD，CTu平面8CZW

平面A'MDJL平面BCDM,且平面A'MD口平面BCDM=MD,

在平面AZW內(nèi)做A'W-LM。于點(diǎn)W,連接WW和A'N,

此時(shí)AW，平面BCDM.當(dāng)WN1CD時(shí)A'N最小，

\A'W\=2sin0,\WD\=2cos&|WN|=|卬冰山]?-1=2cos6?sin仁川，

/（0）=2cos?sin，

貝l]/'（。）=2cos614sin。-（6cos。-sin（若sin2。+cos2。）],

令f\0）=0得sin0=sin-qsin+2。），即S訪（生_g）一,血（k+,

在區(qū)間0,1上，函數(shù)y=sin[+2x）與函數(shù)）'=sin任一j交于唯一的點(diǎn)弓」

此時(shí)，點(diǎn)”即點(diǎn)8,|A昨1,|叫=今3同,

所以匕-CMN=:|AW|.SACMN==.

JJ\乙乙D)L乙

故答案為：昱

12

12.【答案】6-1

【解析】由正方體的性質(zhì)可知該組合體的外接球的球心為正方體的中心，

設(shè)正方體底面A4G自的中心為a，BC的中點(diǎn)為E,連接P0,01E,PE,

則PE_L81G，0sgG，

則NPEQ=O,設(shè)正方體的棱長為。，則尸0=立〃,尸o=3a-_La,0E=』a,

212212

/.tan0==G-1

OtE

故答案為:73-1.

13.【答案】168+960

【解析】將魯班鎖補(bǔ)成正方體ABC。-AMGA，然后以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，

AB.AD,AA所在直線分別為x、y、z軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

在魯班鎖所在幾何體上任取一個(gè)頂點(diǎn)尸倒，夜,2+2&）,

觀察圖形可知，P到魯班鎖所在幾何體上其他頂點(diǎn)的距離的最大值在|「耳、|Pfj、

|PG|、|/狎、|PM|、|PN|、|PR|、|PS|中取得，

結(jié)合圖形可知E（應(yīng),0,0）、尸（2+0,0,0）、G（2+2在在0）、“（2+2在2+在0）、

M（2+夜,2+2忘,0）、N（夜,2+2&,0）、R（0,2+0,0）、S（0,72,0）,

貝!=4+（2+2夜丫=16+8夜,|PF|2=（2+立/+2+（2+2應(yīng)丫=20+120,

|PG|2=2（2+2可=24+16五，|哂=2（2+2可+4=28+16立，

\PM^=(