高中數學-第二章《推理與證明》復習教學設計學情分析教材分析課后反思

《推理與證明》訓練課教學設計

授課教師任職單位

授課內容推理與證明課型復習

所需課時1課時教具多媒體

教學目標

【知識與技能】

學會合情推理與演繹推理的內容，會用直接證明與間接證明對所求結論進行證明，熟記數學歸納法的

一般步驟。

【過程與方法】

通過具體實例，采用探究與講練結合法，讓同學得出合情推理與演繹推理，直接證明與間接證明，數

學歸納法的內容。

【情感態(tài)度與價值觀】

本章學習，有利于發(fā)展學生思維能力，提高學生數學素養(yǎng)，讓學生感受邏輯證明在數學及日常生活中

的作用，從而架起數學與生活的橋梁，形成嚴謹的理性思維和科學精神。

重點與難點

1.重點：（1）合情推理、演繹推理的理解。

（2）直接證明與間接證明運用。

2.難點：（1）演繹推理和反證法；

（2）對數學歸納法的理解

教法與學法

教法運用了“啟發(fā)式教學法”和“多媒體輔助教學法”；

學法用以“小組合作、自主探究”為主要方式的自主學習模式。

教學過程

新課程理念下的教學過程是一個內容活化、創(chuàng)生的過程，是一個學生思考、體驗的過程，更是一個師

生互動、發(fā)展的過程?；诖?，我設定了如下環(huán)節(jié)：

生

學

教學教師主要

動

活

程序活動教學內容

引昨天已經本章的基本知識進行復習（出示課件），今天進行復習，

入引我們將分五個專題進行復習，希望同學們結合本章知識總結出各類專題回答

課入的規(guī)律。思考

題

訓練題組一：合情推理

觀察

1.用火柴棒擺“金魚”，如圖所示：按照上面的規(guī)律，第〃個“金魚”圖

需要火柴棒的根數為（）

》>?>?>???

專

題①②③

訓A.6/?—2B.8〃—2C.6〃+2

練講解

D.8〃+2

題思考

2.已知也｝為等比數列，々=2,則*包?伍也?仇我也也女=29.若

組

｛%｝為等差數列，則｛｝的類似結論為（）

—■%=2,4

板書A.4?%?%=2。B.

分析

4+%+。3+。4+。5+4+%+。8+。9=2。

C.q?a2?a3?a4q?a6?%q嗎=2x9D.

q+%+%+%+%+4+%+/+〃9=2x9

投影歸納

3.（2015?陜西高考）觀察下列等式：

,11

1----=—

22

,11111

23434

11111111

巡視1探究

23456456

S

據此規(guī)律,第n個等式可為_______.

4.如圖所示，在三棱錐S-ABC中，/\…

SALS民S3_LSC,SA_LSC且SA,SB,SC

B

和底面ABC所成的角分別為四,見，，三側

矯正

面的面積分別為s,,s2,s3,類比三角形中的正弦定理,給出空間情形的

一個猜想.

總

結小結：

規(guī)

律設計意圖：通過訓練題組讓學生掌握歸納推理和類比推理的基本方法；

總結出常用平面幾何與立體幾何類比的規(guī)律。

訓練題組二：演繹推理

1.演繹推理中的“一般性命題”包括（）

訓練

①已有的事實;②定義、定理、公理等;③個人積累的經驗.

A.①②B.①③C.②③D.①②?

講解

2.（2015?吉林高二檢測）“三角函數是周期函數，

專

題y=tan無,是三角函數,所以y=tanx,xe是周小組

訓交流

期函數”.在以上演繹推理中，下列說法正確的是（）

練板書

A.推理完全正確B.大前提不正確C.小前提不正

題

確D.推理形式不正確

組

3.（2015?杭州高二檢測）下面幾種推理中是演繹推理的是（）

A.因為y=2"是指數函數,所以函數y=T經過定點（0,1）

總結

投影

B.猜想數列的通項公式為a=、（neN*）

1x22x33x4+nJ'

22

C.由圓V+y2=產的面積為不嚴猜想出橢圓二+==1的面積為

巡視7rab匯報

D.由平面直角坐標系中圓的方程為（x—“）2=產，推測空間

直角坐標系中球的方程為(x—a)2+(y—力)2+(z-c)2=產

4.因為中國的大學分布在全國各地，大前提

北京大學是中國的大學，小前提

投影

所以北京大學分布在全國各地.結論

(1)上面的推理形式正確嗎？為什么？

(2)推理的結論正確嗎?為什么？

總強調

結小結：

規(guī)

律

設計意圖：通過訓練題組讓學生掌握演繹推理的基本模式一一“三段論”

推理模式：了解合情推理與演繹推理之間的聯(lián)系與差異，讓學生既學會

猜想，又學會證明。

訓練題組三：綜合法與分析法

專板書訓練

1.關于綜合法和分析法的說法錯誤的是()

題

A.綜合法和分析法是直接證明中最基本的兩種證明方法

VII

B.綜合法又叫順推證法或由因導果法

練

C.綜合法和分析法都是因果分別互推的兩頭湊法

題觀察

D.分析法又叫逆推證法或執(zhí)果索因法

組投影

2.用分析法證明：欲證①A>B,只需證②(XD,這里①是②的()

A.充分條件B.必要條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.(2015?濟南高二檢測)已知。力為非零實數,則使不等式：-+-<-2

巡視ba歸納

成立的一個充分而不必要條件是

A.B.ci^b<0C.a>0,h<0

D.a>0,b>0

板演

4.設。>0,8>0,。+8=1,求證：-+-+—>8,試用綜合法和分析

講解abab

法分別證明.

總

結

規(guī)小結：總結

律矯正

設計意圖：通過復習題組讓學生學生形成既分析又綜合的思維方式，學

會將分析法與綜合法結合起來運用.結合方式有兩種：一是先用分析法

探尋證題思路，再用綜合法有條理地表述證明過程；二是將分析法與綜

合法結合起來，證明某些較復雜的數學問題.

訓練題組四：反證法

投影

專1.（2014?高考）用反證法證明命題：“已知a力為實數，則方程訓練

題/+辦+人=0至少有一個實根”時，要做的假設是（）

訓

設問A.方程f+儀+人=0沒有實根B.方程

練

題Y+?+人=0至多有一個實根觀察

講解

組C.方程+至多有兩個實根D.方程

四

%2+依+人=0恰好有兩個實根

板書2.下列命題不適合用反證法證明的是（）

A.同一平面內，分別與兩條相交直線垂直的兩條直線必相交

歸納

B.兩個不相等的角不是對頂角

C.平行四邊形的對角線互相平分

D.已知且x+y>2,求證：％,y中至少有一個大于1

糾正

3.（2015?重慶高二檢測）設/（x）=x2+fer+c,xe[-l,l],證明：板演

匕<一2時,在其定義域范圍內至少存在一個x,使/（x）|Ng成立.

4.已知a.b.c.dGR,且ad—bc=\，求證：

總u~+h~+c2+d1+ab+cdw1.總結

結

規(guī)

總結：

律

設計意圖：通過訓練題讓學生掌握反證法證題的基本模式和證題的步

驟；總結反證法的適用范圍.反證法主要適用于以下兩種情形：

①要證的結論與條件之間的聯(lián)系不明顯，直接由條件推出結論的線

索不夠清晰；

②如果從正面證明，需要分成多種情形進行分類討論，而從反面進

行證明，只要研究一種或很少的幾種情形.

訓練題組五：數學歸納法

1.若y（〃）=i+；+g+…+—!—則n=\時/（〃）是

2/7+1、7v7訓練

投影

（）

C.114

A.1B.—+

323

專

設問D.以上都不對

題2.（2015?珠江高二檢測）利用數學歸納法證明觀察

1111,

訓eN*,n>2）時，第二步由2到Z+1時

n〃+1n+22n

講解

練不等式左端的變化是（）.

題A.增加了二一這一項

2k+l

組

板書B.增加了------和-------兩項

五2A+12k+2歸納

C.增加了」一和一!一中月項，同時減少了上這一項

2k+\2&+2k

D.以上都不對

糾正3.用數學歸納法證明：￡'-yn能被x+y整除（〃為正奇數）時，假設

〃=%（%為正奇數）時，命題J龍立，再證n=______時，命題也成立.

4.用數學歸納法證明⑴

板演

〔”撲mH_.?_\

——7=----（neN,/i>2）

n2）In'7

⑵對一切大于1的自然數〃，不等式

結

）、2〃+1寸-

規(guī)>-------成".

）2

律

總結：

設計意圖：通過訓練題讓學CU掌握數學歸納法基本原理，掌握數學歸納總結

法的基本步驟，運用數學歸到勺法證明一些與正整數〃（“取無限多個值）

有關的數學命題.

板推理與證明

書

推理形式：合情推理與演繹推理證明方法：數學歸納法

設

總結：直接法：綜合法與分析法總結

計總結：

間接法：反證法

總結

學情分析

普通高中課程標準實驗教科書數學選修2-2

第二章《推理與證明》復習課

學生是學習的主體，教師只有全面了解學生，關注學生的需求，才能在教學上做到有的

放矢，游刃有余。

以下是我對高二年級19班數學學情分析：

一、班級情況分析

本班共有71名學生，男女生人數分別是38名，33名，學生有一部分是城鎮(zhèn)的，一部分

是農村的，父母基本上在學習上幫不了孩子，所有的希望都寄托到老師身上，這對教學工作

有一定的影響。另外，一部分學生本身自制力差，學習習慣不好，學習興趣不濃，這也對

老師的教學管理增加了困難。

二、學生情況分析

1、學習興趣與基礎

經過一段時間的觀察，我發(fā)現(xiàn)班上大部分學生對數學學習有興趣，少部分學生興趣不大,

問其原因，大都說數學太難，學不懂，老師講的都不明白，基礎太弱，導致課堂上無所事事。

2、學習習慣

大部分學生有主動學習的行為，比較喜歡上數學課，學習熱情也很高，和老師講常交流。

但仍有大部分學生學習懶散、學習習慣差，粗心大意、書寫不認真，不愿思考問題，上課開

小差，依賴老師講解，依賴同學的幫助，作業(yè)抄襲等等不良現(xiàn)象。

3、學習成績

學習成績呈正態(tài)分布，成績差異不很明顯，但高低分差距比較大，高分很高，低分太低，

相差近100分。有的學生很多初中的知識都不會，甚至在計算上都經常出現(xiàn)錯誤，從卷面上

分析，一部分學生主要是粗心造成的。

三、教師的課上應對措施

1、抓學習習慣。幫助學生培養(yǎng)良好的學習習慣和學習方法。讓學生先認識數學的重要

性，數學會提高大家對問題思維能力，分析判斷能力，解決問題的能力.再教學生怎樣學習

數學，一次慢慢提高數學學習能力。激發(fā)學習興趣，養(yǎng)成自主學習的習慣和方法。平時在教

學中，注意抓好學生的書寫、審題與檢查等良好的學習習慣。

2、加強基礎知識教學。了解到學生目前的學習情況，大部分學生對初中的相關知識掌

握不好，利用自習課或課余時間為他們補充初中知識的盲點，加強基礎知識。同時在上課的

時候，以基礎簡單題目為主，爭取讓大部分學生在課堂上有所收獲。

3、加強合作學習。對于班級出現(xiàn)的分化情況，發(fā)動成績好的學生帶動基礎薄弱的學生，

促使大家共同進步。

4、注重情感交流。在教學的同時，多了解學生的興趣，投其所好，培養(yǎng)感情，讓學生

先喜歡你這位老師，才能喜歡你這門課程。古人云“親其師，信其道”；也有人說，一個好

老師，成就孩子的一生。

5、分層教學、因材施教。主要方法是對作業(yè)也要分層次布置，基礎不同，要求不同。

6、多表揚、多鼓勵。對于課堂上踴躍發(fā)言和積極進步的學生要及時表揚。并鼓勵其他

同學向他學習，增加自信心。

1_什2

1.用教學歸納法證明:“1+葉）+…+”田=—（的）”在

推理與證明復習學案1—a

【重點】驗證”=1時,左端計算所得的項為（）

1、能利用歸納和類比等進行簡單的推

A.1B.1+a

理

2、能用綜合法、分析法、反證法、數C.1+a+aD.1+a+/+d

學歸納法證明一些簡單數學命題。

【難點】數學歸納法\eNT

3.用數學歸納法證明1+2+3+…+一=21要，則當n=k+

1推理形式

1時左端應在”=k的基礎上加上（）

例1.在數列｛““｝中，at=l,a?+1=A.首+1

vRCl-HV

津-,〃eN,猜想這個數列的

Z4an5用三段論推理："任何實數的平方大于0,因為a是

并說明理由實數，所以『＞0",你認為這個推理（）"

A.大前提錯誤B.小前提錯誤」

C.推理形式錯誤D.是正確的.

2.已知A4BC1三邊長為a,b,c,面積為5貝

△ABC1內切圓半徑r=———.

a+b+c試分別用綜合法、分析法、反證法等三種方

根據類比推理的方法，若一個四面體A-ABCD四個^

面積分別為S，S￡,s,,體積為匕A法，證明下列結論：已知OVaVl,貝|J

則四面體的內切球半徑/八\

設等差數列｛%｝的前畫和為S”,則邑S/《+送29."

4S12-S8f凡6-'12成等差數列類比以上結外例./TJ姒十！M纖“乙、迎/：

J設等比數歹U也｝的前題積為心

J則7；,—,，與成等比數列【例】求證：H■——H—1-—>-(n>2,nWNJ.

n+\H+26

效果分析

普通高中課程標準實驗教科書數學選修2-2

第二章《推理與證明》復習課

通過本節(jié)課的學習，教學目標達成度高，不同層次的學生都有收獲；充分調動了學生的

積極性，學生的思維積極活躍，通過學習，有了認知沖突，有了對概念的深刻理解，對于不

同的問題，有了不同的解決方法；本節(jié)課師生交流對話充分，教學相長，形成了和諧民主、

相互尊重、合作探究的教學氛圍，反映出濃厚的課堂文化，通過當堂達標測試可以看出學生

基本上掌握了本節(jié)課的知識，當堂達成度高。

學會合情推理與演繹推理的內容，會用

效直接證明與間接證明對所求結論進行證明，

熟記數學歸納法的一般步驟。

能

通過具體實例，采用探究與講練結合法，讓

力

同學得出合情推理與演繹推理，直接證明與

間接證明，數學歸納法的內容。培養(yǎng)學生發(fā)

方

果現(xiàn)問題與解決問題的能力，歸納與總結能力

面

本章學習，有利于發(fā)展學生思維能力，提高

學生數學素養(yǎng)，讓學生感受邏輯證明在數學

分及日常生活中的作用，從而架起數學與生活

的橋梁，形成嚴謹的理性思維和科學精神。

析關于每個題組的總結，學生理解和接受起來

比較困難，教學中通過大量實例，自主分析、

思考、交流、討論，概括出一般規(guī)律，師生

有效互動，效果理想。

教材分析

普通高中課程標準實驗教科書數學選修2-2

第二章《推理與證明》復習課

“推理與證明”是新課標新增內容，主要包括合情推理與演繹推理、直接證明與間接證

明、數學歸納法三個部分“推理與證明”是數學的基本思維過程，也是人們學習和生活中

經常使用的思維方式.本章內容是各知識模塊中常用推理方法和論證方法的總結，推理方法

與證明方法是從思維活動中抽象出來的，是由數學思維過程凝縮而成的，是高中數學的重要

基礎，在高中數學中占有極其重要的地位和作用.

本章結合生活實例和學生已學過的數學實例，

教

介紹兩種基本的推理一合情推理與演繹推理、兩類

材基本的證明一直接證明與間接證明、一種特殊的方

所法一數學歸納法.本章的內容屬于數學思維方法的

范疇，把過去滲透在具體數學內容中的思維方法，

處

以集中的、顯性的形式呈現(xiàn)出來，使學生更加明確

教

的這些方法,并能有意識地使用它們，以培養(yǎng)言之有

地理、論證有據的習慣.本章內容是各知識模塊中常

用推理方法和論證方法的總結，推理方法與證明方

位

法是從思維活動中抽象出來的，是由數學思維過程

和凝縮而成的，是高中數學的重要基礎，在高中數學

作中占有極其重要的地位和作用.

材用

知學會合情推理與演繹推理的內容，會用

教識直接證明與間接證明對所求結論進行

與證明，熟記數學歸納法的一般步驟。

育技

能

過通過具體實例，采用探究與講練結

教程

合法，讓同學得出合情推理與演繹推

分與

學方理，直接證明與間接證明，數學歸納法

法

目的內容。

情本章學習，有利于發(fā)展學生思維能力，

標感提高學生數學素養(yǎng)，讓學生感受邏輯證

與明在數學及日常生活中的作用，從而架

價起數學與生活的橋梁，形成嚴謹的理性

析值思維和科學精神。

觀

教合情推理、演繹推理的理解。

教(1)

學

學

重(2)直接證明與間接證明運用。

重

點

點

與

教(1)演繹推理和反證法；

難學

點難(2)對數學歸納法的理解