高中數(shù)學(xué)-第二章《推理與證明》復(fù)習(xí)教學(xué)設(shè)計(jì)學(xué)情分析教材分析課后反思

《推理與證明》訓(xùn)練課教學(xué)設(shè)計(jì)

授課教師任職單位

授課內(nèi)容推理與證明課型復(fù)習(xí)

所需課時(shí)1課時(shí)教具多媒體

教學(xué)目標(biāo)

【知識(shí)與技能】

學(xué)會(huì)合情推理與演繹推理的內(nèi)容，會(huì)用直接證明與間接證明對(duì)所求結(jié)論進(jìn)行證明，熟記數(shù)學(xué)歸納法的

一般步驟。

【過程與方法】

通過具體實(shí)例，采用探究與講練結(jié)合法，讓同學(xué)得出合情推理與演繹推理，直接證明與間接證明，數(shù)

學(xué)歸納法的內(nèi)容。

【情感態(tài)度與價(jià)值觀】

本章學(xué)習(xí)，有利于發(fā)展學(xué)生思維能力，提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)，讓學(xué)生感受邏輯證明在數(shù)學(xué)及日常生活中

的作用，從而架起數(shù)學(xué)與生活的橋梁，形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)睦硇运季S和科學(xué)精神。

重點(diǎn)與難點(diǎn)

1.重點(diǎn)：（1）合情推理、演繹推理的理解。

（2）直接證明與間接證明運(yùn)用。

2.難點(diǎn)：（1）演繹推理和反證法；

（2）對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的理解

教法與學(xué)法

教法運(yùn)用了“啟發(fā)式教學(xué)法”和“多媒體輔助教學(xué)法”；

學(xué)法用以“小組合作、自主探究”為主要方式的自主學(xué)習(xí)模式。

教學(xué)過程

新課程理念下的教學(xué)過程是一個(gè)內(nèi)容活化、創(chuàng)生的過程，是一個(gè)學(xué)生思考、體驗(yàn)的過程，更是一個(gè)師

生互動(dòng)、發(fā)展的過程。基于此，我設(shè)定了如下環(huán)節(jié)：

生

學(xué)

教學(xué)教師主要

動(dòng)

活

程序活動(dòng)教學(xué)內(nèi)容

引昨天已經(jīng)本章的基本知識(shí)進(jìn)行復(fù)習(xí)（出示課件），今天進(jìn)行復(fù)習(xí)，

入引我們將分五個(gè)專題進(jìn)行復(fù)習(xí)，希望同學(xué)們結(jié)合本章知識(shí)總結(jié)出各類專題回答

課入的規(guī)律。思考

題

訓(xùn)練題組一：合情推理

觀察

1.用火柴棒擺“金魚”，如圖所示：按照上面的規(guī)律，第〃個(gè)“金魚”圖

需要火柴棒的根數(shù)為（）

》>?>?>???

專

題①②③

訓(xùn)A.6/?—2B.8〃—2C.6〃+2

練講解

D.8〃+2

題思考

2.已知也｝為等比數(shù)列，々=2,則*包?伍也?仇我也也女=29.若

組

｛%｝為等差數(shù)列，則｛｝的類似結(jié)論為（）

—■%=2,4

板書A.4?%?%=2。B.

分析

4+%+。3+。4+。5+4+%+。8+。9=2。

C.q?a2?a3?a4q?a6?%q嗎=2x9D.

q+%+%+%+%+4+%+/+〃9=2x9

投影歸納

3.（2015?陜西高考）觀察下列等式：

,11

1----=—

22

,11111

23434

11111111

巡視1探究

23456456

S

據(jù)此規(guī)律,第n個(gè)等式可為_______.

4.如圖所示，在三棱錐S-ABC中，/\…

SALS民S3_LSC,SA_LSC且SA,SB,SC

B

和底面ABC所成的角分別為四,見，，三側(cè)

矯正

面的面積分別為s,,s2,s3,類比三角形中的正弦定理,給出空間情形的

一個(gè)猜想.

總

結(jié)小結(jié)：

規(guī)

律設(shè)計(jì)意圖：通過訓(xùn)練題組讓學(xué)生掌握歸納推理和類比推理的基本方法；

總結(jié)出常用平面幾何與立體幾何類比的規(guī)律。

訓(xùn)練題組二：演繹推理

1.演繹推理中的“一般性命題”包括（）

訓(xùn)練

①已有的事實(shí);②定義、定理、公理等;③個(gè)人積累的經(jīng)驗(yàn).

A.①②B.①③C.②③D.①②?

講解

2.（2015?吉林高二檢測(cè)）“三角函數(shù)是周期函數(shù)，

專

題y=tan無,是三角函數(shù),所以y=tanx,xe是周小組

訓(xùn)交流

期函數(shù)”.在以上演繹推理中，下列說法正確的是（）

練板書

A.推理完全正確B.大前提不正確C.小前提不正

題

確D.推理形式不正確

組

3.（2015?杭州高二檢測(cè)）下面幾種推理中是演繹推理的是（）

A.因?yàn)閥=2"是指數(shù)函數(shù),所以函數(shù)y=T經(jīng)過定點(diǎn)（0,1）

總結(jié)

投影

B.猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式為a=、（neN*）

1x22x33x4+nJ'

22

C.由圓V+y2=產(chǎn)的面積為不嚴(yán)猜想出橢圓二+==1的面積為

巡視7rab匯報(bào)

D.由平面直角坐標(biāo)系中圓的方程為（x—“）2=產(chǎn)，推測(cè)空間

直角坐標(biāo)系中球的方程為(x—a)2+(y—力)2+(z-c)2=產(chǎn)

4.因?yàn)橹袊拇髮W(xué)分布在全國各地，大前提

北京大學(xué)是中國的大學(xué)，小前提

投影

所以北京大學(xué)分布在全國各地.結(jié)論

(1)上面的推理形式正確嗎？為什么？

(2)推理的結(jié)論正確嗎?為什么？

總強(qiáng)調(diào)

結(jié)小結(jié)：

規(guī)

律

設(shè)計(jì)意圖：通過訓(xùn)練題組讓學(xué)生掌握演繹推理的基本模式一一“三段論”

推理模式：了解合情推理與演繹推理之間的聯(lián)系與差異，讓學(xué)生既學(xué)會(huì)

猜想，又學(xué)會(huì)證明。

訓(xùn)練題組三：綜合法與分析法

專板書訓(xùn)練

1.關(guān)于綜合法和分析法的說法錯(cuò)誤的是()

題

A.綜合法和分析法是直接證明中最基本的兩種證明方法

VII

B.綜合法又叫順推證法或由因?qū)Ч?/p>

練

C.綜合法和分析法都是因果分別互推的兩頭湊法

題觀察

D.分析法又叫逆推證法或執(zhí)果索因法

組投影

2.用分析法證明：欲證①A>B,只需證②(XD,這里①是②的()

A.充分條件B.必要條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.(2015?濟(jì)南高二檢測(cè))已知。力為非零實(shí)數(shù),則使不等式：-+-<-2

巡視ba歸納

成立的一個(gè)充分而不必要條件是

A.B.ci^b<0C.a>0,h<0

D.a>0,b>0

板演

4.設(shè)。>0,8>0,。+8=1,求證：-+-+—>8,試用綜合法和分析

講解abab

法分別證明.

總

結(jié)

規(guī)小結(jié)：總結(jié)

律矯正

設(shè)計(jì)意圖：通過復(fù)習(xí)題組讓學(xué)生學(xué)生形成既分析又綜合的思維方式，學(xué)

會(huì)將分析法與綜合法結(jié)合起來運(yùn)用.結(jié)合方式有兩種：一是先用分析法

探尋證題思路，再用綜合法有條理地表述證明過程；二是將分析法與綜

合法結(jié)合起來，證明某些較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題.

訓(xùn)練題組四：反證法

投影

專1.（2014?高考）用反證法證明命題：“已知a力為實(shí)數(shù)，則方程訓(xùn)練

題/+辦+人=0至少有一個(gè)實(shí)根”時(shí)，要做的假設(shè)是（）

訓(xùn)

設(shè)問A.方程f+儀+人=0沒有實(shí)根B.方程

練

題Y+?+人=0至多有一個(gè)實(shí)根觀察

講解

組C.方程+至多有兩個(gè)實(shí)根D.方程

四

%2+依+人=0恰好有兩個(gè)實(shí)根

板書2.下列命題不適合用反證法證明的是（）

A.同一平面內(nèi)，分別與兩條相交直線垂直的兩條直線必相交

歸納

B.兩個(gè)不相等的角不是對(duì)頂角

C.平行四邊形的對(duì)角線互相平分

D.已知且x+y>2,求證：％,y中至少有一個(gè)大于1

糾正

3.（2015?重慶高二檢測(cè)）設(shè)/（x）=x2+fer+c,xe[-l,l],證明：板演

匕<一2時(shí),在其定義域范圍內(nèi)至少存在一個(gè)x,使/（x）|Ng成立.

4.已知a.b.c.dGR,且ad—bc=\，求證：

總u~+h~+c2+d1+ab+cdw1.總結(jié)

結(jié)

規(guī)

總結(jié)：

律

設(shè)計(jì)意圖：通過訓(xùn)練題讓學(xué)生掌握反證法證題的基本模式和證題的步

驟；總結(jié)反證法的適用范圍.反證法主要適用于以下兩種情形：

①要證的結(jié)論與條件之間的聯(lián)系不明顯，直接由條件推出結(jié)論的線

索不夠清晰；

②如果從正面證明，需要分成多種情形進(jìn)行分類討論，而從反面進(jìn)

行證明，只要研究一種或很少的幾種情形.

訓(xùn)練題組五：數(shù)學(xué)歸納法

1.若y（〃）=i+；+g+…+—!—?jiǎng)tn=\時(shí)/（〃）是

2/7+1、7v7訓(xùn)練

投影

（）

C.114

A.1B.—+

323

專

設(shè)問D.以上都不對(duì)

題2.（2015?珠江高二檢測(cè)）利用數(shù)學(xué)歸納法證明觀察

1111,

訓(xùn)eN*,n>2）時(shí)，第二步由2到Z+1時(shí)

n〃+1n+22n

講解

練不等式左端的變化是（）.

題A.增加了二一這一項(xiàng)

2k+l

組

板書B.增加了------和-------兩項(xiàng)

五2A+12k+2歸納

C.增加了」一和一!一中月項(xiàng)，同時(shí)減少了上這一項(xiàng)

2k+\2&+2k

D.以上都不對(duì)

糾正3.用數(shù)學(xué)歸納法證明：￡'-yn能被x+y整除（〃為正奇數(shù)）時(shí)，假設(shè)

〃=%（%為正奇數(shù)）時(shí)，命題J龍立，再證n=______時(shí)，命題也成立.

4.用數(shù)學(xué)歸納法證明⑴

板演

〔”撲mH_.?_\

——7=----（neN,/i>2）

n2）In'7

⑵對(duì)一切大于1的自然數(shù)〃，不等式

結(jié)

）、2〃+1寸-

規(guī)>-------成".

）2

律

總結(jié)：

設(shè)計(jì)意圖：通過訓(xùn)練題讓學(xué)CU掌握數(shù)學(xué)歸納法基本原理，掌握數(shù)學(xué)歸納總結(jié)

法的基本步驟，運(yùn)用數(shù)學(xué)歸到勺法證明一些與正整數(shù)〃（“取無限多個(gè)值）

有關(guān)的數(shù)學(xué)命題.

板推理與證明

書

推理形式：合情推理與演繹推理證明方法：數(shù)學(xué)歸納法

設(shè)

總結(jié)：直接法：綜合法與分析法總結(jié)

計(jì)總結(jié)：

間接法：反證法

總結(jié)

學(xué)情分析

普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)選修2-2

第二章《推理與證明》復(fù)習(xí)課

學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，教師只有全面了解學(xué)生，關(guān)注學(xué)生的需求，才能在教學(xué)上做到有的

放矢，游刃有余。

以下是我對(duì)高二年級(jí)19班數(shù)學(xué)學(xué)情分析：

一、班級(jí)情況分析

本班共有71名學(xué)生，男女生人數(shù)分別是38名，33名，學(xué)生有一部分是城鎮(zhèn)的，一部分

是農(nóng)村的，父母基本上在學(xué)習(xí)上幫不了孩子，所有的希望都寄托到老師身上，這對(duì)教學(xué)工作

有一定的影響。另外，一部分學(xué)生本身自制力差，學(xué)習(xí)習(xí)慣不好，學(xué)習(xí)興趣不濃，這也對(duì)

老師的教學(xué)管理增加了困難。

二、學(xué)生情況分析

1、學(xué)習(xí)興趣與基礎(chǔ)

經(jīng)過一段時(shí)間的觀察，我發(fā)現(xiàn)班上大部分學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有興趣，少部分學(xué)生興趣不大,

問其原因，大都說數(shù)學(xué)太難，學(xué)不懂，老師講的都不明白，基礎(chǔ)太弱，導(dǎo)致課堂上無所事事。

2、學(xué)習(xí)習(xí)慣

大部分學(xué)生有主動(dòng)學(xué)習(xí)的行為，比較喜歡上數(shù)學(xué)課，學(xué)習(xí)熱情也很高，和老師講常交流。

但仍有大部分學(xué)生學(xué)習(xí)懶散、學(xué)習(xí)習(xí)慣差，粗心大意、書寫不認(rèn)真，不愿思考問題，上課開

小差，依賴?yán)蠋熤v解，依賴同學(xué)的幫助，作業(yè)抄襲等等不良現(xiàn)象。

3、學(xué)習(xí)成績(jī)

學(xué)習(xí)成績(jī)呈正態(tài)分布，成績(jī)差異不很明顯，但高低分差距比較大，高分很高，低分太低，

相差近100分。有的學(xué)生很多初中的知識(shí)都不會(huì)，甚至在計(jì)算上都經(jīng)常出現(xiàn)錯(cuò)誤，從卷面上

分析，一部分學(xué)生主要是粗心造成的。

三、教師的課上應(yīng)對(duì)措施

1、抓學(xué)習(xí)習(xí)慣。幫助學(xué)生培養(yǎng)良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣和學(xué)習(xí)方法。讓學(xué)生先認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的重要

性，數(shù)學(xué)會(huì)提高大家對(duì)問題思維能力，分析判斷能力，解決問題的能力.再教學(xué)生怎樣學(xué)習(xí)

數(shù)學(xué)，一次慢慢提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力。激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，養(yǎng)成自主學(xué)習(xí)的習(xí)慣和方法。平時(shí)在教

學(xué)中，注意抓好學(xué)生的書寫、審題與檢查等良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。

2、加強(qiáng)基礎(chǔ)知識(shí)教學(xué)。了解到學(xué)生目前的學(xué)習(xí)情況，大部分學(xué)生對(duì)初中的相關(guān)知識(shí)掌

握不好，利用自習(xí)課或課余時(shí)間為他們補(bǔ)充初中知識(shí)的盲點(diǎn)，加強(qiáng)基礎(chǔ)知識(shí)。同時(shí)在上課的

時(shí)候，以基礎(chǔ)簡(jiǎn)單題目為主，爭(zhēng)取讓大部分學(xué)生在課堂上有所收獲。

3、加強(qiáng)合作學(xué)習(xí)。對(duì)于班級(jí)出現(xiàn)的分化情況，發(fā)動(dòng)成績(jī)好的學(xué)生帶動(dòng)基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生，

促使大家共同進(jìn)步。

4、注重情感交流。在教學(xué)的同時(shí)，多了解學(xué)生的興趣，投其所好，培養(yǎng)感情，讓學(xué)生

先喜歡你這位老師，才能喜歡你這門課程。古人云“親其師，信其道”；也有人說，一個(gè)好

老師，成就孩子的一生。

5、分層教學(xué)、因材施教。主要方法是對(duì)作業(yè)也要分層次布置，基礎(chǔ)不同，要求不同。

6、多表揚(yáng)、多鼓勵(lì)。對(duì)于課堂上踴躍發(fā)言和積極進(jìn)步的學(xué)生要及時(shí)表揚(yáng)。并鼓勵(lì)其他

同學(xué)向他學(xué)習(xí)，增加自信心。

1_什2

1.用教學(xué)歸納法證明:“1+葉）+…+”田=—（的）”在

推理與證明復(fù)習(xí)學(xué)案1—a

【重點(diǎn)】驗(yàn)證”=1時(shí),左端計(jì)算所得的項(xiàng)為（）

1、能利用歸納和類比等進(jìn)行簡(jiǎn)單的推

A.1B.1+a

理

2、能用綜合法、分析法、反證法、數(shù)C.1+a+aD.1+a+/+d

學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)命題。

【難點(diǎn)】數(shù)學(xué)歸納法\eNT

3.用數(shù)學(xué)歸納法證明1+2+3+…+一=21要，則當(dāng)n=k+

1推理形式

1時(shí)左端應(yīng)在”=k的基礎(chǔ)上加上（）

例1.在數(shù)列｛““｝中，at=l,a?+1=A.首+1

vRCl-HV

津-,〃eN,猜想這個(gè)數(shù)列的

Z4an5用三段論推理："任何實(shí)數(shù)的平方大于0,因?yàn)閍是

并說明理由實(shí)數(shù)，所以『＞0",你認(rèn)為這個(gè)推理（）"

A.大前提錯(cuò)誤B.小前提錯(cuò)誤」

C.推理形式錯(cuò)誤D.是正確的.

2.已知A4BC1三邊長(zhǎng)為a,b,c,面積為5貝

△ABC1內(nèi)切圓半徑r=———.

a+b+c試分別用綜合法、分析法、反證法等三種方

根據(jù)類比推理的方法，若一個(gè)四面體A-ABCD四個(gè)^

面積分別為S，S￡,s,,體積為匕A法，證明下列結(jié)論：已知OVaVl,貝|J

則四面體的內(nèi)切球半徑/八\

設(shè)等差數(shù)列｛%｝的前畫和為S”,則邑S/《+送29."

4S12-S8f凡6-'12成等差數(shù)列類比以上結(jié)外例./TJ姒十！M纖“乙、迎/：

J設(shè)等比數(shù)歹U也｝的前題積為心

J則7；,—,，與成等比數(shù)列【例】求證：H■——H—1-—>-(n>2,nWNJ.

n+\H+26

效果分析

普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)選修2-2

第二章《推理與證明》復(fù)習(xí)課

通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，教學(xué)目標(biāo)達(dá)成度高，不同層次的學(xué)生都有收獲；充分調(diào)動(dòng)了學(xué)生的

積極性，學(xué)生的思維積極活躍，通過學(xué)習(xí)，有了認(rèn)知沖突，有了對(duì)概念的深刻理解，對(duì)于不

同的問題，有了不同的解決方法；本節(jié)課師生交流對(duì)話充分，教學(xué)相長(zhǎng)，形成了和諧民主、

相互尊重、合作探究的教學(xué)氛圍，反映出濃厚的課堂文化，通過當(dāng)堂達(dá)標(biāo)測(cè)試可以看出學(xué)生

基本上掌握了本節(jié)課的知識(shí)，當(dāng)堂達(dá)成度高。

學(xué)會(huì)合情推理與演繹推理的內(nèi)容，會(huì)用

效直接證明與間接證明對(duì)所求結(jié)論進(jìn)行證明，

熟記數(shù)學(xué)歸納法的一般步驟。

能

通過具體實(shí)例，采用探究與講練結(jié)合法，讓

力

同學(xué)得出合情推理與演繹推理，直接證明與

間接證明，數(shù)學(xué)歸納法的內(nèi)容。培養(yǎng)學(xué)生發(fā)

方

果現(xiàn)問題與解決問題的能力，歸納與總結(jié)能力

面

本章學(xué)習(xí)，有利于發(fā)展學(xué)生思維能力，提高

學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)，讓學(xué)生感受邏輯證明在數(shù)學(xué)

分及日常生活中的作用，從而架起數(shù)學(xué)與生活

的橋梁，形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)睦硇运季S和科學(xué)精神。

析關(guān)于每個(gè)題組的總結(jié)，學(xué)生理解和接受起來

比較困難，教學(xué)中通過大量實(shí)例，自主分析、

思考、交流、討論，概括出一般規(guī)律，師生

有效互動(dòng)，效果理想。

教材分析

普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)選修2-2

第二章《推理與證明》復(fù)習(xí)課

“推理與證明”是新課標(biāo)新增內(nèi)容，主要包括合情推理與演繹推理、直接證明與間接證

明、數(shù)學(xué)歸納法三個(gè)部分“推理與證明”是數(shù)學(xué)的基本思維過程，也是人們學(xué)習(xí)和生活中

經(jīng)常使用的思維方式.本章內(nèi)容是各知識(shí)模塊中常用推理方法和論證方法的總結(jié)，推理方法

與證明方法是從思維活動(dòng)中抽象出來的，是由數(shù)學(xué)思維過程凝縮而成的，是高中數(shù)學(xué)的重要

基礎(chǔ)，在高中數(shù)學(xué)中占有極其重要的地位和作用.

本章結(jié)合生活實(shí)例和學(xué)生已學(xué)過的數(shù)學(xué)實(shí)例，

教

介紹兩種基本的推理一合情推理與演繹推理、兩類

材基本的證明一直接證明與間接證明、一種特殊的方

所法一數(shù)學(xué)歸納法.本章的內(nèi)容屬于數(shù)學(xué)思維方法的

范疇，把過去滲透在具體數(shù)學(xué)內(nèi)容中的思維方法，

處

以集中的、顯性的形式呈現(xiàn)出來，使學(xué)生更加明確

教

的這些方法,并能有意識(shí)地使用它們，以培養(yǎng)言之有

地理、論證有據(jù)的習(xí)慣.本章內(nèi)容是各知識(shí)模塊中常

用推理方法和論證方法的總結(jié)，推理方法與證明方

位

法是從思維活動(dòng)中抽象出來的，是由數(shù)學(xué)思維過程

和凝縮而成的，是高中數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ)，在高中數(shù)學(xué)

作中占有極其重要的地位和作用.

材用

知學(xué)會(huì)合情推理與演繹推理的內(nèi)容，會(huì)用

教識(shí)直接證明與間接證明對(duì)所求結(jié)論進(jìn)行

與證明，熟記數(shù)學(xué)歸納法的一般步驟。

育技

能

過通過具體實(shí)例，采用探究與講練結(jié)

教程

合法，讓同學(xué)得出合情推理與演繹推

分與

學(xué)方理，直接證明與間接證明，數(shù)學(xué)歸納法

法

目的內(nèi)容。

情本章學(xué)習(xí)，有利于發(fā)展學(xué)生思維能力，

標(biāo)感提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)，讓學(xué)生感受邏輯證

與明在數(shù)學(xué)及日常生活中的作用，從而架

價(jià)起數(shù)學(xué)與生活的橋梁，形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)睦硇?/p>

析值思維和科學(xué)精神。

觀

教合情推理、演繹推理的理解。

教(1)

學(xué)

學(xué)

重(2)直接證明與間接證明運(yùn)用。

重

點(diǎn)

點(diǎn)

與

教(1)演繹推理和反證法；

難學(xué)

點(diǎn)難(2)對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的理解