等比數(shù)列的前A項(xiàng)和公式

4.3.2等比數(shù)列的前A項(xiàng)和公式

第1課時(shí)等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和

囪園島嗣園圖(教師獨(dú)具內(nèi)容)

課程標(biāo)準(zhǔn)：1.理解并掌握等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式及其推導(dǎo)過(guò)程，體會(huì)錯(cuò)位

相減法的應(yīng)用，并能熟練應(yīng)用此法求和.2.能熟練應(yīng)用等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式及

其相關(guān)性質(zhì)解決問(wèn)題.3.能利用等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題.4.T

解等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式與函數(shù)的關(guān)系.

教學(xué)重點(diǎn)：等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式及其相關(guān)性質(zhì).

教學(xué)難點(diǎn)：應(yīng)用等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式及其相關(guān)性質(zhì)解決問(wèn)題.

，新知1

等比數(shù)列前〃項(xiàng)和公式的理解

(1)在等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前〃項(xiàng)和公式中共有必，a”n,q,S五個(gè)量，

知道其中任意三個(gè)量，都可求出其余兩個(gè)量.

⑵前〃項(xiàng)和公式的應(yīng)用中，注意前〃項(xiàng)和公式要分類討論，即qWl和q=l

時(shí)是不同的公式形式，不可忽略7=1的情況.

(3)當(dāng)公比時(shí)，等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式是S=""，它可以變

n

形為S,.=--^-?設(shè)上式可寫成Slt=-Aq+A.由此可見(jiàn)，

1—g1—(71—(7

非常數(shù)的等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和S是由關(guān)于〃的一個(gè)指數(shù)式與一個(gè)常數(shù)的和構(gòu)成的,

而指數(shù)式的系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)互為相反數(shù).

'±1評(píng)價(jià)自測(cè)

1.判一判(正確的打“，錯(cuò)誤的打"X”)

(1)求等比數(shù)列｛4｝的前n項(xiàng)和時(shí)可直接套用公式s=J二1一.來(lái)

1-<7

求.()

(2)等比數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S,知S,a”a可以求公比g.()

V

(3)1-2+4-8+16-…+(-2廣三^IX~~1--.()

L—2

⑷若等比數(shù)列｛2｝共100項(xiàng)，且公比qW±l,則該數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)之和5=

1一。

2.做一做(請(qǐng)把正確的答案寫在橫線上)

⑴等比數(shù)列一；，J,一J,…的前7項(xiàng)和為

(2)等比數(shù)列｛4｝的各項(xiàng)都是正數(shù)，若團(tuán)=81,a5=16,則它的前5項(xiàng)和是

(3)等比數(shù)列｛2｝的公比q=2,首項(xiàng)&=8,則W=.

核心素養(yǎng).

---------------------------------------------------------------------HEXINSUYANGXINGCHENG------------------------------------------------------------------------

題型一等比數(shù)列前〃項(xiàng)和的基本計(jì)算

例1在等比數(shù)列｛4｝中，

(1)若S=189,(7=2,a,=96,求a1和〃；

5

(2)右&+4=10,&+36=[,求a和W；

39

(3)若。3=/,S=],求a和公比.

[跟蹤訓(xùn)練1](1)在等比數(shù)列仿“｝中，$+&=2$,則公比(7=

(2)在等比數(shù)列｛a〃｝中，(=：，W=苧，則a〃=；

(3)設(shè)等比數(shù)列｛a,,｝的前〃項(xiàng)和為2,a=l,W=4S，則&=.

題型二錯(cuò)位相減法的運(yùn)用

22月

例2已知數(shù)歹ij｛4｝的首項(xiàng)a=§,a“+i=@+；,〃=1,2,….

(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；

⑵求數(shù)列14的前〃項(xiàng)和s.

[an

13579/7—I

[跟蹤訓(xùn)練2]試求5,彳，；，7T,fl的前〃項(xiàng)和.

248162

題型三等比數(shù)列前〃項(xiàng)和性質(zhì)的應(yīng)用

例3(1)一個(gè)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)的等比數(shù)列，所有項(xiàng)之和是偶數(shù)項(xiàng)之和的4倍，前

三項(xiàng)之積為64,求此數(shù)列的通項(xiàng)公式；

(2)在等比數(shù)列｛a｝中，若前10項(xiàng)的和5,0=10,前20項(xiàng)的和叢=30,求前

30項(xiàng)的和S。.

［變式探究］本例⑵中條件不變，能否求的+。22+…+縱的值呢？

［跟蹤訓(xùn)練3］(1)一個(gè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為1,項(xiàng)數(shù)是偶數(shù)，其奇數(shù)項(xiàng)的和為

85,偶數(shù)項(xiàng)的和為170,求此數(shù)列的公比和項(xiàng)數(shù)；

(2)在等比數(shù)列｛a4中，公比g=2,前99項(xiàng)的和5)9=56,求a3+a,-,+ak)H—

+弧的值.

題型四等比數(shù)列前〃項(xiàng)和的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題

例4借貸10000元，以月利率為現(xiàn)，每月以復(fù)利計(jì)息借貸，王老師從借貸

后第二個(gè)月開始等額還貸，分6個(gè)月付清，試問(wèn)每月應(yīng)支付多少元？

(1.016^1,061,1.015^1,051)

［跟蹤訓(xùn)練4］某校為擴(kuò)大教學(xué)規(guī)模，從今年起擴(kuò)大招生，現(xiàn)有學(xué)生人數(shù)為

b,以后學(xué)生人數(shù)的年增長(zhǎng)率為4.9%。.該校今年年初有舊實(shí)驗(yàn)設(shè)備a套，其中需

要換掉的舊設(shè)備占了一半.學(xué)校決定每年以當(dāng)年年初設(shè)備數(shù)量的10%的增長(zhǎng)率增

加新設(shè)備，同時(shí)每年淘汰x套舊設(shè)備.

(1)如果10年后該校學(xué)生的人均占有設(shè)備的比率正好比目前翻一番，那么每

年應(yīng)淘汰的舊設(shè)備是多少套？

(2)依照(1)的更換速度，共需多少年能更換所有需要更換的舊設(shè)備？下列數(shù)

據(jù)供計(jì)算時(shí)參考：

1.1餐2.361.00499?=1.04

1.ll0^2.601.00492.05

1.lll^2.851.0049"^1.06

題型五等比數(shù)列綜合問(wèn)題

例5設(shè)數(shù)列｛a〃｝的前〃項(xiàng)和為S,已知S=4,a+i=2S,+l，〃GN”.

⑴求通項(xiàng)公式a1,；

⑵求數(shù)列｛Ia-n-21｝的前〃項(xiàng)和.

［跟蹤訓(xùn)練5］等差數(shù)列｛2｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，囪=3,前〃項(xiàng)和為S,｛仇｝

為等比數(shù)列，仇=1,且也5=64,&S=960.

⑴求a.與b?；

(2)求和:…+白

隨堂水平.達(dá)標(biāo)

SUITANGSHUIPINGDABIAO-

4

1.已知數(shù)列面｝滿足3&+i+a,=0,4=一鼻，貝I」｛晶｝的前10項(xiàng)和等于()

A.-6X(1-3-10)B.(1-3-'°)

C.3X(1-3-10)D.3X(1+3-10)

2.若數(shù)列｛2｝的前〃項(xiàng)和為S=3"+a(a為常數(shù))，則數(shù)列｛若()

A.是等比數(shù)列

B.僅當(dāng)。=一1時(shí)，是等比數(shù)列

C.不是等比數(shù)列

D.僅當(dāng)a=0時(shí)，是等比數(shù)列

3.(多選)已知數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列，a,=l,且色，&,a是一個(gè)等比數(shù)列中

的相鄰三項(xiàng)，記A=a.qa〃(qW0,1),則伉｝的前〃項(xiàng)和可以是()

A.n

B.nq

q十Inqn+1-nqn-qi.

C.

1—q

口q+Inqn+2_—_nq/?+1_―_q/;+1

,Lq2

4.數(shù)列｛4｝滿足a=l,aa?+i=2"T,其前A項(xiàng)和為S,則。5=,總

5.張先生2019年年底購(gòu)買了一輛1.6L排量的小轎車，為積極響應(yīng)政府發(fā)

展森林碳匯(指森林植物吸收大氣中的二氧化碳并將其固定在植被或土壤中)的號(hào)

召，買車的同時(shí)出資1萬(wàn)元向中國(guó)綠色碳匯基金會(huì)購(gòu)買了2畝荒山用于植樹造

林.科學(xué)研究表明：轎車每行駛3000公里就要排放1噸二氧化碳，林木每生長(zhǎng)1

立方米，平均可吸收1.8噸二氧化碳.

(1)張先生估計(jì)第一年(即2020年)會(huì)用車1.2萬(wàn)公里，以后逐年會(huì)增加1000

公里，則該轎車使用10年共排放二氧化碳多少噸？

(2)若種植的林木第一年(即2020年)生長(zhǎng)了1立方米，以后每年以10%的生

長(zhǎng)速度遞增，問(wèn)林木至少生長(zhǎng)多少年，吸收的二氧化碳的量超過(guò)轎車10年排出的

二氧化碳的量(參考數(shù)據(jù)：1.1"^3.7975,1.115^4.1772,1,116^4.5950)?

課后課時(shí),

KEHOUKESHIJINGLIAN

A級(jí)：“四基”鞏固訓(xùn)練

一、選擇題

1.已知等比數(shù)列的公比為2,且前5項(xiàng)和為1,那么前10項(xiàng)和等于()

A.31B.33

C.35D.37

2.若數(shù)列｛&,｝是等比數(shù)列，已知對(duì)任意當(dāng)+a/+…+&,=2"—1,則

---F成=()

A.(2"-1)2B.；(2"-1)2

C.4"-1D.；(4"—1)

O

3.在等比數(shù)列｛4｝中，a,=2,前〃項(xiàng)和為S,若數(shù)列｛a+1｝也是等比數(shù)列,

則S等于()

A.2n+1-2B.3〃

C.2/7D.3"-1

4.(多選)在公比q為整數(shù)的等比數(shù)列｛4｝中，S是數(shù)列｛a,｝的前〃項(xiàng)和，若

&&=32,a2+a3=12,則下列說(shuō)法正確的是()

A.7=2

B.數(shù)列｛$+2｝是等比數(shù)列

C.S=510

D.數(shù)列｛logz4｝是公差為2的等差數(shù)列

5.(多選)已知數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S，S?=2a-2,若存在兩項(xiàng)&,a0,使

得a0=64,則()

A.數(shù)列｛&,｝為等差數(shù)列

B.數(shù)列｛2｝為等比數(shù)列

4”—1

C./…+或=~~~

D.7十〃為定值

二、填空題

119

6.已知正項(xiàng)等比數(shù)列｛a｝中,包=1,其前〃項(xiàng)和為K---=-.

則S尸.

7.已知數(shù)列｛4｝的前A項(xiàng)和S滿足log2(S+2)=〃+l,則數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公

式a?—.

8.已知等比數(shù)列｛a,,｝的前〃項(xiàng)和S=3"+r,則a~r=,數(shù)列

n〃+4的最大項(xiàng)是第4項(xiàng),貝Uk=

三、解答題

9.等比數(shù)列｛為｝的前〃項(xiàng)和為S，已知S，S，￡成等差數(shù)列.

⑴求｛2｝的公比q；

⑵右cZj—a=3,求S”.

10.已知數(shù)列｛4｝，伉｝滿足2s=(a“+2)b,?其中S,是數(shù)列｛4｝的前n項(xiàng)和.

21

(1)若數(shù)列｛a｝是首項(xiàng)為可，公比為一金的等比數(shù)列，求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式;

OO

(2)若4=77,包=3,求數(shù)列｛a』的通項(xiàng)公式.

B級(jí)：“四能”提升訓(xùn)練

1.已知數(shù)列｛&,｝的前n項(xiàng)和為S，且滿足S0=2a“一2(〃GN*).

(1)求數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式；

(2)若對(duì)任意的〃WN*,不等式(八一〃)a+i+a.W15恒成立，求實(shí)數(shù)人的最

大值.

2.某市2019年發(fā)放汽車牌照12萬(wàn)張，其中燃油型汽車牌照10萬(wàn)張，電動(dòng)

型汽車牌照2萬(wàn)張，為了節(jié)能減排，從2019年開始，每年電動(dòng)型汽車牌照按50%

增長(zhǎng)，而燃油型汽車牌照每年比上一年減少0.5萬(wàn)張，同時(shí)規(guī)定一旦某年發(fā)放的

牌照超過(guò)15萬(wàn)張，以后每年發(fā)放的電動(dòng)型汽車牌照的數(shù)量維持不變.記2019年

為第一年，每年發(fā)放的燃油型汽車牌照數(shù)構(gòu)成數(shù)列｛a,J,每年發(fā)放電動(dòng)型汽車牌

照數(shù)構(gòu)成數(shù)列｛4｝.

(1)完成下列表格，并寫出這兩個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式;

51=1082=9.5備=國(guó)=

加=2Z>2=3&=

(2)累計(jì)各年發(fā)放的汽車牌照數(shù)，到哪一年開始不低于200萬(wàn)？(注：回

-17.7)

4.3.2等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式

第1課時(shí)等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和

國(guó)畫國(guó)?昌國(guó)(教師獨(dú)具內(nèi)容)

課程標(biāo)準(zhǔn)：1.理解并掌握等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式及其推導(dǎo)過(guò)程，體會(huì)錯(cuò)位

相減法的應(yīng)用，并能熟練應(yīng)用此法求和.2.能熟練應(yīng)用等比數(shù)列的前A項(xiàng)和公式及

其相關(guān)性質(zhì)解決問(wèn)題.3.能利用等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題.4.了

解等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式與函數(shù)的關(guān)系.

教學(xué)重點(diǎn)：等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式及其相關(guān)性質(zhì).

教學(xué)難點(diǎn)：應(yīng)用等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式及其相關(guān)性質(zhì)解決問(wèn)題.

'新知I拓展

等比數(shù)列前〃項(xiàng)和公式的理解

(1)在等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前〃項(xiàng)和公式中共有4,a“n,q,S五個(gè)量，

知道其中任意三個(gè)量，都可求出其余兩個(gè)量.

(2)前〃項(xiàng)和公式的應(yīng)用中，注意前〃項(xiàng)和公式要分類討論，即qWl和q=l

時(shí)是不同的公式形式，不可忽略q=l的情況.

(3)當(dāng)公比qWl時(shí)，等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式是，=曳4^—,它可以變

形為5=—產(chǎn)-?d+d=，設(shè)4=4,上式可寫成S^-Aq+A.由此可見(jiàn)，

非常數(shù)的等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和S,是由關(guān)于〃的一個(gè)指數(shù)式與一個(gè)常數(shù)的和構(gòu)成的，

而指數(shù)式的系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)互為相反數(shù).

±1評(píng)價(jià)自測(cè)I

1.判一判(正確的打“，錯(cuò)誤的打“X”)

(1)求等比數(shù)列｛4｝的前n項(xiàng)和時(shí)可直接套用公式s=邊一，二9一來(lái)

l—g

求.()

(2)等比數(shù)列｛a.｝的前〃項(xiàng)和為知S,a”為可以求公比q.()

V

(3)1—2+4—8+16—…+(—2)i=^IX~~1-―.()

L-L

(4)若等比數(shù)列｛為｝共100項(xiàng)，且公比gW±l,則該數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)之和S=

名「150.()

1-9

答案⑴X(2)V(3)X(4)X

2.做一做(請(qǐng)把正確的答案寫在橫線上)

(1)等比數(shù)列J,…的前7項(xiàng)和為

24816------

(2)等比數(shù)列｛a』的各項(xiàng)都是正數(shù)，若團(tuán)=81,a5=16,則它的前5項(xiàng)和是

(3)等比數(shù)列｛a｝的公比q=2,首項(xiàng)a=8,則W=.

43

答案⑴房(2)211(3)248

核心素養(yǎng).形成

HEXINSUYANGXINGCHENG

題型一等比數(shù)列前〃項(xiàng)和的基本計(jì)算

例1在等比數(shù)列｛4｝中，

⑴若s=189,(7=2,a,=96,求a和〃；

5

(2)右&+劉3=10,&+求&和

39

(3)若&=5,S=5，求國(guó)和公比.

［解］⑴由$=囪廠.,4=ad以及已知條件，得

1—7

a\—2a3i—2X96

189=『^n=----.一

1Z-1

96=a,-2"~',

??3]=3.

r-96

又2"T=w=32,：.n=e>.

o

(2)設(shè)公比為g,由通項(xiàng)公式及已知條件得

&+Q\Q=10,

3.「5

aq+aq—-

{{{9

f-311+q?=10,①

即13125_

[a?1+g=-.②

Vai^O,l+(7V0,二②?①得，/=：,即q=〈,

oZ

??3]~~8.

a=a/=8義集)=1,

,aI8X[Y)]31

W=1-q=一—=萬(wàn)

1-2

3

(3)當(dāng)q=l時(shí)，S=3句，33=3)=-

乙

.39.3

???3義5=5夕=5，AB\='^9Q-1.

乙乙乙

”.5i1-q93

當(dāng)qWl時(shí)，S=-----7^------=5，4=句>9?=9,

JLq乙乙

3

291

+<?+，）=5,，Q=-5，<7=1（舍去）,

Q2/

??3]=6.

a-6

<，3

1或a=亍

綜上所述,--

q-2

q=l.

廠得牌展廨-.......................

等比數(shù)列思想方法的應(yīng)用

(1)方程思想：等比數(shù)列中的“知三求二”問(wèn)題就是方程思想的重要體現(xiàn).

(2)分類討論思想：由等比數(shù)列前〃項(xiàng)和公式、4與S的關(guān)系等知識(shí)可知，解

答數(shù)列問(wèn)題時(shí)常常要用到分類討論思想.

特別注意：等比數(shù)列前〃項(xiàng)和的計(jì)算，優(yōu)先討論公比g=l的情況.

[跟蹤訓(xùn)練1](1)在等比數(shù)列｛4｝中，S+W=2W，則公比g=；

(2)在等比數(shù)列｛&,｝中，W=合，則a〃=;

乙乙

(3)設(shè)等比數(shù)列｛a,,｝的前〃項(xiàng)和為S“，a,=l,$=4S，則a=.

答案

解析(1)由題意知EJ的公比qWl,

.L（?aL或2alL</

1,一一十一■—二l-q

：.2q=q-\-q,：.2q=q+1,

?！?-g或Q=1（舍去）,

(2)由題意知仿』的公比qWl,

3

a-47

-①

7--2

-=623知V

2-L663

當(dāng)q

-q

②+①，得1+/=9,

??0=2,

代入①得囪=;,

.,.a?=1x2,,-,=2n-2.

⑶由a=l,W=4￡,當(dāng)Q=1時(shí)，不符合W=4S；當(dāng)gW1時(shí)，

1613

S]1-qd\1-Q.qQ,.q

*/----------=4?----------,.?.l+q=4,得q=3,故國(guó)=^q=lX3=

1—q1-Q

題型二錯(cuò)位相減法的運(yùn)用

22月

例2已知數(shù)列EJ的首項(xiàng)句=可，&+產(chǎn)],〃=1,2,….

3a〃十1

(1)證明：數(shù)列|上一是等比數(shù)列；

〔為

⑵求數(shù)列目的前〃項(xiàng)和$.

an\

也

十1

a,H為A

4111

,++_

22-2-,

+44

-■-7--1=瑞-1)

「211

Xa,=-,/.---1=7，

3al2i

...數(shù)歹":一I]是以J為首項(xiàng)，。為公比的等比數(shù)歹U.

3，nJ/乙

/、」一1111

(2)由(1)知1=-?布=不，

Qn222

rr11.nn,

即1=不+1，：.-=-z,+n.

@n2d,n2

設(shè)北=T+,+1H—I■段,①

卜力

則［北=)+4+???②

乙乙乙

.1n

??Tn22"一］2'"

又1+2+3+…+

乙

數(shù)歹U4的前〃項(xiàng)和6=22+〃，n”+1n+n+4〃+2

2"222”?

如果數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列，也,｝是等比數(shù)列，求數(shù)列｛a,6｝的前〃項(xiàng)和時(shí)，可

采用錯(cuò)位相減法.

在寫出“S,”與“qS”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”以便下一

步準(zhǔn)確寫出“S—qS”的表達(dá)式.

13579/7—1

［跟蹤訓(xùn)練2］試求而的前〃項(xiàng)和.

、江廠1,3.5,,2〃一1.

斛設(shè)---1-9?>①

乙乙乙乙

,3,5,12/7-1人

25,=1---F2?-1.②

2/7-12A+3

^7—=3——7^.

題型三等比數(shù)列前〃項(xiàng)和性質(zhì)的應(yīng)用

例3(1)一個(gè)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)的等比數(shù)列，所有項(xiàng)之和是偶數(shù)項(xiàng)之和的4倍，前

三項(xiàng)之積為64,求此數(shù)列的通項(xiàng)公式；

(2)在等比數(shù)列｛必｝中，若前10項(xiàng)的和5,0=10,前20項(xiàng)的和S0=30,求前

30項(xiàng)的和品.

［解］(1)設(shè)此數(shù)列EJ的公比為q,由題意，知S奇+S偶=4S儡，3s

S偶1

偶，Aq=-=-

又2a3=64,即cZi(o,\Q)(aq")=a：q'=64,

「1?

??3\Q=4.又q=q,??國(guó)=12,

o

.".a?=ai7-'=12X

⑵解法一：設(shè)數(shù)列｛4｝的首項(xiàng)為&,公比為q,顯然q#l,則

c\10

a1—q

=10,

1-q

a〕L<7

=30.

、1—q

兩式相除得l+/°=3,

［_30］_10

...SM=—.---=—~--(1+7°+茶)=ioX(1+2+4)=70.

l-q—Q

解法二：YS。，So-S。，s。一$。仍成等比數(shù)列，

又So=lO,￡)=30,

Qr\__1八2

???品-30=——-——,即品=70.

［變式探究］本例⑵中條件不變，能否求加+&+…+&。的值呢？

解由題可知的+a22H-----Fa3o=So—So，由例題可知So=7O,&)=30,所以

包1+42+…+@30=70—30=40.

?:…爵隰國(guó)O-——...............................!

等比數(shù)列前〃項(xiàng)和性質(zhì)的應(yīng)用

等比數(shù)列前〃項(xiàng)和的性質(zhì)是在等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前〃項(xiàng)和公式及等比數(shù)

列的性質(zhì)的基礎(chǔ)上推得的，因而利用有關(guān)性質(zhì)可以簡(jiǎn)化計(jì)算，但通項(xiàng)公式、前n

項(xiàng)和公式仍是解答等比數(shù)列問(wèn)題最基本的方法.

［跟蹤訓(xùn)練3］(1)一個(gè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為1,項(xiàng)數(shù)是偶數(shù)，其奇數(shù)項(xiàng)的和為

85,偶數(shù)項(xiàng)的和為170,求此數(shù)列的公比和項(xiàng)數(shù)；

(2)在等比數(shù)列｛2｝中，公比q=2,前99項(xiàng)的和5)9=56,求a+a+aH-

+弧的值.

解(1)設(shè)此等比數(shù)列為｛a｝，其公比為＜7,項(xiàng)數(shù)為2〃(〃eN*).

若q=l,則5奇=5佃，與已知矛盾，故

1一右

--1=85,①

l-q

q1—qn

~T^-=17°-②

②?①，得7=2.

1—4〃

把q=2代入①，得=7=85,

1—4

，4"=256=4",A77=4.

二公比q=2,項(xiàng)數(shù)為8.

(2)解法一：jq—=56,

1—。

.a3+Se+ag+,?,+a99=a3(1++,??+7**)

21-d3321T

二和?—0二二小?—訴廠

q句1—4

1+q+q；1—q_

4

=HTHX56=32-

解法二：設(shè)61=4+&+司7+~+必7?

b2=a2~\------b&8，

&=a+為+必+???+29，

貝|J63=質(zhì)，金0=&且。+。2+A=56,

b\(1+^+7)—56,

.，56,,2

??b\=]+2+4=8,bi=b\q=32,

即必+公+&+…+包9=32.

題型四等比數(shù)列前〃項(xiàng)和的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題

例4借貸10000元，以月利率為1%,每月以復(fù)利計(jì)息借貸，王老師從借貸

后第二個(gè)月開始等額還貸，分6個(gè)月付清，試問(wèn)每月應(yīng)支付多少元？

(l.or^l.061,1,015^1.051)

［解］解法一：設(shè)每個(gè)月還貸a元，第1個(gè)月后欠款為切元，以后第〃個(gè)月

還貸a元后，還剩下欠款包元(1,則

色=10000,

4=!_.014a,

刈=1.or%—(1+1.01)a,

盤)=1.01念一43—01“a—(1+1.01+,,,+1.01")a.

由題意，可知a=0,

1.016do—(1+1.01+,,,+1.01°)5—0,

2

l.OfXIO6

a=[N一因?yàn)?.016pL061,

1.ui—1

1.061X1Q2

所以a—^1739.

1.061-1

故每月應(yīng)支付1739元.

解法二：一方面，借款10000元，將此借款以相同的條件存儲(chǔ)6個(gè)月，則它

的本利和為5；=104(l+0.01)6=104Xl.016(TG).

另一方面，設(shè)每個(gè)月還貸a元，分6個(gè)月還清，到貸款還清時(shí)，其本利和為

$=a(l+0.01)5+a(l+0.01)1+…+a=——￥甘\一口=a(l.016一

1)X102(TC).

i.oPxio2

由$=$,/H

得a=i.or-1-

以下解法同解法一，得a-1739.故每月應(yīng)支付1739元.

一禹圈國(guó)陶........................

解數(shù)列應(yīng)用題的注意點(diǎn)

在數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用中，把數(shù)學(xué)問(wèn)題背景中的數(shù)列知識(shí)挖掘出來(lái)(投入資金數(shù)列

和收入資金數(shù)列)，然后用數(shù)列的知識(shí)進(jìn)行加工和整理是常見(jiàn)的解題方法，應(yīng)注意

合理安排，解題中要明確數(shù)學(xué)問(wèn)題的實(shí)際意義，以便進(jìn)行合理取舍.

［跟蹤訓(xùn)練4］某校為擴(kuò)大教學(xué)規(guī)模,從今年起擴(kuò)大招生，現(xiàn)有學(xué)生人數(shù)為b,

以后學(xué)生人數(shù)的年增長(zhǎng)率為4.9%0.該校今年年初有舊實(shí)驗(yàn)設(shè)備a套，其中需要換

掉的舊設(shè)備占了一半.學(xué)校決定每年以當(dāng)年年初設(shè)備數(shù)量的10%的增長(zhǎng)率增加新

設(shè)備，同時(shí)每年淘汰x套舊設(shè)備.

(1)如果10年后該校學(xué)生的人均占有設(shè)備的比率正好比目前翻一番，那么每

年應(yīng)淘汰的舊設(shè)備是多少套？

(2)依照(1)的更換速度，共需多少年能更換所有需要更換的舊設(shè)備？下列數(shù)

據(jù)供計(jì)算時(shí)參考：

1—.361.00499^1.04

1.l10^2.60L0049『L05

1.1—2.851.0049"^l.06

解(1)設(shè)今年學(xué)生人數(shù)為6,則10年后學(xué)生人數(shù)為8(1+4.9%。)058.

由題設(shè)可知，1年后的設(shè)備為aX(l+10%)—x=l.la—x,

2年后的設(shè)備為(Lla—x)X(1+10%)—x=l.『a—1.lx—x=l.Ya—x(l+

1.1)，…，

10年后的設(shè)備為aX1.1'"—x(l+1.1+1.1"+…+1.I9)：=?2.6a一

IX1-1.I10八

xX---:—:~:----72.6a—16x.

1—1.1

.4口2.6a-16xa5/口a

由題設(shè)，得一廠忘7—=2?］，解得才=前.

1.05bb32

所以每年應(yīng)淘汰的舊設(shè)備為亮套.

D乙

1o

(2)全部更換舊設(shè)備共需產(chǎn)+已=16(年).

乙D乙

所以共需16年能更換所有需要更換的舊設(shè)備.

題型五等比數(shù)列綜合問(wèn)題

例5設(shè)數(shù)列｛a』的前〃項(xiàng)和為S，已知$=4,a.+i=2S〃+l,“GN*.

(1)求通項(xiàng)公式a.；

(2)求數(shù)列｛|a-n-2|｝的前A項(xiàng)和.

aj+a2=4,f3|—1>

［解］(D由題意，得,則一，

、3.22Q\I1,13.23,

又當(dāng)〃22時(shí)，由a〃+|—a〃=(2S+1)—(2ST+1)=2a〃，Wa?+1=3a?,所以數(shù)

列｛4｝的通項(xiàng)公式為a=3"T,A￡N*.

(2)設(shè)"=|3'1—〃一2|,neW,b、=2,b=1.

當(dāng)〃23時(shí)，由于3"”〉〃+2,故8“=3"'—2,〃23.

設(shè)數(shù)列｛力｝的前〃項(xiàng)和為&則71=2,石=3.

Q1—Q"-2n+7/?—2_3”一5〃+11

當(dāng)心3時(shí)，北=3十一^2=2

經(jīng)驗(yàn)證，當(dāng)〃=2時(shí)也符合上式.

[2,z?=l,

所以北=J3"—rf—5n+11

啟2,〃eN*.

廠-博胭隔睛.........................

在解決等差、等比數(shù)列綜合問(wèn)題時(shí)，重點(diǎn)要讀懂題意，而正確利用等差、等

比數(shù)列的定義，通項(xiàng)公式及前〃項(xiàng)和公式是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，若已知S,利用品

=S-ST522）變?yōu)楫?dāng)再求解.

［跟蹤訓(xùn)練5］等差數(shù)列｛4｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，@=3,前〃項(xiàng)和為S,｛4｝

為等比數(shù)列,仇=1,且等W=64,&S=960.

⑴求a”與b『,

（2）求和：---

解（1）設(shè)｛&,｝的公差為d,也,｝的公比為q,則d為正數(shù)，a“=3+（〃-l）d,

b?=q-'.

bS=6+dg=64,

依題意有

bS=9+3"以=960,

d=2,

解得或I（舍去）,

g=840

故4=3+2(〃-1)=2〃+1,b=8n~'.

(2)S=3+5T-----1(2/?+1)=〃(〃+2),

1,1,,11,1,1,,1

rrr以u(píng)—+—+???-4--=------+--------+--------4-???+--------------

勿以SSS1X32X43X5nn+2

111111

----+---++-

3+-2435

Z7

+5

3/7

什

4北2

隨堂水平.達(dá)標(biāo)

SUITANGSHUIPINGDABIAO

4

1.已知數(shù)列｛a』滿足3azi+i+a“=0,a2=—不，則｛aj的前10項(xiàng)和等于（）

A.—6X(1—37°)B.1X(1—3T°)

C.3X(1—3T°)D.3X(I+3R)

答案C

解析,.,34+|+a=0,.*.a.+i=—<a“，｛a〃｝為等比數(shù)列，<?=一；，又a?=

oJ

14

-10

&?°=一鏟尸-g=4,=3(l-3).故選C.

2.若數(shù)列｛a｝的前〃項(xiàng)和為S=3"+a（a為常數(shù)），則數(shù)列｛a｝（）

A.是等比數(shù)列

B.僅當(dāng)a=—1時(shí)，是等比數(shù)列

C.不是等比數(shù)列

D.僅當(dāng)a=0時(shí)，是等比數(shù)列

答案B

Sn=\,f3+an—1

解析a“=”[2X3"T心2當(dāng)a=-1時(shí)，&=2

S—Sn-\心2

適合通項(xiàng)a,=2X3i,故數(shù)列仿』是等比數(shù)歹!].當(dāng)aW—l時(shí)，｛aj不是等比數(shù)歹U.故

選B.

3.（多選）已知數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列，a=l,且色，&,a是一個(gè)等比數(shù)列中

的相鄰三項(xiàng),記b?=anqan（q^0,1）,則伉｝的前〃項(xiàng)和可以是（)

A.n

B.nq

q十Inq〃+1-nqn-qn

C.

1-q

I〃+2n+1/)+1

nq+nq.nq-q

U..2

1—q

答案BD

解析設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d,又4=1,且a2,國(guó)，戊是一個(gè)等比數(shù)列

中的相鄰三項(xiàng)，所以4=也綠，即出+34=3+4.(&+7中，化簡(jiǎn)，得d(d—

1)=0,所以d=0或1,故a=1或&=〃，所以Z?〃=q或4=A?q",設(shè)伉｝的前〃

項(xiàng)和為S，

(1)當(dāng)時(shí)，S,=nq-,

(2)當(dāng)b?—n?<?"時(shí),

S?=1?q+2?q+3?qH---\-n,q,①

qS?=l,q+2?</+3,<?'4-,,?+/?,qn+',②

①一②，得(1—g)S=q+/+/H---\-q—n?(f+l=~——n?q+',所

/2+1I〃+2z?+1w+1

以.；一：二n?qq+nq-nq-q

,故選BD.

l-qLq-

4.數(shù)列｛4｝滿足a=l,&衣什1=2"，其前〃項(xiàng)和為S,則a=，必

答案42n+,-2

解析由遞推關(guān)系可得ana^=2'-\an+ian+2=2",兩式相除可得.=2.則氏

=a,-22=4,由&a+=2"7可得名=1,則奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)分別為首項(xiàng)為1,公比

77

為2的等比數(shù)列，則^?=2X-I~X~吉1—一2=2"+'—2.

1-N

5.張先生2019年年底購(gòu)買了一輛1.6L排量的小轎車，為積極響應(yīng)政府發(fā)

展森林碳匯(指森林植物吸收大氣中的二氧化碳并將其固定在植被或土壤中)的號(hào)

召，買車的同時(shí)出資1萬(wàn)元向中國(guó)綠色碳匯基金會(huì)購(gòu)買了2畝荒山用于植樹造

林.科學(xué)研究表明：轎車每行駛3000公里就要排放1噸二氧化碳，林木每生長(zhǎng)1

立方米，平均可吸收L8噸二氧化碳.

(1)張先生估計(jì)第一年(即2020年)會(huì)用車1.2萬(wàn)公里，以后逐年會(huì)增加1000

公里，則該轎車使用10年共排放二氧化碳多少噸？

(2)若種植的林木第一年(即2020年)生長(zhǎng)了1立方米，以后每年以10%的生

長(zhǎng)速度遞增，問(wèn)林木至少生長(zhǎng)多少年，吸收的二氧化碳的量超過(guò)轎車10年排出的

二氧化碳的量(參考數(shù)據(jù)：1.114^3.7975,1.115^4.1772,1.116^4.5950)?

解(1)設(shè)第〃年小轎車排出的二氧化碳的噸數(shù)為

1200013000131400014口處甘年?川皿生

即nn旬=annn=4,,=〈八?八，…，業(yè)然其構(gòu)成首項(xiàng)為

DUUUDUUUODUUU?O

31=4,公差為</=必一的等差數(shù)列，

0

▼一,10X91

所以5o=lOX4+——X-=55,

乙O

即該轎車使用10年共排放二氧化碳55噸.

(2)記第〃年林木吸收二氧化碳的噸數(shù)為4(〃WN*),

則。=1X1.8,Z^=1X(1+10%)X1.8,Z>)=1X(l+10%)2X1.8,…，

其構(gòu)成首項(xiàng)為4=1.8,公比為^=1.1的等比數(shù)列，

記其前〃項(xiàng)和為T,?

由題意，有1=,\/—=18X(1.1"—1)>55,

1—1.1

解得〃215.

所以林木至少生長(zhǎng)15年，其吸收的二氧化碳的量超過(guò)轎車10年排出的二氧

化碳的量.

課后課時(shí),精練

KEHOUKESHIJINGLIAN

A級(jí)：“四基”鞏固訓(xùn)練

一、選擇題

1.已知等比數(shù)列的公比為2,且前5項(xiàng)和為1,那么前10項(xiàng)和等于()

A.31B.33

C.35D.37

答案B

解析因?yàn)?a2+a3+a,+a5=1,所以a6+a7+a8+ag+a,0=q(a,+a2+ab

+&+a5)=(/=25=32.所以S0=1+32=33.

2.若數(shù)列｛若是等比數(shù)列,已知對(duì)任意—N*,a+…+a=2〃-1,則

aj+a：+a；-|---\~an=()

A.(2"-1)2B.1(2n-l)2

C.4"-1D.1(4Z,-1)

答案D

解析由S,=2n-l得a,=5,=1,&=￡-S=2Z—2=2....公比為q=2,可知

1—4"1

數(shù)列｛闔是等比數(shù)列，首項(xiàng)為1,公比為成=4..?.aj+a；+a；+…+4=:下=?4"

1—43

—1).

3.在等比數(shù)列｛4｝中，&=2,前〃項(xiàng)和為S，若數(shù)列0+1｝也是等比數(shù)列，

則S等于()

A.2,,+1-2B.3A

C.2nD.3"-1

答案C

解析因數(shù)列｛a｝為等比數(shù)列，則4=2/，因數(shù)列｛4+1｝也是等比數(shù)列，

則(a.+i+1)~=(a〃+1)(a〃+2+1)，得a"i+2a”+i=a“a〃+2+a“+a〃+2，a.+a〃+2=2a〃+”

從而4(1+4/—2q)=0,得q=l,即a“=2,所以S,=2〃.故選C.

4.(多選)在公比q為整數(shù)的等比數(shù)列｛a“｝中，S是數(shù)列｛&｝的前〃項(xiàng)和，若

aa=32,昆+&=12,則下列說(shuō)法正確的是()

A.q=2

B.數(shù)列6+2｝是等比數(shù)列

C.&=510

D.數(shù)列｛logz4｝是公差為2的等差數(shù)列

答案ABC

解析因?yàn)閿?shù)列｛4｝為等比數(shù)列，又&&=32,所以a2a3=32,又色+。3=12,

一包=8,

%2=4,或卜=%(4=4,

又公比4為整數(shù)，則｛a=8,

所以＜a=8,即a=2",

1［。=2,

4=2

OX/1—onM+22-2

S=-=-=2"】一2,由上可得0=2,故A正確；5+2=2田,

1-zS+2

=2,則數(shù)列｛$+2｝是等比數(shù)列，故B正確；&=29-2=510,故C正確；logza,,

+Llog2azi=5+1)一片1，即數(shù)列｛log24｝是公差為1的等差數(shù)列，故D錯(cuò)誤.故

選ABC.

5.(多選)已知數(shù)列｛&｝的前〃項(xiàng)和為S，S=2a-2,若存在兩項(xiàng)劣，a”使

得aa〃=64,則()

A.數(shù)列｛品｝為等差數(shù)列

B.數(shù)列｛8,｝為等比數(shù)列

C.a；+a；+…+或=~~-

O

D.必+〃為定值

答案BD

解析由題意，當(dāng)〃=1時(shí)，S=2a—2,解得ai=2,當(dāng)〃22時(shí)，5L-i=2a?

=

-I—2,所以S—Sn~i=a“=2a”—2—(2sn-i—2)2an—2a”-”所以=2,數(shù)歹U｛a〃｝

^n—I

是首項(xiàng)a=2,公比q=2的等比數(shù)列，a=2",故A錯(cuò)誤，B正確；數(shù)列｛或是首

1

項(xiàng)4=4,公比s=4的等比數(shù)歹(］,所以ai+a；+…+4=里］1二匚=,*1臺(tái)—

4"+1—4

=——，故C錯(cuò)誤；&&=2"2"=2""=64=26,所以加+〃=6為定值，故D正確.故

選BD.

二、填空題

112

6.已知正項(xiàng)等比數(shù)列｛4｝中，a=1,其前〃項(xiàng)和為S(〃￡N*),且一一一=一,

Q\@22

則$=.

答案15

1I2

解析正項(xiàng)等比數(shù)列EJ中，4=1,且一一一=一,

句9.23