近8年(2023年與2022與2021與2020與2019與2018與2017與2016)上海中學(xué)高一年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)期中考試卷合集含詳解

8年(2016-2023)年上海中學(xué)高一上學(xué)期期中考數(shù)學(xué)試卷合集含詳解

2022-2023學(xué)年上海中學(xué)高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷.........................................2

2022-2023學(xué)年上海中學(xué)高一上學(xué)期期中參考答案.........................................4

2021-2022學(xué)年上海中學(xué)高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷........................................15

2021-2022學(xué)年上海中學(xué)高一上學(xué)期期中參考答案........................................17

2020-2021學(xué)年上海中學(xué)高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷........................................25

2020-2021學(xué)年上海中學(xué)高一上學(xué)期期中參考答案........................................27

2019-2020學(xué)年上海中學(xué)高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷........................................38

2019-2020學(xué)年上海中學(xué)高一上學(xué)期期中參考答案........................................40

2018-2019學(xué)年上海中學(xué)高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷........................................50

2018-2019學(xué)年上海中學(xué)高一上學(xué)期期中參考答案........................................52

2017-2018學(xué)年上海中學(xué)高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷........................................64

2017-2018學(xué)年上海中學(xué)高一上學(xué)期期中參考答案........................................66

2016-2017學(xué)年上海中學(xué)高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷........................................77

2016-2017學(xué)年上海中學(xué)高一上學(xué)期期中參考答案........................................79

2015-2016學(xué)年上海中學(xué)高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷........................................89

2015-2016學(xué)年上海中學(xué)高一上學(xué)期期中參考答案........................................91

2022-2023學(xué)年上海中學(xué)高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷

一、填空題（每題3分，共36分）

1已知集合IJ,則人=

2.設(shè)集合A={5』og2(a+3)},B={。,8},若AB={2}；則

^\[a+-\[ab^

3.

J（x+1）,0

4.不等式（2-x）（l）（x-3）的解集為.

5,已知l°g32=",l°g35=8,則log”而用0,b表示的值為.

11

—<九<一

6.已知不等式|x—詞<1成立的充分不必要條件是32,則加的取值范圍是

2

7魚(yú)人A={XW15-x+3-XHO}B={X|X-16X-36<0}則“|3=

,3

x——x-k=0（_]]\

8.方程2在1Ml上有實(shí)根，則實(shí)數(shù)上的取值范圍是.

9.若對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有12x—a|+|3x-2a|Na2,則。的取值范圍為.

10,已知a>b,關(guān)于x的不等式辦2+2x+bN0對(duì)于一切實(shí)數(shù)x恒成立，又存在實(shí)數(shù)%,使得"/+2/+”=°

a2+b2

成立，則”b最小值為.

而.1,bei_ca?]_L+L+L

11.已知a"，均為正實(shí)數(shù)，且。+2方3'〃+2c4'c+2a5,那么abc的最大值為.

3abe+d

12.已知"c，”>°,且滿足2a+3b=l,c+d=\,則abed的最小值是.

二、選擇題（每題4分，共16分）

13.已知且a+b+C=°,則下列不等式一定成立是（）

Aah2>be2B.ah2>Ire

C.(ah-ac)(b-c)>0D.(ac-bc)(a-c)>0

14.若Ac3=0,且〃={幻刀口4},N={x|xq8},則下列各式中一定成立是()

A.McN=0B.McN={0}

C.(〃cN)=(AcB)D.MN=A(yB

15.設(shè)a,%,c均為正數(shù)，若一元二次方程辦2+￡）x+c=o有實(shí)根，則（）

{a,/7,c}N；(Q+〃+C)4

A.maxB.max{a,/7,c}>—(6z+Z?+c)

D.max{a,/7,c]<g(a+O+c)

C.max{a,h,c}<z(a+Z?+c)

16.設(shè)a<；,（3x2+a—|）（5x+?！?）20在（a⑼上恒成立，則b-a的最大值（）

A.1B.2c."D.氈

333

三、解答題（17-19每題8分，20-21每題12分）

17.（1）解不等式：|2x+1|-卜―1<1

（2）解不等式：（X-1）&一%-220

18.設(shè)M={0,l},N={ll—a,lga,2",a},是否存在實(shí)數(shù)小使McN={l}?若存在，求出a的值；若不存

在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

19.已知全集。=1<,A=1x|x2-3x+2<0|,8={x|%2-2辦+。wo},且AB=B,求a的取值范圍.

9v_L1

20.（1）已知》=再5卜6［0,4］）,求y的最大值.

（2）設(shè)關(guān)于x的方程=1,1］）的兩個(gè)非零實(shí)根為與，々，問(wèn)是否存在也使得不等式

加2+"〃+1?上一馬|對(duì)任意的以及，恒成立？若存在，請(qǐng)求出，"的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)

明理由.

21.⑴已知集合S={x|0<xW6,xeZ},任意從中取出“個(gè)四元子集4出均滿足4cA/（lWi<左）

的元素個(gè)數(shù)不超過(guò)2個(gè)，求人的最大值.（舉出一個(gè)例子即可，無(wú)需證明）

⑵已知集合5=3°<》<7,“必，任意從中取出《個(gè)三元子集4,44，均滿足

的元素個(gè)數(shù)不超過(guò)一個(gè)，求上的最大值.

2022-2023學(xué)年上海中學(xué)高一上學(xué)期期中參考答案

一、填空題(每題3分，共36分)

1.已知集合1I>,則4=.

【答案】{x|x<2或x>3}

【分析】首先解一元二次不等式求出集合A,再根據(jù)補(bǔ)集的定義計(jì)算可得.

【詳解】解：由Y—5X+6<0,即(X-2)(X-3)W0,解得2WXW3,

所以A={X|X2-5X+6W0}={X|24X?3},

所以A={x|x<2或x>3}.

故答案為：{x|x<2或x>3}

2.設(shè)集合4={5,1082(。+3)},8={。,。},若AB={2},則.

【答案】{1,2,5}

【詳解】試卷分析：解：VAnB={2},.\log2(a+3)=2.，a=l.；.b=2.；.A={5,2},B={1,2}..*.AUB={1,

2,5),故答案為{1,2,5).

考點(diǎn)：并集

點(diǎn)評(píng):本題考查了并集的運(yùn)算，對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，屬于容易題.

3.化簡(jiǎn)(板+版)(〃^+而'一^^)=.

【答案】。+力##力+。

【分析】根據(jù)根式與分?jǐn)?shù)塞之間互化以及立方和公式即可求解.

【詳解】(板+版)(正+疹一病)=ai+bi-a3^==a+b,

故答案為：a+b

f(x+1)

4.不等式NO的解集為

(2-x)(x-l)(x-3)2

【答案】(3,T“1,2)3。}

x2(x+l)

【分析】將不等式變形為7-?、/74°，利用數(shù)軸標(biāo)根法得到不等式的解集.

(x-2)(x-l)(x-3)

x2(x+l)x2(x+l)八

［詳解］解：不等式~、,,、/—0,即7~入,?刀”0，

(2--l)(x-3)(x-2)(x-l)(x-3)

方程f(x+i)(x—2)(x—l)(x—3)2=0的根有3(2重根)，1，2.-1,0(2重根)，

-2410,24

按照數(shù)軸標(biāo)根法可得不等式的解集為(-8,-1］。(1,2)口{0}.

故答案為：(F，TD(1,2)U{0}

5.已知log32=a,log.35=b,則log15J而用a,b表示的值為.

a+b+\

【答案】

2b+2

【分析】利用對(duì)數(shù)運(yùn)算公式和換底公式計(jì)算即可.

【詳解】喻國(guó)號(hào)喻(2xl5)《+；x喻2弓+五汗=12°唱31唱5)

a+/?+1

2b+2.

a+b+l

故答案為:

2b+2

6.已知不等式|x—網(wǎng)<1成立的充分不必要條件是則機(jī)的取值范圍是

32

14

【答案】［-不彳］

23

【分析】先求出不等式的解集B,又設(shè)A={x［；<x<g},則A是8的真子集，再求得加的取值范圍.

【詳解】由不等式|x一網(wǎng)<1,得—l+m<x<加+1,即其解集5={x|-1+/〃<%<加+1},

又設(shè)A={x［；<x<g},由已知知A是8的真子集,

-l+m<—

3,14

得］（等號(hào)不同時(shí)成立）得——<m<—,

23

zn+1>—

2

14

故答案為：(-/,§］

【點(diǎn)睛】本題考查了不等式解法，考查了將充分不必要條件轉(zhuǎn)化為集合的包含關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

7.集合4={x|J15-x+3-xw()},B=|x|x2-16x—36<01,則AB=.

t答案】［-2,6)。(6,15］

【分析】分別計(jì)算求得集合A6,在按照交集運(yùn)算即可得.

15-x>0

fl5-x>0

【詳解】解：不等式JI=+3-XNO變形為—所以<X—3NO或，解得

x-3<0

J15—x豐x—3

x<6或6Vx<15.

所以A={x|x<6或6Vx415}

B={%|X2-16X-36<0}={X|-2<X<18}

所以4廣|8={%|-2<％<6或6<%<15}=[-2,6)5615].

故答案為：[—2,6)u(6,15].

8.方程Y-^x-左=0在上有實(shí)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是.

".「95、

【答案】-7T，二

【分析】記y=/一]工/￡(-1,1),%=上在同一個(gè)坐標(biāo)系作出弘和內(nèi)的圖像，利用數(shù)形結(jié)合即可求解.

【詳解】記乂二9一；元/?_],1),y2=k.

2m

故答案為：77，彳?

162)

9.若對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有|2x—〃|+|3工一2。|之。2,則。的取值范圍為

【答案】_另

【分析】由題意分類寫(xiě)出分段函數(shù)的解析式，求得函數(shù)的最小值，再由/小于等于函數(shù)的最小值可得關(guān)于。的不

等式，求解得結(jié)論.

【詳解】解：^f(x)=\2x-a\+\3x-2a\,由心/⑴恒成立,可得〃,J(x)而“，

Q=0時(shí)顯然成立;

__a

-5x+3a,x,—

2

ala

當(dāng)〃>0時(shí)，/（X）=]—x+a,—<x<—,

23

__la

5x-3a,x...——

3

a>0

故■/1（X）."（爭(zhēng)W，從而■2a，解得。w(0,3；

〃§3

__2a

-5工+3。,毛，

2aa

當(dāng)a<0時(shí)，/(1)=<x—a,—<x<一,

32

uca

5x-3a,x..—

2

a<0

故"X）曲"仔）=4,從而<2a?解得?！闧一?，。).

a--3

“3

綜上，cie[--,—].

故答案為:■

10.已知a>b,關(guān)于X的不等式分2+2X+6N0對(duì)于一切實(shí)數(shù)X恒成立，又存在實(shí)數(shù)修，使得+2/+/,=0

成立，則佇也最小值為.

a-b

【答案】2夜

【分析】由以2+2x+620對(duì)于一切實(shí)數(shù)X恒成立，可得a>0,且ASO；再由玉°eR,使以02+2/+6=0

成立，可得△知,進(jìn)而可得"的值為1,將上叱?可化為《土￡=（&—力）+二一,利用基本不等式可得結(jié)

a-ba-ba-b

果.

【詳解】因?yàn)?2+2x+。NO對(duì)于一切實(shí)數(shù)x恒成立，

所以a>0,且△=4-4"W0,所以1；

再由％eR,使叫/+2/+匕=0成立，

可得△=4-4"20,所以次?41,

所以，出=1,

因?yàn)椤?gt;〃，即。一〃>0,所以a?+.2=（a-b?+2ab+工22拒,

a-ba-ba-b

2

當(dāng)且僅當(dāng)。一》=，即。一6=血時(shí)，等號(hào)成立,

a-b

所以正上的最小值為2

a-b

故答案為：2近

11已知me均為正實(shí)數(shù)，且懸嗎,急；,隗？那么介》（的最大值為

【答案】4

【分析】本題目主要考察不等式的簡(jiǎn)單性質(zhì)，將已知條件進(jìn)行簡(jiǎn)單變形即可

【詳解】因?yàn)椤?c均為正實(shí)數(shù)，所以由題可得：0<3學(xué)43,0<”二“4,0〈以包W5,即

abbeac

212(\1H111

0<—i—43,0<一H—44,0<—I—V5,三式相加得：0<31—I1—<12,所以0<—I1—<4

hababc)b

所以—HH—的最大值為4

abc

故答案為：4

12.已知a,〃,c,d>0,且滿足2a+3b=1,c+d=l,則犯上色的最小值是

abed

【答案】27+12發(fā)

【分析】首先求出4?24,然后可得"當(dāng)=之+/一2之+必，然后求出金+竺的最小值即可.

ababedaabcacac

【詳解】因?yàn)?。+%32中,當(dāng)且僅當(dāng)2”以《即"（/J時(shí)等號(hào)成立'

所以J嬴41，所以可得」~224,

2ab

ll-3abe+d31、324

所以--------二一+——>—+一,

abeddabcdc

,324324(。+")=27+匹+空227+2岳=27+12立

因?yàn)閦+了----1-----

dc

當(dāng)且僅當(dāng)十拜即八號(hào)3=小時(shí)等號(hào)成立'

3ahc+d3324

所以:----------=-4-------->—4-->27+1272,

abeddabcdc

故答案為：27+12J5

二、選擇題（每題4分，共16分）

13.已知Ha+b+c=O,則下列不等式一定成立的是（）

A.ab1>be1B.ab1>b2c

C.(ab-ac)(b-c)>0D.(ac-hc)(a-c)>0

【答案】C

【分析】用不等式的性質(zhì)判斷，不一定成立的不等式可舉反例說(shuō)明.

詳解】由題意可知。>0,c<0.當(dāng)人=0時(shí)，ah2=/?c2=0，ab1=h2c=0，則排除A,B；

因?yàn)椤?gt;(),

所以，

所以必-ac>0.

因?yàn)閆?>c,

所以〃一c〉0,

所以則C一定成立;

因?yàn)閏<0,

所以。c<,

所以。c-Z?cv().

因?yàn)镼>c,

所以Q-C>0，

所以(ac-bc)(a-c)<0,則排除D.

故選：C.

14.若AcB=0,且“={》|》=閣，N={x|x=B},則下列各式中一定成立的是()

A.McN=0B.McN={0}

C.(A/cN)=(Ac3)D.Mp|N=AB

【答案】B

【分析】分析集合〃、N的元素特征，再根據(jù)交集的定義、空集的定義以及集合的包含關(guān)系判斷即可.

【詳解】解：由知="以屋4},即集合M的元素為集合A的所有子集，

N={x|xqB},即集合5的所有子集組成集合N,

因?yàn)锳cB=0,即A與8沒(méi)有相同的元素，但是0qA,0cB,

即0e7V,

所以McN={0},故B正確，A錯(cuò)誤，D錯(cuò)誤；

因?yàn)镸cN={0},Ac3=0,所以(AN)或(A3)工N),故C錯(cuò)誤;

故選：B

15.設(shè)a,b,c,均為正數(shù)，若一元二次方程℃2+法+,=0有實(shí)根，則()

A.max{a,力,c}2；(a+0+c)4

B.max{a,/7,c}2,(Q+0+C)

C.max{a,Z?,c}＜；(a+〃+c)D.max{〃,/7,(?}wg(〃+b+c)

【答案】B

【分析】令判斷A,令0=電2,皿判斷C'D；利用換元法和基本不等式進(jìn)行證明B.

【詳解】對(duì)于A,若令”33=4,c]'則一元二次方程江+法+c=°的△>（）'

133

max[a,b,c}=4>—((24-Z?+c)=一,不成立，所以A不正確;

28

對(duì)于C,若令。=l,Z?=2,c=l,則一元二次方程ox?+區(qū)+c=（）的△=o,

max{a,b,c}=2<；(〃+b+c)=l,不成立，所以C不正確;

對(duì)于D,若令a=l,b=2,c=l,則一元二次方程改2+bx+c=o的A=0,

14

max{(7,/?,c}=2<-(?+Z?+c)=—,不成立，所以D不正確;

對(duì)于B,令a+8+c=t（?>0）.下面分兩種情況證明B選項(xiàng)正確.

4

若人之一r,結(jié)論已成立.

9

若b<-t,則由》2一4。o20，得①

9481

又a+c=f-b>f-&f,BPc>-Z-a,則由①得芻/>ac>a[2,一a],

99981<9）

,54,

即cr—toH---1~>0.

981

14

解得CL<一t或。>一t.

99

4

若a>T,結(jié)論已成立；

9

154

若。<—t,則c>—t—ci>—t.結(jié)論亦成立.

999

44

綜上所述，max{a,Z?,c}NT=—（a+人+c）.

99

故選：B.

16.設(shè).<；,（3/+4一^15》+8一2）20在上恒成立，則匕一a的最大值（）

A.1B,2c.2D.也

333

【答案】A

【分析】根據(jù)不等式的特征，分別設(shè)a<b<0,0<a<b<-,以及。<0<力〈!四種情況，討論不

333

等式恒成立時(shí)，先討論5x+b-2的正負(fù)情況，再討論3Y+。一240恒成立，求a的取值范圍.

3

[詳解]①當(dāng)時(shí)，ge（a,。），（g+a-+=（a<0,不成立，

2?21

②當(dāng)a<h?O時(shí)，5x+8—2<0恒成立，則3f+a--40恒成立，即3儲(chǔ)+。一一<0,解得：一一<a<~,

3333

2

此時(shí)?！５淖畲笾凳?；

191

③當(dāng)時(shí)，5x+匕一2W0恒成立，則3/+?！猐<0,xe(as)恒成立，即力一。的最大值是§；

3/?2+a--<0

123c2

④當(dāng)a<0<8?—時(shí)，5x+/?—2W0恒立，則3/+。一-40恒成立，即{,3b2+a一一40恒

33°22/c3

3a+a——<0

[3

221

成立，3a~+a—<0,解得：—<a<—,此時(shí)b—a最大值是1.

333

綜上可知，6-。的最大值是1.

故選：A

【點(diǎn)睛】本題主要考察了函數(shù)恒成立問(wèn)題，本題的關(guān)鍵是分類的標(biāo)準(zhǔn)，第一種情況比較簡(jiǎn)單，代入特殊值，即可

2

說(shuō)明不等式不成立，后幾種情況，先說(shuō)明5x+Z?—2WO恒成立，再根據(jù)3f+a—-40恒成立，即可求。的取值

3

范圍.

三、解答題(17-19每題8分，20-21每題12分)

17.(1)解不等式:|2x+l|-|x-l|<l

(2)解不等式：(X-1)7X2-X-2>0

【答案】⑴13,：[(2)[2,-w)u{-l}

【分析】(1)按照絕對(duì)值不等式分類討論解不等式即可；

(2)按照不等式分類求解即可.

【詳解】解：(1)當(dāng)時(shí)，|2x+l|—上一1|=一%—2,不等式為一尤一2<1,解得x>—3,所以解集為

-3<x<--；

2

當(dāng)一;<X<1時(shí)，|2x+l|-k-l|=3x,不等式為3x<l,解得x<g,所以解集為一g<x<；；

當(dāng)時(shí)，|2》+1]-k一1|=%+2,不等式為x+2<l,解得％<-1,所以解集為0；

綜上：不等式的解集為：

(2)不等式(x—220,首先滿足一一萬(wàn)—220,所以x4-l或九22

當(dāng)x=-l或x=2時(shí)，不等式成立，符合；

當(dāng)尤<-1或尤>2時(shí)，不等式(％-1)6—%—220成立,則x—1*0,所以尤21,則解集為x>2；

綜上：不等式的解集為：[2,”)u{-1}.

18.設(shè)M={O,1},N={ll—a,lga,20,a},是否存在實(shí)數(shù)小使McN={l}?若存在，求出a的值；若不存

在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】不存在，理由見(jiàn)解析

【分析】根據(jù)〃cN={l},得IGN,討論N中四個(gè)元素分別為1時(shí)，求。的值，判斷此時(shí)集合N的元素是否符

合集合與元素的關(guān)系，即可得結(jié)論.

【詳解】解：M={(),1),N={11—a,lga,2〃,a},若McN={l},所以leN

當(dāng)11一。=1時(shí)，即a=10,所以lga=l=ll-a,2"=1024，a=10,所以不符合集合中元素特點(diǎn)，舍去：

當(dāng)lga=l時(shí)，即。=10,舍去；

當(dāng)2"=1時(shí)，即a=0，此時(shí)Iga無(wú)意義，舍去；

當(dāng)a=l時(shí)，ll-a=10，lga=0,2"=2,此時(shí)N={10,0,2,1},不滿足McN={l},舍去.

故不存在實(shí)數(shù)”，使McN={l}.

19.已知全集。=1<,A={X|X2-3X+2<0),B=[x\x2-2cuc+a<0\,且AB=B,求a的取值范圍.

【答案】(0,1]

【分析】由一元二次方程根的分布求解，

【詳解】由A8=8得BqA,而人=[1,2],

當(dāng)8=0時(shí)，由△=4/-4a<0得0<“<1，

當(dāng)8N0時(shí)，對(duì)于2以+a=0有14%4赴42,

A=4a*-4a>0

l<a<2

則{解得a=l,

1-2a+a20

4-4a+a>0

綜上，a的取值范圍是(0,1].

Oy_1_1

20.(1)已知》=丁7卜€(wěn)[0,4]),求y的最大值.

X+乙

r\i

(2)設(shè)關(guān)于x的方程三三=3。€[—1,1])的兩個(gè)非零實(shí)根為與，々，問(wèn)是否存在如使得不等式

加2+Zm+l2歸一wl對(duì)任意的以及恒成立？若存在，請(qǐng)求出川的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)

明理由.

【答案】(1)1(2)存在，(y,-2]U[2,+a>)

4

【分析】(1)令，=2x+le「,9],所以％=匕，得'=一~~9,結(jié)合基本不等式求解最值即可；

L」2t-2+-

2JCci]

(2)方程：一"=一可化為f一℃一2=0,△=。2+8>0,可知方程V一以一2=0有兩不同的實(shí)根A，x2,

x+2x

再由韋達(dá)定理建立歸-％2卜J(X1+X2)2-4X/2=J/+8得歸一工21最值，若不等式加+加2+1..|玉-百恒成立，

可轉(zhuǎn)化為/+力”―2..0,，目一1,1]都成立，再求g?)=//+.一2最小值即可.

【詳解】解：(1)已知丁=甕!卜€(wěn)[0,4]),令f=2x+le[l,9],所以x=F

t4r4

v=-------------=------------=----------

則一(0丫+2產(chǎn)一2，+9.2+2

I2)t

「19r~99

因?yàn)樗?+彳一222q加彳-2=4,當(dāng)且僅當(dāng)r=：,即f=3時(shí)，等號(hào)成立

4

所以Wax=1=1；

Cel

(2)方程「U=一可化為f-依—2=0,A=a2+8>0

x+2x

.?.f一以一2=0有兩不同的實(shí)根A，4，

則玉+赴=〃，xix2二-2

二1%-工21=J(X]+尤2)2-4%尤2-+8

當(dāng)a=±1時(shí)，

?—=曰莪=3

若不等式加2+3+1習(xí)與一士1恒成立，

所以得加？+?！?123，對(duì)，e[-1,1]都成立〃，+/租―2..0,，€[一1,1],

設(shè)g(/)=/〃24-/772-2

若使小[-1,1]時(shí)g(f)N0都成立,

^(-1)=-m+nr-2>0

"g(l)=加+"/—22。

解得：m>2^rn<-2,

所以機(jī)的取值范圍是(V，-2]U[2,+8).

21.(1)已知集合5=卜|0<%<6/€2},任意從中取出上個(gè)四元子集4A24,均滿足4cA/(lVi<jVk)

的元素個(gè)數(shù)不超過(guò)2個(gè)，求A的最大值.(舉出一個(gè)例子即可，無(wú)需證明)

(2)已知集合5={》|0<》<7,》62},任意從中取出大個(gè)三元子集4,44，均滿足4cA,(l<i</WZ)

的元素個(gè)數(shù)不超過(guò)一個(gè)，求女的最大值.

【答案】(1)3(2)7

【分析】(1)列舉所有的四元子集，根據(jù)acA/lWiv/VZ:)的元素個(gè)數(shù)不超過(guò)2個(gè)即可求解，

(2)列舉所有的三元子集，根據(jù)4仆4/(14，</?攵)的元素個(gè)數(shù)不超過(guò)1個(gè)，可得％=7滿足要求，當(dāng)歸28時(shí)

得到元素個(gè)數(shù)之和超過(guò)21矛盾，即可求解.

【詳解】由題意知：S={1,2,3,45,6},四元子集的個(gè)數(shù)一共有15個(gè)，如下

{1,2,3,4},{1,2,3,5},{1,2,3,6},{1,2,4,5},{1,2,4,6},{1,2,5,6}{1,3,4,5},{1,3,4,6},{1,3,5,6},

{1,4,5,6},{2,3,4,5},{2,3,4,6},{2,3,5,6},{2,4,5,6},{3,4,5,6},

要使任意4cA,(1Wi</W左)的元素個(gè)數(shù)不超過(guò)2個(gè)，則化最大為2,

比如:A={1，2,3,4},4={1,2,5,6}

(2)由題意知：5={1,2,3,4,5,6,7},三元子集的個(gè)數(shù)一共有35個(gè)，如下：

(1,2,3},{1,2,4},{1,2,5},{1,2,6},{1,2,7},{1,3,4},{1,3,5},{1,3,6},{1,3,7b{145},{146},,

{1,4,7},{1,5,6},{1,5,7},{1,6,7},{2,3,4},{2,3,5},{2,3,6},{2,3,7卜{2,4,5},{246},{2,4,7},

{3,4,5},{3,4,6},{3,4,7},{3,5,6},{2,5,6},{2,5,7},{2,6,7},{3,5,7},{3,6,7},{4,5,6),

{4,5,7},{4,6,7},{5,6,7}

對(duì)V〃zeS,則〃z與S中其他元素共構(gòu)成6個(gè)含加的二元數(shù)對(duì)，而在每個(gè)含機(jī)的三元子集4中，恰好含陽(yáng)的有2

個(gè)這種數(shù)對(duì)，

由題意可知：兩個(gè)不同的三元子集中所含”的相應(yīng)數(shù)對(duì)不同，所以加至多屬于三元集組4,4中的3個(gè)，即

加至多出現(xiàn)在3個(gè)三元集中，

由于的元素個(gè)數(shù)不超過(guò)一個(gè)，故在含加的三元數(shù)對(duì)中，={〃?},

由m的任意性，不妨取m=1,包含1的三元集合不妨取4={1,2,3},4=(1,4,5),&=(1,6,7)滿足

4cA={l},i,Je{l,2,3},

去掉1,剩下6個(gè)元素為{2,3,4,5,6,7},分為3組：{2,3},{4,5},{6,7}

若選{2,3}這組中的2,則{4,5}中可選一個(gè)數(shù)字4或5,則滿足44至多一個(gè)元素的三元集合還有

{2,4,6},{2,5,7},{3,4,7},{3,5,6},故玲={1,2,3},4=(1,4,5),A,=(1,6,7)

A={2,4,6},4={2,5,7},4={3,4,7},4={3,5,6},

故A可取7.

由于V〃zeS,所以加至多屬于三元集組A，4&中的3個(gè)，即小至多出現(xiàn)在3個(gè)三元集中，S中一共有7個(gè)

元素，則這7個(gè)元素故總共出現(xiàn)的次數(shù)至多為3x7=21

當(dāng)攵28時(shí)，每個(gè)三元集中的元素出現(xiàn)3次，那么所有的三元集中的元素出現(xiàn)次數(shù)為3Z,則3Z224,這與總次

數(shù)21矛盾，故攵W7,

故化的最大值為7

2021-2022學(xué)年上海中學(xué)高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷

一.填空題（每題3分）

1.不等式（J+i）x<3的解為.

2.用描述法表示所有十進(jìn)制下個(gè)位為9的正整數(shù).

3.設(shè)正實(shí)數(shù)x,y滿足封=20,則x+4y的最小值為.

4.給定正實(shí)數(shù)a,h,化簡(jiǎn)代數(shù)式1?Qb）豆<Vb），=-

5.已知實(shí)數(shù)a,匕滿足log2a=log5〃=M，則/g（Qb）0）=?

6.設(shè)集合A={x|-2WxW5},B={X|2-/MWXW2〃L1}.若AC）B=4.則，”的取值范圍是.

7.已知集合4={（x,>1）/+產(chǎn)=50,x,y是自然數(shù)},則A的真子集共有個(gè).

8.設(shè)集合4=MB={X|312>0,X€R},貝I」ACCRB=.

x-3

9.若不等式a?+笈-7<o的解集為（-8,2）口（7,+8）,則不等式-7/+加+。>0的解集為

10.設(shè)X>1,若log2（log4X）+log4（log!6X）+logl6（log2X）=0,則log2（log!6X）+log16（>Og4X）+log4（log2X）

11.已知a、氏c均為正實(shí)數(shù)，則.3且+”..的最大值為.

a+b+c

12.集合A={1,2,4,…，26194}共有個(gè)數(shù)在十進(jìn)制下的最高位為1.

二、選擇題（每題4分）

13.設(shè)“，b,c,d為實(shí)數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（）

A.若a>b,則/>房B.若a>b>0,c>d>0,則包〉電

cd

C.若則。>廿D.若〃>2>0,則。2>“b>o2

14.已知實(shí)數(shù)a,b,則“史竺?>（）”是"|司>|用”的（）條件

a-b

A.充分不必要B.必要不充分

C.充要D.既不充分也不必要

15.設(shè)。=log35,b=log57,則iog[5^=（）

A2b-l-2aB2b-2-a

1+a1+a

2ab2a

C.2ab-l-2aD.~-

1+a1+a

16.已知實(shí)數(shù)小b,c滿足間+|例+|c|+l〃+〃+c|=6,,則/+廬+攻的最大值為（）

A.3B.9C.18D.27

三、解答題（共48分）

17.若實(shí)數(shù)x,y滿足集合{x,xy,1g（砂）}與集合{0,\x\9y}相等，求x,y的值.

18.(8分)解下列不等式:

(1)?-5x+7<|2x-5|；

(2)A/T幣2t<5.

19.(10分)已知正實(shí)數(shù)x,y滿足xy+2x+y=4,

(1)求孫的最大值，并求取得最大值時(shí)x,y的值；

(2)求x+y的最小值，并求取得最小值時(shí)x,y的值.

20.(10分)某廠家在“雙11”中擬舉辦促銷活動(dòng)，經(jīng)調(diào)查測(cè)算，該產(chǎn)品的年銷售量(即該廠家的年產(chǎn)量)x萬(wàn)件

與年促銷費(fèi)用加萬(wàn)元(山20)滿足關(guān)系式x=3-上(%為常數(shù))，如果不搞促銷活動(dòng)；則該產(chǎn)品的年銷售量是

m+1

1萬(wàn)件.己知生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定年投入為8萬(wàn)元，每生產(chǎn)1萬(wàn)件該產(chǎn)品需要再投入16萬(wàn)元，廠家將每件產(chǎn)品的

售價(jià)定為每件產(chǎn)品年平均成本的1.5倍(產(chǎn)品成本只包括固定投入和再投入兩部分資金).

(1)求k的值，并將該產(chǎn)品的年利潤(rùn)y(萬(wàn)元)表示為年促銷費(fèi)用機(jī)(萬(wàn)元)的函數(shù)；

(2)該廠家年利潤(rùn)的最大值為多少萬(wàn)元？為此需要投入多少萬(wàn)元的年促銷費(fèi)用？

21.(14分)已知實(shí)數(shù)a,b,c,4不全為0,給定函數(shù)f(x)—bx2+cx+d,g(x)—aj^+b^+cx+d.記方程/(x)=

0的解集為A,方程g(/(%))=0的解集為B,若滿足A=B#0,則稱/(x),g(x)為一對(duì)“太極函數(shù)”.問(wèn)：

(1)當(dāng)a=c=d=l,6=0時(shí)，驗(yàn)證/(x),g(x)是否為一對(duì)“太極函數(shù)”；

(2)若/(x),g(x)為一對(duì)，“太極函數(shù)”，求d的值；

(3)已知/(X),g(x)為一對(duì)“太極函數(shù)"，若a=l,c>0,方程f(x)=0存在正根加，求。的取值范圍(用

含有，”的代數(shù)式表示).

2021-2022學(xué)年上海中學(xué)高一上學(xué)期期中參考答案

一.填空題(每題3分)

1.不等式(/+1)彳<3的解為(-8,__3_)

---------------2,■，一

【分析】根據(jù)標(biāo)+|>0,結(jié)合不等式性質(zhì)即可求解.

【解答】解：因?yàn)?+1>0,

所以該不等式解為“<二一，

a+1

故答案為：(-8,

上

a2+11

2.用描述法表示所有十進(jìn)制下個(gè)位為9的正整數(shù)｛巾=10〃-1,(〃€N*)｝.

【分析】十進(jìn)制下個(gè)位為9的正整數(shù)為10〃-1,(nGN*),用描述法寫(xiě)入集合即可.

【解答】解：十進(jìn)制下個(gè)位為9的正整數(shù)為10〃-1,(nGN*),

用描述法表示為｛x|x=10〃-1,(n￡N*)),

故答案為：｛x|x=10〃-1,(nGN*)).

3.設(shè)正實(shí)數(shù)x,y滿足個(gè)=20,則x+4y的最小值為」旄_.

【分析】由基本不等式，即可得解.

【解答】解：因?yàn)閤>0,y>0,

所以x+4y22yx,4y=2Y4X20=8加,當(dāng)且僅當(dāng)x=4y,即x=4遙，y=泥時(shí)，等號(hào)成立,

所以x+4y的最小值為8娓.

故答案為：8A/5-

化簡(jiǎn)代數(shù)式需?Qb,(拆廠

4.給定正實(shí)數(shù)小b,1=一Vab_?

旦旦旦

【分析】由薩=__1_

代入化簡(jiǎn)即可.

a-7>(ab/=a?-b^加一'

呼(ab)V(版)

【解答】解:

_1,且旦

=3?6?,6,3

aabb

=VaeVb=Vab?

故答案為：yjab-

5.已知實(shí)數(shù)。，人滿足Iog24=log5b=?,則/g((ab)V2)=2,

【分析】先把已知的對(duì)數(shù)式化為指數(shù)式，求出〃，人的值，再利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解.

【