考點15 相似三角形的應(yīng)用-2022年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)(浙江專用)(解析版)

考點15相似三角形的應(yīng)用

【命題趨勢】

相似三角形的應(yīng)用在中考中主要考察熱點有：8字圖、A字圖等簡單相似模型。出題

類型可以是選擇填空這類小題，也可以是18~19這類解答題，難度通常不大，問題背景多以

現(xiàn)實中的實物如樹高、樓高、物體尺寸等為背景，提煉出數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而利用(或構(gòu)造)簡

單相似模型求解長度等問題。

【中考考查重點】

一、相似三角形在實際生活中的應(yīng)用

二、位似圖形

三、相似三角形與函數(shù)綜合

考向一：相似三角形在實際生活中的應(yīng)用

相似三角形在實際生活中的應(yīng)用:

(-)建模思想：建立相似三角形的模型

(-)常見題目類型:

1.利用投影、平行線、標(biāo)桿等構(gòu)造相似三角形求解

2.測量底部可以到達(dá)的物體的高度

3.測量底部不可以到達(dá)的物體的高度

4.測量河的寬度

【同步練習(xí)】

1.如圖，小明周末晚上陪父母在馬路上散步，他由燈下A處前進(jìn)4米到達(dá)B處時，測得影

子BC長為1米，已知小明身高1.6米，他若繼續(xù)往前走4米到達(dá)。處，此時影子。E長

B.2米C.3米D.4米

【分析】依據(jù)即可得至l]AP=8,再依據(jù)△EOGs/XEAP,即可得至ljOE

長.

【解答】解:由尸8〃4P可得，△CBFsXCAP,

.CB-BF即」

??一，一■，-■.......,

CAAP1+4AP

解得AP=8,

由GO〃AP可得，△EDGsgAP,

?ED一GDPHED_1.6

EAPA4+4+ED8

解得ED=2,

故選：B.

2.《九章算術(shù)》中記載了一種測量古井水面以上部分深度的方法.如圖所示，在井口A處

立一根垂直于井口的木桿AB,從木桿的頂端B觀察井水水岸D,

視線B。與井口的直徑AC交于點E,如果測得AB=l米，AC=1.6

米，AE=0.4米，那么CZ）為（）

A.2米B.3米

C.1米D.工米

23

【分析】由題意知：AABEs^CDE,得出對應(yīng)邊成比例即可得出CO.

【解答】解：由題意知：AB//CD,

則/BAE=/C,NB=/CDE,

：.△ABEs/sCOE,

?AB=AE

,,CDGE'

-1=0.4

"CD1.6-0.4'

:.CD=3米，

故選:B.

3.在同一時刻兩根木竿在太陽光下的影子如圖所示，其中木竿A8=2,m它的影子BC=1.5〃?,

木竿PQ的影子有一部分落在了墻上，它的影子QN=1.8aMN=0.8,%木竿PQ的長度

為.

P

A-Ml

11

：i：］

_________________

BCQN

【分析】根據(jù)同一時刻物高與影長成正比列式求解即可.

【解答】解：設(shè)木竿P。長為制〃，

依題意得_2_=玄區(qū)里，

1.51.8

解得x=1.6,

答：木竿長度為16”，

故答案為：1.6，”.

4.如圖，有一塊三角形余料，它的邊BC=100，〃，高線A”=80，〃，耍把它加工成矩形零件，

使矩形的一邊EF在8c上，其余兩個頂點。、G分別在邊A3、AC上，設(shè)矩形。EFG的

一邊長DE=xm,矩形DEFG的面積為S.

(1)矩形OEFG的另一邊長OG是多少？(用關(guān)于x的代數(shù)式表示)

(2)求S關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式和自變量x的取值范圍.

(3)當(dāng)x為多少時，矩形。EFG的面積S有最大值？最大值是多少？

【分析】(1)利用矩形的性質(zhì)，DG〃EF,利用同位角相等，證△ADGSAABC,利用相

似三角形的性質(zhì)求解即可；

(2)由⑴可知，DG=A(80-X),然后即可求出用x表示的矩形面積的關(guān)系式.

4

(3)利用配方法求出最大值即可.

【解答】解：(1)?.?四邊形QEFG是矩形，

：.DG//EF,

△ADGs&BC,

.DG=AR

"BCAH'

.DG—80-x

**10080

：.DG=^-(80-x)(m)；

4

(2)矩形面積S=x?旦(80-x)=-且dlOOx(0<x<80)；

44

(3)：S=-5(%2-80x)=-立(x-40)2+2000,

44

：-9V0,

4

...*=40時，S的值最大，最大值為2000.

答：當(dāng)x=40時，S的值最大,最大值為2000"工

考向二：位似圖形

位似圖形滿足的條件：

①所有經(jīng)過對應(yīng)點的直線都相交于同一點(該點叫做位似中心)；

②這個交點到兩個對應(yīng)點的距離之比都相等(這個比值叫做位似比)

【同步練習(xí)】

1.如圖，BC//ED,下列說法不正確的是()

A.AE-.AO是相似比ED

B.點4是兩個三角形的位似中心A

C.8與￡>、C與E是對應(yīng)位似點

D.兩個三角形是位似圖形

【分析】根據(jù)位似變換的概念和性質(zhì)判斷即可.

【解答】解：4、當(dāng)時，AE：AC是相似比，本選項說法不正

確，符合題意；

8、點4是兩個三角形的位似中心，本選項說法正確，不符合題意；

C、8與。、C與E是對應(yīng)位似點，本選項說法正確，不符合題意：

。、兩個三角形是位似圖形，本選項說法正確，不符合題意；

故選：A.

2.如圖，已知△ABC和△?1￡>￡是以點A為位似中心的位似圖形，且△ABC和△4￡>￡的周

長比為2：1,則4ABC和△AOE的位似比是（）

A.I：4B.4：1C.I：2D.2：1

【分析】利用位似的性質(zhì)求解.B

【解答】解：:△ABC和△ADE是以點A為位似中心的位似圖形，

...△ABCsZsAOE,位似比等于相似比,

「△ABC和△AOE的周長比為2：1,

△A8C和△AOK的相似比為2：1,

...△A8C和△AOE的位似比是2：1.

故選：D.

3.如圖，在網(wǎng)格圖中，以0為位似中心，把AABC縮小到原來的L則點A的對應(yīng)點為（）

2

A.。點B.E點C.。點或G點D.。點或F點

【分析】作射線A0,根據(jù)位似變換的概念判斷即可.

【解答】解：作射線AO,

由圖可知，點。和點G都在射線A0上，目毀=工，或=』

0A20A2

則點A的對應(yīng)點為D點或G點，

故選：C.

4.如圖，在7X4方格紙中，點A,B,C都在格點上，用無刻度直尺作圖.

(1)在圖1中的線段AC上找一個點E,使AE=LC；

3

(2)在圖2中作一個格點△CDE,使△CDE與△ABC相似.

【分析】(1)構(gòu)造相似比為上的相似三角形即可解決問題；

3

(2)利用勾股定理的逆定理判斷出乙4CB=90°,從而解決問題.

【解答】解：(1)如圖，構(gòu)造相似比為上的相似三角形，則點E即為所求;

3

(2)如圖,'：BC2=5,AC2=2O,AB2=25,

：.BC2+AC1=AB2,

：.ZACB=90°,AC=2BC,

.,.△CDE即為所求.

5.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，aABC的頂點為

(1,3),C(4,1),若△4B1C1與AABC是以坐標(biāo)原點。為位似中心的位似圖形，點

A、B、C的對應(yīng)點分別為Ai、Bi、Ci,且Ai的坐標(biāo)為(4,2).

(1)請在所給平面直角坐標(biāo)系第一象限內(nèi)畫出△A1B1C1：

(2)分別寫出點81、。的坐標(biāo).

【分析】(1)(2)利用點A和點4的坐標(biāo)特征確定位似比為2,然后把點B、C的橫縱

坐標(biāo)都乘以2得到點以、。的坐標(biāo)，然后描點即可.

【解答】解：⑴如圖,AAIBICI；

(2)點團(tuán)的坐標(biāo)為(2,6),點Ci的坐標(biāo)為(8,2).

123456789

考向三：相似三角形與函數(shù)綜合

【方法提煉】

相似三角形與函數(shù)的綜合重點是利用相似三角形的性質(zhì)，設(shè)置參數(shù)，構(gòu)建對應(yīng)函數(shù)模型,

再利用函數(shù)的性質(zhì)求解后續(xù)問題

【同步練習(xí)】

1.（2021?無棣縣二模）如圖（1）所示，E為矩形ABCD的邊上一點，動點P,。同時

從點8出發(fā)，點P沿折線BE-EQ-CC運動到點C時停止，點Q沿BC運動到點C時

停止，它們運動的速度都是1s?/秒.設(shè)P、。同時出發(fā)「秒時，△8PQ的面積為ye”「.已

知y與f的函數(shù)關(guān)系圖象如圖（2）（曲線OM為拋物線的一部分），則下列結(jié)論：①">=

2

BE=5；?OZABE^③當(dāng)0<W5時，y^.t;④當(dāng)弋學(xué)■秒時，XABEsXQfip：

CS554

其中正確的結(jié)論是（）

D.②④

【分析】據(jù)圖（2）可以判斷三角形的面積變化分為三段，可以判斷出當(dāng)點P到達(dá)點E

時點。到達(dá)點C,從而得到8C、8E的長度，再根據(jù)M、N是從5秒到7秒，可得EO

的長度，然后表示出AE的長度，根據(jù)勾股定理求出AB的長度，然后針對各小題分析解

答即可.

【解答】解：根據(jù)圖（2）可得，當(dāng)點?到達(dá)點E時，點。到達(dá)點C,

???點P、Q的運動的速度都是1c曲秒,

：.BC=BE=5,

.,.AD=BE—5,故①小題正確；

又?從M到N的變化是2,

；.ED=2,

：.AE=AD-ED=5-2=3,

在中，^=VBE2-AE2=V52-32=4,

.,.COSZABE=M=A,故②小題錯誤;

BE5

過點P作P/UBC于點F,

'JAD//BC,

：.NAEB=/PBF,

：.sinZPBF=sinZAEB=^-=^-,

BE5

：.PF=PBsinZPBF=生,

5圖⑴

...當(dāng)0VK5時，y=lBQ-PF=lf-it=lt2,故③小題正確;

2255

當(dāng)工=22秒時，點尸在co上，此時，PD=21-BE-ED=21-5-2=A,

4444

PQ=CD-PD=4-」=耳

44

??AB=4BQ=§=4

AE3PQJ5.3

4

?AB=BQ

"AE而’

又?.?NA=/Q=90°,

：./\ABE^^QBP,故④小題正確.

綜上所述，正確的有①③④.

故選：C.

2.（2020?達(dá)州）如圖，在梯形A8CZ）中，AB//CD,ZB=90°,AB=6cm,CD=2cm.P

為線段BC上的一動點，且和B、C不重合，連接以，過點P作PEL鞏交射線C￡）于點

E.聰聰根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗，對這個問題進(jìn)行了研究：

（1）通過推理，他發(fā)現(xiàn)△ABPS^PCE,請你幫他完成證明.

（2）利用幾何畫板，他改變BC的長度，運動點P,得到不同位置時，CE、BP的長度

的對應(yīng)值：

當(dāng)3c=6c機(jī)時，得表1：

BP/cm…12345…

CE/cm…0.831.331.501.330.83

當(dāng)BC=San時，得表2：

BP/cm???1234567???

CE/cm…1.172.002.502.672.502.001.17???

這說明，點P在線段BC上運動時，要保證點E總在線段CO上，8c的長度應(yīng)有一定的

限制.

①填空：根據(jù)函數(shù)的定義，我們可以確定，在8尸和CE的長度這兩個變量中，的

長度為自變量，

的長度為因變量；

②設(shè)BC=mc/n,當(dāng)點P在線段BC上運動時，點E總在線段CD上，求，”的取值范圍.

【分析】（1）根據(jù)兩角對應(yīng)相等兩三角形相似證明即可.

（2）①根據(jù)函數(shù)的定義判斷即可.

②設(shè)BP=xcm,CE=ycm.利用相似三角形的性質(zhì)構(gòu)建二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)

求出y的最大值即可解決問題.

【解答】（1）證明：

.,.ZB+ZC=180°,

VZB=90°,

/.ZB=ZC=90°,

'：AP±PE,

；.NAPE=90°,

ZAPB+ZEPC=90°,

；NEPC+/PEC=90°,

，ZAPB=ZPEC,

：.△ABPs/\PCE.

（2）解：①根據(jù)函數(shù)的定義，我們可以確定，在8。和CE的長度這兩個變量中，BP的

長度為自變量，EC的長度為因變量，

故答案為：BP,EC.

②設(shè)BP=xcm,CE=ycm.

?/MABPs/\pcE,

?.?—A^B―-.—BP^―,

PCCE

6=x

m-xy

2

*.y=-Ld+Lnxn-A(x-Aw)2+^—,

666224

6

'.x=L"時，y有最大值處一，

224

.?點E在線段CO上，CD=2cm,

2

?.JL-W2,

24

?""W4禽，

?.0<〃忘4心

,盡跟蹤訓(xùn)練

1.如圖，小明探究課本“綜合與實踐”板塊“制作視力表”的相關(guān)內(nèi)容：當(dāng)測試距離為5〃?

時，標(biāo)準(zhǔn)視力表中最大的“E”字高度為72.7皿*,當(dāng)測試距離為3膽時，最大的“E”

字高度為（）

A.121.17/%〃?B.43.62/w??C.29.08加加D.4.36mm

【分析】直接利用平行線分線段成比例定理列比例式，代入可得結(jié)論.

【解答】解：由題意得：C8//DF,

DF_AD

BC"AB'二一

?AD=3iTifA3=5〃z,BC'=>12.7mm..

DF二3

72.7"5

???0/=43.62（mm）,H---------------j-m-----------

故選：B.

2.如圖，點4,B都在格點上，若8C=Z/亙，則AC的長為（）

c.2AD.35/13

【分析】根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)可以得到A8的長，然后由圖可知AC=A8-8C,

然后代入數(shù)據(jù)計算即可.

【解答】解：作于點。，作于點E,如右圖所示,

則CD//AE,

:.△BDCsXBEA,

?.--B-C-=-B-D-=-2,

BABE6

2713_

?.?---3--_2-^―,

BA6

解得84=2/正，

：.AC=BA-BC=2V13-2V13_=W13_,

33

故選：B.

3.國旗法規(guī)定：所有國旗均為相似矩形，在下列四面國旗中，其中只有一面不符合標(biāo)準(zhǔn),

這面國旗是（）

64cm[

96cm

【分析】根據(jù)已知條件分別求出矩形的長與寬的比，即可得到結(jié)論.

【解答】解：小儂=2,

2403

"喘

96_2

———3

1443

"ri

..160=96=64=120

,24014496160

二8選項不符合標(biāo)準(zhǔn),

故選：B.

4.如圖，/XABC與△4‘B'C'位似，位似中心為點。，鼠‘°上,△ABC的面積為9,

AC3

24

【分析】根據(jù)位似圖形的概念得到△ABCs^A'B'C,根據(jù)相似三角形的面積之比

等于相似比的平方解答.

【解答】解：根據(jù)題意知，△ABCs/vl'B'C,

..A'C'2

'""AC—3’

.,.△ABC的面積：B'C面積=9：4.

又；ZVIBC的面積為9,

.'.△A'B'C面積為4.

故選：C.

5.如圖，△ABC和△△'B'C是以點O為位似中心的位似圖形，若OA：A4'=2：5,

則△ABC與△?!'B1C'的周長比為（）

A/

A.2：3B.4：3C.2：9D.4：9

【分析】根據(jù)題意求出040A'=2：3,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出AC：A'C',根

據(jù)相似三角形的性質(zhì)計算即可.

【解答】解：VOA：A4'=2：5,

：.OA；OA'=2：3,

「△ABC和△4'B'C'是以點。為位似中心的位似圖形,

J.AC//A'C,△ABCs"B1C,

:.△AOCsRA'0C,

：.AC：A'C=04：OA'=2：3,

...△ABC與△4'B1C'的周長比為2：3,

故選：A.

6.小明的身高為1.6m,某一時刻他在陽光下的影子長為2〃?，與他鄰近的一棵樹的影長為

10/M,則這棵樹的高為m.

【分析】在同一時刻物高和影長成正比，即在同一時刻的兩個問題物體，影子，經(jīng)過物

體頂部的太陽光線三者構(gòu)成的兩個直角三角形相似.

【解答】解：設(shè)這棵樹的高度為必，，根據(jù)相同時刻的物高與影長成比例，

則可列比例為：工出工，

210

解得：x=8.

故答案為：8.

7.據(jù)《墨經(jīng)》記載，在兩千多年前，我國學(xué)者墨子和他的學(xué)生做了“小孔成像”實驗，闡

釋了光的直線傳播原理.小孔成像的示意圖如圖所示，光線經(jīng)過小孔。，物體48在幕布

上形成倒立的實像C。（點A、8的對應(yīng)點分別是C、。）.若物體AB的高為6c/n,小孔

O到物體和實像的水平距離BE、CE分別為Scm.6cm,則實像CD的高度為cm.

A-

【分析】根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到答案.

【解答】解：?.?A8〃C￡>,

???CDCE,

ABBE

???C一'D_6,

68

；.CO=4.5,

答：實像CO的高度為4.5cm

故答案為：4.5.

8.小麗想利用所學(xué)知識測量旗桿A8的高度，如圖，小麗在自家窗邊看見旗桿和住宅樓之

間有一棵大樹OE，小麗通過調(diào)整自己的位置，發(fā)現(xiàn)半蹲于窗邊，眼睛位于C處時，恰好

看到旗桿頂端A、大樹頂端。在一條直線上，小麗用測距儀測得眼睛到大樹和旗桿的水

平距離CH、CG分別為7米、28米，眼睛到地面的距離CP為3.5米，已知大樹OE的

高度為7米，CG〃BF交AB于點、G,產(chǎn)于點B,尸于點E,交CG于點兒

CF工BF于點F.求旗桿AB的高度.

【分析】根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)得出比例式求解即可.

【解答】解：由題意知8G=，E=C尸=3.5米，

：.DH=DE-CF=1-3.5=3.5（米）,

'：AB±BF,DE1.BF,

J.AG//DH,

:.△CDRsXCAG,

.PH.CH=7

"AG"CG28,

3.5_7

AG28

."G=14米，

."8=AG+GB=14+3.5=17.5（米），

旗桿A8的高度為17.5米.

9.如圖，/XABC是一塊銳角三角形余料，邊BC=120mw,高4。=80如〃，要把它加工成

矩形零件PQMN,使一邊在BC上，其余兩個頂點分別在邊48、4c上.

（1）求證：△APQS^ABC；

（2）若這個矩形的邊PN：PQ=\：2,則這個矩形的長、寬各是多少？

【分析】（1）根據(jù)矩形的對邊平行得到BC//PQ,利用“平行于三角形的一邊的直線截

其他兩邊或其他兩邊的延長線，得到的三角形與原三角形相似”判定即可.

（2）設(shè)寬為xwwn,則長為2xmm,同（1）列出比例關(guān)系求解即可.

【解答】解：（1）???四邊形尸NQM為矩形，

：.MN//PQ,

即PQ//BC,

：.△APQS"8C；

(2)設(shè)邊寬為xmm,則長為Ixtnm,

???四邊形PNM。為矩形，

J.PQ//BC,

a

：ADA.BCt

：.PQ±ADf

■:PN：PQ=\t2,

工尸。為長，PN為寬,

■:PQ//BC,

：.△APQs/MBC,

.PQ=AH

**BCAD?

由題意知P2=2JC/W/H,AD=S0mtnfBC=12Gmm,PN=xmm,

?2x=80-x

*12080

解得2x=480.

77

即長為螫如〃，寬為2處”〃?.

77

答：矩形的長儂7"〃?，寬為2處“江

77

10.(2022?禪城區(qū)校級模擬)如圖①，四邊形ABCQ是矩形，AB=1,8c=2,點E是線段

BC上一動點(不與8、C兩點重合)，點尸是線段54延長線的一動點，連接DE,EF,

DF,EF交A。于點G,設(shè)BE=x,AF=y,已知y與x之間的函數(shù)關(guān)系式如圖②所示，

(1)圖②中y與x的函數(shù)關(guān)系式為；

(2)求證：△CZJES/VLDF；

(3)當(dāng)aOEG是等腰三角形時，求x的值.

【分析】(1)利用待定系數(shù)法可得y與x的函數(shù)表達(dá)式.

(2)利用兩邊成比例夾角相等證明△COEsAADF即可.

(3)分三種情況：①若DE=DG,則/。GE=NDEG,②若OE=EG,如圖①，作E”

//CD,交于從③若DG=EG,則/GOE=/GE￡>,分別列方程計算可得結(jié)論.

【解答】(1)解：設(shè)丁=依+〃，

由圖象得：當(dāng)x=l時，y=2,當(dāng)x=0時，y=4,

代入得：(k+b=2,

Ib=4

fk=-2

lb=4'

；.)，=-2x+4(0<x<2).

故答案為：y=-2r+4(0<x<2).

(2)證明：,:BE=x,BC=2

：.CE=2-x,

?CE=2-x=1CD=1

"AF4-2x2'AD2"

?.?一CE一_'CD',

AFAD

?.?四邊形A8c。是矩形，

.?./C=NDAF=90°,

：./\CDE^^ADF,

：.ZADF=ZCDE.

(3)解：假設(shè)存在x的值，使得AOEG是等腰三角形,

①若DE=DG,則NOGE=NOEG,

???四邊形A8C。是矩形，

：.AI)//BC,ZB=90°,

：.ZDGE=ZGEB,

:.NDEG=NBEG,

在△￡>￡；/和△8￡7='中，

zZFDE=ZB

<ZDEF=ZBEF-

EF=EF

:.4DEF公ABEF(A45),

:?DE=BE=x,CE=2-x,

在RtZ\CDE中，由勾股定理得：1+(2-x)2=/,

x=5

4

②若DE=EG,如圖①，作EH〃C￡),交A力于H,

（圖①）

,:AD〃BC,EH//CD,

???四邊形CDHE是平行四邊形，

AZC=90°,

，四邊形CDHE是矩形，

：?EH=CD=1,DH=CE=2-x9EH1.DG,

：?HG=DH=2-x,

>\AG=2x-2,

,:EH〃CD,DC"AB,

：.EH//AF,

:?/\EHGS/\FAG,

??EH=GH

**AFAG，

??1=2-x.

4-2x2x-2

**X|~~——/J.，X2—————（舍），

22

經(jīng)檢驗X=2近■是分式方程的解，

2

?.丫=5f而

2

③若DG=EG,則NG￡）E=NGE￡>,

'JAD//BC,

：.ZGDE=ZDEC,

:.NGED=NDEC,

ZC^ZEDF^90°,

/.△CDE^ADFE,

.CE=DE

"CDDF"

■:△CDEsXADF,

.DE=CD=1

"DFAD~2

?.?-CE_-1?

CD2

.?人r=3—,?

2

綜上，x=S或互運或旦.

422

感真題再現(xiàn)

1.（2021?浙江紹興）如圖，樹AB在路燈。的照射下形成投影AC,已知路燈高PO=5，w,

樹影AC=3m,樹48與路燈O的水平距離AP=4.5〃?，則樹的高度AB長是（）

C.^-mD?%

2

【分析】利用相似三角形的性質(zhì)求解即可.

【解答】解：

.,.△CABsZXCPO,

?ABAC

"po'PC"

?AB=3

?-T=3+4.5

/.AB=2(m),

故選：A.

2.（2021?浙江嘉興）如圖，在直角坐標(biāo)系中，△ABC與△OQE是位似圖形，則它們位似

中心的坐標(biāo)是

【分析】根據(jù)圖示，對應(yīng)點所在的直線都經(jīng)過同一點，該點就是位似中心.

【解答】解：如圖,

點G（4,2）即為所求的位似中心.

故答案是：（4,2）.

3.（2021?浙江溫州）如圖，圖形甲與圖形乙是位似圖形，O是位似中心，位似比為2：3,

點A,8的對應(yīng)點分別為點A',B'.若AB=6,則A'B'的長為（）

甲乙

A.8B.9C.10D.15

【分析】根據(jù)位似圖形的概念列出比例式，代入計算即可.

【解答】解：..?圖形甲與圖形乙是位似圖形，位似比為2：3,AB=6,

?AB—2mn6—2

NB'3NB'3

解得，A'B'=9,

故選：B.

4.（2021?浙江金華）如圖1是一種利用鏡面反射，放大微小變化的裝置.木條BC上的點

P處安裝一平面鏡，BC與刻度尺邊MN的交點為D,從A點發(fā)出的光束經(jīng)平面鏡P反射

后，在MN上形成一個光點E.已知MNLBC,AB=6.5,BP=4,PO=8.

（1）的長為.

（2）將木條3c繞點8按順時針方向旋轉(zhuǎn)一定角度得到8C'（如圖2）,點尸的對應(yīng)點

為P',BC'與MN的交點、為D',從A點發(fā)出的光束經(jīng)平面鏡P'反射后，在MN上

的光點為E'.若。。=5,則EE'的長為

圖1圖2

【分析】（1）由題意可得，AABPs^EDP,則鯉_=迎，進(jìn)而可得出￡>E的長；

DEPD

（2）過點E'作/E'FG=/E'D'F,過點E'作E'G1BC'于點G,易得AABP'

sWFP',由此可得羋_="二，在Rt/XBDD'中，由勾股定理可求出BD'的

E'FP'F

長，可求出NBD'。的正切值，設(shè)PF的長，分別表示E'F和E'D'及FG和GQ'

的長，再根據(jù)=13,可建立等式，可得結(jié)論.

【解答】解：（1）如圖，由題意可得，NAPB=NEPD,NB=NEDP=90：

:.△ABPS/XEOP,

?AB=BP

"DEPD'

"：AB=6.5,BP=4,PD=8,

.6.5=4

""DF石

；.￡)E=[3；

故答案為：13.

(2)如圖2,過點E'作/E'FD'=NE'D'F,過點E'作E'G±

8C'于點G,

：.E'F=E'D',FG=GD',

■:AB//MN,

：.ZABD'+ZE'D'8=180°,

；.NABD'+NE'尸G=180°,圖2

■:NE'FB+ZE'FG=180°,

:./ABP'=/E'FP',

又NAP'B=NE'P'F,

:.△ABP'S/\E'FP',

.AB=BP，即6.5=4

FP'F、，E'FP'F

設(shè)PF=4m,則E'F=6.5m,

：.E'D'=6.5"],

在中，NBDD'=90°,DD'=5,BD^BP+PD^U,

由勾股定理可得，BD'=13,

：.cosZBD'D=-S_,

13

在RtZXE'GD'中，cosNBD'￡>=GD：=且，

E'D’13

：.GD'=2.5m,

：.FG=GD'=2.5m,

?；BP'+P1F+FG+GD'=13,

.,.4+4，〃+2.5，"+2.5"?=13,解得m=I,

：.E'D'=6.5,

：.EE'=DE+DD'-D'E'=13+5-6.5=11.5.

故答案為：11.5.

5.（2021?浙江湖州）已知在平面直角坐標(biāo)系x。），中，點A是反比例函數(shù)），=工（x>0）圖

X

象上的一個動點，連結(jié)AO,A。的延長線交反比例函數(shù)>=區(qū)（％>0,xVO）的圖象于點

x

①若％=1,求證：四邊形AEF。是平行四邊形；

②連結(jié)BE,若k=4,求△BOE的面積.

(2)如圖2,過點E作EP〃AB,交反比例函數(shù)y=K(k>0,x<0)的圖象于點P,連

x

結(jié)OP.試探究：對于確定的實數(shù)k,動點A在運動過程中，△POE的面積是否會發(fā)生變

化？請說明理由.

【分析】(1)①設(shè)點A的坐標(biāo)為(a,—),則當(dāng)點k=1時，點B的坐標(biāo)為(-a,--),

aa

得出AE=OF,AE//OF,由平行四邊形的判定可得出結(jié)論;

②過點8作B。，），軸于點。，如圖1,證明△AEOS^B。。，由相似三角形的性質(zhì)得出

也些=盧）2,則可得出答案；

S/kBDOB0

（2）過點尸作軸于點H,PE與x軸交于點G,設(shè)點A的坐標(biāo)為（a,1），點P

a

的坐標(biāo)為（b,K）,則4E=a,OE=_1,PH=-X,證明△4E0S/\GBP,由相似三角

bab

形的性質(zhì)得出嶇型，解方程得出旦=-1-正位,由三角形面積公式可得出答案.

GHPH2

【解答】（1）①證明：設(shè)點A的坐標(biāo)為（a,

」，

a

：.AE=OF=a,

；AE_Ly軸，

：.AE//OF,

...四邊形是平行四邊形：

②解：過點B作BDLy軸于點D,如圖1,

軸，

.,.AE//BD,

：.△AEOS^BDO,圖1

S

.AAEOZA0.2J

^ABDOBO

2

.,.當(dāng)％=4時，2_=（空1）2,

即也。，

BO2

SABOE=2SAAOE=1；

（2）不改變.

理由如下：

過點P作PHJ_x軸于點"，PE與x軸交于點G,

設(shè)點A的坐標(biāo)為（小工），點P的坐標(biāo)為（b,

a

則AE=a,OE=A,PH=-K,

ab

；四邊形AEGO是平行四邊形，

圖2

：.ZEAO=ZEGOfAE=OG,

■:/EGO=/PGH,

：.ZEAO=ZPGH,

又?：/PHG=/AEO,

，AAEOs4GHP,

???一A一E—二一EO"-?

GHPH

VGH=OH-0G=-b-a,

?aa

??—）

-b-a上

（_L）2上_仁0,

aa

解得且=-l±s+4k,

a2

?:a,b異號,k>Of

-b-l-Vl+4k

?---=-----------,

a2

S^POE=—XOEX（-/?）=—x—x（-匕）=-5義_L=,1YkL組,

22a2a4

???對于確定的實數(shù)上動點A在運動過程中，^POE的面積不會發(fā)生變化.

模擬檢測,

1.（2021?溫州模擬）如圖，在正六邊形桌面中心正上方有一盞吊燈，在燈光下，桌面在水

平地面的投影是一個面積為空運，“2的正六邊形，己知桌子的高度為0.75⑶桌面邊長

8

為1m,則吊燈距地面的高度為（）

A.2.25根B.2.3mC.2.35mD.2.4機(jī)

【分析】首先根據(jù)正六邊形的面積可得正六邊形的邊長，進(jìn)而可通過構(gòu)造相似三角形,

由相似三角形性質(zhì)求出.

【解答】解：設(shè)正六邊形的邊長是X，”，

則工?6=.27V^.,

228

解得x=1.5,

如圖，

依題意知DF=FE=0.5米，F(xiàn)G=0.75米，CG=0.75米,

'：DE//BC,

：.^FAE^/\GAC,

?AFEF

"AG"GC'

即AF=05.

AF+0.750.75

解得：A尸=1.5,

；.AG=1.5+0.75=2.25(m),

答：吊燈距地面的高度為2.25〃?.

故選：A.

2.（2021?臨海市一模）如圖，為測量樓高AB,在適當(dāng)位置豎立一根高2機(jī)的標(biāo)桿MN,并

在同一時刻分別測得其落在地面上的影長AC=20mMP=2.5m,則樓高AB為（）

PMCA

A.15mB.16mC.18〃zD.20m

【分析】在同一時刻物高和影長成正比，即在同一時刻的兩個物體，影子，經(jīng)過物體頂

部的太陽光線三者構(gòu)成的兩個直角三角形相似.根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊的比相等，即

可求解.

?.標(biāo)桿的高_(dá)樓高

【解答】解:

.標(biāo)桿的影長韋影長

喉辱

樓高=16米.

故選:8.

3.（2022?溫州模擬）如圖，在4X7的方格中，點A,B,C,。在格點上，線段C。是由線

段AB位似放大得到，則它們的位似中心是（)

c

A.點PiB.點P2C.點、P3D.

【分析】延長。、DB交于點Pi,根據(jù)位似中心的概念得到答案.

【解答】解：延長C4、DB交于點Pi,

則點P\為位似中心，

故選：A.

4.（2021?嘉興二模）如圖，在直角坐標(biāo)系中，△ABC的頂點B的坐標(biāo)為（-1,1）,現(xiàn)以

坐標(biāo)原點O為位似中心，作與AABC的位似比為2的位似圖形△AB'C,則的

3

坐標(biāo)為（）

A.（上，2）B.（2,上）

、33'飛3J

C苜,9）或6,4）D.（看等）或營,￡）

【分析】根據(jù)以原點為位似中心的對應(yīng)點的坐標(biāo)關(guān)系，把B點的橫縱坐標(biāo)都乘以2或-1

33

得到⑶的坐標(biāo).

【解答】解：???位似中心為坐標(biāo)原點，作與△ABC的位似比為2的位似圖形△48C,

3

而B的坐標(biāo)為（-1,1）,

.??5的坐標(biāo)為（-2,2）或（2,-2）.

3333

故選：C.

5.（2021?嘉善縣一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)為（1,0）,點。的坐標(biāo)

為（3,0）,若△4BC與△OEF是位似圖形，則空■的值是（）

DF

2334

【分析】根據(jù)位似圖形的概念得到AC〃。凡

【解答】解：..?點A的坐標(biāo)為（1,0）,點。的坐標(biāo)為（3,0）,

，OA=1,OD=3,即怨=?1,

OD3

V/\ABC與△OEF是位似圖形，

：.AC//DF,

：./\OACS/\ODF,

???A..C.-O—A-