高中數(shù)學(xué)選修2-2 第二章 導(dǎo)數(shù)新(一)

高中數(shù)學(xué)選修2-2第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用(1)

【基礎(chǔ)知識】

1、平均變化率：包="*)—"百)

2、瞬時速度、瞬時變化率

Axx2-%)

/'(%)=lim/⑴―/(/)

3、導(dǎo)數(shù)概念：f'(x0)=lim/^o+^-ZUo)

-AY―力x-x0

4、導(dǎo)數(shù)的幾何意義：5、幾個常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

(1)若y(x)=c(c為常數(shù)),則<(")=—(2)若/(x)=x,貝妤'(x)=

(3)若/。)=%2,貝1夕(x尸(4)若f(x)=x3,貝獷'(x)=

(5)若/(x)=L貝/(%)=(6)若f(x)=JL貝爐'(x)=

X

6、基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

(1)若/(x)=c(c為常數(shù))，貝,'(x)=—(2)若/(幻=￡S貝獷'(x)=

(3)若/(x)=cosx,則/'(x)=(4)若/(%)=sinx,則/''(x)=

(5)若/(x)=ax,則/'(x)=(6)若/(x)=e，，貝獷'(x)=

⑺若/(x)=log〃x,貝獷'(x)=(8)若/(x)=Inx,貝如'(x)=

7、導(dǎo)數(shù)運算法則

⑴[7(x)土g(x)]'=(2)/(x)

g(x)

⑷[c"(x)]'=

8、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)(理科)：

9、函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)

(1)在區(qū)間工￡(a,b),若f(x)>0,貝獷(x)在(a,h)上單調(diào)遞增函數(shù);

在區(qū)間(a,b),若/1'(%)<0,貝獷(x)在(a,b)上單調(diào)遞減函數(shù);

(2)在區(qū)間(a⑼,荀(x)在(a,b)上單調(diào)遞增,W)>0；

在區(qū)間xe(a,〃),茍(x)在(〃力)上單調(diào)遞減貝爐(x)<0；

（3）對勾函數(shù)/.（幻=》+￡的單調(diào)性

X

①c>0,單調(diào)遞增區(qū)間（Y0,-五）,（而+00）,遞減區(qū)間卜五,0）,（0,7?）

②C<0,單調(diào)遞增區(qū)間（-OO,0）,（0,4-00）

10、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值（r（x0）=0,X。不一定是極值點）

11、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值

12、生活中的優(yōu)化問題13、定積分的概念

14、微積分基本定理15、定積分的簡單應(yīng)用

【基本題型】

一、導(dǎo)數(shù)的物理應(yīng)用

1、某物體作運動方程為5（。=-4/+16/的直線運動（s的單位為m"的單位為s）,求其在1s末瞬時速度。

練習(xí)：某物體作運動方程為s的直線運動（s的單位為m/的單位為s）,求t=2秒時的瞬時速度。

t

2、（2011湖北理10）放射性元素由于不斷有原子放射出微粒子而變成其它元素，其含量不斷減少，這種現(xiàn)象

成為衰變，假設(shè)在放射性同位素錨137的衰變過程中，其含量M（單位：太貝克）與時間t（單位：年）滿

/

足函數(shù)關(guān)系：=其中“°為，=0時鈉137的含量，已知，=30時，艷137的含量的變化

率是一101n2（太貝克/年），則M（60）=（）太貝克

A.5B.751n2c.1501n2D.150

3、（課本）水以恒速注入下面四種底面積相同的容器中，請分別找出與各個容器對應(yīng)的水的高度人與時間，的

函數(shù)關(guān)系圖像

練習(xí)1：（課本）如圖，直線/和圓C,當(dāng)直線/從人開始在平面上繞點0按逆時針方向勻速轉(zhuǎn)動（轉(zhuǎn)動角度不

超過90°)時，它掃過的圓內(nèi)陰影部分的面積S是時間f的函數(shù)，這個函數(shù)的圖像大致是()

練習(xí)2：函數(shù)/(幻的圖象如圖所示，下列數(shù)值排序正確的是()

A.0<//(2)</(3)</(3)-/(2)B.0<//(3)</(3)-/(2)</(2)

C.0</(3)</(2)</(3)-/(2)D.0</(3)-/(2)</(2)</(3)

二、有關(guān)導(dǎo)數(shù)的運算

1、導(dǎo)數(shù)概念的應(yīng)用

(1)若limJ支卡爾)二/g=1,求/'(%)

—03Ax

練習(xí)：已知lim-八2)二/仁+At)=4,求廣⑵

Ar->02Ax

(2)設(shè)/'(%)=2,求lim/叱―)二”紀(jì)

-2Ax

練習(xí)：設(shè)/'(%)=-3,求lim?"弘二")二‘支"3")

力->0h

⑶已知了⑴」,求|"(2+常寸(2)

X-M

練習(xí)：已知函數(shù)/(X)=2InX+X,則lim八H八,二〃)的值為

2、求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

(1)/(X)=-?-4X2+3X-6(2)十，(3)/(%)=-

32x

(4)①丁=sin“2x+g②/(%)=xJl+Y

3、(1)若/(x)=x+,,則/'(1)=(2)若/(x)=log式x—1),9'(2)

X

練習(xí)：(2014下期末)f(x)=2A+sinx-cosx,=()

A.2B.In2+1C.In2—1D.ln2+2

(3)(2013江西理)設(shè)函數(shù)/(x)在(0,+8)內(nèi)可導(dǎo)，且/■(e*)=x+e*,則八1)=

(4)(2010江西文)若函數(shù)/0)=0?+法2+。滿足/<1)=2,則/(—1)=

4、⑴設(shè)函數(shù)%0=渥+2,若/'(一1)=3,求。

練習(xí)：(課本)已知函數(shù)/(幻=13-8%+缶2,尸(%0)=4,求“

(2)已知函數(shù)/(x)=Vax2-1,荀'⑴=2,求a

練習(xí)：已知函數(shù).f(x)=W，月/'(a)=，,求a

(3)已知函數(shù)/(x)=xlnx,K/*(x0)=2,^<x0

einr

(4)已知y=------------e(一肛乃)，當(dāng)y'=2時，求x

l+cosx

iih

練習(xí)1：已知/(x)=2X—[Sinx--“cosx的圖像在點A(毛,為)處的切線斜率為1,則

tanx0=_____.

(5)(2010福建文)/(x)=gx3-x2+ar+b的圖像在P(0,7(0))處的切線方程為y=3x—2,求a,江

練習(xí)1：(2011全國I理)己知函數(shù)/(尤)=色吧+2,曲線y=/(x)在點(1,/(1))處的切線方程

x+lX

x+2y-3=0,求的值。

練習(xí)2：(2012遼寧理)設(shè)/(x)=ln(x+l)+>/771+依+仇。/€凡。的為常數(shù))，曲線y=/(x)與直線

y=gx在(0,0)點相切，求a,。的值。

練習(xí)3：【2012安徽理】設(shè)/(x)=a/+」一+僅a>0),(I)求/(x)在[0,+oo)上的最小值；(H)設(shè)曲線

ae

3

y=f(x)在點(2,7(2))的切線方程為y=一％；求〃涉的值。

121

(①當(dāng)a21時，uH-----F。，當(dāng)Ovavl時，2；(2)=—r,b=-—

ae22

⑹(2013全國文)已知曲線丁=/+加+1在點(t,々+2)處切線的斜率為8,a=()

(A)9(B)6(C)-9(D)-6

練習(xí)1：(2010全國卷2)若yuV+ar+Z?在點(0,加處的切線方程是x-y+l=。，求a,b

練習(xí)2：(2013江西文)若>=嚴(yán)+1(。￡氏)在點(1,2)處的切線經(jīng)過坐標(biāo)原點，則a二

(7)①當(dāng)常數(shù)k為何值時，直線y=x才能與函數(shù)/(x)=d+A相切？并求出切點。

練習(xí)：函數(shù)/(x)=a?+i的圖像與直線y=x相切，則()

(A)1(B)—(C)—(D)—

248

②已知直線y=Ax是曲線y=lnx的切線，求上的值。

練習(xí)1：(2009全國卷I理)已知直線y=x+l與曲線y=ln(x+a)相切，求。的值

練習(xí)2：【2014新課標(biāo)卷II理】設(shè)曲線y=—ln(x+l)在點(0,0)處的切線方程為y=2x,則天()

A.0B.1C.2D、3

5、(1)已知/(*)=/+2/'(—g)x,那'(一：)

練習(xí)：/(x)=24'(D+lnx,則/'(1)=

(2)已知/(X)=2X3+3；O)，W(0)

練習(xí)：/(幻=爐+20求人0)

(3)(2009湖北理)己知函數(shù)〃x)=sinx+cosx,則f(~)=____

練習(xí):已知函數(shù)/*)=rg)sinx+cosx,貝

(4)(2012新課標(biāo))/(x)滿足/(幻=/?'⑴ei-/(0)x+gx2,求/(x)的解析式及單調(diào)區(qū)間

Inx+k

練習(xí)：【2012山東理22】已知函數(shù)/(x)=-------(人為常數(shù))，曲線y=/(x)在點(1,/⑴)處的切線與x

e

軸平行.(I)求女的值；(II)求/(幻的單調(diào)區(qū)間

6、⑴求函數(shù)/(x)=x(x—1)。一2)…(x-100)在x=0處的導(dǎo)數(shù)值

練習(xí)：(2010江西理)等比數(shù)列｛%｝中，4=2,4=4,/(x)=x(x—q)(x—4)…(x—/)，求/(°)

⑵設(shè)/)(x)=sinx"(x)=14'(x)/(x)=3'(x)....，九Q)=/：(%),求力。”⑺的值

cinX

練習(xí)：【2014江蘇】已知函數(shù)4(x)=——(x>0),設(shè)力(x)為E-(x)的導(dǎo)數(shù)，〃EN*.

x

求2尼卜如閨的值

7、(1)對正整數(shù)n,設(shè)曲線y=x"(l-x)在x=2處的切線與y軸交點的縱坐標(biāo)為為,求數(shù)列4的

〃+1

前〃項的和S.。

練習(xí)1：(2009陜西理)設(shè)曲線y=x"i(〃eN*)在點(1,1)處的切線與x軸的交點的橫坐標(biāo)為x“，令

a?=lgxn,則q+4+…+%）的值為

練習(xí)2：(2009陜西文)設(shè)曲線y=x"i(〃eN*)在點(1,1)處的切線與x軸的交點的橫坐標(biāo)為x“，則

X,-X2...X“的值為()

11n

(A)-(B)—(0—(D)1

nn+1〃+1

(2)函數(shù)/(￡)=/+法的圖像在點處的切線的斜率為3,設(shè)數(shù)列，的前〃項和為

求$2012

練習(xí)：設(shè)/(x)=x"'+ox的導(dǎo)數(shù)沏1'(x)=2x+l,求數(shù)歹。一-—，的前〃項和

"(〃)J

三、有關(guān)切線問題

(-)有關(guān)切線的斜率及傾斜角問題

1、(1)(2009北京理)設(shè)/(x)是偶函數(shù)，若曲線y=/(x)在點(1,/(1))處的切線的斜率為1,則該曲線在

(一l,/(—1))處的切線的斜率為

練習(xí)：已知函數(shù)/")的圖像在點M(l,/(1))處的切線方程是2x—3y+1=0,則/(1)+/(1)=.

(2)(2009天津文)設(shè)函數(shù)/(幻=一31+/+(/-1)羽(]€尺)其中桃〉0當(dāng)?7=1時，曲線

y=/(x)在點(1,/⑴)處的切線斜率

練習(xí)：(2009天津理)已知函數(shù)/(幻=(一+6一2a2+3a)/(xeR),其中aeR,當(dāng)a=O時，求曲線

y=/(x)在點(1,/⑴)處的切線的斜率

(3)求曲線y=sinx在點(乙一)處的切線的斜率。

62

練習(xí)1：求曲線y=sir?x在點(乙一)處的切線的斜率。

64

sinx1

練習(xí)2：（2011湖南文）求曲線y=——......在點M（生TC,0）處的切線的斜率

sinx+cosx24

cinx

練習(xí)3：（課本）求曲線y=——在點/（肛0）處的切線的方程。

x

（4）（2011江西）曲線y=e'在點J（0,1）處的切線斜率為（）.

A、1B、2C.eD.-

e

練習(xí)：【2014全國理】曲線y=在點（1,1）處切線的斜率等于（）

A.2eB.eC、2D、1

2、求曲線y=2在點處切線的傾斜角。

17

練習(xí)：求曲線y=一2在點（-1,--）處切線的傾斜角。

（二）求切線的方程

1、（2011全國I文）求曲線y=/—2x+l在點（1,0）處的切線方程

練習(xí)：曲線y=/一2無+3在點P（—1,6）的切線方程為

2、（1）（2012廣東理）曲線y=d-x+3在點（1,3）處的切線方程為

練習(xí)：（2011重慶文）求曲線y=+3/在點（1,2）處的切線方程

（2）（2011天津文）已知函數(shù)/0）=4^+3a2-6a+1-1,；16/?,其中/€/?.當(dāng)r=l時，求曲線y=/（x）

在點（0,/（0））處的切線方程。

練習(xí)1：（2013浙江理）已知aeR,函數(shù)f（x）"Tf+3a『3a+3求曲線尸f（x）在點（1,廣⑴）處的切線方程

練習(xí)2：（2013浙江文）已知aeR,函數(shù)/（x）=2/-3（a+l）/+6℃，若a=l,求曲線y=/（x）在點

（2,7（2））處的切線方程

X

3、（2009遼寧理）求曲線y=——在點處的切線方程

x-2

Y

練習(xí)1：（2009全國卷n理）求曲線y=在點（1,1）處的切線方程

Y

練習(xí)2：（2010新課標(biāo)）求曲線y=——在點處的切線方程

x+2

4、（1）求曲線y=lnx在點P（e,l）的切線方程。

練習(xí)1：【2012新課標(biāo)文】曲線y=x（31nx+l）在點（1,1）處的切線方程為—

練習(xí)2：（課本）求曲線y=xlnx的圖像在點x=l處的切線方程。

（2）（2010北京理）已知函數(shù)/（x）=ln（l+x）-x+gx2（人》0）。（【）當(dāng)女=2時，求曲線y=/（x）在點

（1J⑴）處的切線方程

練習(xí)：已知/（x）=x2-（2a+l）x+alnx.⑴當(dāng)a=2時，求曲線y=/（x）在點（I"⑴）處的切線方程

5、（2009寧夏海南文）曲線）=庇,+2》+1在點（0,1）處的切線方程

練習(xí)1：（2009北京理）設(shè)函數(shù)/（x）=x*（左HO）,求y=/（x）在點（0"（0））處的切線方程

練習(xí)2：（2011江西文）求曲線y=，在點4（0,1）處的切線方程

練習(xí)3：（課本）求曲線y=l-e'的圖像與x軸交點處的切線方程為

練習(xí)4：【2014廣東理】曲線ynef+2在點（0,3）處的切線方程為

練習(xí)5：【2014廣東文】曲線y=-5e'+3在點（0,—2）處的切線方程為.

6、已知函數(shù)、=",（I）求曲線在x=e處的切線方程；（II）求曲線過原點的切線方程.

練習(xí)：已知/（＞）=丁的切線的斜率等于1,則這樣的切線有幾條？

（三）切線斜率為零的問題

1、【2012福建理】己知/（幻=y+歐2_叫。€/?.若y=/（x）在點（1J⑴）處的切線平行于x軸，求a

及函數(shù)y=/（x）的單調(diào)區(qū)間.

練習(xí)1：（2013廣東理）若曲線y="+lnx在點。㈤處的切線平行于x軸，則后=

1nx+L

練習(xí)2：【2012山東理22】已知函數(shù)/*）=（人為常數(shù)），曲線y=f（x）在點（1,7■⑴）處的切線與x

e'

軸平行.（I）求女的值

練習(xí)3：（2013福建文）已知函數(shù)/（x）=x—1+巴（aeR）若曲線.y=/（x）在點（1J⑴）處的切線平行于

e

X軸，求”的值。

練習(xí)4：（2013廣東文）若曲線,=依2一Ex在點（1,。）處的切線平行于x軸，則。=.

練習(xí)5：【2014新課標(biāo)卷I文】設(shè)函數(shù)〃月=411+—5上爐—笈（“聲1）,曲線y=/（x）在點（1,7⑴）處

的切線斜率為0,求b

2、（2009北京文）設(shè)函數(shù)/（外=/一36+伙。工0）.（I）若曲線y=/（x）在點（2,/（2））處與直線）=8

相切，求a力的值；（11）求函數(shù)/（x）的單調(diào)區(qū)間與極值點。

練習(xí)1：(2010湖北文)設(shè)函數(shù)/(幻=；/—]/+法+。，其中。＞(),曲線y=/(x)在點P(O,7(O))處

的切線方程為y=l，確定。,c的值。

練習(xí)2：(2008寧夏湖南)設(shè)函數(shù)/(x)=改+」一(a,。eZ),曲線y=/(x)在點(2,f(2))的切線為y=3.

x+b

求y=/(X)的解析式。

練習(xí)3：(2013北京文)已知函數(shù)/(x)=x2+xsinx+cosx,若曲線y=.f(x)在點(a,7(a))處與直線y-b

相切，求。與。的值。

13

342012重慶理】設(shè)/(x)=alnx+—+—x+1,其中aeR,曲線y=/(x)在點(1,/⑴)處的切線垂直于y

2x2

軸.(I)求a的值；(H)求函數(shù)/(x)的極值.

練習(xí)1：(2009福建文)若曲線/(為二口^+心工存在垂直于丁軸的切線，求實數(shù)。的取值范圍

練習(xí)2：(2009福建理)若曲線/(x)=a?+lnx存在垂直于y軸的切線，求實數(shù)。取值范圍

(四)有關(guān)坐標(biāo)問題

rr

1、求曲線/(幻=/上的切線傾斜角為一的切點坐標(biāo)。

4

4

練習(xí)：在曲線y上找一點P,使得曲線在該點處的切線的傾斜角為135°,求P點坐標(biāo)

x

2、【2012遼寧文】已知P,。為拋物線/=2y上兩點，點P,。的橫坐標(biāo)分別為4,一2,過戶，。分別作

拋物線的切線，兩切線交于點A,則點A的縱坐標(biāo)為()

(A)1(B)3(C)-4(D)-8

練習(xí)：(2009江蘇卷)在平面直角坐標(biāo)系雙少中，點P在曲線C:y=/—10x+3上，且在第二象限內(nèi)，己

知曲線C在點P處的切線的斜率為2,求點P的坐標(biāo)。

3、(2011山東文4)曲線y=V+ll在點P(1,12)處的切線與y軸交點的縱坐標(biāo)是

練習(xí)：對正整數(shù)n,設(shè)曲線y=x"(l-x)在x=2處的切線與y軸交點的縱坐標(biāo)為a“，求數(shù)列|七人勺

前〃項的和S“。

(五)有關(guān)面積問題

1、求曲線y=^x3+尤在點(1,1)處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積。

練習(xí)：求曲線y=V在點（1』）處的切線與x軸，直線x=2所圍成的三角形的面積。

2、已知曲線丁=!與y=*2,求在它們交點處的兩條切線與x軸圍成的三角形面積。

X

練習(xí)：已知直線4為曲線y=/+x-2在點（1,0）處的切線，乙為該曲線的另一條切線，

且（I）求直線4的方程；（II）求由直線卜4和%軸所圍成的三角形的面積。

3、求曲線y=e，在點（2*2）處的切線與坐標(biāo)軸所圍的三角形的面積。yt

練習(xí)：（2011全國II理）求^="2*+1在點（0,2）

處的切線與直線y=0和y=x圍成的三角形的面積。

4、求證：曲線y=L上任何一點處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是常數(shù).

X

b

練習(xí)：設(shè)函數(shù)/（幻=以一一，曲線y=/（x）在點（2,/（2））處的切線方程為7x—4y—12=0.①求

x

y=/（x）的解析式；②證明：曲線y=/（x）上任一點處的切線與直線尤=0和直線y=x所圍成的

三角形面積為定值，并求此定值.

」（

5、（2010全國卷2理）若y=上萬在點處的切線與兩個坐標(biāo)圍成的三角形的面積為18,則。=（）

\7

（A）64（B）32（C）16（D）8

練習(xí)：y=d在點（3。3）,3工0）處的切線與*軸，直線無=。所圍成的三角形的面積為工,求”的值。

6

6、【2012陜西理】設(shè)函數(shù)/（幻=|坨”'A>°,。是由x軸和曲線y=/（x）及該曲線在點（1,0）處的切

-2x-l,x<0

線所圍成的封閉區(qū)域，則z=x-2y在。上的最大值為.

（六）導(dǎo)數(shù)中平行線的應(yīng)用

1、（1）［2014江西理】若曲線y=e-*上點P處的切線平行于直線2x+y+l=0,則點P的坐標(biāo)是一

練習(xí)：【2014江西文】若y=xlnx上點尸處的切線平行于直線2x—y+l=0,則點尸的坐標(biāo)是—.

（2）求與直線2x—y+4=0平行的拋物線/（x）=%2的切線方程。

練習(xí)：曲線y=d+九一2在點尸處的切線平行于直線y=4x-l,則此切線方程為_

A、y=4x^y=4x-4B.y=4x-4C.y=4xD.y=4x+4

(3)已知P(—1,1),Q(2,4)是曲線/(x)=V上的兩點，求與直線尸。平行的曲線的切線方程。

練習(xí)：(2011四川文理)在拋物線丁=丁-"-5(?！?)上取橫坐標(biāo)為王=-4,々=2的兩點，過這兩點

引一條割線，有平行于該割線的一條直線同時與拋物線和圓+5V=36相切，則拋物線頂點的坐

標(biāo)為_____

A、(-2,-9)B、(0,-5)C.(2,-9)D.(1,-6)

(4)設(shè)曲線y=在點(1,加處的切線與直線2x-y-6=0平行，求a的值。

練習(xí)：【2014江蘇】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若曲線y=a?+2(a,6為常數(shù))過點尸(2,-5),且該曲線在

x

點尸處的切線與直線7x+2y+3=0平行，則a+6的值是.

2、求曲線y=ln(2x—1)上的點到直線2x—y+3=0的最短距離為()

A、2舊B、A/5C.375D.0

練習(xí)1：曲線y=e'上的點到直線x-y=0的最短距離為

練習(xí)2：【2012浙江理】定義曲線(：上的點到直線/的距離的最小值稱為曲線C到直線/的距離，若G：了=/+。

到直線l:y=x的距離等于曲線C2:V+(y+4尸=2到直線/:y=x的距離，求實數(shù)a

(七)導(dǎo)數(shù)中的直線垂直問題

1、求垂直于直線2x—6y+l=0且與曲線y=V+3f-5相切的直線方程。

練習(xí)：(2012臨沂一輪)若曲線y=lnx的一條切線與直線y=—x垂直，求該切線的方程。

2、已知曲線/(x)=x2—1在點(%,/(玉)))處的切線垂直于直線2x+6y+3=0,求小的值

X+]

練習(xí)1：設(shè)曲線y=——在點(3,2)處的切線與直線以+丁+1=0垂直，則。二()

x-l

A>2B、-2C.--D.一

22

JT

練習(xí)2：(2014臨沂一輪理)若曲線f(x)=xsin%+l在x=5處的切線與直線依+2y+l=0互相垂直，則

(ax2—,)5展開式中X的系數(shù)為()

X

(A)40(B)-10(C)10(D)-40

3、已知/(x)=lnx—f+bx+s,若/\x)在(2,y)處的切線與直線2x+y+2=0垂直，求函數(shù)

/(x)在區(qū)間[1,3]上的最小值。

練習(xí)：(2009重慶理)設(shè)函數(shù)/(x)=ox?+必+女(女>0)在x=0處取得極值，且曲線y=/(x)在點(1,/(1))

處的切線垂直于直線x+2y+l=0.求的值

4、若曲線y=/—2x+2和曲線,=一/+6+1在交點處的切線互相垂直，求。的值。

練習(xí)：若曲線/(x)=4和曲線g(x)=x“在點尸(1,1)處的切線互相垂直，則。的值為()

A、2B、-2C.--D.-

22

(A)導(dǎo)數(shù)中的范圍問題

1、(1)求曲線/甕)=/+3/+6》一10的切線中，斜率最小的切線方程。

(2)某廠將原油精煉為汽油，需對原油進(jìn)行冷卻和加熱，如果第x小時，原油溫度(單位：。C)為

/(X)=1?-X2+8(0<X<5),那么，原油溫度的瞬時變化率的最小值是()

7t71八5)3)

A.—B.—C.—D.—

4664

2、(1)設(shè)/(x)=^—/+](。<》<2)的圖像在任意點處切線的傾斜角為々，則a的最小值是()

20

(A)8(B)-1(C)—(D)-8

3

2

練習(xí)1：設(shè)點P在曲線/(力=丁-x+—上移動，點P處切線的傾斜角為a,則a的取值范圍為

4

練習(xí)2：(2010遼寧文理)點P在曲線y=——上，。為曲線在點P處的切線的傾斜角，則a范圍是()

e+1

(A)[0,￡)⑻弓，彳)?(彳芻(D)評㈤

442244

(2)設(shè)P為曲線C：y=/+2x+3上的點，且曲線C在點P處的切線的傾斜角的取值范圍為0,-，求P

_4_

點橫坐標(biāo)的取值范圍。

練習(xí)：若曲線C：丁=丁-20?+2初上任意點處的切線的傾斜角都是銳角，求實數(shù)。的范圍。

3、設(shè)/(x)=/—3/—9X+1,解不等式/'(x)<0

練習(xí)：(2011江西理)設(shè)/。)=/一28一4111無，則/'(x)>0的解集為()

(A)(0,+oo)(B)(-1,0)u(2,+oo)(C)(2,+oo)(D)(-1,0)

4、設(shè)函數(shù)/'(%)=乎/+百；s"+tan。,其中夕60,1|,則導(dǎo)數(shù)八1)的取值范圍是()

A.[-2,2]B.[V2,V3]C.[V3,2]D.卜力]

練習(xí)：設(shè)函數(shù)/(X)=/(XT)a>0)在點尸(看,%)處的切線的斜率為左，當(dāng)演)€(0,1]時，恒成

立，則f的最大值為()(A)正(B)2(C)—(D)1

22

(九)曲線中含有兩條切線的綜合問題

NO15

1、(1)(2009江西文)若存在過點(1,0)的直線與曲線y=V和>=以2+一]—9都相切，貝以二()

4

A、一1或-三25B、—1或巴21C.—7人或25D.--7

6444644

練習(xí)：(2011四川文理)在拋物線、=/一0：1一53/0)上取橫坐標(biāo)為玉=-4,x=2的兩點，過這兩點

引一條割線，有平行于該割線的一條直線同時與拋物線和圓5/+5：/=36相切，則拋物線頂點的坐標(biāo)

為A、(-2,-9)B、(0,-5)C.(2,-9)D.(1,-6)

2、(2011湖北文)設(shè)函數(shù)/(月=/+262+以+。赭(%)=/一31+2,其中xeR,a/為常數(shù)，已知曲線

),=/(x)與y=g(x)在點(2,0)處有相同的切線/，求a/的值，并求切線/的方程。

練習(xí)1：(2010陜西文)已知函數(shù)/(x)=6，g(x)="lnx,aeR。若曲線y=/(x)與曲線y=g(x)相交,

且在交點處有相同的切線，求。的值及該切線的方程

3

練習(xí)2：(2012北京理)已知函數(shù)，f(x)=ax2+i(a>o),g(x)=x+bx,若曲線y=/(x)和y=g(x)在

它們的交點(l,c)處具有公共切線，求。乃的值。

練習(xí)3：(2013新課標(biāo)I理)已知函數(shù)/(幻=/+公+人，g(x)="(%+"),若曲線y=/(x)和曲線

y=g(x)都過點P(0,2),且在點P處有相同的切線y=4x+2求a,b,c,d的值。

四、函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)

1,(課本)討論函數(shù)/。)=/一2》—3的單調(diào)性

2、(1)①(課本)函數(shù)/(x)=V一f一x的單調(diào)增區(qū)間為_

練習(xí)：(課本)求函數(shù)/(x)=3x—V的單調(diào)遞增區(qū)間。

②求函數(shù)/(X)=2X3-9X2+12X+1的單調(diào)遞減區(qū)間。

練習(xí)：(2009江蘇卷)函數(shù)/(幻=1-15/一33x+6的單調(diào)減區(qū)間

(2)(2009陜西文)已知函數(shù)/(幻=1一36-1,。70,求/(無)的單調(diào)區(qū)間

練習(xí)1：【2012全國文】已知函數(shù)/(為=；/+/+依，討論/(x)的單調(diào)性

練習(xí)2：(2012浙江文)awR,f(x)=4x3-2ajc+a,求.f(x)的單調(diào)區(qū)間

練習(xí)3：【2014廣東文】已知函數(shù)/(x)=gd+/+av+l(aeR).求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間

1,

3、(1)[2012遼寧文8]函數(shù))=]/一Ex的單調(diào)遞減區(qū)間為()

(A)(-1,1](B)(0,1](C)[1,+8)(D)(0,+8)

練習(xí)1：討論函數(shù)y=xlnx在區(qū)間(0,1)上的單調(diào)性。

練習(xí)2：(2013重慶理)設(shè)“x)=a(x—5)2+61nx,其中aeR,曲線y=/(x)在點處的切線與

y軸相交于點(0,6)。(I)確定。的值；(II)求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間與極值。

Inx

練習(xí)3：【2014湖北理】乃為圓周率，e=2.71828…為自然對數(shù)的底數(shù).(I)求/(x)=」的單調(diào)區(qū)間；

x

(II)求03,3',/,乃',3",乃3這6個數(shù)中的最大數(shù)與最小數(shù).

(2)①已知函數(shù)/(x)=g尤2一加]nx+?！ㄒ籰)x,meR,(1)當(dāng)〃?=2時，求函數(shù)/(x)的最小值；

(II)當(dāng)加W0時，討論函數(shù)/(無)的單調(diào)性。

練習(xí)：已知/(》)=/—(2a+l)x+alnx.(I)當(dāng)a=2時，求曲線y=/(x)在點(I"⑴)處的切線方程；

(II)求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間：(IH)若對任意ae(—3,—2)及xe[l,3]時，恒有加a—成立，求實

數(shù)，”的取值范圍.

②(2011廣東文)設(shè)0＜。＜1,討論函數(shù)/(x)=lnx+a(l-a)x2—a(l-a)x的單調(diào)性

練習(xí)1：(2011天津理)已知a〉0,f(x)=\nx-ax2,(/(x)的圖像連續(xù)不斷)求f(x)的單調(diào)區(qū)間

練習(xí)2：設(shè)函數(shù)/(x)=g,n/+(4+a)x2,g(x)=aln(x-l),其中a0O.(I)若函數(shù)y=g(x)圖象恒過

定點P,點P關(guān)于直線x=]的對稱點在y=/(x)的圖象上，求m的值；(H)當(dāng)a=8時，設(shè)

尸(x)=/'(x)+g(x+1)，討論F(x)的單調(diào)性

練習(xí)3：求函數(shù)f(x)=alnx--x\(aGR)的單調(diào)區(qū)間。

③(2010山東文)已知函數(shù)/(x)=lnx-or+^——-1(?G/?)(I)當(dāng)。二一1時，求曲線y=/(x)在點

x

(2,7(2))處的切線方程；(II)當(dāng)時，討論/(x)單調(diào)性.

練習(xí)1：(2013山東文)已知函數(shù)/3)=0?+,―1nx(a，wR),(I)設(shè)aNO,求/(x)的單調(diào)區(qū)間；(II)

設(shè)a>0,且對于任意x>0,/(x)>/(I)?試比較ln“與—28的大小

練習(xí)2：(2011湖南文22)設(shè)函數(shù)/(x)=x—qlnx(aeR)討論/(x)的單調(diào)性。

X

(3)(2011浙江理)已知函數(shù)/(x)=2aln(l+x)—%(。>0).求/(幻的單調(diào)區(qū)間和極值

練習(xí)1：(2010重慶理)已知函數(shù)〃x)=上；+ln(x+l),其中實數(shù)a*l。①若a=-2,求曲線y=在

點(0,/(0))處的切線方程；②若/(x)在x=l處取得極值，試討論/(x)的單調(diào)性。

2x

練習(xí)2：【2014湖南理】已知常數(shù)a>0,〃x)=ln(l+ox)----------.討論/(x)在區(qū)間(0,+8)上的單調(diào)性

x+2

HY

練習(xí)3：【2014全國理】函數(shù)/(x)=ln(x+l)----------3>1).討論外幻的單調(diào)性

x+a

練習(xí)4：【2014山東文】設(shè)函數(shù)/Xx)=alnx+3,其中。為常數(shù).(I)若a=0,求曲線y=/(x)在

x+1

點(1,/(1))處的切線方程；(II)討論函數(shù)/(X)的單調(diào)性.

(4)求函數(shù)^=后(一一8一2)的遞減區(qū)間。

練習(xí)：求函數(shù)y=log1(Y-x—2)的遞減區(qū)間。

2

4、(1)(2009年廣東文)函數(shù)/(x)=(x—3)e'的單調(diào)遞增區(qū)間

練習(xí)1：(2010天津理)己知函數(shù)/(x)=xe7(xeR),求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間和極值

練習(xí)2：(2010新課標(biāo))設(shè)函數(shù)f(x)=e'—1-x—a?,(I)若。=(),求/(x)的單調(diào)區(qū)間

練習(xí)3：(2013湖南文)已知/,(%)=一求/(x)的單調(diào)區(qū)間。

1+廠

練習(xí)3：(課本)設(shè)函數(shù)/(尤)=e*—x,求/(x)的單調(diào)區(qū)間

練習(xí)4：(2013廣東理)設(shè)/(%)=(%-1)了一區(qū)2(其中左€1<)求當(dāng)，=1時,求函數(shù)“X)的單調(diào)區(qū)間。

(2)(2011北京文)已知/(x)=(x—%)",(I)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(H)求/(x)在［0,1］上的最小