教資-初中及高中數(shù)學模擬卷及解析

教資-數(shù)學學科知識與能力模擬卷（初中）

注意事項：

1.考試時間為120分鐘,滿分為150分。

2.請按規(guī)定在答題卡上填涂、作答，在試卷上作答無效，不予評分。

一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題列出的

四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答

案字母按要求涂黑。錯選、多選或未選均無分）

1.下列函數(shù)中，與函數(shù)產唬定義域相同的函數(shù)為（）。

cInx

A.y=—!—B.y=___

sinxx

、sinx

C.y=xexD.y=____

x

2.設函數(shù)/（x）在x=0處連續(xù)，且lim=1，則（）°

h2

A./（o）=OK/-（0）=0^S

B.40）=1且?guī)祝?）=0存在

C."0）=0且八（0）=。存在

D./（0）=l且，+（0）=0存在

3.曲線x=f，y=",Z=/在點（1,I,1）處的法平面方程是（）。

Y—1V—1Z—1

A.---=---=---B.x+2y+3z-6=0

113

cx-\y-1z-1--

C.---—]-——j―D.x+y+z-3=0

4.關于二次曲面f+/=z2＞下列說法正確的是（）。

A.它是一個錐面B.它是一個球面

C.它是一個鞍面D.它是一個柱面

C，C，C為任意常數(shù),

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則下列向量組線性相關的是（）。

6.設X?B（”,p），若D（X）=4,E（X）=12，則"的值為（）。

A.3B.18

C.12D.15

7.下列說法中不正確的是（）。

A.高中數(shù)學課程分為必修課程'選擇性必修課程和選修課程

B.高中數(shù)學課程內容突出函數(shù)、幾何與代數(shù)'概率與統(tǒng)計、數(shù)學建?；顒优c數(shù)學探

究活動四條主線

C.高中數(shù)學課程內容不包括數(shù)學文化

D.高中數(shù)學課程是義務教育階段后普通高級中學的主要課程，具有基礎性、選擇性、

發(fā)展性

8.（）是中國古典數(shù)學最重要的著作，分為方田、粟米、衰分、少廣、商功、均

輸、盈不足'方程及勾股九章。

A.《九章算術》B.《孫子算經》

C.《數(shù)書九章》D.《代數(shù)學》

二、簡答題（本大題共5小題，每小題7分，共35分）

9.已知矩陣A=11-1，，求矩陣A的特征值和特征向量。

?1J

[x+y+b=0,在平面〃上，而平面”與曲面f+y2=z相切于

10.設直線L：

\x+ay-z=3

點（1,-2,5），則求a，b的值。

2

11.甲、乙、丙三車間加工同一產品，加工量分別占總量的25%、35%、40%＞次品

率分別為0.03、0.02、0.01?，F(xiàn)從所有產品中取一件，試求：

(1)該產品是次品的概率；

(2)若檢查結果顯示該產品是次品，則該產品是乙車間生產的概率是多少？

12.數(shù)感是指在數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關系和運算結果估計方面的感悟，簡單闡述如何培養(yǎng)

數(shù)感。

13.舉例說明數(shù)形結合思想、化歸思想在中學數(shù)學中的重要作用。

3

三、解答題（本大題共1小題，10分）

14.設由拋物線>=才和直線X=。，x=2及y=0所圍成的平面圖形為。，由拋物線

y=才和x=。及y=0所圍成的平面圖形為4'其中,0<a<2>如圖所示。

(1)試求功繞X軸旋轉而成的旋轉體體積匕，。2繞y軸旋轉而成的旋轉體體積匕；

（6分）

（2）問當a為何值時，V.+彩取得最大值？試求此最大值。（4分）

四、論述題（本大題共1小題，15分）

15.高中數(shù)學課程應該返璞歸真，努力揭示數(shù)學概念、法則、結論的發(fā)展過程的本質。

如何理解數(shù)學形式化？如何適度形式化？并舉例說明幾種不同的形式化數(shù)學內容的教學

方式。

4

五、案例分析題（本大題共1小題，20分）

閱讀案例，并回答問題。

16.案例：

面對課堂上出現(xiàn)的各種各樣的意外生成，教師如何正確應對，如何讓這些生成為我

們高效的課堂教學服務，如何把自己課前的預設和課堂上的生成有效融合，從而實現(xiàn)教

學效果的最大化，這是教師時刻面臨的問題。

在一次聽課中有下面的一個教學片段：教師在介紹完中位線的概念后，布置了一個

操作探究活動。

師：大家把手中的三角形紙片沿其一條中位線剪開，并用剪得的紙片拼出一個四邊

形，由這個活動你可以得到哪些和中位線有關的結論？學生正準備動手操作，一名學生

舉起了手。

生：我不剪紙片也知道結論。

師：你知道什么結論？

生：三角形的中位線平行于第三邊并等于第三邊的一半。

教師沒有想到會出現(xiàn)這么個“程咬金”，臉冷了下來：“你怎么知道的？”

生：我昨天預習了，書上這么說的。

師：就你聰明，坐下！

后面的教學是在沉悶的氣氛中進行的，學生操作完成后再也不敢舉手發(fā)言了。

問題：

（1）結合上面這位教師的教學過程，簡要做出評析；（10分）

（2）結合你的教學經歷，說明如何處理好課堂上的意外生成。（10分）

5

六、教學設計題（本大題共1小題，30分）

17.《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》在課程內容中要求：創(chuàng)新意識的培養(yǎng)是

現(xiàn)代數(shù)學教育的根本任務，應體現(xiàn)在數(shù)學教與學的過程之中。學生自己發(fā)現(xiàn)問題和提出問

題是創(chuàng)新的基礎，獨立思考、學會思考是創(chuàng)新的核心，歸納概括得到猜想和規(guī)律并加以

驗證是創(chuàng)新的重要方法。

素材：如圖所示，將正方形紙ABCD折疊，使點B落在CD邊上的一點E（不與點

C、。重合），之后得到折痕MN。

A

B

（1）根據點E在CQ上的位置變化，設置適當條件編制一道數(shù)學題目（不要求解答）；

（10分）

（2）依據上述材料和要求，試以提出問題為主線進行“探究式”解題教學，撰寫一

份培養(yǎng)學生觀察與發(fā)現(xiàn)、歸納與推理能力的教學過程設計（只要求寫出教學過程，突出

探究的方法和問題即可）。（20分）

6

教資-數(shù)學學科知識與能力模擬卷(高中)

注意事項：

1.考試時間為120分鐘，滿分為150分。

2.請按規(guī)定在答題卡上填涂、作答，在試卷上作答無效，不予評分。

一、單項選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題列出的

四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答

案字母按要求涂黑。錯選、多選或未選均無分)

1.設/(x)連續(xù)，F(xiàn)(x)=J。'f/山，則F'(x)等于()。

A./(x4))B.?/(x4)

C.2V(f)D.2#(?)

2.設囚，a2,的是三維向量-則對任意常數(shù)A'I>向量組%+kava,+偵線性無關

是向量組四,電，內線性無關的()。

A.必要非充分條件B.充分非必要條件

C.充分必要條件D.既非充分也非必要條件

3.設直線/：廠+3了+22+1=0，平面〃為4x_2y+z_2=0，則(

2x-y-10z+3=0,

A./平行于〃B」在〃上

C./垂直于Z7D」與〃斜交

4.設級數(shù)方(-1)"〃2"收斂，則級數(shù)￡>()。

nn

n=l〃=l

A.絕對收斂B.條件收斂

C.發(fā)散D.斂散性不確定

5.設4階行列式氏4，且。的每列元素之和均為2>則Azi+42+A23+A24=()。

A.1B.2

C.3D.4

6.設隨機變量X?N(0，1)，X的分布函數(shù)為9(X)，則尸(|X|>2)的值為()。

A.2[\-(p(2)]B.2(p(2)-1

C.2-9(2)D.1-2夕(2)

7.以“萬物皆數(shù)”為信條的古希臘數(shù)學學派是()。

A.愛奧尼亞學派B.伊利亞學派

1

C.詭辯學派D.畢達哥拉斯學派

8-數(shù)學學科核心素養(yǎng)包括：數(shù)學抽象、邏輯推理、（）"直觀想象、數(shù)學運算和

數(shù)據分析。

A.數(shù)學分析B.數(shù)學建模

C.空間想象D.數(shù)形結合

二、簡答題（本大題共5小題，每小題7分，共35分）

9.應用拉格朗日中值定理證明下列不等式："二入In'L<，其中0<“。

nmm

10.設曲線何（X）=V在點（1，1）處的切線交X軸于點（x，0），求lim/（x.）。

11.某市A，B兩所中學的學生組隊參加辯論賽，A中學推薦了3名男生、2名女生，

B中學推薦了3名男生、4名女生，兩校所推薦的學生一起參加集訓，由于集訓后隊員水

平相當，從參加集訓的男生中隨機抽取3人、女生中隨機抽取3人組成代表隊。

（1）求A中學至少有1名學生入選代表隊的概率；

（2）某場比賽前，從代表隊的6名隊員中隨機抽取4人參賽，求參賽女生人數(shù)不少

于2人的概率。

12.如何理解數(shù)列在中學數(shù)學中的作用？

13.簡述談話法的含義，并舉例說明。

三、解答題（本大題共1小題，10分）

14.已知矩陣A1］。

（1）求矩陣A的全部特征值和特征向量；（6分）

（2）A是否相似于對角陣？若是，寫出與其相似的對角陣，并求一可逆矩陣T＞使

KAT為5［挽陣。（4分）

3

四、論述題（本大題共1小題，15分）

?5.試論述如何在教材編寫過程中做到素材的選取應體現(xiàn)數(shù)學的本質、聯(lián)系實際、適

應學生的特點。

五、案例分析題（本大題共1小題，20分）

閱讀案例，并回答問題。

16.某教師的例題解題課如下：

環(huán)節(jié)一:教師給出例題，已知橢圓C的左焦點F（-l,0）,且點P‘l,''在橢圓C上,

IJ

求橢圓C的標準方程，接著教師請學生做大約30秒，教師站在講臺上觀察。

環(huán)節(jié)二：教師請學生甲站起來說解題過程，同時板書學生甲的過程，并及時矯正如

圖一。

環(huán)節(jié)三：教師請學生乙站起來說解題過程，同時板書學生乙的過程，并及時矯正如

圖二。

x2y2Io

解：設橢圓方程為-r+}=l,則3+三=1,

a-h-a-4b

又；c=1-a2-h2=1-解得a=2，/=3

橢圓標準方程為匚+$=1

43

圖一

4

環(huán)節(jié)四：教師結合板書總結出關于求橢圓方程的兩種方法：待定系數(shù)法、定義法，

并板書在黑板上。

環(huán)節(jié)五：學生做課堂練習，求與橢圓方程4$+9)2=36有相同焦點，且過(-3,2)的

橢圓標準方程。

隨堂觀察學生的課堂練習情況，發(fā)現(xiàn)一種現(xiàn)象：學生求解例題用哪種方法，課堂練

習依然使用同種方法，說明案例中教學并沒有促進學生對解題方法進行優(yōu)化。

問題：

(1)說明案例中這位教師在教學過程中哪些做法符合教學規(guī)律(7分)

(2)你認為這位教師還可以有哪些改進？(7分)

(3)本節(jié)內容蘊含了哪些數(shù)學思想方法？(6分)

5

六、教學設計題(本大題共1小題，30分)

17.下面是某教師執(zhí)教《不等式的運用》的教學過程。

教學的具體環(huán)節(jié)如下：

(1)揭示知識聯(lián)系

學生畫均值不等式概念圖，并展示，交流討論，豐富概念圖。

(設計意圖：引導學生總結梳理與均值不等式相關的知識結構，通過交流討論，幫助

學生完善知識結構。)

(2)通過正例同化

例1：如果a,bGR+Ua5efe,a3+b3>crb+ab2.

例2：己知a,b,c都是小于1的正數(shù)，求證：(1-a)b、(1-b)c、(1-c)a中至少

有一個不大于1。

4

(設計意圖：利用上述兩例，結合一題多解方式，促進學生加深領會基礎知識、基本

技能、基本方法，并引導他們把專題知識結構同化到原有的認知結構中去。)

(3)通過反例同化

7Q

例3：求產的最小值。

sin2xcos2x

(設計意圖：__________________________________________________________________

__________________________________________________________________)

(4)運用練習強化

練習題共三組，每組四道。第一組作為當堂練習，即時講評；第二組為課堂作業(yè)，

教師部分口頭提示；第三組為自習作業(yè)，學生簡答思路。

(設計意圖：安排難易適當、有梯度的題組，利用變式教學引導學生在完善知識結構

的同時回味、消化、強彳匕所學知識。)

6

請完成下列任務：

(1)請完成概念圖中問號處的不等式；(6分)

(2)請補充完例3通過反例同化的設計意圖；(6分)

(3)關于《不等式的運用》的教學過程，給出你的教學目標設計；(8分)

(4)請對上述這位教師執(zhí)教《不等式的運用》的教學過程作出評價。(10分)

7

教資-數(shù)學學科知識與能力模擬卷(初中)解

析

一、單項選擇題

1.【答案】D

【解析】本題主要考查函數(shù)概念的相關知識。函數(shù)y言的定義域為(-8'0)

sinx

(0，+oo)?而選項中只有y=^一-的定義域是(-ooj0)(0?+oo)°

x

故正確答案為D。

2.【答案】C

【解析】本題主要考查導數(shù)概念的相關知識。由lim也1=1，

知limf例X0。

/?->0序

由于/(工)在X=0處連續(xù)，所以/(o)=lim/(x)=lim/(a2)=o。于是51=lim___________

ft->04-0D川

叱幽=f(O).

故正確答案為C。

3.【答案】B

【解析】本題主要考查法平面方程的相關知識。曲線x=3y=產，z=，在點

(I,1，1)處的切向量為(1，2，3)，所以曲線在點(1，1，1)處的法平面方程為

Ix(x-l)+2x(y-l)+3x(z-1)=0，整理得x+2y+3z-6=0°

故正確答案為B。

4.【答案】A

【解析】本題主要考查曲面方程的相關知識。將曲面方程幺+尸=z2變形，得

Z=±+y2,是錐面。

故正確答案為A。

5.【答案】C

【解析】本題主要考查向量組線性相關的判定的相關知識。由于

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01-1_]_]

1=c

|a,a,>a]=0-11'_]?=0>可知％,a},電線性相關。

C\C3C4

故正確答案為c。

6.【答案】B

【解析】本題主要考查二項分布的相關知識。因為X?8（”，p）,即X服從二項分布,

12

所以￡）（X）=〃pq=4,E（X）=np=12'得q=_'進而得〃=_,n=18。

33

故正確答案為B。

7.【答案】C

【解析】本題主要考查課標的相關知識。高中數(shù)學課程內容包括數(shù)學文化。數(shù)學文化

是指數(shù)學的思想、精神、語言和方法、觀點，以及它們的形成和發(fā)展；還包括數(shù)學在人

類生活、科學技術、社會發(fā)展中的貢獻和意義）以及與數(shù)學相關的人文活動。

本題為選非題'故正確答案為C。

8.【答案】A

【解析】本題主要考查數(shù)學史的相關知識。仇章算術》是中國古典數(shù)學最重要的著

作，分成九章，依次是方田、粟米、衰分、少廣、商功、均輸、盈不足、方程及勾股。

故正確答案為A。

二、簡答題

2-1-1

9.【參考答案】矩陣A的特征多項式為RE-A|=-12-11=/1（2-1）2,所以，

0-12-1

由4（/1一I）?=。知,A的特征木艮為2=0,2=A=1°

I23

（0-1-冗1、

當4=0時，由-1-11X=0，得x=2x,X=r，因此，屬于特征值0

Io-1J^\1323

IA3；

的一個特征向量為a=-1。

I

，X=0，因此，屬于特征值1的

2

2

T

=00

一個特征向量為?2[

X/

10.[參考答案】設函數(shù)尸（X,y,z）=f+y2_z<Fx=2x'Fy=2y-E=-l>

所以f+y2=z在點（1,-2,5）處的切平面〃的法向量為m=（2,-4,-1）。過直線Z,的

平面方程為（x+y+b）+?（x+qy-3-z）=0，整理得（k+l）x+（成+1）y-Zz-3k+Z?=0，

其法向量為〃=（&+1，必+1，-k）。根據題意有，"n，即I=ak+}=二，得"=1，

~2~-4口

°=_5。將點（1,-2,5）代入平面方程（k+\）x+（ak+l）y-kz-3k+b=0，得b=-2。

即Q=-5，b=-2°

11.【參考答案】（1）設4,①，人表示甲、乙、丙三車間加工的產品'B表示此產

品是次品。所求事件的概率為尸（B）=P（4）P（B|4）+戶（％）戶（B|4）+尸（A3）P（8|%）=

0.25x0.03+0.35x0.02+0.4x0.01=0.0185。

（2）PQ四一（&）P（B|4）0.35x0.02.038。

（）P（B）0.0185~

12.【參考答案】（1）應結合每一學段的具體教學內容，逐步提升和發(fā)展學生的數(shù)感。

隨著對數(shù)的認識領域的擴大以及對數(shù)的認識經驗的積累，可以引導學生在較復雜的

數(shù)量關系和運算問題中提升數(shù)感，發(fā)展更為良好的數(shù)感品質。

（2）緊密結合現(xiàn)實生活情境和實例，培養(yǎng)學生的數(shù)感。

現(xiàn)實生活情境和實例，與學生的實際生活經驗密切相連，不僅能夠為學生提供真實

自然的數(shù)的感悟環(huán)境，也能讓學生在數(shù)的認知上經歷由具體到抽象的過程，逐步發(fā)展學

生關于數(shù)的思維。反之，學生數(shù)感的提升也使得他們能用數(shù)字的眼光看周圍世界，正如

《數(shù)學課程標準》中所說：建立數(shù)感有助于學生理解現(xiàn)實生活中數(shù)的意義，理解或表述

具體情境中的數(shù)量關系?！?/p>

（3）讓學生多經歷有關數(shù)的活動過程，逐步積累數(shù)感經驗。

在具體的數(shù)學活動中，學生能動腦、動手、動口，多種感官協(xié)調活動，加之能相互

交流，這對強化感知和思維，積累數(shù)感經驗非常有益。比如有關數(shù)學的社會調查活動及

一些綜合實踐活動。

比如，交通流量的調查統(tǒng)計。又比如，組織學生針對一周出版的某種報紙討論中間

出現(xiàn)了哪些與數(shù)'數(shù)量'運算有關的數(shù)學問題，分別表述這些問題中關于數(shù)的意義和作

用，如何用數(shù)來解決這些具體問題等等。這樣的數(shù)學活動有利于學生在相互交流中從多

角度去感悟數(shù)，豐富自己的數(shù)感經驗。

3

13.【參考答案】中學幾何數(shù)學是一門比較抽象的學科，包括空間和數(shù)量的關系，數(shù)

形結合能夠幫助學生將兩者相互轉化，使抽象的知識更便于理解學習。

在中學幾何學習中，數(shù)形結合的思想具有重要的作用，教師在教學中運用數(shù)形結合

思想，能夠將幾何圖形用代數(shù)的形式表示，并利用代數(shù)方式解決幾何問題。數(shù)形結合將

幾何圖形與代數(shù)公式密切地聯(lián)系在一起'利用代數(shù)語言將幾何問題簡化，使學生更容易

解決問題，是幾何教學中的核心思想方法。例如，研究直線與圓的位置關系，可以根據

直線方程和圓的方程，找到圓的圓心坐標，通過求解圓心到直線的距離d＞并判斷d與

圓的半徑，之間的大小關系，來確定直線與圓的位置關系。

化歸思想是數(shù)學中普遍運用的一種思想。在中學幾何教學中，教師常運用這一思想，

基本的運用方法就是將幾何問題轉化為代數(shù)問題，利用代數(shù)知識將問題解決后，再返回

到幾何中。或是在對空間曲面進行研究時，將復雜的空間幾何圖形轉化為學生熟悉的平

面曲線，便于學生理解和解決。例如，研究直線與圓的位置關系'可以將直線方程和圓

的方程聯(lián)立，轉化成一元二次方程，通過判斷一元二次方程根的個數(shù)，來確定直線與圓

的位置關系。

（2）由（1）得丫=匕+匕=募（32-/）+/。

由9=4兀03（1“）=0，得區(qū)間（0,2）內唯一駐點a=l。

當0＜。＜1時，^，＞0；當。＞1時，H＜0，因此。=1是極大值點也是最大值點，

此時V+V取得最大值,最大值為1巴29兀。

125

四、論述題

14.【參考答案】所謂“數(shù)學形式化”，就是用特定的數(shù)學語言，包括數(shù)學的符號語

言'圖象語言和文字語言，表達自然現(xiàn)象和社會現(xiàn)象的空間結構和數(shù)量關系，即具有相

對固定的數(shù)學概念、法則、結論。

對概念、定理、法則和解題技法等若都能達到本質的理解固然很好，但畢竟有些內容

要求學生在形式化的基礎上形成機械性記憶，并能投入操作應用即可。問題的關鍵是，哪

4

些內容應保留形式，哪些內容需要否定形式」哪些內容需要形式和本質的和諧共處，這些

必須在新課程標準和新教材的基礎上科學合理地來確定。所以，數(shù)學教學之初，應該充分

展示教學知識發(fā)生的過程，引導學生弄清本質，在熟練的基礎上適度形式化，形成自己的

技能，這樣的知識學的牢固一些，對于大面積提高數(shù)學成績也有幫助。某些解題方法，必

須引領學生在接替實踐的過程中總結有典型意義的重要形式，且注意思維的參與，使這些

行為模式的參與更有效。數(shù)學課程要講邏輯推理，更要講道理，通過典型例子的分析和學

生自主探索活動，使學生理解數(shù)學概念、結論逐步形成的過程，體會蘊含在其中的思想方

法，追尋數(shù)學發(fā)展的歷史足跡，把數(shù)學的學術形態(tài)轉化為學生易于接受的教育形態(tài)。

例如，有些概念(如函數(shù))的教學是從已有知識和實例出發(fā)，再抽象為嚴格化的定

義；有些內容(如統(tǒng)計)的教學是通過案例來學習它的思想和方法，理解其意義和作用；

又如，對導數(shù)概念的理解是通過實例，讓學生經歷從平均變化率過渡到瞬時變化率的過

程，進而了解導數(shù)概念的實際背景以及瞬時變化率就是導數(shù)，體會導數(shù)的思想及其內涵。

五、案例分析題

15.【參考答案】(1)在課堂上，教師面對的是一群有著不同生活經歷、有自己的想法，

在很多方面存在差異的生命體，也正是因為有這種差異，課堂才是充滿變化、豐富多彩

的，教師如果不能適應這種變化，不能及時正確處理課堂的生成，那么其課堂效果將很

難保證是有效的。在上面的教學片段中，教師對學生直接說出中位線的性質很是不滿，

因為這樣一來教師后面設計好的精彩探索活動就沒有必要進行了，碰上這樣的意外，教師

采取了生硬的處理方式，讓其他學生繼續(xù)探索，但此時教師的不滿情緒和處理這件事情

的方式使得全班同學失去了探索的興趣和發(fā)言的勇氣。教師如果換一種方式)先表揚發(fā)

言學生“你真是個愛學習的學生，我相信你還是個愛思考的學生！”然后讓他和大家一

道動手操作、探索'驗證中位線為什么會具有這樣的性質，課堂效果應該更好。

(2)生成從性質角度來說，有積極的一面，也有消極的一面。從效果角度來說，有

有效的一面'也有無效的一面。教師在課堂上要充分發(fā)揮好自己組織者的角色，不斷地

捕捉、判斷'重組課堂中從學生那里涌現(xiàn)出來的各種各類信息，并能快速斷定哪些生成

對教學是有效的'哪些生成是偏離了教學目標>一名優(yōu)秀的數(shù)學教師應該能夠正確應對

課堂上出現(xiàn)的各種各樣生成，使之能為我們的數(shù)學教學服務，提高課堂教學的效果。

六、教學設計題

CFIAM

17.【參考答案】(1)例：如題圖，當三時，的值。

CD2BN

5

（2）教學過程：

-、創(chuàng)設情境，引出問題

教師活動：教師展示圖片'提出問題。折疊一張三角形紙片，把三角形的三個角拼

在一起，就得到一個著名的幾何定理，你知道是什么定理嗎？

學生活動：三角形內角和等于180°。

設計意圖：激發(fā)學生的學習興趣，讓他們感受到生活中折疊蘊含著的數(shù)學知識。初

步回憶起，折疊為我們解題提供了軸對稱條件。

二、例題講解，問題探究

教師活動：多媒體展示例題。如圖1，將邊長為2的正方形紙ABCD折疊，使點B

落在CD邊上的一點E（不與C、D重合），壓平后得到折痕MN。若_CF=L1，則_AM=

CD2BN

；當￡￡=1時，竺=；當竺=1時，竺=。組織學生小組討

~CD3BNCD4BN一

論。教師引導，進行點撥，提出問題；在折疊過程中可以得到哪幾對相等的邊和相等的

角？你能根據已知條件求出NE與MF的長度嗎？四邊形ABNM與四邊形FENM是否全

等？……以此引發(fā)學生利用學過的對稱、勾股定理等知識建立解決問題的有關模型，解

決問題。

A

B

學生活動：學生用正方形紙片先折疊，分享解題方法。

教師活動：針對學生回答結果進行評價總結。

三'例題引申，探究創(chuàng)新

I.例題引申

教師活動：教師再次提出問題：結合例1，類比歸納'C乙FI_（〃為整數(shù)）時，則

CDn

券=______（用含有n的式子表示）。

BN

設計意圖：通過例題引申，猜想發(fā)現(xiàn)'滲透對稱變換、方程思想，以及由特殊到一

般的歸納思想。

6>

學生活動：學生自主探究后，搶答，學生互評。

2.探究創(chuàng)新

教師活動：將矩形紙片按如下操作進行折疊，其具體操作過程是：第一步：對折矩

形紙片ABCD，使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展開（如圖2）；第二步：再一

次折疊紙片，使點A落在EF上，并使折痕經過點B，得到折痕BM，同時得到線段BN

（如圖3）。

（1）若折痕EF與折痕MB相交于點P，試問△MAP是什么三角形？并證明你的

結論。

（2）△MB4與^NBG有什么關系？并加以證明。

設計意圖：在對正方形紙片及矩形紙片折疊問題的探索中滲透數(shù)形結合的思想，并

且使學生的認識經歷一個由特殊到一般，由簡單到復雜的發(fā)展過程。通過這些問題，培

養(yǎng)學生的探究能力以及尋找解題策略的能力。在練習過程中，使學生獲得通過動手操作

解決實際問題的成功體驗，提升動手操作、自主探索的學習意識。

四'課堂小結

教師活動：本節(jié)課我們學習了什么數(shù)學問題？解決這類問題的關鍵是什么？步驟是

什么？

學生活動：學生暢談本節(jié)課的體會。

五、布置作業(yè)

用PPT展示題目并進行解答。

教資-數(shù)學學科知識與能力模擬卷（高中）解

析

一、單項選擇題

1.【答案】C

【解析】本題主要考查積分上限函數(shù)及其導數(shù)的相關知識。

叩）=（』）”（『）=2招（『）。

故正確答案為C。

2.【答案】A

【解析】本題主要考查向量組的相關知識。設向量組a,'a2'a3線性無關,且

存在實數(shù)，"'n＞使得對任意常數(shù)“'I,有w?+匕）+，?Q+外）=0，即

ma\+naz+（＞nk+M/）aj=0。因為四、g、《3線性無關，所以‘"=〃=，成+”/=01使得

?i+ka,'a2+/a3線性無關。如果對任意常數(shù)k'I'a,+ka3'a,+/a3線性無關,當a?=

0時題設仍然成立，而此時，向量組四、的'內線性相關。即對任意常數(shù)A'/'

向量組處+履3，々2+/。3線性無關不能推出向量組/、的'4線性無關。

故正確答案為A。

3.【答案】C

fx+3y+2z+l=0,

【解析】本題主要考查空間直線與平面位置關系的相關知識。I八

l2x-y-10z+3=0

iyk

的方向向量為a=132=（-28,14,-7），平面〃的法向量為*=（4,-2,I）-

2-1-10

?分，所以直線/與平面〃垂直。

故正確答案為C。

4.【答案】A

【解析】本題主要考查級數(shù)的相關知識。由級數(shù)2"收斂，得lima2"=0，

8

所以存在N>o，使得對任意的〃〉N，有W2"|<1,即卜」<5。而級數(shù)其5）收

8<30

斂，所以級數(shù)ZLI收斂，即“絕對收斂。

7F=In=l

故正確答案為A。

5.【答案】B

【解析】本題主要考查行列式的定義和性質的相關知識。根據行列式的定義及性質，

D=6f-）|AJJ+Q”A”+4”A>3+A>4=（〃]]++〃41）A”+（4）+4"++01P）A,-）+

（a+a+14+〃24+〃34+〃44）A24=2（421+A22+A23+A24）=4

1323ci33+ci43）A23+（〃，所以

A）1+A”+A”+A）4=2O

故正確答案為B。

6.【答案】A

【解析】本題主要考查分布函數(shù)的相關知識。P（X|>|2）=P（X>2）+P（X<-2）=

[-P（XW2）+P（X<-2）=l-9⑵+夕（-2）=1-夕（2）+1-9（2）=2口一夕（2）]。

故正確答案為A。

7.【答案】D

【解析】本題主要考查數(shù)學史的相關知識。畢達哥拉斯學派認為數(shù)是萬物的本源，事

物的性質是由某種數(shù)學關系決定的，萬物按照一定的數(shù)量比例而構成和諧的秩序。

故正確答案為D。

8.【答案】B

【解析】本題主要考查課程標準的相關知識。數(shù)學學科核心素養(yǎng)包括：數(shù)學抽象'邏

輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算和數(shù)據分析。

故正確答案為B。

二、簡答題

9.【參考答案】設函數(shù)/（x）=Inx_>則/（x）=I。因為函數(shù)f（無）在刖，網上滿足拉

X

n

格朗日中值定理'則在（機'n）上存在一點6'使得]Mm=In-。由0〈但“得

Jn-mn-tn

Inn

1<L<L即，晨L變形可得n~m<ini<，結論得證。

n&tnnn-mninmm

q

10.【參考答案】設曲線在點(1，1)處的切線斜率為&，由:(x)=nx"T，得左=〃，

于是得到切線方程：y-l=〃(x-l)。令y=0,得/=紇1-limf上［

H.【參考答案】(I)由題意，參加集訓的男生、女生各有6名，參賽學生全從B中

學抽取(等價于A中學沒有學生入選代表隊)的概率為邸3-L，因此，A中學至少

100

有1名學生入選代表隊的概率為1-2_=21

100100

(2)設“參賽的4人中女生不少于2人”為事件A參賽女生有2人”為事件3,

“參賽女生有3人”為事件C，則P(B)=C?3=m>P(C)==-。

C：5飛T5

314

由互斥事件的概率加法公式'得P(A)=P(B)+P(Q=1+_=_'故所求事件的概率

555

品4

為一。

5

12.【參考答案】(1)數(shù)列是特殊的函數(shù)。它的定義域一般是指非負的正整數(shù)，有時也

可以是自然數(shù)，或自然數(shù)的無限子集。自然數(shù)是離散的，數(shù)列通常稱為離散函數(shù)，離散

函數(shù)是相對定義域為連續(xù)實數(shù)或者連續(xù)實數(shù)構成的區(qū)間的函數(shù)而言的。數(shù)列作為離散函

數(shù)，在數(shù)學中有著重要的地位。

(2)數(shù)列的生成體現(xiàn)著遞歸思想。遞歸思想是研究數(shù)列的基本思想方法，也是數(shù)學

中的重要思想，在現(xiàn)代數(shù)學中起著巨大的作用。例如，研究差分數(shù)列就依賴于遞歸思想。

同時數(shù)列中蘊含著豐富的恒等關系。例如，等差、等比數(shù)列的性質，熟悉等差、等比數(shù)

列的常用公式，了解這些性質之間的關系，可以將其作為提高恒等變換能力的載體。

(