第三章 3．3冪函數(shù)教案課件-人教版高中數(shù)學(xué)必修第一冊

第三］章函數(shù)的概念與性質(zhì)___________________

DISANZHANG3.3募函數(shù)

即畫倔廝］圜氤教師獨具內(nèi)容）

課程標(biāo)準(zhǔn)：1.通過具體實例了解毒函數(shù)的概念2會畫幕函數(shù)y=x,y=Fy

1

=?,y=%y=x2的圖象，并能通過圖象了解基函數(shù)的圖象與性質(zhì)3能正確應(yīng)

用基函數(shù)的知識解決相關(guān)問題.

教學(xué)重點：1.幕函數(shù)的概念.2.事函數(shù)的圖象與性質(zhì).

教學(xué)難點：應(yīng)用密函數(shù)的知識解決相關(guān)問題.

|核心概念掌握|

【知識導(dǎo)學(xué)】

知識點一募函數(shù)的概念

一般地，函數(shù)。丫=乂"叫做基函數(shù)（powerfunction）,其中國工是自變量,國

團是常數(shù).

知識點二一些常用累函數(shù)的圖象

1

2

同一坐標(biāo)系中，基函數(shù)y=x,y=_F,y=x3,y=x~',y=x的圖象（如圖）.

知識點三一些常用募函數(shù)的性質(zhì)

展

2-1

y=xy=^3產(chǎn)產(chǎn)

性質(zhì)

定義域-R■R場R瞅［0,+op)畫N

值域-R—二0,+8)塾畫［0,+oo)遺3#。｝

■非奇非

奇偶性直奇函數(shù)亞偶函數(shù)質(zhì)奇函數(shù)■奇函數(shù)

偶函數(shù)

性函

y=xL2y=x3y=x~'

性?。?/p>

聞在［0,團在(0,

醫(yī)在?在

+8)上單+oc)上單

(—OC.(-8,?在［0,

調(diào)遞增調(diào)遞減

單調(diào)性—OC)—8)一8)上

圜在(一QQ,回在(一8,

上單調(diào)上單調(diào)單調(diào)遞增

0二上單調(diào)遞0)上單調(diào)遞

遞增遞增

遨減

圖象取1.1).圓(1,1),顫1,1),一(1,1),

困(1.1)

定點(0,0)(0,0)(0,0)(0,0)

【新知拓展】

1.募函數(shù)的特征

(l)d的系數(shù)是1;

(2)靖的底數(shù)x是自變量；

(3)V的指數(shù)a為常數(shù).

只有滿足這三個條件，才是幕函數(shù).對于形如y=(2x)a,丁=2r，y=T*+6等

的函數(shù)都不是暴函數(shù).

2.寨函數(shù)的性質(zhì)

(1)所有的幕函數(shù)在(0，+8)上都有定義，并且圖象都過點(1,1);

(2)如果a>0,那么嘉函數(shù)的圖象過原點，并且在區(qū)間［0,+8)上單調(diào)遞增;

(3)如果aVO,那么基函數(shù)的圖象在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞減，在第一象限

內(nèi)，當(dāng)光從右邊趨向于原點時，圖象在y軸右方無限接近y軸，當(dāng)x從原點趨向

于+8時，圖象在x軸上方無限接近X軸；

(4)在(1,+8)上，隨暴指數(shù)的逐漸增大，圖象越來越靠近y軸.

價例值國

1.判一判(正確的打“，錯誤的打“義”)

(1)函數(shù)了=2+2是基函數(shù).()

(2)器函數(shù)的圖象必過(0,0)和(1,1)這兩點.()

(3)基函數(shù)y=犬的定義域為R,與指數(shù)無關(guān).()

(4)當(dāng)x>l時，函數(shù)曠=f的圖象總在函數(shù)了=爐的圖象的下方.()

答案⑴義(2)X(3)X(4)V

2.做一做(請把正確的答案寫在橫線上)

⑴若丁=^^+(2〃-4)是塞函數(shù)，則m+n=.

(2)已知幕函數(shù)見0=f的圖象經(jīng)過點(2,8),則八一2)=.

a2-2

(3)若y=or是基函數(shù)，則該函數(shù)的值域是.

答案(1)3(2)-8(3)［0,+8)

核心素養(yǎng)形成|

題型一基函數(shù)的定義

例1已知事函數(shù)^=(加一加一1)乂"-2m-3,求此暴函數(shù)的解析式，并指出其

定義域.

2

［解］...>=(??—/〃一1)廿一2"廠3為嘉函數(shù)，

J.irr—m—1=1,解得機=2或機=—1.

當(dāng)〃z=2時，m2—2m—3=—3,則曠=》-3,且有xWO；

當(dāng)"z=-1時，機2一2加一3=0,則y=x°,且有xWO.

故所求嘉函數(shù)的解析式為y=x-3或y=?),它們的定義域都是{xbWO}.

金版點睛

判斷函數(shù)是募函數(shù)的依據(jù)

判斷一個函數(shù)是否為福函數(shù)的依據(jù)是該函數(shù)是否為y=F(a為常數(shù))的形式，

即滿足：①指數(shù)a為常數(shù)；②底數(shù)x為自變量；③系數(shù)為1.

[跟蹤訓(xùn)練1](1)在函數(shù)y=5,y=2*，y=^+x,y=l中，幕函數(shù)的個數(shù)為

()

A.0B.1C.2D.3

[

ffl-]

(2)已知y=(垃2—4機+4)x+2〃-3是暴函數(shù)，求〃2,〃的值.

答案(1)B(2)見解析

解析(1?=±=/2,所以是嘉函數(shù)；y=2/由于系數(shù)是2,因此不是嘉函數(shù);

是兩項和的形式，不是嘉函數(shù)；y=l=x°(xWO),可以看出，常函數(shù)y=l

的圖象比募函數(shù)y=x0的圖象多了一個點(0,1),所以常函數(shù)y=l不是寨函數(shù).

pn2—4/n+4=l,|w=3,

(2)由題意得《加一1#0,解得3

12〃—3=0,1〃=》

3

所以m=3,〃=]

題型二基函數(shù)的圖象及應(yīng)用

2~2

例2痔函數(shù)y=f,y=xy=x,y—x在第一象限內(nèi)的圖象依次是

圖中的曲線()

A.C2，Cl,C3，。4

B.C4,C1，。3，。2

C.。3，。2，C1，。4

D.C1，。4，。2，。3

[解析]由于在第一象限內(nèi)直線x=l的右側(cè)，嘉函數(shù)的圖象從上到下

相應(yīng)的指數(shù)a由大變小，即嘉函數(shù)圖象在第一象限內(nèi)直線x=l右側(cè)的“高低”關(guān)

系是“指大圖高”，故嘉函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象為C,在第一象

X_1

2-2

限內(nèi)的圖象為C,y=x在第一象限內(nèi)的圖象為C2,y=x在第一象限內(nèi)的圖

象為C3.

［答案］D

金版點睛

解決塞函數(shù)圖象問題應(yīng)把握的兩個原則

(1)依據(jù)圖象高低判斷嘉指數(shù)大小，相關(guān)結(jié)論為：在(0,1］上，指數(shù)越大，福函

數(shù)圖象越靠近x軸(簡記為指大圖低)；在［1,+8)上，指數(shù)越大，嘉函數(shù)圖象越

遠(yuǎn)離x軸(簡記為指大圖高).

(2)依據(jù)圖象確定嘉指數(shù)a與0』的大小關(guān)系，即根據(jù)累函數(shù)在第一象限內(nèi)的

2

圖象(類似于y=x?或y=x或>=/)來判斷.

［跟蹤訓(xùn)練2］(1)如圖是幕函數(shù)y=/與在第一象限內(nèi)的圖象，則()

—l<??<0<m<l

zj<—

—1</?<0,m>l

n<—\,)n>\

(2)已知函數(shù)y=yf\x\.

①求定義域；

②判斷奇偶性；

③已知該函數(shù)在第一象限的圖象如圖所示，試補全圖象，并由圖象確定單調(diào)

區(qū)間.

答案(1)B(2)見解析

解析(1)在(0,1)內(nèi)取xo,作直線》=配，與各圖象有交點，則“點低指數(shù)

大”.如圖，0<m<l,〃<—1.

(2)①>=訴，定義域為實數(shù)集R.

②設(shè)y=/U)，因為1A—x)=女1—M=赤=/(x),且定義域關(guān)于坐標(biāo)原點對稱,

所以函數(shù)丁=訴是偶函數(shù).

③因為函數(shù)為偶函數(shù)，則作出它在第一象限的圖象關(guān)于y軸的對稱圖象，即

得函數(shù)>=訴的圖象，如圖所示.

根據(jù)圖象易知，函數(shù)丫=赤在區(qū)間［0,+8)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(一8,0］

上單調(diào)遞減.

題型三幕函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

例3比較下列各題中兩個值的大小：

1I

22

(1)2.3，2.4；

-2-2

(2)(^2)，電)；

(3)(-0.31)20.352.

11

2-2-

234

［解］(l)Vy=x在［0,+8)上單調(diào)遞增，且2.3<2.4,<2.

1

~2「「

(2Y：y=x在(0,+8)上單調(diào)遞減，且啦<、「，

（3）為R上的偶函數(shù)，...（~0.31）2=0.312.

又函數(shù)在［0,+8）上單調(diào)遞增，且0.31<0.35,

,0.312<0.352,即（一0.31）2<0.352.

金版點睛

比較募值大小的方法

比較霖值的大小，關(guān)鍵是構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，若指數(shù)相同，底數(shù)不同，則考慮

構(gòu)造募函數(shù)，然后根據(jù)所構(gòu)造的黑函數(shù)的性質(zhì)如單調(diào)性、奇偶性等來解決問題.

1

-1

22

例4若(3—2加)>(m+1),求實數(shù)"2的取值范圍.

1

［解］因為y二％?在定義域［0,+8)上單調(diào)遞增，

(3—2加20,

所以《機+ieo,解得一iw機＜|.

I3—2m＞m+1,

故實數(shù)機的取值范圍為［—1,1).

金版點睛

利用器函數(shù)解不等式的步驟

利用嘉函數(shù)解不等式，實質(zhì)是已知兩個函數(shù)值的大小，判斷自變量的大小，

常與得函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性等綜合命題.求解步驟如下：

(1)確定可以利用的嘉函數(shù)；

(2)借助相應(yīng)的福函數(shù)的單調(diào)性，將不等式的大小關(guān)系，轉(zhuǎn)化為自變量的大小

關(guān)系；

(3)解不等式(組)求參數(shù)范圍，注意分類討論思想的應(yīng)用.

［跟蹤訓(xùn)練3］(1)比較下列各組數(shù)的大?。?/p>

I1

①停)2與(I)?；②—3.143與一無3；

(2)已知基函數(shù)十加-5)丫"2-2"L3,當(dāng)％e(0,+8)時，y隨x的增大而

減小，求此基函數(shù)的解析式.

273

解⑴①力=%在［0,+8)上單調(diào)遞增，且于＞；,

②???y=x3是R上的增函數(shù)，且3.14<兀，

/.3.143<7t3,—3.143>—7i3.

(2)5H2fL3是幕函數(shù)，

/.m2+?n—5=1,即(m—2)(/”+3)=0,

??m=2或/7?=—3.

當(dāng)〃z=2時，m2—2m—3=-3,y=無一是森函數(shù)，且滿足當(dāng)xW(O,+°°)0t,

y隨x的增大而減?。?/p>

當(dāng)加=一3時，2"?—3=：12,y=N2是嘉函數(shù)，但不滿足當(dāng)》｛(0,+°=>)

時，y隨x的增大而減小，故舍去.

3(xW0).

隨堂水平達標(biāo)

1.下列函數(shù)是事函數(shù)的是()

A.y=5xB.y=x5

C.y=5xD.y=(x+l>

答案B

解析由嘉函數(shù)的定義知函數(shù)y=5”不是