三角函數(shù)三角函數(shù)的圖像與性質-高三數(shù)學二輪復習

一、預備知識1.三角函數(shù)的圖像與性質圖像定義域值域增區(qū)間減區(qū)間奇偶性周期對稱軸對稱中心零點2.常見的三角函數(shù)值角度

三、教學內容知識點一解析式的求解【基礎知識框架】1.輔助角公式(合一公式)其中，，.2.由圖像求解析式對于三角函數(shù)，由_________決定，最大值為__________，最小值為________；由_________決定，_________；最后可代入特殊值點求解。（最好為_______點或_______點）3.伸縮平移變換求圖像解析式對于三角函數(shù)，上下平移改變________，左右平移改變________。上下伸縮（橫坐標保持不變）改變________，左右伸縮（縱坐標保持不變）改變________。注意：左右平移個單位，只是把變成________；左右伸縮倍（橫坐標保持不變），變?yōu)樵瓉淼胈______。【例題分析】考向一利用輔助角公式求解析式例1．（2022.長沙雅禮高三月考）已知函數(shù)，若函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像關于軸對稱；（1）求函數(shù)的解析式；例2．（2022.天津南開高三月考）已知函數(shù)，．（1）求函數(shù)的解析式；

考向二利用圖像求解析式例3．（2021·全國·高考真題）已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，則______________.例4．（2020·海南·高考真題·多選）下圖是函數(shù)y=sin(ωx+φ)的部分圖像，則sin(ωx+φ)=（

）A． B． C． D．例5．（2023·天津·高考真題）已知函數(shù)的圖象關于直線對稱，且的一個周期為4，則的解析式可以是（

）A． B．C． D．考向三利用伸縮平移變換求解析式例6．（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）為了得到函數(shù)的圖象，只要把函數(shù)圖象上所有的點（

）A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度例7．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）把函數(shù)圖像上所有點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，再把所得曲線向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖像，則（

）A． B．C． D．

知識點二換元法求三角函數(shù)的性質【基礎知識框架】1.已知三角函數(shù)(1)周期：.(2)單調增區(qū)間：令，求.(3)單調減區(qū)間：令，求.(4)對稱軸：.(5)對稱中心：.(6)值域：若已知三角函數(shù)，且=1\*GB3①若可以取到和，則的最大值為________，最小值為________；=2\*GB3②若無法取到和，則需得到的邊際范圍，根據三角函數(shù)的性質得到最值.2.注意事項(1)對于三角函數(shù)，極值點可以等價為對稱軸，零點可以等價為對稱中心的橫坐標.(2)若在選擇題中題目已給出對應性質，可以回代檢驗即可.(3)注意題目所給函數(shù)是正弦函數(shù)還是余弦函數(shù).【例題分析】考向一已知函數(shù)解析式求函數(shù)性質例1．（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）已知，關于該函數(shù)有下列四個說法：①的最小正周期為；②在上單調遞增；③當時，的取值范圍為；④的圖象可由的圖象向左平移個單位長度得到．以上四個說法中，正確的個數(shù)為（

）A． B． C． D．例2．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）下列區(qū)間中，函數(shù)單調遞增的區(qū)間是（

）A． B． C． D．例3．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預測·多選）已知函數(shù)，下列說法正確的有（

）A．在上單調遞增B．若，則C．函數(shù)的圖象可以由向右平移個單位得到D．若函數(shù)在上恰有兩個極大值點，則例4．（2024·吉林白山·二模）已知函數(shù)，則（

）A．的圖象關于原點對稱B．的圖象關于直線對稱C．在上單調遞增D．在上有個零點考向二先求函數(shù)解析式再求函數(shù)性質例5．（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)，則（

）A．在上單調遞減 B．在上單調遞增C．在上單調遞減 D．在上單調遞增例6．（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）設函數(shù)在的圖像大致如下圖，則f(x)的最小正周期為（

）A． B．C． D．例7．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題·多選）已知函數(shù)的圖像關于點中心對稱，則（

）A．在區(qū)間單調遞減 B．在區(qū)間有兩個極值點C．直線是曲線的對稱軸 D．直線是曲線的切線例8．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考一?！ざ噙x）已知函數(shù)的圖像關于直線對稱，則（

）A．函數(shù)的圖像關于點對稱B．函數(shù)在有且僅有2個極值點C．若，則的最小值為D．若，則例9．（2023·全國·高考真題）函數(shù)的圖象由函數(shù)的圖象向左平移個單位長度得到，則的圖象與直線的交點個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4例10．（2024·遼寧·二模）已知函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．函數(shù)的最小正周期為B．函數(shù)在區(qū)間上單調遞減C．將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象D．若，則例11．（2024·云南昆明·一模）已知函數(shù)，則（

）A．的最大值為2B．的圖象關于點對稱C．在上單調遞增D．直線是圖象的一條對稱軸例12．（2024·河北滄州·一模）已知函數(shù)，且，若函數(shù)向右平移個單位長度后為偶函數(shù)，則（

）A．B．函數(shù)在區(qū)間上單調遞增C．的最小值為D．的最小值為例13．（2024·浙江·二模）關于函數(shù)，下列說法正確的是（

）A．最小正周期為 B．關于點中心對稱C．最大值為 D．在區(qū)間上單調遞減例14．（2024·云南貴州·二模）已知函數(shù)，則下列說法正確的是A．B．函數(shù)的最小正周期為C．函數(shù)的圖象的對稱軸方程為D．函數(shù)的圖象可由的圖象向右平移單位長度得到例15．（2024·山東濰坊·一模）函數(shù)（）的圖象如圖所示，則（

）A．的最小正周期為B．是奇函數(shù)C．的圖象關于直線對稱D．若（）在上有且僅有兩個零點，則例16．（2024·福建漳州·模擬預測）已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，則下列說法正確的是（

）A．的圖象關于中心對稱B．在區(qū)間上單調遞增C．在上有4個零點，則實數(shù)的取值范圍是D．將的圖象向右平移個單位長度，可以得到函數(shù)的圖象例17．（2024·山東聊城·一模）已知函數(shù)的最小正周期為2，則（

）A． B．曲線關于直線對稱C．的最大值為2 D．在區(qū)間上單調遞增例18．（2023·全國·高考真題）已知函數(shù)，如圖A，B是直線與曲線的兩個交點，若，則．

知識點三已知三角函數(shù)性質求參數(shù)【基礎知識框架】1.已知三角函數(shù)(1)若已知函數(shù)周期為，則令.(2)若已知函數(shù)在遞增，則周期且.(3)若已知函數(shù)在遞減，則周期且.(4)若已知函數(shù)的一個對稱軸為，則令.(5)若已知函數(shù)的一個對稱中心為，則令.2.注意事項(1)若求或的最小值，則需比較正負交替的值.(2)函數(shù)性質之間需要靈活轉換，比如函數(shù)圖像關于軸對稱可轉化為函數(shù)是偶函數(shù)(3)若，則是函數(shù)的___________，若，則是函數(shù)的___________；(4)若，則是函數(shù)的___________.【例題分析】例1．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）記函數(shù)的最小正周期為T．若，且的圖象關于點中心對稱，則（）A．1 B． C． D．3例2．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）將函數(shù)的圖像向左平移個單位長度后得到曲線C，若C關于軸對稱，則的最小值是（）A． B． C． D．

例3．（2022·廣東廣州·統(tǒng)考二模）如果函數(shù)的圖像關于點對稱，則的最小值是（）A． B． C． D．例4．（2022·廣東廣州·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后，得到函數(shù)的圖象，且的圖象關于y軸對稱，則的最小值為（

）A． B． C． D．例5．（2022·河南）將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，所得圖象過點，則的最小值為（）A．1 B．2 C． D．例6．（2023·陜西咸陽·一模）已知函數(shù)是奇函數(shù)，則____.例7．（2020·江蘇·統(tǒng)考高考真題）將函數(shù)y=的圖象向右平移個單位長度，則平移后的圖象中與軸最近的對稱軸的方程是____.例8．（2023·全國·高考真題）已知函數(shù)在區(qū)間單調遞增，直線和為函數(shù)的圖像的兩條相鄰對稱軸，則（

）A． B． C． D．

知識點四已知三角函數(shù)性質求參數(shù)范圍【基礎知識框架】1.已知三角函數(shù)(1)若已知函數(shù)周期為，則令；(2)若已知函數(shù)在遞增，則周期且；(3)若已知函數(shù)在遞減，則周期且；(4)若已知函數(shù)的一個對稱軸為，則令；(5)若已知函數(shù)的一個對稱中心為，則令；2.若已知三角函數(shù)在區(qū)間上對稱軸、對稱中心或者零點的數(shù)量，則可由得出，結合函數(shù)的圖像得出邊際范圍。3.對于三角函數(shù)，函數(shù)的極值點等價于函數(shù)的________，函數(shù)的零點等價于函數(shù)的_________.【例題分析】考向一已知函數(shù)特殊值點數(shù)量求參數(shù)范圍1．（2023·全國·高考真題）已知函數(shù)在區(qū)間有且僅有3個零點，則的取值范圍是．2．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）設函數(shù)在區(qū)間恰有三個極值點、兩個零點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．（2024·全國·一模）設函數(shù)在區(qū)間上恰有兩個極值點，兩個零點，則的取值可能是（

）A． B．2 C． D．

4．（2022·四川綿陽·校考模擬預測）若函數(shù)（）在區(qū)間上恰有唯一極值點，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．5．（2022·河南·統(tǒng)考一模）把函數(shù)的圖象向左平移個單位，再將得到的曲線上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋?，縱坐標不變，得到函數(shù)的圖象.若函數(shù)在上恰有3個零點，則正數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．6．（2023·河南·洛陽市第三中學校聯(lián)考一模）已知函數(shù)在區(qū)間上的極值點有且僅有2個，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．7．（2022·山西·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)在上恰有3個零點，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．8．（2021·寧夏石嘴山·石嘴山市第三中學校考模擬預測）設函數(shù)，若對于任意實數(shù)，在區(qū)間上至少有2個零點，至多有3個零點，則的取值范圍是（）A． B． C． D．9．（2023·新疆阿勒泰·統(tǒng)考三模）已知，若函數(shù)在區(qū)間上有且只有個零點，則的范圍為（

）A． B．C． D．

考向二已知函數(shù)單調性求參數(shù)范圍10．（2022·浙江高二期末）函數(shù)向右平移個單位后得到函數(shù)，若在上單調遞增，則的取值范圍是（）A． B． C． D．11．（2024·遼寧葫蘆島·一模）已知在區(qū)間上單調遞增，則的取值可能在（

）A． B． C． D．12．（2023·廣東·校聯(lián)考模擬預測）若函數(shù)是區(qū)間上的減函數(shù)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．13．（2023·江蘇南通·校聯(lián)考模擬預測）已知函數(shù)，若在區(qū)間上單調遞增，則的取值范圍是_________．14．（2020下·湖南郴州·高一統(tǒng)考階段練習）已知，函數(shù)在上單調遞增，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．15．（2023·天津·統(tǒng)考二模）若函數(shù)在區(qū)間上具有單調性，則的最大值是（

）A． B． C． D．

知識點五定義法求三角函數(shù)的性質【基礎知識框架】1.函數(shù)的奇偶性一般地，如果對于函數(shù)的定義域內任意一個，都有___________，那么函數(shù)就叫做偶函數(shù)．一般地，如果對于函數(shù)的定義域內任意一個，都有___________，那么函數(shù)就叫做奇函數(shù)．2.奇函數(shù)、偶函數(shù)的圖象特征如果一個函數(shù)是奇函數(shù)，則這個函數(shù)的圖象是以___________為對稱中心的中心對稱圖形.如果一個函數(shù)是偶函數(shù)，則這個函數(shù)的圖象是以___________為對稱軸的軸對稱圖形.3.周期函數(shù)一般地，對于函數(shù)，如果存在一個非零常數(shù)，使得當取定義域內的每一個值時，________________都成立，那么就把函數(shù)稱為周期函數(shù)，非零常數(shù)叫做這個函數(shù)的周期.由周期函數(shù)的定義可知，周期并不唯一.若所有的周期中存在一個最小的正數(shù)，我們便稱它為函數(shù)的________________.4.函數(shù)單調性的定義一般地，設函數(shù)的定義域為：如果對于定義域內某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值，當時，都有______________，那么就說函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，區(qū)間稱為函數(shù)的____________；如果對于定義域內某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值，當時，都有______________，那么就說函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，區(qū)間稱為函數(shù)的____________．5.函數(shù)對稱的定義若函數(shù)滿足，則關于直線____________對稱.若函數(shù)滿足，則關于點____________對稱.若函數(shù)滿足，則關于點____________對稱.

【例題分析】例1．（2021·北京·統(tǒng)考高考真題）函數(shù)是A．奇函數(shù)，且最大值為2 B．偶函數(shù)，且最大值為2C．奇函數(shù)，且最大值為 D．偶函數(shù)，且最大值為例2．（2020·北京東城·北京市第五中學?？寄M預測）關于函數(shù)有下述四個結論：①是偶函數(shù)

②在區(qū)間（,）單調遞增③在有4個零點

④的最大值為2其中所有正確結論的編號是A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③例3．（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）關于函數(shù)有如下四個命題：①的圖象關