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第四章三角函數(shù)、解三角形專題4.3三角函數(shù)的圖像及性質(zhì)1.能畫(huà)出三角函數(shù)的圖象.2.了解三角函數(shù)的周期性、奇偶性、最大(小)值.3.借助圖象理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在[0,2π]上,正切函數(shù)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(π,2),\f(π,2)))上的性質(zhì).考點(diǎn)一三角函數(shù)的定義域和值域考點(diǎn)二三角函數(shù)的周期性與對(duì)稱性考點(diǎn)三三角函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性知識(shí)梳理1.用“五點(diǎn)法”作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡(jiǎn)圖(1)在正弦函數(shù)y=sinx,x∈[0,2π]的圖象中,五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是:(0,0),eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2),1)),(π,0),eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2),-1)),(2π,0).(2)在余弦函數(shù)y=cosx,x∈[0,2π]的圖象中,五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是:(0,1),eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2),0)),(π,-1),eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2),0)),(2π,1).2.正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)(下表中k∈Z)函數(shù)y=sinxy=cosxy=tanx圖象定義域RR{x|x≠kπ+eq\f(π,2)}值域[-1,1][-1,1]R周期性2π2ππ奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ-\f(π,2),2kπ+\f(π,2)))[2kπ-π,2kπ]eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ-\f(π,2),kπ+\f(π,2)))單調(diào)遞減區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ+\f(π,2),2kπ+\f(3π,2)))[2kπ,2kπ+π]對(duì)稱中心(kπ,0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ+\f(π,2),0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2),0))對(duì)稱軸方程x=kπ+eq\f(π,2)x=kπ常用結(jié)論1.對(duì)稱性與周期性(1)正弦曲線、余弦曲線相鄰兩對(duì)稱中心、相鄰兩對(duì)稱軸之間的距離是eq\f(1,2)個(gè)周期,相鄰的對(duì)稱中心與對(duì)稱軸之間的距離是eq\f(1,4)個(gè)周期.(2)正切曲線相鄰兩對(duì)稱中心之間的距離是eq\f(1,2)個(gè)周期.2.奇偶性若f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω≠0),則(1)f(x)為偶函數(shù)的充要條件是φ=eq\f(π,2)+kπ(k∈Z).(2)f(x)為奇函數(shù)的充要條件是φ=kπ(k∈Z).第一部分核心典例題型一三角函數(shù)的定義域和值域1.函數(shù)的值域是(
)A. B. C. D.【答案】A【詳解】函數(shù),∵,∴當(dāng)時(shí),函數(shù)取得最小值為,當(dāng)時(shí),函數(shù)取得最大值為2,故函數(shù)的值域?yàn)椋蔬x:A.2.函數(shù)在上的最小值為(
)A.-1 B. C. D.【答案】B【詳解】當(dāng)時(shí),,則當(dāng)時(shí),,故選:B.3.已知函數(shù)在時(shí)有最大值,且在區(qū)間上單調(diào)遞增,則的最大值是(
)A. B. C. D.【答案】C【詳解】在時(shí)取得最大值,即,可得,所以,因?yàn)橐蟮淖畲笾?,所以這里可只考慮的情況,又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增,所以,解得,當(dāng)時(shí),,所以的最大值為,故選:C.4.已知函數(shù)的值域?yàn)?,則的取值范圍是(
)A. B. C. D.【答案】C【詳解】因?yàn)?,可得,因?yàn)楹瘮?shù)的值域?yàn)?,所以,解?故選:C.5.函數(shù)的最小值等于(
)A.1 B. C. D.【答案】D【詳解】依題意,,即,當(dāng),即時(shí),,所以當(dāng)時(shí),.故選:D題型二三角函數(shù)的周期性與對(duì)稱性6.下列函數(shù)以為周期的是(
)A. B. C. D.【答案】B【詳解】對(duì)A,,故A錯(cuò)誤;對(duì)B,,故B正確;對(duì)C,,故C錯(cuò)誤;對(duì)D,,故D錯(cuò)誤.故選:B.7.函數(shù)的最小正周期和最大值分別是(
)A.和3 B.和2 C.和3 D.和2【答案】D【詳解】因?yàn)楹瘮?shù),所以最小正周期為:,當(dāng)時(shí),有最大值為2.故選:D.8.曲線的一條對(duì)稱軸方程為(
)A. B. C. D.【答案】B【詳解】由,得.故選:B.9.函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心可以是()A. B. C. D.【答案】D【詳解】對(duì)于A,由,得,,則不是函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心,故A錯(cuò)誤;對(duì)于B,由,得,則不是函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心,故B錯(cuò)誤;對(duì)于C,由,得,則不是函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心,故C錯(cuò)誤;對(duì)于D,,得,,則是函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心,故D正確.故選:D.10.已知函數(shù),則(
)A.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 B.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C.為偶函數(shù) D.的最小正周期為【答案】C【詳解】,的圖象關(guān)于點(diǎn)不對(duì)稱,故A選項(xiàng)不正確.,的圖象關(guān)于直線不對(duì)稱,故B選項(xiàng)不正確.因?yàn)椋?,即,故為偶函?shù),故C選項(xiàng)正確.的最小正周期為,故D選項(xiàng)不正確.故選:C.題型三三角函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性11.已知函數(shù),則在上的單調(diào)遞增區(qū)間為(
)A. B.C. D.【答案】B【詳解】當(dāng)時(shí),,所以當(dāng),即時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增.故選:B.12.函數(shù)(
)A.是奇函數(shù),但不是偶函數(shù)B.是偶函數(shù),但不是奇函數(shù)C.既是奇函數(shù),又是偶函數(shù)D.既不是奇函數(shù),又不是偶函數(shù)【答案】A【詳解】由可知是奇函數(shù).故選:A13.已知,,的一個(gè)極值點(diǎn)是,則(
)A.在上單調(diào)遞增 B.在上單調(diào)遞減C.在上單調(diào)遞增 D.在上單調(diào)遞減【答案】C【詳解】因?yàn)椋?,的一個(gè)極值點(diǎn)是,所以,所以,,即.因?yàn)?,所以?,,解得,.當(dāng)時(shí),得到在上單調(diào)遞增,故C正確,D錯(cuò)誤.,解得,.當(dāng)時(shí),得到在上單調(diào)遞減,故A正確,B錯(cuò)誤.故選:C14.下列函數(shù)中,最小正周期為的偶函數(shù)是()A. B.C. D.【答案】A【詳解】對(duì)于A,定義域?yàn)?,因?yàn)?,所以函?shù)為偶函數(shù),因?yàn)榈膱D象是由的圖象在軸下方的關(guān)于軸對(duì)稱后與軸上方的圖象共同組成(如下圖所示),又的最小正周期為,所以的最小正周期為,故A正確;對(duì)于B:為最小正周期為的奇函數(shù),故B錯(cuò)誤;對(duì)于C:定義域?yàn)椋?,即為偶函?shù),又,所以為的周期,故C錯(cuò)誤;對(duì)于D:為最小正周期為的偶函數(shù),故D錯(cuò)誤;故選:A15.函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是(
)A. B.C. D.【答案】D【詳解】因?yàn)?,令,,解得,,所以函?shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.故選:D.第二部分課堂達(dá)標(biāo)一、單選題1.函數(shù)的最小正周期是(
)A. B. C.2 D.4【答案】C【詳解】的最小正周期為.故選:C.2.函數(shù)的一個(gè)單調(diào)減區(qū)間是(
)A. B. C. D.【答案】C【詳解】畫(huà)出的圖象,如下,可以看出的一個(gè)單調(diào)減區(qū)間為,其他選項(xiàng)不合要求.故選:C3.函數(shù)的最小正周期為(
)A. B. C. D.【答案】C【詳解】由二倍角公式和輔助角公式化簡(jiǎn)可得,其中,由三角函數(shù)的周期公式可得最小正周期.故選:C4.已知函數(shù)的最小正周期為,把函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度,所得圖象對(duì)應(yīng)函數(shù)解析式為(
)A. B.C. D.【答案】A【詳解】因?yàn)?,所以,故,則,則向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到.故選:A5.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示,則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是(
)A.B.C.的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.D.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱【答案】C【詳解】A選項(xiàng),根據(jù)圖象可得:,,因?yàn)?,所以,即,A正確;B選項(xiàng),的圖象過(guò)點(diǎn),則,又∵,則,∴,即,B正確;C選項(xiàng),的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到,顯然不是奇函數(shù),不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,C錯(cuò)誤;D選項(xiàng),,則為最大值,∴的圖象關(guān)于直線對(duì)稱,D正確;故選:C6.已知函數(shù),則函數(shù)的圖象(
)A.關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 B.關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C.關(guān)于直線對(duì)稱 D.關(guān)于直線對(duì)稱【答案】A【詳解】.因?yàn)椋院瘮?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,不關(guān)于直線對(duì)稱,因此A正確,C不正確;因?yàn)?,所以函?shù)的圖象不關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,也不關(guān)于直線對(duì)稱,因此BD都不正確,故選:A7.已知函數(shù)在上恰有兩個(gè)零點(diǎn),則的取值范圍是(
)A. B.C. D.【答案】C【詳解】令得,因?yàn)椋裕驗(yàn)樵谏锨∮袃蓚€(gè)零點(diǎn),所以,解得.故選:C8.已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有最大值,但無(wú)最小值,則的取值范圍是(
)A. B. C. D.【答案】A【詳解】因?yàn)?,所以?dāng)時(shí),則有,因?yàn)樵趨^(qū)間內(nèi)有最大值,但無(wú)最小值,結(jié)合函數(shù)圖象,得,解得,故選:A二、多選題9.若函數(shù),則(
)A.的最小正周期為B.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C.在上有極小值D.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱【答案】BCD【詳解】由正弦函數(shù)的周期公式得:,故A錯(cuò)誤.易知,,故B、D正確.當(dāng)時(shí),,根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性可知:時(shí),即時(shí),單調(diào)遞減;時(shí),即時(shí),單調(diào)遞增,所以時(shí),函數(shù)取得極小值,故C正確.故選:BCD.10.已知函數(shù),則(
)A.的最小正周期為 B.是曲線的一個(gè)對(duì)稱中心C.是曲線的一條對(duì)稱軸 D.在區(qū)間上單調(diào)遞增【答案】ACD【詳解】A選項(xiàng),,故的最小正周期為,A正確;B選項(xiàng),當(dāng)時(shí),,故不是曲線的一個(gè)對(duì)稱中心,B錯(cuò)誤;C選項(xiàng),當(dāng)時(shí),,故是的一條對(duì)稱軸,也是的一條對(duì)稱軸,C正確;D選項(xiàng),時(shí),,由于在上單調(diào)遞增,故在區(qū)間上單調(diào)遞增,D正確.故選:ACD11.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示,則(
)A.的最小正周期為B.C.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱D.將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到的函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱【答案】AC【詳解】由函數(shù)的圖象,可得,所以,可得,所以,因?yàn)椋?,即,可得,即,因?yàn)椋傻?,所以,所以A正確,B不正確;由,所以是函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸,所以C正確;將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度,可得,此時(shí)函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,不關(guān)于軸對(duì)稱,所以D錯(cuò)誤.故選:AC.12.已知函數(shù),則(
)A.B.的最小正周期為C.把向左平移可以得到函數(shù)D.在上單調(diào)遞增【答案】AD【詳解】A:因?yàn)?,所以本選項(xiàng)正確;B:由正切型函數(shù)的最小正周期公式可得,所以本選項(xiàng)不正確;C:把向左平移可以得到函數(shù),所以本選項(xiàng)不正確;D:當(dāng)時(shí),,顯然是的子集,因此本選項(xiàng)正確,故選:AD三、填空題13.當(dāng)函數(shù)取得最大值時(shí)的的集合為.【答案】【詳解】依題意令,,解得,,所以函數(shù)取得最大值時(shí)的的集合為.故答案為:14.若函數(shù)在上有且僅有3個(gè)零點(diǎn),則的最小值為.【答案】【詳解】令,得,由得,依題意,在上有且僅有3個(gè)零點(diǎn),則,解得,所以的最小值為.故答案為:.四、解答題15.已知函數(shù)圖象的兩相鄰對(duì)稱中心之間的距離為
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