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文檔簡介
相互獨立事件同時發(fā)生的概率
、明確復(fù)燈目標
1.了解相互獨立事件的意義,會用相互獨立事件的概率乘法公式計算一些事件的概率.
2.會計算事件在n次獨立重復(fù)試驗中恰好發(fā)生K次的概率.
二,建構(gòu)扣福網(wǎng)輅
1.相互獨立事件:事件A(或3)是否發(fā)生對事件8(或A)發(fā)生的概率沒有影響,
這樣的兩個事件叫做相互獨立事件.
若A與3是相互獨立事件,則A與豆,可與8,,與否也相互獨立.
3.相互獨立事件同時發(fā)生的概率:P(45)=P(A)-P(B)
事件事,…,4相互獨立,P(A4…-4)=P(A)?P(4)…“P(4)
2.互斥事件與相互獨立事件是有區(qū)別的:
互斥事件與相互獨立事件研究的都是兩個事件的關(guān)系,但而互斥的兩個事件是一次實驗
中的兩個事件,相互獨立的兩個事件是在兩次試驗中得到的,注意區(qū)別。
如果A、B相互獨立,則P(A+B)=P(A)+P(8)-p(A-B)
如:某人射擊一次命中的概率是0.9,射擊兩次,互不影響,至少命中一次的概率是
0.9+0.9-0.9X0.9=0.99,(也即1-0.1X0.1=0.99)
4.獨立重復(fù)試驗的定義:在同樣條件下進行的各次之間相互獨立的一種試驗.
6.獨立重復(fù)試驗的概率公式:如果在一次試驗中某事件發(fā)生的概率是P,那么在n次獨
立重復(fù)試驗中這個事稻殍爰星K次的概率:匕(k)=C;P”(l-尸產(chǎn).
nnnn
k=n時,即在n次獨立重復(fù)試驗中事件A全即名:等概率為Pn(>=Cnp(l-p)°=p
0n
k=O時,即在n次獨立重復(fù)試驗中事件A沒有々:生,概率為P^^=Cn°p(l-p)=(l-pr
三、秋基耍目在秣不
1.從應(yīng)屆高中生中選出飛行員,已知這批學(xué)生體型合格的概率為』,視力合格的概率為
3
其他幾項標準合格的概率為J,從中任選一學(xué)生,則該生三項均合格的概率為(假設(shè)
65
三項標準互不影響)()
4Di
2(2005天津)某人射擊一次擊中的概率為0.6,經(jīng)過3次射擊,此人至少有兩次擊中目標的
概率為()
8154一3627
A.——B.---c.-----D.——
125125125125
3.甲、乙兩人獨立地解同一問題,甲解決這個問題的概率是pi,乙解決這個問題的概率
是P2,那么恰好有1人解決這個問題的概率是
A.P1P2B.pi(1—P2)+P2(1—Pl)
C.l-P1P2D.l—(1—P1)(1—P2)
4.接種某疫苗后,出現(xiàn)發(fā)熱反應(yīng)的概率為0.80.現(xiàn)有5人接種該疫苗,至少有3人出現(xiàn)
發(fā)熱反應(yīng)的概率為.(精確到0.01)
5.一道數(shù)學(xué)競賽試題,甲生解出它的概率為,,乙生解出它的概率為工,丙生解出它的
23
概率為1,由甲、乙、丙三人獨立解答此題只有一人解出的概率為_______.
4
6.一出租車司機從飯店到火車站途中有六個交通崗,假設(shè)他在各交通崗遇到紅燈這一事
件是相互獨立的,并且概率都是L那么這位司機遇到紅燈前,已經(jīng)通過了兩個交通崗的概
3
率是.
篦答:1-3.CAB;4.0.94;5.P=-X-X-+1xlx-+1X-xl=—.
23423423424
1114
6.P=(1——)(1——)X—=——.
33327
經(jīng)典例題做一做
【例1】甲、乙兩人各進行3次射擊,甲每次擊中目標的概率為工,乙每次擊中目標的
2
2
概率為―,求:
3
(I)甲恰好擊中目標2次的概率;
(II)乙至少擊中目標2次的概率;
(III)乙恰好比甲多擊中目標2次的概率.
解:⑴甲恰好擊中目標2次的概率為C;(—>=一.
28
(ID乙至少擊中目標2次的概率為C;(g)2.g+C;(g)3=1^.
(Ill)設(shè)乙恰好比甲多擊中目標2次為事件A,乙恰好擊中目標2次且甲恰好擊中目標
0次為事件Bi,乙恰好擊中目標3次且甲恰好擊中目標1次為事件B2,則A=BI+B2,BI,
B2為互斥事件.
P(A)=P(Bi)+P(B)
一守.沁白2+聯(lián)齊喝)上
所以,乙恰好比甲多擊中目標2次的概率為
6
【例2】甲、乙兩袋裝有大小相同的紅球和白球,甲袋裝有2個紅球,2個白球;乙袋
裝有2個紅球,n個白球.兩甲,乙兩袋中各任取2個球.
(])若n=3,求取到的4個球全是紅球的概率;
3
(II)若取到的4個球中至少有2個紅球的概率為一,求n.
解:(I)記“取到的4個球全是紅球”為事件A.
CjC2_11_1
P(A),^-610-60
(II)記“取到的4個球至多有1個紅球”為事件5取到的4個球只有1個紅球”
為事件用,“取到的4個球全是白球”為事件人.
由題意,得
31
尸Mi亍7
p(8)=2互+G.呢=—_
1C;%c;C,3(〃+2)(〃+1)
c2C2
官式所以
2n2n(n-l)
尸(5)=尸(BJ+尸(鳥)=
3(n+2)(n+l)6(〃+2)(〃+1)4
化簡,得7〃2一11〃-6=0,
3
解得〃=2,或〃=——(舍去),故n=2.
7
梃煉總精。名帥
1.正確理解概念,能準確判斷是否相互獨立事件,只有對于相互獨立事件A與8來說,才
能運用公式P(A?B)=P(A)?P(B).
2.對于復(fù)雜的事件要能將其分解為互斥事件的和或獨立事件的積,或先計算對立事件.
3.善于發(fā)現(xiàn)或?qū)栴}化為n次獨立重復(fù)試驗問題,進而計算發(fā)生k次的概率.
離散型隨機變量的分布列
一、明確復(fù)酎目標
了解離散型隨機變量的意義,會求出某些簡單的離散型隨機變量的分布列
二,毫構(gòu)為職網(wǎng)珞
隨機變量:隨機試驗的結(jié)果可以用一個變量來表示,這樣的變量的隨機變量,記作5
若£是隨機變量,n=aS+b,其中是常數(shù),則n也是隨機變量.如出租車里程與收費.
2.離散型隨機變量:隨機變量可能取的值,可以按一定順序一一列出
連續(xù)型隨機變量:隨機變量可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值。
離散型隨機變量的研究內(nèi)容:隨機變量取什么值、取這些值的多與少、所取值的平均值、
穩(wěn)定性等。
⑴離散型隨機變量的分布列的兩個性質(zhì):
①P(S=Xi)=Pi20;②P1+P2+……=1
⑵求分布列的方法步驟:
①確定隨機變量的所有取值;②計算每個取值的概率并列表。
4.二項分布:在n次獨立重復(fù)試驗中,事件A發(fā)生的次數(shù)自是一個隨機變量,其所有
可能取的值為0,1,2,3,n,并且P(£=k)=Cnkpkq?k(其中k=0,l,2,...,n,p+q=D,即分布
列為
01kn
1k
cn0CnCnCn
P°qnpiqmipkqiknpnq°
稱這樣的隨機變量自服從參數(shù)為n和p的二項分布,記作:J~B(n,p).
5.幾何分布:如:某射擊手擊中目標的概率為p,則從射擊開始到擊中目標所需次數(shù)自的
三、以基殿目稱秣f
1.袋中有大小相同的5個球,分別標有1,2,3,4,5五個號碼,現(xiàn)在在有放回抽取的
條件下依次取出兩個球,設(shè)兩個球號碼之和為隨機變量S,則<所有可能取值的個數(shù)是
()
A.5B.9C.10D.25
2.已知隨機變量f的分布列為P(f=k)=二,k=l,2,…,則P(2<笈4)等于
2k
“31-1-
A.—Bn.-C.—D.一
164165
3.一袋中有5個白球,3個紅球,現(xiàn)從袋中往外取球,每次任取一個記下顏色后放回,
直到紅球出現(xiàn)10次時停止,設(shè)停止時共取了f次球,則P(f=12)等于
A.C;?(2)io.(^)2B.C「(之)9(2)2.3
88888
C.C?.(-)9-(-)D.C;|
88
4.設(shè)隨機變量f?8(2,p),n-B(4,
5.現(xiàn)有一大批種子,其中優(yōu)質(zhì)良種占30%,從中任取5粒,記f為5粒中的優(yōu)質(zhì)良種粒
數(shù),則f的分布列是.
簡答;\-3.BAB;3.第12次為紅球,前11次中9次紅球,P(&12)=C1-(-)
8
545
(-)2X-;4.P(良1)=1~P(f<l)=l-c?p0-(1-p)2=-,
889
:.p=~,p(q>i)=I-P30)=i-c:(1)0(-)4=1-3=竺答竺.
333818181
5.f?B(5,03),f的分布列是P(f=k)=C:03ko75%k=0,1,5
答案:P(f=k)=C^03k075"*,k=0,1.......5
經(jīng)再倒耍做一做
3
【例1】某射手進行射擊訓(xùn)練,假設(shè)每次射擊擊中目標的概率為士,且各次射擊的結(jié)果
互不影響。
(1)求射手在3次射擊中,至少有兩次連續(xù)擊中目標的概率(用數(shù)字作答);
(2)求射手第3次擊中目標時,恰好射擊了4次的概率(用數(shù)字作答);
(3)設(shè)隨機變量《表示射手第3次擊中目標時已射擊的次數(shù),求,的分布列.
解(1):記“射手射擊1次,擊中目標”為事件A,則在3次射擊中至少有兩次連續(xù)
擊中目標的概率
F]=P(A-A-A)+P(A-A-A)+P(AA-A)
33223333363
=-X—X-----1-----X—X------1-----X—X—=--------
555555555125
(II)解:射手第3次擊中目標時,恰好射擊了4次的概率
(III)解:由題設(shè),“£=k”的概率為
373
2k3
P^=k)=Ck^x(-)x(-)-x-
=G/X(2產(chǎn)X(3)3(AwN*且223)
所以,J的分布列為:
1:56
【例2]已知盒中有10個燈泡,其中8個正品,2個次品。需要從中取出2個正品,每
次從中取出1個,取出后不放回,直到取出2個正品為止,設(shè)《為取出的次數(shù),求£的分布
列及E£。
o7OR
解:p(^=2)=—x-=—;
10945
c、82728714
P(c=3)=——x—x—H--x—x—=—;
1098109815
“八,28141
P(4=4)=1-------=—。
454515
《的分布列表略----
22
Ej=2xPe=2)+3xPe=3)+4xPC=4)="^。
提煉總秸指名帥
1.會根據(jù)實際問題用隨機變量正確表示某些隨機試驗的結(jié)果與隨機事件;
2.熟練應(yīng)用分布列的兩個基本性質(zhì);
3.能熟練運用二項分布計算有關(guān)隨機事件的概率。
4.求離散型隨機變量的分布列的步驟:
①首先確定隨機變量的取值,明確每個值的意義;
②利用概率及排列組合知識,求出每個取值的概率;
③按規(guī)范形式寫出分布列,并用分布列的性質(zhì)驗證
離散型隨機變量的期望與方差
一、闞確復(fù)打目標
了解離散型隨機變量的期望值、方差的意義,會根據(jù)離散型隨機變量的分布列求出期望
值、方差.
二,毫構(gòu)知福網(wǎng)珞
1.平均數(shù)及計算方法
-1
⑴對于“個數(shù)據(jù)X1,X2,…,Xn,x=-(Xi+X2+—+Xn)叫做這〃個數(shù)據(jù)的平均數(shù),
n
(2)當(dāng)數(shù)據(jù)X1,X2,…,Xn的數(shù)值較大時,可將各數(shù)據(jù)同時減去一個適當(dāng)?shù)某?shù)。,得到
XI'=X1-GF,X2f二必一0,???,Xn=XLCl,那么,X=Xf+O.
⑶如果在八個數(shù)據(jù)中,X1出現(xiàn)/1次,X2出現(xiàn)力次,…,Xk出現(xiàn)九次(/1+%+…+赤=打),那
么彘4力+三力+…+X",叫加權(quán)平均數(shù)
n
2.方差及計算方法
⑴對于一組數(shù)據(jù)Xl,X2,…,X",
[一一一
2
S2=—[(X1—X)2+(X2-X)2+…+(x-'X)]
nn
叫做這組數(shù)據(jù)的方差,而5叫做標準差.
1-_
1
(2)方差公式:s--[(Xi2+X22+,e,+Xn2)—nx2]
n
(3)當(dāng)數(shù)據(jù)M,X2,…,尤中各值較大時,可將各數(shù)據(jù)減去一個適當(dāng)?shù)某?shù)。,得到XI,
=xi~a,X2'=x?-a,???,xn'=xn~a
貝代2=_1[(X/2+X2Z2+…+x/2)—“下]
n
3.隨機變量的數(shù)學(xué)期望:一般地,若離散型隨機變量f的概率分布為
???
XiX2Xn???
.??…
pPlP2Pn
則稱Ef=xwi+x2P2+??????+X4…為f的數(shù)學(xué)期望,簡稱期望.也叫平均數(shù),均值.
⑴數(shù)學(xué)期望是離散型隨機變量的一個特征數(shù),它反映了離散型隨機變量取值的平均水
(2)期望的一個性質(zhì):E(aS+b)=aE£+b
(3)求期望的方法步驟:①確定隨機變量的所有取值;
②計算第個取值的概率并列表;③由期望公式計算期望值。
22
4.方差:D^=(x1-E()pi+(X2-E^p2+...+(xn-E^2pn+...
(1)標準差:線的算術(shù)平方根四叫做隨機變量f的標準差,記作bj
⑵方差的性質(zhì):D麻+b)=a2DS;Df=E(乃卜附尸
(3)方差的求法步驟:
①求分布列;②求期望;③由公式計算方差.
隨機變量的方差與標準差都反映了:隨機變量取值的穩(wěn)定與波動、集中與離散的程
度。
5.會用求和符號2:如(為一Ef)2p〃
r=l1=1
6.二項分布的期望和方差:若S~B(n,p),則華np,=np(l-p)
7.幾何分布的期望和方差:若f服從幾何分布g(k,p)=qk-p,則
心=一,D4=T
pP'
證明:瑟=l-p+2p(l_p)+3p(l_p)2+…+切…
令Sn=l-p+2p(l-p)d—+np(l
(1-p)S?=lp(l-p)+.??+(H-l)p(l-p)"-]+np(,l-p)"
Sn-(1-p)5?=p+p(l-p)+.??+p(l-p)"-'-np(l-p)"
pS=p--np(\-y=1-(1-py-np(y-y
nI一宇/咳pP
E<=limSn=-,"=E?2)—(四)2=F
〃Tcopp~
三、以及觀目棟煉手
L在一次歌手大獎賽上,七位評委為歌手打出的分數(shù)如下:
9.4,8.4,9.4,9.9,9.6,9.4,9.7,去掉一個最高分和一個最低分后,所剩數(shù)據(jù)的平均值和方
差分別為()
A.9.4,0.484B.9.4,0.016C.9.5,0.04D.9.5,0.016
2.設(shè)導(dǎo)彈發(fā)射的事故率為0.01,若發(fā)射10次,其出事故的次數(shù)為f,則下列結(jié)論正確
的是()
A.Ef=O.OOIB.Df=0.099
k10k10-/t
C.P(f=k)=0.01-0.99D.P(f=k)=cfo-O.99k-0.01
3.一射手對靶射擊,直到第一次命中為止每次命中的概率為0.6,現(xiàn)有4顆子彈,命中
后的剩余子彈數(shù)目f的期望為
A.2.44B.3.376C.2.376D.2.4
4.一個均勻小正方體的6個面中,三個面上標以數(shù)0,兩個面上標以數(shù)1,一個面上標
以數(shù)2.將這個小正方體拋擲2次,則向上的數(shù)之積的數(shù)學(xué)期望是。
5.設(shè)離散型隨機變量f可能取的值為1,2,3,4.P(S=k)=ak+b(k=l,2,3,4),又f
的數(shù)學(xué)期望Ef=3,則a+b=
6.有兩臺自動包裝機甲與乙,包裝重量分別為隨機變量黃、已知£&=£&,Db>DG,
則自動包裝機的質(zhì)量較好.
7.若隨機變量A在一次試驗中發(fā)生的概率為p用隨機變量f表示A在1次試
驗中發(fā)生的次數(shù),則出二!.的最大值為
塔-----------
解:隨機變量f的所有可能取值為0,1,并且有P(f=l)=p,P(<=0)=1-P,從
而Ef=0X(1—p)+lXp=p,DS=(0~p)2X(l~p)+(1—p)2Xp=p—p2.
也3=2(p")-]=2_(2p+1)W2-2拉
EJpp
當(dāng)且僅當(dāng)2p=,,即p=Jl時,幺筆二1取得最大值2—2五.
P2E&
?統(tǒng):1-3.DBC;
3.P(<=0)=0.43,p(0)=0.6x0.42,P(f=2)=0.6x04P(f=3)=0.6,Ef=2.376;
4.i;5+b)+(2a+力+(3a+b)+(4a+/?)=1
9[(a+b)+2(2。+/?)+3(3。+0)+4(4〃+Z?)=3
得ci=—,=0,***a+b=—.
1010
6.包裝的重量的平均水平一樣,甲機包裝重量的差別大,不穩(wěn)定,答案:乙
經(jīng)典例敢做一做
【例1】(1)一枚骰子的六個面上標有1、2、3、4、5、6,投擲一次,向上面的點數(shù)為
f,求Ef、E(2f+3)和Df。
(2)若隨機變量f的分布列為P(f=k)=-(k=l,2,3,…,n),求Ef和Df。
n
⑶一次英語測驗由50道選擇題構(gòu)成,每道有4個選項,其中有且僅有一個是正確的,
每個選對得3分,選錯或不選均不得分,滿分150分,某學(xué)生選對每一道題的概率為0.7,
求該生在這次測驗中的成績的期望與方差。
國軍:(l)Ef=XiPi+x2P2+X3P3+…+X6P6=lx—+2x—+3x—+…+6x—=3.5
6666
E(2f+3)=2E*3=10
Df=(Xi-E[2pi+(X2-E02P2+.?.+(X6-E02P6
=-[(1-3.5產(chǎn)+(2-3.5)2+-(6-3.5)2]=17.5X-=2.92
66
1幾十1
(2)E^-(l+2+...+n)=--
n2
Df=E3(E92=_L(n2-i)
n
⑶設(shè)f為該生選對試題個數(shù),n為成績。則1?B(50,0.7),n=3f
Ef=50x0.7=35;Df=50x0.7x0.3=10.5
故Er)=E(39=3Ef=105
Dr)=D(3Q=9Df=94.5
【例2】(2006年安徽)在添加劑的搭配使用中,為了找到最佳的搭配方案,需要對各種
不同的搭配方式作比較。在試制某種牙膏新品種時,需要選用兩種不同的添加劑,現(xiàn)有芳香
度分別為0,1,2,3,4,5的六種添加劑可供選用。根據(jù)試驗設(shè)計學(xué)原理,通常首先要隨
機選取兩種不同的添加劑進行搭配試驗。用f表示所選用的兩種不同的添加劑的芳香度之
和,
I23
E^=(l+2+8+9)x—+(3+4+6+7)x—+5x—=5.
梃煉總給“為帥
1.離散型隨機變量的期望和方差的意義.
2.求期望與方差,首先應(yīng)先求出分布列,再代公式求期望與方差.
3.離散型隨機變量的期望和方差的計算公式與運算性質(zhì):
4.二項分布的期望與方差:若《?B(n,p),則£f=np,D《=np(1—p).
lz
--月二月三月
產(chǎn)品名稱數(shù)量金額利潤產(chǎn)品名稱數(shù)量金額利潤產(chǎn)品名稱
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