高中數(shù)學選修2-3《離散型隨機變量》復習

相互獨立事件同時發(fā)生的概率

、明確復燈目標

1.了解相互獨立事件的意義，會用相互獨立事件的概率乘法公式計算一些事件的概率.

2.會計算事件在n次獨立重復試驗中恰好發(fā)生K次的概率.

二，建構(gòu)扣福網(wǎng)輅

1.相互獨立事件：事件A(或3)是否發(fā)生對事件8(或A)發(fā)生的概率沒有影響，

這樣的兩個事件叫做相互獨立事件.

若A與3是相互獨立事件，則A與豆，可與8,,與否也相互獨立.

3.相互獨立事件同時發(fā)生的概率：P(45)=P(A)-P(B)

事件事,…,4相互獨立,P(A4…-4)=P(A)?P(4)…“P(4)

2.互斥事件與相互獨立事件是有區(qū)別的：

互斥事件與相互獨立事件研究的都是兩個事件的關(guān)系，但而互斥的兩個事件是一次實驗

中的兩個事件，相互獨立的兩個事件是在兩次試驗中得到的，注意區(qū)別。

如果A、B相互獨立，則P(A+B)=P(A)+P(8)-p(A-B)

如：某人射擊一次命中的概率是0.9,射擊兩次，互不影響，至少命中一次的概率是

0.9+0.9-0.9X0.9=0.99,(也即1-0.1X0.1=0.99)

4.獨立重復試驗的定義：在同樣條件下進行的各次之間相互獨立的一種試驗.

6.獨立重復試驗的概率公式：如果在一次試驗中某事件發(fā)生的概率是P,那么在n次獨

立重復試驗中這個事稻殍爰星K次的概率:匕(k)=C；P”(l-尸產(chǎn).

nnnn

k=n時，即在n次獨立重復試驗中事件A全即名:等概率為Pn(>=Cnp(l-p)°=p

0n

k=O時，即在n次獨立重復試驗中事件A沒有々:生，概率為P^^=Cn°p(l-p)=(l-pr

三、秋基耍目在秣不

1.從應屆高中生中選出飛行員，已知這批學生體型合格的概率為』，視力合格的概率為

3

其他幾項標準合格的概率為J,從中任選一學生，則該生三項均合格的概率為(假設(shè)

65

三項標準互不影響)()

4Di

2(2005天津)某人射擊一次擊中的概率為0.6,經(jīng)過3次射擊，此人至少有兩次擊中目標的

概率為()

8154一3627

A.——B.---c.-----D.——

125125125125

3.甲、乙兩人獨立地解同一問題，甲解決這個問題的概率是pi，乙解決這個問題的概率

是P2,那么恰好有1人解決這個問題的概率是

A.P1P2B.pi(1—P2)+P2(1—Pl)

C.l-P1P2D.l—(1—P1)(1—P2)

4.接種某疫苗后，出現(xiàn)發(fā)熱反應的概率為0.80.現(xiàn)有5人接種該疫苗，至少有3人出現(xiàn)

發(fā)熱反應的概率為.(精確到0.01)

5.一道數(shù)學競賽試題，甲生解出它的概率為,，乙生解出它的概率為工，丙生解出它的

23

概率為1,由甲、乙、丙三人獨立解答此題只有一人解出的概率為_______.

4

6.一出租車司機從飯店到火車站途中有六個交通崗，假設(shè)他在各交通崗遇到紅燈這一事

件是相互獨立的，并且概率都是L那么這位司機遇到紅燈前，已經(jīng)通過了兩個交通崗的概

3

率是.

篦答：1-3.CAB;4.0.94;5.P=-X-X-+1xlx-+1X-xl=—.

23423423424

1114

6.P=(1——)(1——)X—=——.

33327

經(jīng)典例題做一做

【例1】甲、乙兩人各進行3次射擊，甲每次擊中目標的概率為工，乙每次擊中目標的

2

2

概率為―,求：

3

(I)甲恰好擊中目標2次的概率；

(II)乙至少擊中目標2次的概率；

(III)乙恰好比甲多擊中目標2次的概率.

解：⑴甲恰好擊中目標2次的概率為C；(—>=一.

28

(ID乙至少擊中目標2次的概率為C；(g)2.g+C；(g)3=1^.

(Ill)設(shè)乙恰好比甲多擊中目標2次為事件A,乙恰好擊中目標2次且甲恰好擊中目標

0次為事件Bi,乙恰好擊中目標3次且甲恰好擊中目標1次為事件B2,則A=BI+B2,BI,

B2為互斥事件.

P(A)=P(Bi)+P(B)

一守.沁白2+聯(lián)齊喝)上

所以，乙恰好比甲多擊中目標2次的概率為

6

【例2】甲、乙兩袋裝有大小相同的紅球和白球，甲袋裝有2個紅球，2個白球；乙袋

裝有2個紅球，n個白球.兩甲，乙兩袋中各任取2個球.

(])若n=3,求取到的4個球全是紅球的概率；

3

(II)若取到的4個球中至少有2個紅球的概率為一，求n.

解：(I)記“取到的4個球全是紅球”為事件A.

CjC2_11_1

P(A),^-610-60

(II)記“取到的4個球至多有1個紅球”為事件5取到的4個球只有1個紅球”

為事件用，“取到的4個球全是白球”為事件人.

由題意，得

31

尸Mi亍7

p(8)=2互+G.呢=—_

1C；%c；C，3(〃+2)(〃+1)

c2C2

官式所以

2n2n(n-l)

尸(5)=尸(BJ+尸(鳥)=

3(n+2)(n+l)6(〃+2)(〃+1)4

化簡，得7〃2一11〃-6=0,

3

解得〃=2,或〃=——(舍去)，故n=2.

7

梃煉總精。名帥

1.正確理解概念，能準確判斷是否相互獨立事件，只有對于相互獨立事件A與8來說，才

能運用公式P(A?B)=P(A)?P(B).

2.對于復雜的事件要能將其分解為互斥事件的和或獨立事件的積，或先計算對立事件.

3.善于發(fā)現(xiàn)或?qū)栴}化為n次獨立重復試驗問題，進而計算發(fā)生k次的概率.

離散型隨機變量的分布列

一、明確復酎目標

了解離散型隨機變量的意義，會求出某些簡單的離散型隨機變量的分布列

二，毫構(gòu)為職網(wǎng)珞

隨機變量：隨機試驗的結(jié)果可以用一個變量來表示，這樣的變量的隨機變量，記作5

若￡是隨機變量，n=aS+b,其中是常數(shù)，則n也是隨機變量.如出租車里程與收費.

2.離散型隨機變量：隨機變量可能取的值，可以按一定順序一一列出

連續(xù)型隨機變量：隨機變量可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值。

離散型隨機變量的研究內(nèi)容：隨機變量取什么值、取這些值的多與少、所取值的平均值、

穩(wěn)定性等。

⑴離散型隨機變量的分布列的兩個性質(zhì)：

①P(S=Xi)=Pi20;②P1+P2+……=1

⑵求分布列的方法步驟：

①確定隨機變量的所有取值；②計算每個取值的概率并列表。

4.二項分布：在n次獨立重復試驗中，事件A發(fā)生的次數(shù)自是一個隨機變量，其所有

可能取的值為0，1,2,3,n,并且P(￡=k)=Cnkpkq?k(其中k=0,l,2,...,n,p+q=D，即分布

列為

01kn

1k

cn0CnCnCn

P°qnpiqmipkqiknpnq°

稱這樣的隨機變量自服從參數(shù)為n和p的二項分布，記作：J~B(n,p).

5.幾何分布：如：某射擊手擊中目標的概率為p,則從射擊開始到擊中目標所需次數(shù)自的

三、以基殿目稱秣f

1.袋中有大小相同的5個球，分別標有1,2,3,4,5五個號碼，現(xiàn)在在有放回抽取的

條件下依次取出兩個球，設(shè)兩個球號碼之和為隨機變量S，則<所有可能取值的個數(shù)是

()

A.5B.9C.10D.25

2.已知隨機變量f的分布列為P(f=k)=二，k=l,2,…，則P(2<笈4)等于

2k

“31-1-

A.—Bn.-C.—D.一

164165

3.一袋中有5個白球，3個紅球，現(xiàn)從袋中往外取球，每次任取一個記下顏色后放回，

直到紅球出現(xiàn)10次時停止，設(shè)停止時共取了f次球，則P(f=12)等于

A.C；?(2)io.(^)2B.C「(之)9(2)2.3

88888

C.C?.(-)9-(-)D.C；|

88

4.設(shè)隨機變量f?8(2,p),n-B(4,

5.現(xiàn)有一大批種子，其中優(yōu)質(zhì)良種占30%,從中任取5粒，記f為5粒中的優(yōu)質(zhì)良種粒

數(shù)，則f的分布列是.

簡答;\-3.BAB;3.第12次為紅球，前11次中9次紅球，P(&12)=C1-(-)

8

545

(-)2X-;4.P(良1)=1~P(f<l)=l-c?p0-(1-p)2=-,

889

：.p=~,p(q>i)=I-P30)=i-c：(1)0(-)4=1-3=竺答竺.

333818181

5.f?B(5,03),f的分布列是P(f=k)=C：03ko75%k=0,1,5

答案：P(f=k)=C^03k075"*,k=0,1.......5

經(jīng)再倒耍做一做

3

【例1】某射手進行射擊訓練，假設(shè)每次射擊擊中目標的概率為士，且各次射擊的結(jié)果

互不影響。

(1)求射手在3次射擊中，至少有兩次連續(xù)擊中目標的概率(用數(shù)字作答)；

(2)求射手第3次擊中目標時，恰好射擊了4次的概率(用數(shù)字作答)；

(3)設(shè)隨機變量《表示射手第3次擊中目標時已射擊的次數(shù)，求，的分布列.

解(1)：記“射手射擊1次，擊中目標”為事件A,則在3次射擊中至少有兩次連續(xù)

擊中目標的概率

F]=P(A-A-A)+P(A-A-A)+P(AA-A)

33223333363

=-X—X-----1-----X—X------1-----X—X—=--------

555555555125

(II)解：射手第3次擊中目標時，恰好射擊了4次的概率

(III)解:由題設(shè)，“￡=k”的概率為

373

2k3

P^=k)=Ck^x(-)x(-)-x-

=G/X(2產(chǎn)X(3)3(AwN*且223)

所以，J的分布列為:

1：56

【例2］已知盒中有10個燈泡，其中8個正品，2個次品。需要從中取出2個正品，每

次從中取出1個，取出后不放回，直到取出2個正品為止，設(shè)《為取出的次數(shù)，求￡的分布

列及E￡。

o7OR

解：p(^=2)=—x-=—；

10945

c、82728714

P(c=3)=——x—x—H--x—x—=—；

1098109815

“八,28141

P(4=4)=1-------=—。

454515

《的分布列表略----

22

Ej=2xPe=2)+3xPe=3)+4xPC=4)="^。

提煉總秸指名帥

1.會根據(jù)實際問題用隨機變量正確表示某些隨機試驗的結(jié)果與隨機事件;

2.熟練應用分布列的兩個基本性質(zhì)；

3.能熟練運用二項分布計算有關(guān)隨機事件的概率。

4.求離散型隨機變量的分布列的步驟：

①首先確定隨機變量的取值，明確每個值的意義；

②利用概率及排列組合知識，求出每個取值的概率；

③按規(guī)范形式寫出分布列，并用分布列的性質(zhì)驗證

離散型隨機變量的期望與方差

一、闞確復打目標

了解離散型隨機變量的期望值、方差的意義，會根據(jù)離散型隨機變量的分布列求出期望

值、方差.

二，毫構(gòu)知福網(wǎng)珞

1.平均數(shù)及計算方法

-1

⑴對于“個數(shù)據(jù)X1，X2,…，Xn，x=-(Xi+X2+—+Xn)叫做這〃個數(shù)據(jù)的平均數(shù)，

n

(2)當數(shù)據(jù)X1，X2,…，Xn的數(shù)值較大時，可將各數(shù)據(jù)同時減去一個適當?shù)某?shù)。，得到

XI'=X1-GF,X2f二必一0，???,Xn=XLCl,那么,X=Xf+O.

⑶如果在八個數(shù)據(jù)中，X1出現(xiàn)/1次，X2出現(xiàn)力次，…，Xk出現(xiàn)九次(/1+%+…+赤=打)，那

么彘4力+三力+…+X",叫加權(quán)平均數(shù)

n

2.方差及計算方法

⑴對于一組數(shù)據(jù)Xl，X2，…，X",

[一一一

2

S2=—[(X1—X)2+(X2-X)2+…+(x-'X)]

nn

叫做這組數(shù)據(jù)的方差，而5叫做標準差.

1-_

1

(2)方差公式:s--[(Xi2+X22+,e,+Xn2)—nx2]

n

(3)當數(shù)據(jù)M，X2,…，尤中各值較大時，可將各數(shù)據(jù)減去一個適當?shù)某?shù)。，得到XI,

=xi~a,X2'=x?-a，???,xn'=xn~a

貝代2=_1[(X/2+X2Z2+…+x/2)—“下]

n

3.隨機變量的數(shù)學期望：一般地，若離散型隨機變量f的概率分布為

???

XiX2Xn???

.??…

pPlP2Pn

則稱Ef=xwi+x2P2+??????+X4…為f的數(shù)學期望，簡稱期望.也叫平均數(shù)，均值.

⑴數(shù)學期望是離散型隨機變量的一個特征數(shù)，它反映了離散型隨機變量取值的平均水

(2)期望的一個性質(zhì):E(aS+b)=aE￡+b

(3)求期望的方法步驟：①確定隨機變量的所有取值；

②計算第個取值的概率并列表；③由期望公式計算期望值。

22

4.方差:D^=(x1-E()pi+(X2-E^p2+...+(xn-E^2pn+...

(1)標準差:線的算術(shù)平方根四叫做隨機變量f的標準差，記作bj

⑵方差的性質(zhì)：D麻+b)=a2DS;Df=E(乃卜附尸

(3)方差的求法步驟：

①求分布列；②求期望；③由公式計算方差.

隨機變量的方差與標準差都反映了:隨機變量取值的穩(wěn)定與波動、集中與離散的程

度。

5.會用求和符號2：如(為一Ef)2p〃

r=l1=1

6.二項分布的期望和方差：若S~B(n,p),則華np,=np(l-p)

7.幾何分布的期望和方差：若f服從幾何分布g(k,p)=qk-p,則

心=一，D4=T

pP'

證明:瑟=l-p+2p(l_p)+3p(l_p)2+…+切…

令Sn=l-p+2p(l-p)d—+np(l

(1-p)S?=lp(l-p)+.??+(H-l)p(l-p)"-]+np(,l-p)"

Sn-(1-p)5?=p+p(l-p)+.??+p(l-p)"-'-np(l-p)"

pS=p--np(\-y=1-(1-py-np(y-y

nI一宇/咳pP

E<=limSn=-，"=E?2)—(四)2=F

〃Tcopp~

三、以及觀目棟煉手

L在一次歌手大獎賽上，七位評委為歌手打出的分數(shù)如下：

9.4,8.4,9.4,9.9,9.6,9.4,9.7,去掉一個最高分和一個最低分后，所剩數(shù)據(jù)的平均值和方

差分別為()

A.9.4,0.484B.9.4,0.016C.9.5,0.04D.9.5,0.016

2.設(shè)導彈發(fā)射的事故率為0.01,若發(fā)射10次，其出事故的次數(shù)為f,則下列結(jié)論正確

的是()

A.Ef=O.OOIB.Df=0.099

k10k10-/t

C.P(f=k)=0.01-0.99D.P(f=k)=cfo-O.99k-0.01

3.一射手對靶射擊，直到第一次命中為止每次命中的概率為0.6,現(xiàn)有4顆子彈，命中

后的剩余子彈數(shù)目f的期望為

A.2.44B.3.376C.2.376D.2.4

4.一個均勻小正方體的6個面中，三個面上標以數(shù)0,兩個面上標以數(shù)1,一個面上標

以數(shù)2.將這個小正方體拋擲2次，則向上的數(shù)之積的數(shù)學期望是。

5.設(shè)離散型隨機變量f可能取的值為1,2,3,4.P(S=k)=ak+b(k=l,2,3,4),又f

的數(shù)學期望Ef=3,則a+b=

6.有兩臺自動包裝機甲與乙，包裝重量分別為隨機變量黃、已知￡&=￡&,Db>DG，

則自動包裝機的質(zhì)量較好.

7.若隨機變量A在一次試驗中發(fā)生的概率為p用隨機變量f表示A在1次試

驗中發(fā)生的次數(shù)，則出二!.的最大值為

塔-----------

解：隨機變量f的所有可能取值為0,1,并且有P(f=l)=p,P(<=0)=1-P，從

而Ef=0X(1—p)+lXp=p,DS=(0~p)2X(l~p)+(1—p)2Xp=p—p2.

也3=2(p")-]=2_(2p+1)W2-2拉

EJpp

當且僅當2p=,，即p=Jl時，幺筆二1取得最大值2—2五.

P2E&

?統(tǒng)：1-3.DBC;

3.P(<=0)=0.43,p(0)=0.6x0.42,P(f=2)=0.6x04P(f=3)=0.6,Ef=2.376;

4.i;5+b)+(2a+力+(3a+b)+(4a+/?)=1

9[(a+b)+2(2。+/?)+3(3。+0)+4(4〃+Z?)=3

得ci=—,=0,***a+b=—.

1010

6.包裝的重量的平均水平一樣，甲機包裝重量的差別大，不穩(wěn)定，答案：乙

經(jīng)典例敢做一做

【例1】(1)一枚骰子的六個面上標有1、2、3、4、5、6,投擲一次，向上面的點數(shù)為

f,求Ef、E(2f+3)和Df。

(2)若隨機變量f的分布列為P(f=k)=-(k=l,2,3,…，n),求Ef和Df。

n

⑶一次英語測驗由50道選擇題構(gòu)成，每道有4個選項，其中有且僅有一個是正確的，

每個選對得3分，選錯或不選均不得分，滿分150分，某學生選對每一道題的概率為0.7,

求該生在這次測驗中的成績的期望與方差。

國軍：(l)Ef=XiPi+x2P2+X3P3+…+X6P6=lx—+2x—+3x—+…+6x—=3.5

6666

E(2f+3)=2E*3=10

Df=(Xi-E[2pi+(X2-E02P2+.?.+(X6-E02P6

=-[(1-3.5產(chǎn)+(2-3.5)2+-(6-3.5)2]=17.5X-=2.92

66

1幾十1

(2)E^-(l+2+...+n)=--

n2

Df=E3(E92=_L(n2-i)

n

⑶設(shè)f為該生選對試題個數(shù)，n為成績。則1?B(50,0.7),n=3f

Ef=50x0.7=35；Df=50x0.7x0.3=10.5

故Er)=E(39=3Ef=105

Dr)=D(3Q=9Df=94.5

【例2】(2006年安徽)在添加劑的搭配使用中，為了找到最佳的搭配方案，需要對各種

不同的搭配方式作比較。在試制某種牙膏新品種時，需要選用兩種不同的添加劑，現(xiàn)有芳香

度分別為0,1,2,3,4,5的六種添加劑可供選用。根據(jù)試驗設(shè)計學原理，通常首先要隨

機選取兩種不同的添加劑進行搭配試驗。用f表示所選用的兩種不同的添加劑的芳香度之

和，

I23

E^=(l+2+8+9)x—+(3+4+6+7)x—+5x—=5.

梃煉總給“為帥

1.離散型隨機變量的期望和方差的意義.

2.求期望與方差,首先應先求出分布列，再代公式求期望與方差.

3.離散型隨機變量的期望和方差的計算公式與運算性質(zhì)：

4.二項分布的期望與方差：若《?B(n,p),則￡f=np,D《=np(1—p).

lz

--月二月三月

產(chǎn)品名稱數(shù)量金額利潤產(chǎn)品名稱數(shù)量金額利潤產(chǎn)品名稱