2020屆二輪復(fù)習(xí) 概率與統(tǒng)計(jì) 教案

2020屆二輪復(fù)習(xí)概率與統(tǒng)計(jì)教案（全國(guó)通用）

一、統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例

1.抽樣方法

三種抽樣方法的比較

類別共同點(diǎn)各自特點(diǎn)相互聯(lián)系適用范圍

總體中的個(gè)體數(shù)較

簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣從總體中逐個(gè)抽取

少

抽樣過程中

將總體均分成幾部分，

每個(gè)個(gè)體被在起始部分抽樣時(shí)采總體中的個(gè)體數(shù)較

系統(tǒng)抽樣按事先確定的規(guī)則在各

抽取的概率用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣多

部分抽取

相等

將總體分成幾層，分層分層抽樣時(shí)采用簡(jiǎn)單總體由差異明顯的

分層抽樣

進(jìn)行抽取隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣幾部分組成

2.統(tǒng)計(jì)圖表

（1）在頻率分布直方圖中：

頻率

①各小矩形的面積表示相應(yīng)各組的頻率，各小矩形的高=京京：②各小矩形面積之和等于1;③中位數(shù)左右

兩側(cè)的直方圖面積相等，因此可以估計(jì)其近似值.

⑵莖葉圖

當(dāng)數(shù)據(jù)有兩位有效數(shù)字時(shí)，用中間的數(shù)字表示十位數(shù)，即第一個(gè)有效數(shù)字，兩邊的數(shù)字表示個(gè)位數(shù)，即第

二個(gè)有效數(shù)字，它的中間部分像植物的莖，兩邊部分像植物莖上長(zhǎng)出來的葉子，因此通常把這樣的圖叫做

莖葉圖.

當(dāng)數(shù)據(jù)有三位有效數(shù)字，前兩位相對(duì)比較集中時(shí)，常以前兩位為莖，第三位（個(gè)位）為葉（其余類推）.

3.樣本的數(shù)字特征

⑴眾數(shù)

在樣本數(shù)據(jù)中，頻率分布最大值所對(duì)應(yīng)的樣本數(shù)據(jù)（或出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)數(shù)據(jù)）.

（2）中位數(shù)

樣本數(shù)據(jù)中，將數(shù)據(jù)按大小排列，位于最中間的數(shù)據(jù).如果數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)為偶數(shù)，就取當(dāng)中兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均

數(shù)作為中位數(shù).學(xué)-科網(wǎng)

（3）平均數(shù)與方差

樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)X=[（X]+x2+...+X"）.

方差52—~fUl—X尸+（》2—X/+…+（即-XA].

注意：（1）現(xiàn)實(shí)中總體所包含的個(gè)體數(shù)往往較多，總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差、方差是不知道（或不可求）的，所以

我們通常用樣本的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差、方差來估計(jì)總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差、方差.

（2）平均數(shù)反映了數(shù)據(jù)取值的平均水平，標(biāo)準(zhǔn)差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動(dòng)的大小.標(biāo)準(zhǔn)差、方

差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大，越不穩(wěn)定.

4.變量間的相關(guān)關(guān)系

（1）利用散點(diǎn)圖可以初步判斷兩個(gè)變量之間是否線性相關(guān).如果散點(diǎn)圖中的點(diǎn)從整體上看大致分布在一條直

線的附近，我們說變量X和y具有線性相關(guān)關(guān)系.

（2）用最小二乘法求回歸直線的方程

設(shè)線性回歸方程為￡=源+2,則

n__n___

AZXi-xyi-y^jayi-nxy

產(chǎn)1i=\

b==

<n_n_

XXi~x2Y^—nx2

z=i尸i

A——A—

IQ=y—bx

注意：回歸直線一定經(jīng)過樣本的中心點(diǎn)（三，7）,據(jù)此性質(zhì)可以解決有關(guān)的計(jì)算問題.

5.回歸分析

y：~y

,叫做相關(guān)系數(shù).

yi-y2

/=!

相關(guān)系數(shù)用來衡量變量X與y之間的線性相關(guān)程度；H<1,且仍越接近于1,相關(guān)程度越高，仍越接近于0,

相關(guān)程度越低.

6.獨(dú)立性檢驗(yàn)

假設(shè)有兩個(gè)分類變量X和匕它們的取值分別為｛?,通｝和｛9，），2｝，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表（稱為2x2列聯(lián)表）

為

總計(jì)

X1aba+b

X2Cdc+d

總計(jì)h+da+h+c+d

a+b+c+dad—be2

則K2=

a~Vbc+da+cb+d

若K>3.841,則有95%的把握說兩個(gè)事件有關(guān);

若六>6.635,則有99%的把握說兩個(gè)事件有關(guān)；

若蜉<2.706,則沒有充分理由認(rèn)為兩個(gè)事件有關(guān).

7.隨機(jī)事件的概率

隨機(jī)事件的概率范圍：O<P(A)<1；

必然事件的概率為1,不可能事件的概率為0.

8.古典概型

①計(jì)算一次試驗(yàn)中基本事件的總數(shù)?、谇笫录嗀包含的基本事件的個(gè)數(shù)加③利用公式尸(4)=藍(lán)計(jì)算.

9.一般地，如果事件A、8互斥，那么事件A+B發(fā)生(即A、8中有一個(gè)發(fā)生)的概率，等于事件A、8分

別發(fā)生的概率的和，即P(A+B)=P(A)+P(B).

10.對(duì)立事件：在每一次試驗(yàn)中，相互對(duì)立的事件A和4不會(huì)同時(shí)發(fā)生，但一定有一個(gè)發(fā)生，因此有P(Z)

=1一尸(A).

11.互斥事件與對(duì)立事件的關(guān)系

對(duì)立必互斥，互斥未必對(duì)立.

12.幾何概型

一般地，在幾何區(qū)域。內(nèi)隨機(jī)地取一點(diǎn)，記事件”該點(diǎn)落在其內(nèi)部區(qū)域d內(nèi)”為事件A,則事件A發(fā)生的概

d的測(cè)度

率P(A)=

。的測(cè)度.

高頻考點(diǎn)突破

高頻考點(diǎn)一事件與概率

例1.(2018年江蘇卷)某興趣小組有2名男生和3名女生，現(xiàn)從中任選2名學(xué)生去參加活動(dòng)，則恰好選中

2名女生的概率為

.3

【答案】一

10

【解析】從5名學(xué)生中抽取2名學(xué)生，共有10種方法，其中恰好選中2名女生的方法有3種，因此所求概

率為一.

10

【變式探究】某險(xiǎn)種的基本保費(fèi)為。(單位：元)，繼續(xù)購(gòu)買該險(xiǎn)種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人本年度的保

費(fèi)與其上年度出險(xiǎn)次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下：

上年度出險(xiǎn)次數(shù)01234>5

保費(fèi)0.85。a1.25a1.5a1.75a2a

設(shè)該險(xiǎn)種一續(xù)保人一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)與相應(yīng)概率如下:

一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)01234>5

概率0.300.150.200.200.100.05

(1)求一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)的概率；

(2)若一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)，求其保費(fèi)比基本保費(fèi)高出60%的概率；

(3)求續(xù)保人本年度的平均保費(fèi)與基本保費(fèi)的比值.

【解析】(1)設(shè)A表示事件：“?續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)”，則事件A發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險(xiǎn)次

數(shù)大于1,故P(A)=0.2+0.2+0.1+0.05=0.55.

(2)設(shè)B表示事件：“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)比基本保費(fèi)高出60%”，則事件B發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)

大于3,故尸(8)=0.1+0.05=0.15.

又P(AB)=P(B),

故槽)；；；=麒=+因此所求概率為普.

(3)記續(xù)保人本年度的保費(fèi)為X,則X的分布列為

X0.85〃a1.25〃1.5a1.756/2a

P0.300.150.200.200.100.05

EX=0.85ax0.30+ax0.15+1.25ax0.20+1.5ax0.20+1.75ax0.10+2ax0.05=1.23a.

因此續(xù)保人本年度的平均保費(fèi)與基本保費(fèi)的比值為寧=1.23.

【變式探究】袋中共有15個(gè)除了顏色外完全相同的球，其中有10個(gè)白球，5個(gè)紅球.從袋中任取2個(gè)球，

所取的2個(gè)球中恰有1個(gè)白球，I個(gè)紅球的概率為()

A,105

解析從袋中任取2個(gè)球共有Ct=105種取法，其中恰好1個(gè)白球1個(gè)紅球共有C|oCi=50種取法，所以

所取的球恰好1個(gè)白球1個(gè)紅球的概率為喘=第.

答案C

高頻考點(diǎn)二古典概型

例2.12017山東，理8】從分別標(biāo)有1,2,9的9張卡片中不放回地隨機(jī)抽取2次，每次抽取1張.則

抽到的2張卡片上的數(shù)奇偶性不同的概率是

5、457

（A）—（B）—（C）—（D）—

18999

【答案】C

【解析】標(biāo)有1,2,…，9的9張卡片中，標(biāo)奇數(shù)的有5張，標(biāo)偶數(shù)的有4張，所以抽到的2張卡片

2C；C：5

上的數(shù)奇偶性不同的概率是，選C.

9x89

【變式探究】袋中共有15個(gè)除了顏色外完全相同的球，其中有10個(gè)白球，5個(gè)紅球.從袋中任取2個(gè)球，

所取的2個(gè)球中恰有1個(gè)白球，1個(gè)紅球的概率為（）

A.得C.^YD.I

【解析】（1）方法一：從袋中取出2個(gè)球的方法有C?5=105（種），取出I個(gè)白球的方法有clo=10（種），取出

1個(gè)紅球的方法有C,=5（種），故取2個(gè)球，1白1紅的方法有C|（）C!=50（種），所以尸=盛=卷.

方法二（間接法）：從袋中取出2個(gè)球的方法有C15=105（種），若取出的2個(gè)球是同色的，則取出的方法有C石

+Cg=55（種）.

記“取出的2個(gè)球同色”為事件4,則即）=蓋=養(yǎng)

因此，取出的2個(gè)球不同色的概率為尸=1—P（A）=$.

【變式探究】從正方形四個(gè)頂點(diǎn)及其中心這5個(gè)點(diǎn)中，任取2個(gè)點(diǎn)，則這2個(gè)點(diǎn)的距離不小于該正方形邊

長(zhǎng)的概率為（）

1234

A.gB.gC.jD.g

解析從這5個(gè)點(diǎn)中任取2個(gè)，有&=1。種取法，滿足兩點(diǎn)間的距離不小于正方形邊長(zhǎng)的取法有儀=6種,

因此所求概率P端=|.故選C.

答案C

高頻考點(diǎn)三隨機(jī)數(shù)與幾何概型

例3.（2018年全國(guó)I卷理數(shù)）下圖來自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形.此圖由三個(gè)半圓構(gòu)成，

三個(gè)半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC,直角邊AB,4c.△ABC的三邊所圍成的區(qū)域記為I,

黑色部分記為II,其余部分記為HI.在整個(gè)圖形中隨機(jī)取一點(diǎn)，此點(diǎn)取自I,H,III的概率分別記為0，02,

P3,則

A.P1=P2B.pi=P3

C.P2=P3D.p尸P2+P3

【答案】A

［解析】設(shè)AC=b、AB=c.BC=a,則有心一

從而可以求得國(guó)d的面積為卜

黑色部分的面積為S*■jr,(-)**x■■(-)'be]=+-——)+-be=3t-*二2~—+-4K=Ac>

22224442422

其余部分的面積為S「《（￥」bc=里」be，所以有Bi=司,

2242

根據(jù)面積型幾何概型的概率公式，可以得到Pi=n，故選A.

【變式探究】【2017課標(biāo)1,理】如圖，正方形ABCD內(nèi)的圖形來自中國(guó)古代的太極圖.正方形內(nèi)切圓中的黑

色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對(duì)稱.在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自黑色部分的概率是

71

A.B.

48

71

C.D.-

24

【答案】B

【解析】設(shè)正方形邊長(zhǎng)為。，則圓的半徑為全正方形的面積為區(qū)圓的面積為等.由圖形的對(duì)稱性可

知，太極圖中黑白部分面積相等，即各占圓面積的一半.由幾何概型概率的計(jì)算公式得，此點(diǎn)取自黑色部分

1TlCf

的概率是口一=1，選B.

a8

【變式探究】某公司的班車在7：30,8：00,8：30發(fā)車，小明在7：50至8：30之間到達(dá)發(fā)車站乘坐班

車，且到達(dá)發(fā)車站的時(shí)刻是隨機(jī)的，則他等車時(shí)間不超過10分鐘的概率是（）

A.gB.；C.,D.1

【答案】B【解析】由題意知，小明在7：50至8：30之間到達(dá)發(fā)車站，故他只能乘坐8：00或8：30

發(fā)的車，所以他等車時(shí)間不超過io分鐘的概率

【變式探究】從區(qū)間［0,1］隨機(jī)抽取2〃個(gè)數(shù)為，12，…，xn,y\t”，…，加，構(gòu)成〃個(gè)數(shù)對(duì)但，yi）,（及，

丫2），…，（斯，丹），其中兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對(duì)共有機(jī)個(gè)，則用隨機(jī)模擬的方法得到的圓周率兀的近似

值為（）

上4〃-2n

A?蔡B.蔡

c-4-機(jī)?DT2m

【答案】c【解析】由題意知，故兀=等，即圓周率兀的近似值為學(xué).

高頻考點(diǎn)四條件概率與相互獨(dú)立事件的概率

例4.【2017課標(biāo)II,理18】海水養(yǎng)殖場(chǎng)進(jìn)行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對(duì)比，收獲時(shí)各隨機(jī)抽

取了100個(gè)網(wǎng)箱，測(cè)量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量（單位：kg）某頻率分布直方圖如下：

（1）設(shè)兩種養(yǎng)殖方法的箱產(chǎn)量相互獨(dú)立，記A表示事件：“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg,新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)

量不低于50kg”，估計(jì)A的概率;

(2)填寫下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān):

箱產(chǎn)量V50kg箱產(chǎn)量250kg

舊養(yǎng)殖法

新養(yǎng)殖法

(3)根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖，求新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估計(jì)值(精確到0.01)

P（K2>k）

附：0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

2

2_n(ad-bc)

一(a+bXc+dXa+cX"d)

【答案】(1)0.4092;(2)見解析;(3)52.35(kg).

【解析】(1)記B表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg”，C表示事件“新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于

50kg”

由題意知P^=P[BC]=P[B]P{C}

舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg的頻率為

(0.040+0.034+0.024+0.014+0.012)x5=0.62

故尸(8)的估計(jì)值為0.62

新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50kg的頻率為

(0.068+0.046+0.010+0.008)x5=0.66

故P(C)的估計(jì)值為0.66

因此，事件A的概率估計(jì)值為862x0.66=0.4092

(2)根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖得列聯(lián)表

箱產(chǎn)量＜50kg箱產(chǎn)量250kg

舊養(yǎng)殖法6238

新養(yǎng)殖法3466

K，=200x(62x66-34*38y5705

100x100x96x104

由于15.705>6.635

故有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān).

（3）因?yàn)樾吗B(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量頻率分布直方圖中，箱產(chǎn)量低于50kg的直方圖面積為

(0.004+0.020+0.044)x5=0.34<0.5

箱產(chǎn)量低于55kg的直方圖面積為

（0.004+0.020+0.044+0.068）x5=0.68>0.5

故新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估計(jì)值為

50+瑞335(kg)

【變式探究】投籃測(cè)試中，每人投3次，至少投中2次才能通過測(cè)試.已知某同學(xué)每次投籃投中的概率為

0.6,且各次投籃是否投中相互獨(dú)立，則該同學(xué)通過測(cè)試的概率為（）

A.0.648B.0.432C.0.36D.0.312

解析該同學(xué)通過測(cè)試的概率為p=0.6x0.6+ax0.4x0.62=0.648.

答案A

【變式探究】某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測(cè)資料表明，一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是0.75,連續(xù)兩天為優(yōu)良的概

率是0.6,已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良，則隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是（）

A.0.8B.0.75C.0.6D.0.45

解析由條件概率可得所求概率為黑=0.8,故選A.

答案A

高頻考點(diǎn)五正態(tài)分布

例5.【2017課標(biāo)1,理19】為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗(yàn)員每天從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽

取16個(gè)零件，并測(cè)量其尺寸（單位：cm）.根據(jù)長(zhǎng)期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)，可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零

件的尺寸服從正態(tài)分布N（〃,b2）.

（1）假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記X表示一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中其尺寸在（4-354+3。）之外的零件數(shù)，求

P(X21)及x的數(shù)學(xué)期望；學(xué)一科網(wǎng)

(2)一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在(4-354+3。)之外的零件，就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的

生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查.

(i)試說明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性；

(ii)下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件的尺寸:

9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04

10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95

1K11i?n~

經(jīng)計(jì)算得元=7匯入=9.97,s=l—t(jG-x)2=l—(yx2-16x2)2^0.212,其中七為抽取的第

16小R16a，yl6rj,

i個(gè)零件的尺寸，i=L2,6.用樣本平均數(shù)元作為〃的估計(jì)值衣，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為o"的估計(jì)值3,

利用估計(jì)值判斷是否需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查？剔除(。-3上。+3萬)之外的數(shù)據(jù)，用剩下的數(shù)據(jù)估計(jì)

〃和b(精確到0.01).

附：若隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布"(〃,/),則尸(4-3b<Z<4+3b)=0.9974,

0.9974lf=0.9592-J0.008%0.09.

【答案】(1)0.0416.(2)(i)見解析；(ii)0.09.

【解析】

⑴抽取的一個(gè)零件的尺寸在("-35〃+3°)之內(nèi)的概率為o.9974,從而零件的尺寸在-3G〃+3oj

之外的概率為0.0026,故(1600026)因此

P(X>1)=1-P(X=0)=1-0.9974=0.0408

X的數(shù)學(xué)期望為EV=16x0.0026=0.0416.

(2)(i)如果生產(chǎn)狀態(tài)正常，一個(gè)零件尺寸在+之外的概率只有00026,一天內(nèi)抽取的16

個(gè)零件中，出現(xiàn)尺寸在I"-354+30)之外的零件的概率只有0.0408,發(fā)生的概率很小.因此一旦發(fā)生這

種情況，就有理由認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程學(xué)科&網(wǎng)可能出現(xiàn)了異常情況，需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程

進(jìn)行檢查，可見上述監(jiān)控生產(chǎn)過程的方法是合理的.

(ii)由于=9.97<v0.212,得M的估計(jì)值為。=9.97,o■的估計(jì)值為S=0.212,由樣本數(shù)據(jù)可以看

出有一個(gè)零件的尺寸在(“一35。+3°)之外，因此需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查.

?+W-(16x9.97-9.22)=10.02

剔除｛〃一R'〃十‘°，之外的數(shù)據(jù)9.22,剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)為15,因此〃的估

計(jì)值為10.02.

16

Tx；=16x0.2122+16x9.9721591.134

』‘，剔除I"-J""3°)之外的數(shù)據(jù)9.22,剩下數(shù)據(jù)的樣本方

—(1591.134-9.22:-15xl0.02:)^0.008

差為15,

因此b的估計(jì)值為必。。8x0.09

【變式探究】在如圖所示的正方形中隨機(jī)投擲10000個(gè)點(diǎn)，則落入陰影部分(曲線C為正態(tài)分布M0，1)的

密度曲線)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)的估計(jì)值為()

附：若X?N〃，(r),則Pa—c<Xq+o)=0.6826,

Pa-2?Xq+2c)=0.9544.

A.2386B.2718C.3413D.4772

解析由X?N(0，D知，P(-1<X<1)=0.6826,

.,.P(0<X<l)=^x0.6826=0.3413,故拆0.3413.

???落在陰影部分中點(diǎn)的個(gè)數(shù)x估計(jì)值為湍孤=*占典概型)，

，x=10000x0.3413=3413,故選C.

答案C

【變式探究】從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取500件，測(cè)量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值，由測(cè)量結(jié)果得如

下頻率分布直方圖：

(1)求這500件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)x和樣本方差s?(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)；

(2)由直方圖可以認(rèn)為，這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值Z服從正態(tài)分布刈《,a2),其中〃近似為樣本平均數(shù)x,心

近似為樣本方差

(i)利用該正態(tài)分布,求P(187.8<Z<212.2)；

(ii)某用戶從該企業(yè)購(gòu)買了100件這種產(chǎn)品，記X表示這100件產(chǎn)品中質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間(187.8,212.2)

的產(chǎn)品件數(shù).利用(i)的結(jié)果，求E(X).

附：灰限12.2.

若Z~NQi,<r),貝!J<7<Zv〃+o)=0.6826,

P(/i—2a<Z<fi+2<r)=0.9544.

解(D抽取產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)x和樣本方差『分別為

x=170x0.02+180x0.09+190x0.22+200x0.33+210x0.24+220x0.08+230x0.02=200,

小=(一30聲0.02+(-20)2x0.09+(-10/0_22+0x0.33+l(PxO.24+20、0.08+3(Fx0.02=150.

(2)(i)由(1)知，Z?M200,150),從而

P(187.8<Z<212.2)=P(200-122<Z<200+12.2)=0.6826.

5)由(i)知，一件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間(187&2122)的概率為0.6826,依題意X?3(100,0.6826),

所以￡(^)=100x0.6826=68.26.

高頻考點(diǎn)六離散型隨機(jī)變量的分布列

例6.(2018年浙江卷)設(shè)0<p<l,隨機(jī)變量4的分布列是

012

一工

P1PP

222

則當(dāng)P在(0,1)內(nèi)增大時(shí)，

A.D(4)減小B.D(岑)增大

C.D(。)先減小后增大D.D(。)先增大后減小

【答案】D

1PI

O+2-+

X1-一PXX

一

【解析】E(￡)22一22

1-p1I,1P-1、221

???D(9?~y(0-p-5)2+/-丐)2+,2-p-^)*-p+p+j，

???；G(0,1),，DQ先增后減,因此選D.

【變式探究】【2017天津，理16】從甲地到乙地要經(jīng)過3個(gè)十字路口，設(shè)各路口信號(hào)燈工作相互獨(dú)立，且

在各路口遇到紅燈的概率分別為

234

(I)設(shè)X表示一輛車從甲地到乙地遇到紅燈的個(gè)數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望;

(II)若有2輛車獨(dú)立地從甲地到乙地，求這2輛車共遇到1個(gè)紅燈的概率.

【答案】(I)見解析；(H)—.

48

【解析】

(I)解：隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,2,3.

尸(*=o)=Hb(Tb(W

111

產(chǎn)(X=1)=]X；：

424

尸(X=2)=1一；1

4

P(^=3)=lxlxl=—

723424

所以，隨機(jī)變量X的分布列為

X0123

]_111

P

424424

八1,11、11,113

E(X)=0x—+1x—+2x—+3x—=—

隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望42442412.

(H)解：設(shè)y表示第一輛車遇到紅燈的個(gè)數(shù)，z表示第二輛車遇到紅燈的個(gè)數(shù)，則所求事件的概率為

尸(1'+z=i)=尸(y=o,z=i)+尸位=LZ=o)=p(y=o)p(z=i)+p(y=i)p(z=o)

11111111

——X+X——

42424448

所以，這2輛車共遇到1個(gè)紅燈的概率為".

48

【變式探究】甲、乙兩人組成“星隊(duì)”參加猜成語活動(dòng)，每輪活動(dòng)由甲、乙各猜一個(gè)成語.在一輪活動(dòng)中,

如果兩人都猜對(duì)，貝『‘星隊(duì)”得3分；如果只有一人猜對(duì)，則“星隊(duì)”得1分；如果兩人都沒猜對(duì)，則“星隊(duì)”

得。分.已知甲每輪猜對(duì)的概率是3京乙每輪猜對(duì)的概率是?東每輪活動(dòng)中甲、乙猜對(duì)與否互不影響，各輪

結(jié)果亦互不影響.假設(shè)“星隊(duì)”參加兩輪活動(dòng)，求:

(1)“星隊(duì)”至少猜對(duì)3個(gè)成語的概率;

(2)“星隊(duì)”兩輪得分之和X的分布列和數(shù)學(xué)期望EX.

解：(1)記事件A：“甲第一輪猜對(duì)“，記事件B：“乙第一輪猜對(duì)“，記事件C：“甲第二輪猜對(duì)“，記事件6

“乙第二輪猜對(duì)“，記事件公，“星隊(duì)，至少猜對(duì)3個(gè)成語”.

由題意，E=ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD.

由事件的獨(dú)立性與互斥性，得

尸⑻=P(ABCD)+P(ABCD)+P(ABCD)+P(ABCD)+P(ABCD)

=P(A)P(B)P(QP(D)+P(A)P(B)-P(C)P(D)+P(A)P(B)P(QP(D)+P(A)P(B)P(QP(D)+P(A)P(B)P(O-P(D)

3232,^<1232,3132、2

=4X3X4X3+2X1?T4X3+4X3X4X§J=于

2

所以“星隊(duì)”至少猜對(duì)3個(gè)成語的概率為(

(2)由題意，隨機(jī)變量X可能的取值為0,I,2,3,4,6.

由事件的獨(dú)立性與互斥性，得

「(x=o)=丹44=擊,

怨=i)=2xgx144+抬44)=揩=

…?3131.3112,1231.121225

尸。=2)=行為+行不/行有+行江市

311132□

=j----

3)43343

4X144

n23160_=_^

P(X=4)=2xHx-x-x-+144=-12,

3

4-232361

xx4x-4-4,

可得隨機(jī)變量X的分布列為

X012346

1525151

P

U472M412124

所以數(shù)學(xué)期望EX=Ox占+|x:^+2x鼻+3X1+4X"^+6XJ=M.

144/Z1441Z1Z4O

【變式探究】已知2件次品和3件正品混放在一起，現(xiàn)需要通過檢測(cè)將其區(qū)分，每次隨機(jī)檢測(cè)一件產(chǎn)品，

檢測(cè)后不放回，直到檢測(cè)出2件次品或者檢測(cè)出3件正品時(shí)檢測(cè)結(jié)果.

(1)求第一次檢測(cè)出的是次品且第二次檢測(cè)出的是正品的概率；

(2)已知每檢測(cè)一件產(chǎn)品需要費(fèi)用100元，設(shè)X表示直到檢測(cè)出2件次品或者檢測(cè)出3件正品時(shí)所需要的檢

測(cè)費(fèi)用(單位：元)，求X的分布列和均值(數(shù)學(xué)期望).

解(1)記“第一次檢測(cè)出的是次品且第二次檢測(cè)出的是正品“為事件A

P(A)=錯(cuò)誤!=錯(cuò)誤!.

(2)X的可能取值為200,300,400.

P(X=200)=錯(cuò)誤!=錯(cuò)誤!，

P(X=3()0)=錯(cuò)誤!=錯(cuò)誤!，

P(X=400)=1-P(X=200)-P(X=300)=I一七一親

故X的分布列為

X200300400

136

P

161610

1OZ：

￡(X)=200xy^+300x—+400x^—350.

高頻考點(diǎn)七均值與方差

例7.(2018年北京卷)電影公司隨機(jī)收集了電影的有關(guān)數(shù)據(jù)，經(jīng)分類整理得到下表:

電影類型第一類第二類第三類第四類第五類第六類

電影部數(shù)14050300200800510

好評(píng)率0.40.20.150.250.20.1

好評(píng)率是指：一類電影中獲得好評(píng)的部數(shù)與該類電影的部數(shù)的比值.假設(shè)所有電影是否獲得好評(píng)相互獨(dú)立.

(I)從電影公司收集的電影中隨機(jī)選取1部，求這部電影是獲得好評(píng)的第四類電影的概率；

(II)從第四類電影和第五類電影中各隨機(jī)選取1部，估計(jì)恰有1部獲得好評(píng)的概率；

cm)假設(shè)每類電影得到人們喜歡的概率與表格中該類電影的好評(píng)率相等，用“&3,表示第4類電影得到

人們喜歡，^0”表示第4類電影沒有得到人們喜歡(E，2,3,4,5,6).寫出方差區(qū)國(guó)，區(qū)，國(guó),

國(guó)，國(guó)的大小關(guān)系.

【答案】(1)概率為0.025

⑵概率估計(jì)為0.35

⑶國(guó)也引國(guó)禺區(qū)四

【解析】(I)由題意知，樣本中電影的總部數(shù)是140+50+300+200+800+510=2000,

第四類電影中獲得好評(píng)的電影部數(shù)是200x0.25=50.

故所求概率為理-=0.025.

|2000

(II)設(shè)事件4為“從第四類電影中隨機(jī)選出的電影獲得好評(píng)”，

事件B為“從第五類電影中隨機(jī)選出的電影獲得好評(píng)”.

故所求概率為P(|AB+A^)=P(園)+P(國(guó))

=P(A)(1-P(B))+(1-P(A))P(B).

由題意知：P(A)估計(jì)為0.25,P(B)估計(jì)為0.2.

故所求概率估計(jì)為0.25x0.8+0.75x0.2=0.35.

(Ill)國(guó)畫＞反胞＞色＞因

【變式探究】已知一組數(shù)據(jù)4.7,4.851,5.4,5.5,則該組數(shù)據(jù)的方差是▲.

【答案】().1

-(4.7+4.8+5.1+5.4+5.5)=5.1

【解析】這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為5,

.-.S2=lr(4.7-5.1):+(4.8-5.1)2+(5.1-5.1)2+(5.4-5.1)2+(5.5-5.1)2'|=0.1

5故答案應(yīng)填：0.1,

【變式探究】如圖，將一個(gè)各面都涂了油漆的正方體，切割為125個(gè)同樣大小的小正方體，經(jīng)過攪拌后，

從中隨機(jī)取一個(gè)小正方體，記它的涂漆面數(shù)為X,則X的均值E(X)=()

126

A125Bt

r168

J125忌

解析由題意可知涂漆面數(shù)》的可能取值為0,1,2,3.

由于P（》=0）=忌，2尤=1）=言，尸（尤=2）=言,

叩=3）=舟故砂尸。，恁+lx急+2x鬻+3乂攝=需奇.

答案B

高頻考點(diǎn)八抽樣方法

例8.（2018年天津卷）已知某單位甲、乙、丙三個(gè)部門的員工人數(shù)分別為24,16,16.現(xiàn)采用分層抽樣的

方法從中抽取7人，進(jìn)行睡眠時(shí)間的調(diào)查.

（I）應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)部門的員工中分別抽取多少人？

（II）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，現(xiàn)從這7人中隨機(jī)抽取3人做進(jìn)一步的身體檢查.

（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的員工人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望;

（ii）設(shè)A為事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的員工，也有睡眠不足的員工“，求事件A發(fā)生的概率.

【答案】（I）從甲、乙、丙二個(gè)部門的員工中分別抽取3人，2人，2人.（II）⑴答案見解析；（/7）4

【解析】（I）由己知，甲、乙、丙三個(gè)部門的員工人數(shù)之比為3：2：2,

由于采用分層抽樣的方法從中抽取7人,

因此應(yīng)從甲、乙、內(nèi)三個(gè)部門的員工中分別抽取3人，2人，2人.

（II）（/）隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,2,3.

P(X=k)=(D,1,2,3).

所以，隨機(jī)變量X的分布列為

X0123

T12187

P

35353535

隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)0x—+1*—+2x—+3?—

(，)設(shè)事件8為“抽取的3人中，睡眠充足的員工有1人，睡眠不足的員工有2人”；

事件C為“抽取的3人中，睡眠充足的員工有2人，睡眠不足的員工有1人”，

貝|JA=BUC,且8與C互斥，

由(/)知，P(B)=P(X=2),尸(0=P(X=1),

故P(A)=P(BUC)=P(X=2)+P(X=\)=|.

所以，事件A發(fā)生的概率為心.

【變式探究】【2017天津，理16】從甲地到乙地要經(jīng)過3個(gè)十字路口，設(shè)各路口信號(hào)燈工作相互獨(dú)立，且

在各路口遇到紅燈的概率分別為

234

(1)設(shè)X表示一輛車從甲地到乙地遇到紅燈的個(gè)數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望;

(n)若有2輛車獨(dú)立地從甲地到乙地，求這2輛車共遇到1個(gè)紅燈的概率.

【答案】(I)見解析；(H)—.

48

【解析】

(I)解：隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,2,3.

P(AT=3)=lxlxl=—

723424.

所以，隨機(jī)變量X的分布列為

X0123

j_111

P

424424

l/sc1,11、1°113

E(X)=0x—4~1x—+2x—+3x—=—

隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望42442412.

(H)解：設(shè)F表示第一輛車遇到紅燈的個(gè)數(shù)，Z表示第二輛車遇到紅燈的個(gè)數(shù)，則所求事件的概率為

尸(y+z=i)=尸(y=o,z=i)+尸(y=LZ=O)=尸(y=o)尸(z=i)+p(y=i)尸(z=o)

—_Y____上___xz__—__

一424244—48.學(xué)科-網(wǎng)

所以，這2輛車共遇到1個(gè)紅燈的概率為口.

48

【變式探究】某高校調(diào)查了200名學(xué)生每周的自習(xí)時(shí)間(單位：小時(shí))，制成了如圖所示的頻率分布直方圖,

其中自習(xí)時(shí)間的范圍是[17.5,30J,樣本數(shù)據(jù)分組為[17.5,20),[20,22.5),[22.5,25),[25,27.5),[27.5,

30].根據(jù)直方圖，這200名學(xué)生中每周的自習(xí)時(shí)間不少于22.5小時(shí)的人數(shù)是()

【答案】D【解析】由頻率分布直方圖可知，每周的自習(xí)時(shí)間不少于22.5小時(shí)的頻率為(0.16+0.08+

0.04)x2.5=0.7,所以每周的自習(xí)時(shí)間不少于22.5小時(shí)的人數(shù)是200x0.7=140.

【變式探究】某中學(xué)初中部共有110名教師，高中部共有150名教師，其性別比例如圖所示，則該校女教

師的人數(shù)為()

A.167B.137C.123D.93

解析由題干扇形統(tǒng)計(jì)圖可得該校女教師人數(shù)為：110x70%+150x(1-60%)=137.故選B.

答案B

【變式探究】對(duì)一個(gè)容量為N的總體抽取容量為〃的樣本，當(dāng)選取簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣和分層抽樣三

種不同方法抽取樣本時(shí)，總體中每個(gè)個(gè)體被抽中的概率分別為m，02,P3,則()

A.Pl=p2Vp3B.P2=P3cpi

C.pi=p3Vp2D.P1=P2=P3

解析因?yàn)椴扇『?jiǎn)單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣和分層抽取樣本時(shí).，總體中每個(gè)個(gè)體被抽中的概率相等，故選D.

答案D

高頻考點(diǎn)九頻率分布直方圖與莖葉圖

例9.（2018年江蘇卷）已知5位裁判給某運(yùn)動(dòng)員打出的分?jǐn)?shù)的莖葉圖如圖所示，那么這5位裁判打出的分

數(shù)的平均數(shù)為.

899

9011

（第3題）

【答案】90

【解析】先由莖葉圖得數(shù)據(jù)，再根據(jù)平均數(shù)公式求平均數(shù)。由莖葉圖可知，5位裁判打出的分?jǐn)?shù)分別為

……皿”89+89+90+91+91

89.89.90.91.91,故平均數(shù)為-----------------=90。

【變式探究】若樣本數(shù)據(jù)為，X2,…，xio的標(biāo)準(zhǔn)差為8,則數(shù)據(jù)2X1—1,2x2-1,....Zxio—l的標(biāo)準(zhǔn)差為（）

A.8B.15C.16D.32

解析法一由題意知，汨+檢+…+xio=IOx,

-x):+(x；-x):+L+(項(xiàng)0-?]

51=

-1

則y=-[(2xi-1)+(2X2-1)+...+(2xio-1)]

=，[2(xi+檢+…+x”))—"]=2x—1,

區(qū)[(2再一1一丁+(2毛一1—+L+(2%-1-y\]

所以S2=\10

（再一3+（受一力，+L+（再「力」

=丫1°=2si，故選C.

答案C

【變式探究】重慶市2017年各月的平均氣溫（℃）數(shù)據(jù)的莖葉圖如下:

則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（）

089

1258

2000338

212

A.19B.20C.21.5D.23

解析從莖葉圖知所有數(shù)據(jù)為8,9,12,15,18,20,20,23,23,28,31,32,中間兩個(gè)數(shù)為20,20,

故中位數(shù)為20,選B.

答案B

高頻考點(diǎn)十變量間的相關(guān)關(guān)系及統(tǒng)計(jì)案例

例10.根據(jù)下面給出的2004年至2013年我國(guó)二氧化硫排放量（單位：萬噸）柱形圖.以下結(jié)論不正確的是

)

A.逐年比較，2008年減少二氧化硫排放量的效果最顯著

B.2007年我國(guó)治理二氧化硫排放顯現(xiàn)成效

C.2006年以來我國(guó)二氧化硫年排放量呈減少趨勢(shì)

D.2006年以來我國(guó)二氧化硫年排放量與年份正相關(guān)

解析從2006年，將每年的二氧化硫排放量與前一年作差比較，得到2008年二氧化硫排放量與2007年排

放量的差最大，A選項(xiàng)正確；

2007年二氧化硫排放量較2006年降低了很多，B選項(xiàng)正確；

雖然2011年二氧化硫排放量較2010年多一些，但自2006年以來，整體呈遞減趨勢(shì)，即