數(shù)學（選修22）課件53復數(shù)的四則運算

第五章數(shù)系的擴充與復數(shù)5.3復數(shù)的四則運算1.復數(shù)的加法與減法設a＋bi和c＋di是任意兩個復數(shù)，則_______________________________，也就是說，兩個復數(shù)的和(或差)仍然是一個________.它的________是原來兩個復數(shù)的實部的__________，它的_______是原來兩個復數(shù)的虛部的__________.(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i復數(shù)

實部和(或差)虛部和(或差)2.復數(shù)的乘法設a＋bi與c＋di分別是任意兩個復數(shù)，則__________________________________.也就是說，兩個復數(shù)的積仍然是一個________.復數(shù)的乘法與多項式的乘法是類似的，但在運算過程中，需要用________進行化簡，然后把_______與_______分別合并.(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i復數(shù)i2＝－1實部虛部溫馨提示：(1)對復數(shù)z1，z2，z和自然數(shù)m，n有：zm·zn＝zm＋n，(zm)n＝zm·n，(z1·z2)n＝z·z.實數(shù)范圍內(nèi)的乘法公式在復數(shù)范圍內(nèi)仍然成立.(2)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈Z).共軛復數(shù)1.設a＋bi與c＋di(a，b，c，d∈R)分別是任意兩個復數(shù).(1)當b＝0，d＝0時，復數(shù)的加減法法則與實數(shù)的加減法法則一致.(2)可以驗證加減運算的交換律、結(jié)合律在復數(shù)集中仍成立.(3)符合向量加法的平行四邊形法則.復數(shù)的加減法2.法則的記憶：可以類比合并同類項記為：兩個復數(shù)相加(減)，就是實部與實部相加(減)，虛部與虛部相加(減).3.復數(shù)的加、減可以推廣到若干個復數(shù)進行連加、連減或混合運算，即(a1＋b1i)±(a2＋b2i)±…±(an＋bni)＝(a1±a2±…±an)＋(b1±b2±…±bn)i.【點評】復數(shù)運算的先后次序與實數(shù)運算類似，先計算括號內(nèi)的，再按由左向右的順序計算.1.(1)若復數(shù)z滿足z＋i－3＝3－i，則z＝____________.(2)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i＝____________(a，b∈R).解析：(1)z＝(3－i)－(i－3)＝6－2i.(2)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i＝a＋bi－2a＋3bi－3i＝－a＋(4b－3)i.答案：(1)6－2i

(2)－a＋(4b－3)i設z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意兩個復數(shù)，定義復數(shù)的乘法為(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.兩個復數(shù)的積仍然是一個確定的復數(shù).兩個復數(shù)相乘類似于兩個多項式相乘，但在運算過程中，需要用i2＝－1進行化簡，然后把實部和虛部分別合并.復數(shù)的乘法

計算下列各題：(1)(1－2i)(3＋i)；(2)(1＋i)2；(3)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i；(4)(1＋i)(1－i).

[思路點撥]按多項式乘法展開，再把i2換成－1即可.解：(1)(1－2i)(3＋i)＝3＋i－6i－2i2＝5－5i.(2)(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝2i.(3)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i＝(－2＋10i＋i－5i2)(3－4i)＋2i＝(3＋11i)(3－4i)＋2i＝9－12i＋33i－44i2＋2i＝53＋23i.(4)(1＋i)(1－i)＝12－i2＝1＋1＝2.【點評】復數(shù)的乘法可完全類比多項式乘法，而不必強記乘法公式.解析：(1)A項，i(1＋i)2＝i(1＋2i＋i2)＝i×2i＝－2，不是純虛數(shù).B項，i2(1－i)＝－(1－i)＝－1＋i，不是純虛數(shù).C項，(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝2i，是純虛數(shù).D項，i(1＋i)＝i＋i2＝－1＋i，不是純虛數(shù).(2)∵xi－y＝－1＋i，∴x＝1，y＝1，∴(1＋i)x＋y＝(1＋i)2＝2i.答案：(1)C

(2)2i

(3)4＋2i復數(shù)的除法[思路點撥]根據(jù)復數(shù)除法的運算法則進行計算求值.答案：(1)D

(2)1在復數(shù)范圍內(nèi)解一元二次方程

知x＝－1＋i是方程x2＋ax＋b＝0(a，b∈R)的一個根.(1)求實數(shù)a，b的值；(2)結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，猜測方程的另一個根，并給予證明.

[思路點撥]

(1)把x＝－1＋i代入方程x2＋ax＋b＝0，利用復數(shù)相等求解；(2)利用根與系數(shù)的關(guān)系，求方程的另一個根，并代入方程檢證.【點評】實系數(shù)的一元二次方程，求根公式和根與系數(shù)的關(guān)系，在復數(shù)范圍內(nèi)仍然成立.1.復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算(1)復數(shù)代數(shù)形式的乘法類似于多項式乘以多項式，復數(shù)的乘法滿足交換律、結(jié)合律以及乘法對加法的分配律.(2)在進行復數(shù)代數(shù)形式的除法運算