專題07 雙曲線解析版

Page2Page1專題07雙曲線知識總結(jié)：1、定義:一般地,我們把平面內(nèi)與兩個定點,的距離的差的絕對值等于非零常數(shù)(小于)的點的軌跡叫做雙曲線.這兩個定點叫做雙曲線的焦點,兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距.2、集合語言表達式雙曲線就是下列點的集合:.3、說明若將定義中差的絕對值中的絕對值符號去掉,則點的軌跡為雙曲線的一支,具體是哪一支,取決于與的大小.(1)若,則,點的軌跡是靠近定點的那一支;(2)若,則,點的軌跡是靠近定點的那一支.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程焦點位置焦點在軸上焦點在軸上標(biāo)準(zhǔn)方程（）（）圖象焦點坐標(biāo)，，的關(guān)系兩種雙曲線，（）的相同點是:它們的形狀、大小都相同,都有,;不同點是:兩種雙曲線的位置不同,它們的焦點坐標(biāo)也不同.題型歸納【題型1雙曲線的定義】【題型2利用雙曲線的定義求標(biāo)準(zhǔn)方程】【題型3利用雙曲線定義求點到焦點距離】【題型4判斷方程是否表示雙曲線】【題型5根據(jù)方程表示雙曲線求參數(shù)】【題型6求雙曲線方程】【題型7等軸雙曲線】【題型8直線與雙曲線的位置關(guān)系】【題型9求弦長】【題型10雙曲線與漸近線的關(guān)系】【題型1雙曲線的定義】一般地,我們把平面內(nèi)與兩個定點,的距離的差的絕對值等于非零常數(shù)(小于)的點的軌跡叫做雙曲線.(1)若,則,點的軌跡是靠近定點的那一支;(2)若,則,點的軌跡是靠近定點的那一支.【典例1】（2023秋·高二課時練習(xí)）平面內(nèi)到兩個定點的距離之差的絕對值等于的點的軌跡是（

）A．雙曲線 B．兩條射線 C．一條線段 D．一條直線【答案】B【詳解】如圖：設(shè)動點為，到兩個定點的距離之差的絕對值為，則若在線段（不包含兩端點）上，有；若在直線外，有；若在線段的延長線上或線段的反向延長線上（均包含兩端點），則有.故選：B【題型2利用雙曲線的定義求標(biāo)準(zhǔn)方程】【典例1】（2023秋·高二課時練習(xí)）已知雙曲線對稱軸為坐標(biāo)軸，中心在原點，兩焦點為，直線過雙曲線的一個焦點，P為雙曲線上一點，且，則雙曲線的方程為．【答案】或【詳解】由題意，點為雙曲線上一點，且，可得，即，解得，又由直線過雙曲線的一個焦點，當(dāng)時，可得；當(dāng)時，可得；當(dāng)雙曲線的焦點在軸上時，雙曲線的一個焦點坐標(biāo)為，即，則，此時雙曲線的方程為；當(dāng)雙曲線的焦點在軸上時，雙曲線的一個焦點坐標(biāo)為，即，則，此時雙曲線的方程為，所以雙曲線的方程為或.故答案為：或【題型3利用雙曲線定義求點到焦點距離】【典例1】（2023春·安徽滁州·高二?？奸_學(xué)考試）若雙曲線的左、右焦點分別為，點在雙曲線上，且，則（

）A． B． C．或 D．或【答案】A【詳解】由雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程得：，由雙曲線定義得:即，解得（舍去）或，故選：A.【典例2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）若動點滿足關(guān)系式，則點的軌跡是（

）A．直線 B．圓 C．橢圓 D．雙曲線一支【答案】D【詳解】設(shè)，，則.則由已知可得，，所以點的軌跡是雙曲線的左支.故選：D.【題型4判斷方程是否表示雙曲線】【典例1】（多選）（2023春·安徽·高二合肥市第八中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）對于曲線C：，則下列說法正確的有（

）A．曲線C可能為圓 B．曲線C不可能為焦點在y軸上的雙曲線C．若，則曲線C為橢圓 D．若，則曲線C為雙曲線【答案】BCD【詳解】當(dāng)曲線C為圓時，則，無解，故錯誤；當(dāng)曲線C為焦點在y軸上的雙曲線時，則，無解，故正確；若，則，，此時曲線C是橢圓，故正確；若曲線C為雙曲線，則，解得，故正確．故選．【題型5根據(jù)方程表示雙曲線求參數(shù)】【典例1】（2023春·內(nèi)蒙古興安盟·高二烏蘭浩特市第四中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知曲線是雙曲線，則實數(shù)k的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】因為曲線是雙曲線，所以，解得：，所以實數(shù)的取值范圍是，故選：.【題型6求雙曲線方程】【典例1】（2023秋·高二課時練習(xí)）已知雙曲線過點，且與橢圓有公共焦點，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】由橢圓，可化為標(biāo)準(zhǔn)方程，可得，因為雙曲線與橢圓有公共的焦點，所以，又因為雙曲線過點，可得，則，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：B.【題型7等軸雙曲線】（，）當(dāng)時稱雙曲線為等軸雙曲線①；②離心率；③兩漸近線互相垂直，分別為；④等軸雙曲線的方程，；【典例1】（2023春·四川南充·高二四川省南充高級中學(xué)校考階段練習(xí)）經(jīng)過點且對稱軸都在坐標(biāo)軸上的等軸雙曲線的方程為【答案】【詳解】設(shè)所求雙曲線方程為：，雙曲線經(jīng)過點，，所求雙曲線方程為：.故答案為：.【題型8直線與雙曲線的位置關(guān)系】1、代數(shù)法：設(shè)直線，雙曲線聯(lián)立解得：（1）時，，直線與雙曲線交于兩點（左支一個點右支一個點）；，，或k不存在時，直線與雙曲線沒有交點；（2）時，存在時，若，，直線與雙曲線漸近線平行，直線與雙曲線相交于一點；若，時，，直線與雙曲線相交于兩點；時，，直線與雙曲線相離，沒有交點；時，直線與雙曲線有一個交點；相切不存在，時，直線與雙曲線沒有交點；直線與雙曲線相交于兩點；【典例1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）直線與雙曲線上支的交點個數(shù)為．【答案】2【詳解】由，可得，解得或．當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以直線與雙曲線上支的交點個數(shù)為2．故答案為：2【題型9求弦長】1、直線被雙曲線截得的弦長公式，設(shè)直線與橢圓交于，兩點，則為直線斜率2、通徑的定義：過焦點且垂直于實軸的直線與雙曲線相交于、兩點，則弦長.【典例1】（2023·高二課時練習(xí)）過雙曲線的右焦點作傾斜角為30°的直線l，直線l與雙曲線交于不同的兩點A，B，則AB的長為．【答案】【詳解】雙曲線的右焦點為，所以直線l的方程為．由，得．設(shè)，，則，，所以．故答案為：【題型10雙曲線與漸近線的關(guān)系】1、若雙曲線方程為漸近線方程：2、若雙曲線方程為（，）漸近線方程：3、若漸近線方程為，則雙曲線方程可設(shè)為，4、若雙曲線與有公共漸近線，則雙曲線的方程可設(shè)為（，焦點在軸上，，焦點在軸上）【典例1】（2023·四川成都·?？家荒＃┮阎行脑谠c，焦點在y軸上的雙曲線的離心率為，則它的漸近線方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】設(shè)雙曲線的方程為，因為，所以，則，所以漸近線方程為.故選：C.同步練習(xí)一、選擇題1.（2023秋·北京石景山·高二統(tǒng)考期末）雙曲線右支上一點A到右焦點的距離為3，則點A到左焦點的距離為（

）A．5 B．6 C．9 D．11【答案】D【詳解】設(shè)雙曲線的實軸長為，則，由雙曲線的定義知，，故選：D2.（2023秋·高二課時練習(xí)）“”是“方程表示雙曲線”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件D．既不充分也不必要條件【答案】A【詳解】因為方程表示雙曲線，所以，解得或，因為由可推出或，，但是由或，不能推出，所以“”是“方程表示雙曲線”的充分不必要條件，故選：A.3.（2023春·陜西咸陽·高二?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線的離心率為，則其漸近線方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題意，雙曲線的離心率為，可得，即，解得，即雙曲線的漸近線的方程為.故選：B.4.（多選）（2023·海南·?？寄M預(yù)測）下列關(guān)于雙曲線說法正確的是（

）A．實軸長為6 B．與雙曲線有相同的漸近線C．焦點到漸近線距離為4 D．與橢圓有同樣的焦點【答案】ABD【詳解】由題意，雙曲線滿足，即，于是，故A選項正確；雙曲線的焦點在軸上，故漸近線方程為：，而雙曲線焦點也在軸，故漸近線為，即它們漸近線方程相同，B選項正確；焦點為，不妨取其中一個焦點和一條漸近線，根據(jù)點到直線的距離公式，焦點到漸近線距離為：，C選項錯誤；橢圓的焦點為，根據(jù)C選項可知，橢圓和雙曲線焦點一樣，D選項正確.故選：ABD5.（多選）（2023春·山東臨沂·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線，則（

）A．實軸長為1 B．虛軸長為2C．離心率 D．漸近線方程為【答案】BCD【詳解】由可知，，故實軸長為，虛軸長為，離心率，漸近線方程為，即.故選：BCD6.（2023秋·高二課時練習(xí)）雙曲線的焦點坐標(biāo)為（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】因為雙曲線方程為，化為標(biāo)準(zhǔn)方程為：，所以，由于焦點在軸上，所以焦點坐標(biāo)為：.故選：C.7.（2023春·四川達州·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線的離心率為2，則它的漸近線方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由得雙曲線的漸近線方程為．∵雙曲線的離心率為2，∴，解得，∴雙曲線的漸近線方程為．故選：A．8.（2023秋·北京豐臺·高二北京市第十二中學(xué)?？计谀┮阎请p曲線的兩個焦點，點在雙曲線上，若，則（

）A．1或9 B．3或7 C．9 D．7【答案】C【詳解】解：由題知，，因為在雙曲線上，且，所以，點在雙曲線靠近的那支上，由雙曲線定義知，故；所以，故選：C9.（2023·全國·高三專題練習(xí)）過點且與橢圓有相同焦點的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故，可得焦點坐標(biāo)為.設(shè)雙曲線的方程為，故，解得，故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選:A.10.（2023·全國·高三對口高考）若曲線表示雙曲線，那么實數(shù)k的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】曲線表示雙曲線，所以即可.解得或，所以實數(shù)k的取值范圍是：.故選：B.二、填空題1.（2023·高二課時練習(xí)）與雙曲線有公共焦點，且過點的雙曲線方程為．【答案】【詳解】解：設(shè)雙曲線方程為，將點代入，即，解得或（舍去），故所求雙曲線方程為．故答案為：2.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線的離心率，實半軸長為4，則雙曲線的方程為.【答案】【詳解】由已知可得,即得,所以雙曲線方程為:.故答案為:.3.（2023·高二課時練習(xí)）到點，的距離的差的絕對值等于6的點的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．【答案】【詳解】由題意可設(shè)雙曲線方程為，焦距設(shè)為，由題意可知所求雙曲線的兩焦點為，，故，又雙曲線上的點到點，的距離的差的絕對值等于6，故，所以，故雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：.4.（2023·北京·高三專題練習(xí)）已知雙曲線的離心率為2，則實數(shù)．【答案】【詳解】由題知，，則方程表示焦點在軸上的雙曲線，所以，則，所以，解得：.故答案為：.5.（2023秋·四川巴中·高二統(tǒng)考期末）若雙曲線經(jīng)過點，則該雙曲線的漸近線方程為．【答案】【詳解】雙曲線經(jīng)過點，，，解得，所以雙曲線方程為，又，則該雙曲線的漸近線方程為．故答案為：．三、解答題1.（2023秋·高二課時練習(xí)）根據(jù)下列條件，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)以橢圓短軸的兩個端點為焦點，且過點；(2)經(jīng)過點和．【答案】(1)(2)【詳解】（1）易知橢圓短軸的兩個端點坐標(biāo)為；所以雙曲線焦點在軸上，可設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，且，點在雙曲線