專題11 直線與平面的位置關(guān)系 解析版

Page1專題11直線與平面的位置關(guān)系知識歸納1．直線與平面的位置關(guān)系(1)直線在平面內(nèi)一一有無數(shù)個公共點；(2)直線與平面相交一一有且只有一個公共點；(3)直線與平面平行一一沒有公共點．當直線與平面相交或平行時，直線不在平面內(nèi)，也稱為直線在平面外．直線a在平面α外可用a?α來表示．2．空間中直線與平面位置關(guān)系的符號表示和圖形表示3．直線與平面位置關(guān)系的分類(1)按公共點個數(shù)分類：(2)按是否平行分類：(3)按直線是否在平面內(nèi)分類：4.證明線面平行方法“一找二作三證明”1、“一找二作三證明”是證明線面平行的常用方法，此證明方法分為三步，具體的操作流程如下：第一步，就是“一找”：根據(jù)直線與平面平行的判定定理，要證明線面平行，只需要在這個平面內(nèi)“找”出一條直線與已知直線平行即可.其次是“一找”的原則：一是要“找”的是線線平行，二是要在一個平面圖形中“找”.第二步，就是“二作”：在分析題意之后，若不能直接“找”到所需要證明的線線平行的關(guān)系，則進入“二作”的程序.從三個方面去理解"二作"，第一方面"作"就是作輔助線或輔助平面，有簡單的“作”或復雜的“作”；第二方面，每一次"作"的時候都要圍繞證明所需去"作"，要證平行關(guān)系就去“作”線線平行；第三方面，要把線線平行的關(guān)系“作”在一個平面圖形中.第三步，就是"三證明"：經(jīng)過第一或第二步的操作之后，再按照分析的思路，快速而且規(guī)范地寫出證明命題的整體過程.在"三證明"中要注意三點，第一，數(shù)學符號要標準，幾何語言表述要規(guī)范；第二，書寫要有層次性；第三，最后表述證明結(jié)果時要嚴格遵守判定定理的條件.注：線線平行的常見“找”法依據(jù)中位線的平行；平行四邊形的對邊平行；平行線的傳遞性；線面垂直的性質(zhì)定理；（5）面面平行的性質(zhì)定理.2、證明線面平行問題經(jīng)常出現(xiàn)在立體幾何試題中，此類問題主要考查線面平行的性質(zhì)定理和判定定理的應用.而證明線面平行，關(guān)鍵在于作出合適的輔助線，構(gòu)造出一組平行線或平行平面.（1）構(gòu)造三角形的中位線證明線面平行，通常需運用線面平行的判定定理：若平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行.那么在證明線面平行時，需找到一組平行線，使得其中一條直線在平面外，另一條直線在平面內(nèi).若已知一條線段的中點，且平面內(nèi)或外的一條直線為三角形的底邊，則可過三角形的中點作三角形的中位線，那么就可以根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)：中位線平行且等于底邊的一半，來證明線面平行.在構(gòu)造三角形的中位線時，要注意關(guān)注中點、線段的垂直平分線、三角形的重心等信息，結(jié)合圖形的特征尋找中位線。（2）構(gòu)造平行四邊形我們知道，平行四邊形的對邊平行且相等.在證明線面平行時，可根據(jù)圖形的特點，找到一組對邊平行且相等的線段，分別將這四點連接，便可構(gòu)造出平行四邊形，使另一組對邊分別為平面內(nèi)外的一條直線，即可根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和線面平行的判定定理證明線面平行.通過直觀觀察，若平面內(nèi)的一條直線與平面外的一條直線長度相等，一般猜想構(gòu)造平行四邊形，這時利用平行四邊形對邊平行得出線線平行，進而得到線面平行。（3）構(gòu)造平行平面面面平行的性質(zhì)有很多，常見的有：（1）若兩個平面平行，則在一個平面內(nèi)的任意一條直線平行于另一個平面；（2）若兩個平行平面同時和第三個平面相交，則它們的交線平行.在證明線面平行時，只要證明直線所在的平面和平面平行，那么就可以根據(jù)面面平行的性質(zhì)，證明直線和平面平行.當構(gòu)造三角形和平行四邊形困難時，可以考慮構(gòu)造平行平面.若要證明平面，只需構(gòu)造一個平面//平面，且，那么根據(jù)平行平面的性質(zhì)，即可證明平面.在構(gòu)造平行平面時，可在平面內(nèi)作一條直線，使其平行于.也可直接根據(jù)正方體、長方體、直棱柱的性質(zhì)構(gòu)造平行平面.5.線面垂直的證明直線與平面垂直的判定定理文字語言如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么該直線與此平面垂直符號語言l⊥a，l⊥b，a?α，b?α，a∩b＝A?l⊥α圖形語言6.直線與平面所成的角度問題1.線面角的定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角，取值范圍：[0°，90°]；2.垂線法求線面角：(1)先確定斜線與平面，找到線面的交點B為斜足；找線在面外的一點A，過點A向平面ɑ做垂線，確定垂足0；(2)連結(jié)斜足與垂足為斜線AB在面ɑ上的投影；投影BO與斜線AB之間的夾角為線面角；(3)把投影B0與斜線AB歸到一個三角形中進行求解（可能利用余弦定理或者直角三角形）。題型歸納【題型01直線與平面的位置關(guān)系】【題型02直線與平面平行】【題型03直線與平面垂直】【題型01線面平行的辨析】【典例1】1．在空間中，直線平面的一個充要條件是（

）A．內(nèi)有一條直線與平行 B．內(nèi)有無數(shù)條直線與平行C．任意一條與垂直的直線都垂直于 D．存在一個與平行的平面經(jīng)過【答案】D【分析】根據(jù)線面平行的性質(zhì)即可結(jié)合選項求解.【詳解】對于A，B，C，直線都可能在內(nèi)，故選:D．【題型02線面垂直的辨析】【典例1】2．已知表示直線，表示平面，下列說法正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】ABD可舉出反例，C選項，可利用平行和垂直定理得到.【詳解】A選項，如圖1，滿足，但不滿足，A錯誤；B選項，如圖2所示，滿足且，但，B錯誤；C選項，，可得，C正確；D選項，，此時或，D錯誤.故選：C【題型03直線與平面所成角】【典例1】平面的一條斜線和這個平面所成的角的范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)線面角的概念及范圍可得答案.【詳解】直線和平面所成角的范圍是，其中當直線與平面平行或在平面內(nèi)時所成角為，當直線與平面垂直時所成角為，所以斜線和平面所成角的范圍是.故選：D.【典例2】已知在長方體中，，，那么直線與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由長方體性質(zhì)易知為與面所成的角，進而求其正弦值即可.【詳解】根據(jù)長方體性質(zhì)知：面，故為與面所成的角，，所以.故選：A同步練習一、單選題1．已知，是兩條不同的直線，，，是三個不同的平面，則下列說法正確的是（

）A．，，則 B．，，則C．，，則 D．，，則【答案】C【分析】根據(jù)線面平行，線面垂直，面面平行，面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理進行判斷.【詳解】A選項：若，，則有與相交或或，故A錯誤；B選項：若，，則有或，故B錯誤；C選項：若，，由面面平行的性質(zhì)可知，故C正確；D選項：若，，，則有或，故D錯誤.故選：C.2．若為兩個不同的平面，為兩條不同的直線，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】B【分析】由線面平行定義可判斷選項ACD正誤，由線面垂直定義可判斷選項B正誤.【詳解】選項A，m有可能在平面內(nèi)，故A錯誤；選項B，因，則使得.因，則使得，即，故B正確；選項C，m有可能在平面內(nèi)，故C錯誤；選項D，m有可能在平面內(nèi)，故D錯誤.故選：B3．已知三條不同直線、、，兩個不同平面、，有下列命題：①，，，，則②，，，，則③，，，，則④，，則其中正確的命題是（

）A．①③ B．②④ C．①②④ D．③【答案】D【分析】對于①：根據(jù)面面平行的判定定理分析判斷；對于②：根據(jù)線面垂直的判定定理分析判斷；對于③：根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理分析判斷；對于④：根據(jù)線面平行的判定定理分析判斷.【詳解】對于①：根據(jù)面面平行的判定定理可知：要求直線、相交，但本題沒有提及，所以不能得出，故①錯誤；對于②：根據(jù)線面垂直的判定定理可知：要求直線、相交，但本題沒有提及，所以不能得出，故②錯誤；對于③：根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可知：，故③正確；對于④：根據(jù)線面平行的判定定理可知：要求直線，但本題沒有提及，所以不能得出，故④錯誤；故選：D.4．設(shè)是直線，是兩個不同的平面，則下列命題中正確的是（）A．若∥，∥，則∥ B．若∥，，則C．若，則 D．若，∥，則【答案】B【分析】對于A，與相交或平行；對于B，由面面垂直的判定定理得；對于C，與平行或；對于D，與相交、平行或．【詳解】設(shè)是直線，，是兩個不同的平面，對于A，若，，則與相交或平行，故A錯誤；對于B，若，則內(nèi)存在直線，因為，所以，由面面垂直的判定定理得，故B正確；對于C，若，，則與平行或，故C錯誤；對于D，若，，則與相交、平行或，故D錯誤．故選：B．5．設(shè)為兩個不同的平面，為三條不同的直線，則下列命題正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】C【分析】根據(jù)線線、線面和面面的基本關(guān)系依次判斷選項即可.【詳解】A：若，則或a與b互為異面直線，故A錯誤；B：若，則或a與b互為異面直線，故B錯誤；C：若，則，故C正確；D：若，則或或a與b互為異面直線或a與b相交，故D錯誤.故選：C6．已知正方形的邊長為平面，則與平面所成角是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)線面角的知識求得正確答案.【詳解】由于平面，平面，所以，故是與平面所成角，由于正方形的邊長為，所以，所以.故選：B7．在長方體中，，，點在棱上，若直線與平面所成的角為，則（

）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】由長方體性質(zhì)確定線面角且求，進而求出長度.【詳解】根據(jù)長方體性質(zhì)知面，故為直線與平面所成的角的平面角，所以，則，可得，如下圖示，所以在中，符合題設(shè).故選：B8．如圖所示，在正方體中，直線與平面所成的角是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由正方體的性質(zhì)可得為與平面所成的角，從而可求得結(jié)果.【詳解】因為在正方體中，平面，所以為與平面所成的角，因為為等腰直角三角形，所以，所以直線與平面所成的角為，故選：A9．已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1，則D1A與平面ABCD所成的角為（

）A．45° B．60° C．90° D．135°【答案】A【分析】根據(jù)正方體的性質(zhì)可知即為直線與平面所成的角，從而求出結(jié)果．【詳解】解：依題意，如圖所示，根據(jù)正方體的性質(zhì)可知，平面，∴即為直線與平面所成的角，又∵，，∴為等腰直角三角形，∴，故選：A．10．直線l與平面α所成的角為70°，直線l∥m，則m與α所成的角等于（）A．20° B．70°C．90° D．110°【答案】B【分析】由直線與平面所成角的概念求解【詳解】∵l∥m，∴直線l與平面α所成的角等于m與α所成的角，又直線l與平面α所成的角為70°，∴m與α所成的角為70°故選：B11．在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，則與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】取的中點，連接，易證平面，進一步得到線面角，再解三角形即可.【詳解】如圖，取的中點，連接，三棱柱為直三棱柱，則平面，又平面，所以，又由題意可知為等腰直角三角形，且為斜邊的中點，從而，而平面，平面，且，所以平面，則為與平面所成的角.在直角中，.故選：C12．若一個圓錐的側(cè)面積是底面面積的2倍，則該圓錐的母線與其底面所成的角的大小為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)圓錐的底面半徑為，母線長為，由題意求出，利用線面角的定義求解即可．【詳解】解：設(shè)圓錐的底面半徑為，母線長為，因為圓錐的側(cè)面積是底面積的2倍，所以，解得，設(shè)該圓錐的母線與底面所成角，則，所以．故選：C13．如圖，在棱長為2的正方體中，?分別為棱?的中點，則與平面所成角的正切值是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用面，可得就是與平面所成的角，解三角形即可．【詳解】解：連接，∵面，∴就是與平面所成的角..故選：D.14．已知空間中不過同一點的兩條直線，及平面，則“，與平面所成的角相同”是“”的（

）．A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)線面關(guān)系及其性質(zhì)，直接判斷即可得解.【詳解】如圖，當，與平面所成的角相同，，而此時不共平行，故不成立，反之，則，與平面所成的角相同成立，故選：B.15．如圖，在正三棱柱中，，，點D是側(cè)棱的中點，則直線與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由正三棱柱的性質(zhì)和線面所成角的定義得到與平面所成的角為.根據(jù)棱柱的底面平行，即為與平面所成角，進而計算得到所求．【詳解】平面，與平面所成的角為.又，，可得，而平面平面，與平面所成角的正弦值為.故應選：B.16．已知長方體中，，，長方體的體積是32，則直線和平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意可知，取的中點，連接，易證平面，則即為和平面所成角，在中即可求出結(jié)果.【詳解】因為長方體的體積是32，所以；所以四邊形為正方形，如下圖所示：取的中點，連接，則又，所以平面所以即為和平面所成角；有勾股定理可知;；所以在中，.故選：C.【點睛】本題主要考查了線面角的求法，屬于基礎(chǔ)題.17．以下說法正確的是（

）A．空間異面直線的夾角取值范圍是B．直線與平面的夾角的取值范圍是C．二面角的取值范圍是D．向量與向量夾角的取值范圍是【答案】C【分析】空間異面直線的夾角取值范圍是，所以選項錯誤；直線與平面的夾角的取值范圍是，所以選項錯誤；二面角的取值范圍是，所以選項正確；向量與向量夾角的取值范圍是，所以選項錯誤.【詳解】選項：空間異面直線的夾角取值范圍是，所以選項錯誤；選項：直線與平面的夾角的取值范圍是，所以選項錯誤；選項：二面角的取值范圍是，所以選項正確；選項：向量與向量夾角的取值范圍是，所以選項錯誤.故選：C【點睛】本題主要考查空間的角的范圍，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.18．正方體中，直線和平面所成的角為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】連接，交于，連接，則可證得為直線和平面所成的角，然后在直角三角形求解即可【詳解】解：如圖，連接，交于，連接，因為平面，在平面內(nèi)，所以，因為，，所以平面，所以為直線和平面所成的角，設(shè)正方體的棱長為1，則，所以，因為，所以，所以直線和平面所成的角為，故選：A

【點睛】此題考查線面角的求法，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題19．如圖，四棱錐中，平面，則與平面所成的角為圖中的（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)線面角的概念，直接得出結(jié)果.【詳解】因為平面，所以，為垂足，所以與平面所成的角為.故選：B.【點睛】本題主要考查線面角的概念，屬于基礎(chǔ)題型.20．已知圓錐的底面半徑為，當圓錐的體積為時，該圓錐的母線與底面所成角的正切值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先理解圓錐體中母線與底面所成角的正切值為它的高與底面半徑的比值，結(jié)合圓錐的體積公式及已知條件即可求出正切值【詳解】設(shè)圓錐的高為，則由題意，有∴，即為母線與底面所成角的正切值故選：D【點睛】本題考查了圓錐體，理解母線與底面所成角即線面角的確定，由已知條件結(jié)合圓錐的體積公式求線面角的正弦值21．如圖，空間四邊形中，平面平面，，且AB＝AD，則AD與平面BCD所成的角是（

）A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】B【分析】過點作,垂足為,證明AD與平面BCD所成的角是,再求的大小即得解.【詳解】如圖，過點作,垂足為.因為平面平面，，平面平面,所以平面,所以AD與平面BCD所成的角是,因為，且AB＝AD，所以.所以AD與平面BCD所成的角是.故選：B.【點睛】本題主要考查直線和平面所成的角的計算，意在考查學生對該知識的理解掌握水平.22．如圖所示，P為矩形ABCD所在平面外一點，矩形對角線交點為O，M為PB的中點，下列結(jié)論正確的個數(shù)為（

）①平面PBC

②平面PCD

③平面PDA④平面PBAA．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】證明，即可證明②③正確；平面，故①錯誤，平面，故④錯誤．【詳解】對于①，平面，故①錯誤；對于②，由于為的中點，為的中點，則，平面，平面，則平面，故②正確；對于③，由于，平面，平面，則平面，故③正確；對于④，由于平面，故④錯誤．故選：B23．如圖所示的正方形中，分別是，的中點，現(xiàn)沿，，把這個正方形折成一個四面體，使，，重合為點，則有（

）A．平面 B．平面C．平面 D．平面【答案】A【解析】根據(jù)正方形的特點，可得，，然后根據(jù)線面垂直的判定定理，可得結(jié)果.【詳解】由題意：，，，平面所以平面正確，D不正確；.又若平面，則，由平面圖形可知顯然不成立；同理平面不正確；故選：A【點睛】本題主要考查線面垂直的判定定理，屬基礎(chǔ)題.二、填空題1．在正方體中，與平面所成角的大小為.【答案】【分析】找到即為與平面所成角，求出大小.【詳解】由于⊥平面，故即為與平面所成角，因為，所以，故與平面所成角為.故答案為：2．二面角的平面角的取值范圍是.【答案】【分析】利用二面角的取值范圍可得結(jié)果.【詳解】二面角的平面角的取值范圍是.故答案為：.3．已知為直角三角形，且，，點是平面外一點，若，且平面，為垂足，則.【答案】4【分析】根據(jù)線面垂直和等腰三角形三線合一的性質(zhì)得到點為中點，然后根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求即可.【詳解】因為平面，平面，所以，因為，所以點為中點，因為，，所以.故答案為：4.

4．直線與平面平行的性質(zhì)定理：文字語言：一條直線和一個平面平行，如果過的平面和相交，那么這條直線與平行．圖形語言：如圖所示．

符號語言：若，且，則．【答案】該直線此平面交線【分析】由線面平行的性質(zhì)定理可得.【詳解】由線面平行的性質(zhì)定理可得：一條直線和一個平面平行，如果過該直線的平面和此平面相交，那么這條直線與交線平行.符號語言表示為：若，且，則.故答案為：該直線；此平面；交線；.5．下列關(guān)于直三棱柱中點、線、面位置關(guān)系的說法正確的有.①直線與直線平行；

②直線與平面垂直；③直線與平面平行；

④直線與平面垂直【答案】①②③【分析】對于①②，由三棱柱的定義可得；對于③，可用線面平行的性質(zhì)得到；對于④，可舉出反例.【詳解】如圖，由直三棱柱的性質(zhì)可知：①直線與直線平行，①正確；②直線與平面垂直，②正確；③因為，平面，，故直線與平面平行，③正確；④不妨設(shè)為等邊，則此時直線與平面不垂直，④錯誤.故答案為：①②③.6．若平面∥平面，，下列說法正確的是.（填序號）①a與β內(nèi)任一直線平行；②a與β內(nèi)無數(shù)條直線平行；③a與β內(nèi)任一直線不垂直；④a與β無公共點.【答案】②④【分析】在正方體中，借助正方體中的點、線、面間的關(guān)系，逐個對選項進行分析判斷，從而求出結(jié)果.【詳解】如圖，在正方體中，令線段B1C1所在的直線為a，面為平面，面為平面，在正方體中，易知，，即，所以①和③錯誤；又因為平面∥平面，，所以，所以根據(jù)線面平行的定義和性質(zhì)知，與內(nèi)的無數(shù)條直線平行且與無公共點，所以②和④正確.故答案為：②④.7．下列三個說法：①若直線a在平面α外，則a∥α；②若直線a∥b，直線a?α，b?α，則a∥α；③若a∥b，b?α，則a與α內(nèi)任意直線平行．其中正確的有．【答案】②【分析】根據(jù)直線與平面之間的位置關(guān)系即可求解．【詳解】對于①，若直線a在平面α外，可能與平面相交，不一定平行．故①不正確；對于②，由直線與平面平行的判定定理可知②正確；對于③，a與平面α內(nèi)的直線可能平行，相交或異面，故③錯誤．故答案為：②．8．兩個平面平行的判定定理∶"如果一個平面上的與另一個平面平行，那么這兩個平面平行.【答案】兩條相交直線【詳解】略三、解答題1．如圖，在三棱柱中，，，設(shè)O為與的交點，點P為的中點．求證：平面；

【答案】證明見解析【分析】利用線面平行的判定定理證明.【詳解】如圖，四邊形為平行四邊形，所以為的中點，且為的中點，所以在中，為中位線，所以,且面，面,所以平面.2．如圖，四棱錐的底面為正方形，E為PB的中點.證明：平面.

【答案】證明見解析【分析】作出輔助線，由中位線得到線線平行，進而得到線面平行.【詳解】連接，交于，連接，因為底面為正方形，所以為的中點，

因為E為PB的中點，所以是的中位線，所以，因為平面，平面，所以平面.3．如圖，在三棱柱中，側(cè)棱底面，，為的中點，，．

(1)求三棱柱的表面積；(2)求證：平面．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）分別求三棱柱每個面的面積相加即可；（2）利用線面平行的判定定理證明即可.【詳解】（1）因為側(cè)棱底面，所以三棱柱為直三棱柱，所以側(cè)面，，均為矩形．因為，所以底面，均為直角三角形．因為，，所以．所以三棱柱的表面積為．（2）連接交于點，連接，因為四邊形為矩形，所以為的中點．因為為的中點，所以．因為平面，平面，所以平面．

4．已知正方體，求直線與平面所成角的正弦值.

【答案】【分析】作出線面角，然后根據(jù)三角函數(shù)定義可得.【詳解】設(shè)正方體棱長為，則，由正方體性質(zhì)可知，平面，所以即為直線與平面所成角，所以,所以直線與平面所成角大小為.故答案為：.5．如圖，在正方體中，，求：(1)異面直線與所成角的正切值；(2)求點到平面的距離．【答案】(1)(2)【分析】（1）找到即為異面直線與所成角，求出各邊長，得到答案；（2）作出輔助線，證明出面，求出點到平面的距離為.【詳解】（1）因為，所以即為異面直線與所成角，因為，由勾股定理得，，故，所以；（2）連接交于，則，因為⊥平面，平面，所以，又因為，，平面，所以面，所以線段為所求距離，所以點到平面的距離為.6．如圖，三棱錐中的三條棱兩兩互相垂直，，點滿足．(1)證明：平面．【答案】(1)證明見解析【分析】（1）由直線和平面垂直的性質(zhì)定理結(jié)合勾股定理，利用直線與平面垂直的判定定理即可證明.【詳解】（1）證明：三棱錐中的三條棱兩兩互相垂直，，，，平面，平面，平面，，設(shè)，，中，，則，，點滿足,，在中，由余弦定理得，，，，即，又，，平面，平面．

7．如圖，已知P是平面ABC外一點，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，求證：PC⊥BC.

【答案】證明見解析【分析】根據(jù)三垂線定理即可得證.【詳解】因為PA⊥平面ABC，所以PC是平面ABC的斜線，所以AC是PC在平面ABC上的投影，因為BC?平面ABC且AC⊥BC，所以由三垂線定理得PC⊥BC.8．如圖，已知多面體的底面是邊長為3的正方形，底面，，且．

(1)證明：平面；(2)求四棱錐的體積．【答案】(1)證明見解析(2)6【分析】（1）由線面垂直的判定證明；（2）求出直角梯形的面積，以為四棱錐的高求體積.【詳解】（1）∵底面，底面，∴．又，，平面，∴平面．（2）由題意易知四邊形為直角梯形，∴．∴．9．如圖，在直三棱柱中，，，，點是的中點.

(1)證明：；(2)證明：平面.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)已知條件證明平面，再通過線面垂直的性質(zhì)得到線線垂直；（2）設(shè)，根據(jù)條件得到，再結(jié)合線面平行的判定定理證明即可.【詳解】（1）在直三棱柱中，平面，因為平面，所以.因為，，，所以，所以，又，平面，所以平面，因為平面，所以（2）設(shè)，連接，

則是的中點，又因為是的中點，所以因為平面，平面，所以平面.10．如圖，在正方體中，

(1)求證：平面；(2)求證：平面；【答案】(1)證明見解析