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文檔簡介
2022-2023學(xué)年高三上數(shù)學(xué)期末模擬試卷考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合,,則A. B.C. D.2.已知,,,則()A. B. C. D.3.若數(shù)列為等差數(shù)列,且滿足,為數(shù)列的前項(xiàng)和,則()A. B. C. D.4.已知,,,則a,b,c的大小關(guān)系為()A. B. C. D.5.已知集合,,則()A. B. C. D.6.如圖,網(wǎng)格紙是由邊長為1的小正方形構(gòu)成,若粗實(shí)線畫出的是某幾何體的三視圖,則該幾何體的表面積為()A. B. C. D.7.已知定義在上函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱,且,若,則()A.0 B.1 C.673 D.6748.已知橢圓的中心為原點(diǎn),為的左焦點(diǎn),為上一點(diǎn),滿足且,則橢圓的方程為()A. B. C. D.9.已知集合,將集合的所有元素從小到大一次排列構(gòu)成一個新數(shù)列,則()A.1194 B.1695 C.311 D.109510.甲、乙、丙、丁四位同學(xué)高考之后計劃去三個不同社區(qū)進(jìn)行幫扶活動,每人只能去一個社區(qū),每個社區(qū)至少一人.其中甲必須去社區(qū),乙不去社區(qū),則不同的安排方法種數(shù)為()A.8 B.7 C.6 D.511.已知函數(shù)的圖像上有且僅有四個不同的關(guān)于直線對稱的點(diǎn)在的圖像上,則的取值范圍是()A. B. C. D.12.己知拋物線的焦點(diǎn)為,準(zhǔn)線為,點(diǎn)分別在拋物線上,且,直線交于點(diǎn),,垂足為,若的面積為,則到的距離為()A. B. C.8 D.6二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知數(shù)列的前項(xiàng)和公式為,則數(shù)列的通項(xiàng)公式為___.14.已知是等比數(shù)列,且,,則__________,的最大值為__________.15.若x,y均為正數(shù),且,則的最小值為________.16.的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知與有兩個不同的交點(diǎn),其橫坐標(biāo)分別為().(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍;(2)求證:.18.(12分)《山東省高考改革試點(diǎn)方案》規(guī)定:從2017年秋季高中入學(xué)的新生開始,不分文理科;2020年開始,高考總成績由語數(shù)外3門統(tǒng)考科目和物理、化學(xué)等六門選考科目構(gòu)成.將每門選考科目的考生原始成績從高到低劃分為、、、、、、、共8個等級.參照正態(tài)分布原則,確定各等級人數(shù)所占比例分別為、、、、、、、.選考科目成績計入考生總成績時,將至等級內(nèi)的考生原始成績,依照等比例轉(zhuǎn)換法則,分別轉(zhuǎn)換到、、、、、、、八個分?jǐn)?shù)區(qū)間,得到考生的等級成績.某校高一年級共2000人,為給高一學(xué)生合理選科提供依據(jù),對六個選考科目進(jìn)行測試,其中物理考試原始成績基本服從正態(tài)分布.(1)求物理原始成績在區(qū)間的人數(shù);(2)按高考改革方案,若從全省考生中隨機(jī)抽取3人,記表示這3人中等級成績在區(qū)間的人數(shù),求的分布列和數(shù)學(xué)期望.(附:若隨機(jī)變量,則,,)19.(12分)某機(jī)構(gòu)組織的家庭教育活動上有一個游戲,每次由一個小孩與其一位家長參與,測試家長對小孩飲食習(xí)慣的了解程度.在每一輪游戲中,主持人給出A,B,C,D四種食物,要求小孩根據(jù)自己的喜愛程度對其排序,然后由家長猜測小孩的排序結(jié)果.設(shè)小孩對四種食物排除的序號依次為xAxBxCxD,家長猜測的序號依次為yAyByCyD,其中xAxBxCxD和yAyByCyD都是1,2,3,4四個數(shù)字的一種排列.定義隨機(jī)變量X=(xA﹣yA)2+(xB﹣yB)2+(xC﹣yC)2+(xD﹣yD)2,用X來衡量家長對小孩飲食習(xí)慣的了解程度.(1)若參與游戲的家長對小孩的飲食習(xí)慣完全不了解.(?。┣笏麄冊谝惠営螒蛑校瑢λ姆N食物排出的序號完全不同的概率;(ⅱ)求X的分布列(簡要說明方法,不用寫出詳細(xì)計算過程);(2)若有一組小孩和家長進(jìn)行來三輪游戲,三輪的結(jié)果都滿足X<4,請判斷這位家長對小孩飲食習(xí)慣是否了解,說明理由.20.(12分)已知數(shù)列中,a1=1,其前n項(xiàng)和為,且滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)記,若數(shù)列為遞增數(shù)列,求λ的取值范圍.21.(12分)已知函數(shù),.(1)若不等式的解集為,求的值.(2)若當(dāng)時,,求的取值范圍.22.(10分)已知數(shù)列滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,證明:.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】
因?yàn)?,所以,,故選D.2、B【解析】
利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,將數(shù)據(jù)和做對比,即可判斷.【詳解】由于,,故.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小,屬基礎(chǔ)題.3、B【解析】
利用等差數(shù)列性質(zhì),若,則求出,再利用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式得【詳解】解:因?yàn)?,由等差?shù)列性質(zhì),若,則得,.為數(shù)列的前項(xiàng)和,則.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列性質(zhì)與等差數(shù)列前項(xiàng)和.(1)如果為等差數(shù)列,若,則.(2)要注意等差數(shù)列前項(xiàng)和公式的靈活應(yīng)用,如.4、D【解析】
與中間值1比較,可用換底公式化為同底數(shù)對數(shù),再比較大?。驹斀狻浚?,又,∴,即,∴.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查冪和對數(shù)的大小比較,解題時能化為同底的化為同底數(shù)冪比較,或化為同底數(shù)對數(shù)比較,若是不同類型的數(shù),可借助中間值如0,1等比較.5、D【解析】
先求出集合B,再與集合A求交集即可.【詳解】由已知,,故,所以.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查集合的交集運(yùn)算,考查學(xué)生的基本運(yùn)算能力,是一道容易題.6、C【解析】
根據(jù)三視圖還原為幾何體,結(jié)合組合體的結(jié)構(gòu)特征求解表面積.【詳解】由三視圖可知,該幾何體可看作是半個圓柱和一個長方體的組合體,其中半圓柱的底面半圓半徑為1,高為4,長方體的底面四邊形相鄰邊長分別為1,2,高為4,所以該幾何體的表面積,故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查三視圖的識別,利用三視圖還原成幾何體是求解關(guān)鍵,側(cè)重考查直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).7、B【解析】
由題知為奇函數(shù),且可得函數(shù)的周期為3,分別求出知函數(shù)在一個周期內(nèi)的和是0,利用函數(shù)周期性對所求式子進(jìn)行化簡可得.【詳解】因?yàn)闉槠婧瘮?shù),故;因?yàn)椋?,可知函?shù)的周期為3;在中,令,故,故函數(shù)在一個周期內(nèi)的函數(shù)值和為0,故.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)奇偶性與周期性綜合問題.其解題思路:函數(shù)的奇偶性與周期性相結(jié)合的問題多考查求值問題,常利用奇偶性及周期性進(jìn)行變換,將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)求解.8、B【解析】由題意可得c=,設(shè)右焦點(diǎn)為F′,由|OP|=|OF|=|OF′|知,∠PFF′=∠FPO,∠OF′P=∠OPF′,所以∠PFF′+∠OF′P=∠FPO+∠OPF′,由∠PFF′+∠OF′P+∠FPO+∠OPF′=180°知,∠FPO+∠OPF′=90°,即PF⊥PF′.在Rt△PFF′中,由勾股定理,得|PF′|=,由橢圓定義,得|PF|+|PF′|=2a=4+8=12,從而a=6,得a2=36,于是b2=a2﹣c2=36﹣=16,所以橢圓的方程為.故選B.點(diǎn)睛:橢圓的定義:到兩定點(diǎn)距離之和為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡,當(dāng)和大于兩定點(diǎn)間的距離時,軌跡是橢圓,當(dāng)和等于兩定點(diǎn)間的距離時,軌跡是線段(兩定點(diǎn)間的連線段),當(dāng)和小于兩定點(diǎn)間的距離時,軌跡不存在.9、D【解析】
確定中前35項(xiàng)里兩個數(shù)列中的項(xiàng)數(shù),數(shù)列中第35項(xiàng)為70,這時可通過比較確定中有多少項(xiàng)可以插入這35項(xiàng)里面即可得,然后可求和.【詳解】時,,所以數(shù)列的前35項(xiàng)和中,有三項(xiàng)3,9,27,有32項(xiàng),所以.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列分組求和,掌握等差數(shù)列和等比數(shù)列前項(xiàng)和公式是解題基礎(chǔ).解題關(guān)鍵是確定數(shù)列的前35項(xiàng)中有多少項(xiàng)是中的,又有多少項(xiàng)是中的.10、B【解析】根據(jù)題意滿足條件的安排為:A(甲,乙)B(丙)C(丁);A(甲,乙)B(丁)C(丙);A(甲,丙)B(?。〤(乙);A(甲,?。〣(丙)C(乙);A(甲)B(丙,?。〤(乙);A(甲)B(?。〤(乙,丙);A(甲)B(丙)C(丁,乙);共7種,選B.11、D【解析】
根據(jù)對稱關(guān)系可將問題轉(zhuǎn)化為與有且僅有四個不同的交點(diǎn);利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性從而得到的圖象;由直線恒過定點(diǎn),通過數(shù)形結(jié)合的方式可確定;利用過某一點(diǎn)曲線切線斜率的求解方法可求得和,進(jìn)而得到結(jié)果.【詳解】關(guān)于直線對稱的直線方程為:原題等價于與有且僅有四個不同的交點(diǎn)由可知,直線恒過點(diǎn)當(dāng)時,在上單調(diào)遞減;在上單調(diào)遞增由此可得圖象如下圖所示:其中、為過點(diǎn)的曲線的兩條切線,切點(diǎn)分別為由圖象可知,當(dāng)時,與有且僅有四個不同的交點(diǎn)設(shè),,則,解得:設(shè),,則,解得:,則本題正確選項(xiàng):【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)直線與曲線交點(diǎn)個數(shù)確定參數(shù)范圍的問題;涉及到過某一點(diǎn)的曲線切線斜率的求解問題;解題關(guān)鍵是能夠通過對稱性將問題轉(zhuǎn)化為直線與曲線交點(diǎn)個數(shù)的問題,通過確定直線恒過的定點(diǎn),采用數(shù)形結(jié)合的方式來進(jìn)行求解.12、D【解析】
作,垂足為,過點(diǎn)N作,垂足為G,設(shè),則,結(jié)合圖形可得,,從而可求出,進(jìn)而可求得,,由的面積即可求出,再結(jié)合為線段的中點(diǎn),即可求出到的距離.【詳解】如圖所示,作,垂足為,設(shè),由,得,則,.過點(diǎn)N作,垂足為G,則,,所以在中,,,所以,所以,在中,,所以,所以,,所以.解得,因?yàn)椋詾榫€段的中點(diǎn),所以F到l的距離為.故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的幾何性質(zhì)及平面幾何的有關(guān)知識,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
由題意,根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和之間的關(guān)系,即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.【詳解】由題意,可知當(dāng)時,;當(dāng)時,.又因?yàn)椴粷M足,所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和之間的關(guān)系求解數(shù)列的通項(xiàng)公式,其中解答中熟記數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和之間的關(guān)系,合理準(zhǔn)確推導(dǎo)是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.14、5【解析】,即的最大值為15、4【解析】
由基本不等式可得,則,即可解得.【詳解】方法一:,當(dāng)且僅當(dāng)時取等.方法二:因?yàn)椋?,所以,?dāng)且僅當(dāng)時取等.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式在求最小值中的應(yīng)用,考查學(xué)生對基本不等式的靈活使用,難度較易.16、31【解析】
由二項(xiàng)式定理及其展開式得通項(xiàng)公式得:因?yàn)榈恼归_式得通項(xiàng)為,則的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為:,得解.【詳解】解:,則的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為:.故答案為:31.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理及其展開式的通項(xiàng)公式,求某項(xiàng)的導(dǎo)數(shù),考查計算能力.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)見解析【解析】
(1)利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性,分析函數(shù)性質(zhì),數(shù)形結(jié)合,即得解;(2)構(gòu)造函數(shù),可證得:,,分析直線,與從左到右交點(diǎn)的橫坐標(biāo),在,處的切線即得解.【詳解】(1)設(shè)函數(shù),,令,令故在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,∴,∵時;;時.(2)①過點(diǎn),的直線為,則令,,,.②過點(diǎn),的直線為,則,在上單調(diào)遞增.③設(shè)直線,與從左到右交點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次為,,由圖知.④在,處的切線分別為,,同理可以證得,.記直線與兩切線和從左到右交點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次為,.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合,考查了學(xué)生數(shù)形結(jié)合,綜合分析,轉(zhuǎn)化劃歸,邏輯推理,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于較難題.18、(Ⅰ)1636人;(Ⅱ)見解析.【解析】
(Ⅰ)根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性,可將區(qū)間分為和兩種情況,然后根據(jù)特殊區(qū)間上的概率求出成績在區(qū)間內(nèi)的概率,進(jìn)而可求出相應(yīng)的人數(shù);(Ⅱ)由題意得成績在區(qū)間[61,80]的概率為,且,由此可得的分布列和數(shù)學(xué)期望.【詳解】(Ⅰ)因?yàn)槲锢碓汲煽儯裕晕锢碓汲煽冊冢?7,86)的人數(shù)為(人).(Ⅱ)由題意得,隨機(jī)抽取1人,其成績在區(qū)間[61,80]內(nèi)的概率為.所以隨機(jī)抽取三人,則的所有可能取值為0,1,2,3,且,所以,,,.所以的分布列為0123所以數(shù)學(xué)期望.【點(diǎn)睛】(1)解答第一問的關(guān)鍵是利用正態(tài)分布的三個特殊區(qū)間表示所求概率的區(qū)間,再根據(jù)特殊區(qū)間上的概率求解,解題時注意結(jié)合正態(tài)曲線的對稱性.(2)解答第二問的關(guān)鍵是判斷出隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布,然后可得分布列及其數(shù)學(xué)期望.當(dāng)被抽取的總體的容量較大時,抽樣可認(rèn)為是等可能的,進(jìn)而可得隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布.19、(1)(ⅰ)(ⅱ)分布表見解析;(2)理由見解析【解析】
(1)(i)若家長對小孩子的飲食習(xí)慣完全不了解,則家長對小孩的排序是隨意猜測的,家長的排序有種等可能結(jié)果,利用列舉法求出其中滿足“家長的排序與對應(yīng)位置的數(shù)字完全不同”的情況有9種,由此能求出他們在一輪游戲中,對四種食物排出的序號完全不同的概率.
(ii)根據(jù)(i)的分析,同樣只考慮小孩排序?yàn)?234的情況,家長的排序一共有24種情況,由此能求出X的分布列.
(2)假設(shè)家長對小孩的飲食習(xí)慣完全不了解,在一輪游戲中,P(X<4)=P(X=0)+P(X=2)=,三輪游戲結(jié)果都滿足“X<4”的概率為,這個結(jié)果發(fā)生的可能性很小,從而這位家長對小孩飲食習(xí)慣比較了解.【詳解】(1)(i)若家長對小孩子的飲食習(xí)慣完全不了解,則家長對小孩的排序是隨意猜測的,先考慮小孩的排序?yàn)閤A,xB,xC,xD為1234的情況,家長的排序有=24種等可能結(jié)果,其中滿足“家長的排序與對應(yīng)位置的數(shù)字完全不同”的情況有9種,分別為:2143,2341,2413,3142,3412,3421,4123,4312,4321,∴家長的排序與對應(yīng)位置的數(shù)字完全不同的概率P=.基小孩對四種食物的排序是其他情況,只需將角標(biāo)A,B,C,D按照小孩的順序調(diào)整即可,假設(shè)小孩的排序xA,xB,xC,xD為1423的情況,四種食物按1234的排列為ACDB,再研究yAyByCyD的情況即可,其實(shí)這樣處理后與第一種情況的計算結(jié)果是一致的,∴他們在一輪游戲中,對四種食物排出的序號完全不同的概率為.(ii)根據(jù)(i)的分析,同樣只考慮小孩排序?yàn)?234的情況,家長的排序一共有24種情況,列出所有情況,分別計算每種情況下的x的值,X的分布列如下表:X02468101214161820P(2)這位家長對小孩的飲食習(xí)慣比較了解.理由如下:假設(shè)家長對小孩的飲食習(xí)慣完
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