高中數(shù)學(xué)必修知識總結(jié)

【新課標(biāo)】高中數(shù)學(xué)必修1-5知識總結(jié)

高中數(shù)學(xué)必修1知識點(diǎn)

第一章集合與函數(shù)概念

K1.13集合

[1.1.11集合的含義與表示

(1)集合的概念

集合中的元素具有確定性、互異性和無序性.

(2)常用數(shù)集及其記法

表示自然數(shù)集，或表示正整數(shù)集，表示整數(shù)集，表示有理數(shù)集，表示實(shí)數(shù)集.

(3)集合與元素間的關(guān)系

對象與集合的關(guān)系是，或者，兩者必居其一.

(4)集合的表示法

①自然語言法：用文字?jǐn)⑹龅男问絹砻枋黾?

②列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，寫在大括號內(nèi)表示集合.

③描述法：｛|具有的性質(zhì)｝,其中為集合的代表元素.

④圖示法：用數(shù)軸或韋恩圖來表示集合.

(5)集合的分類

①含有有限個元素的集合叫做有限集.②含有無限個元素的集合叫做無限集.③不含

有任何元素的集合叫做空集().

[1.1.2]集合間的基本關(guān)系

(6)子集、真子集、集合相等

名稱記號意義性質(zhì)示意圖

(DAA

A中的任一元素都(2)

子集(或或

屬于B(3)若且，則

(4)若且，則

AB,且B中至少有一(1)(A為非空子集)

真子集

(或BA)元素不屬于A(2)若且,則

A中的任一元素都

集合(DAB

屬于B,B中的任

相等(2)BA

一元素都屬于A

(7)已知集合有個元素，則它有個子集，它有個真子集，它有個非空子集，它有非空真

子集.

[1.1.3]集合的基本運(yùn)算

(8)交集、并集、補(bǔ)集

名

記號意義性質(zhì)示意圖

稱

(1)

交(2)

且

集(3)

(1)

并(2)

或

集(3)

補(bǔ)12

集

【補(bǔ)充知識】含絕對值的不等式與一元二次不等式的解法

(1)含絕對值的不等式的解法

不等式解集

或

把看成一個整體，化成，型不等式來求解

(2)一元二次不等式的解法

判別式

二次函數(shù)的圖象

一元二次方程的根(其中無實(shí)根

的解集或

的解集

K1.23函數(shù)及其表示

[1.2.1]函數(shù)的概念

(1)函數(shù)的概念

①設(shè)、是兩個非空的數(shù)集，如果按照某種對應(yīng)法則，對于集合中任何一個數(shù)，在集

合中都有唯一確定的數(shù)和它對應(yīng)，那么這樣的對應(yīng)(包括集合，以及到的對應(yīng)法則)

叫做集合到的一個函數(shù)，記作.

②函數(shù)的三要素:定義域、值域和對應(yīng)法則.

③只有定義域相同，且對應(yīng)法則也相同的兩個函數(shù)才是同一函數(shù).

(2)區(qū)間的概念及表示法

①設(shè)是兩個實(shí)數(shù)，且，滿足的實(shí)數(shù)的集合叫做閉區(qū)間，記做；滿足的實(shí)數(shù)的集合叫

做開區(qū)間，記做；滿足，或的實(shí)數(shù)的集合叫做半開半閉區(qū)間，分別記做，；滿足的

實(shí)數(shù)的集合分別記做.

注意：對于集合與區(qū)間，前者可以大于或等于，而后者必須

（3）求函數(shù)的定義域時，一般遵循以下原則：

①是整式時，定義域是全體實(shí)數(shù).

②是分式函數(shù)時，定義域是使分母不為零的一切實(shí)數(shù).

③是偶次根式時，定義域是使被開方式為非負(fù)值時的實(shí)數(shù)的集合.

④對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零，當(dāng)對數(shù)或指數(shù)函數(shù)的底數(shù)中含變量時，底數(shù)須大于零且

不等于L

⑤中，.

⑥零（負(fù)）指數(shù)幕的底數(shù)不能為零.

⑦若是由有限個基本初等函數(shù)的四則運(yùn)算而合成的函數(shù)時，則其定義域一般是各基

本初等函數(shù)的定義域的交集.

⑧對于求復(fù)合函數(shù)定義域問題，一般步驟是：若已知的定義域?yàn)椋鋸?fù)合函數(shù)的定

義域應(yīng)由不等式解出.

⑨對于含字母參數(shù)的函數(shù)，求其定義域，根據(jù)問題具體情況需對字母參數(shù)進(jìn)行分類

討論.

⑩由實(shí)際問題確定的函數(shù)，其定義域除使函數(shù)有意義外，還要符合問題的實(shí)際意義.

（4）求函數(shù)的值域或最值

求函數(shù)最值的常用方法和求函數(shù)值域的方法基本上是相同的.事實(shí)上，如果在函數(shù)

的值域中存在一個最?。ù螅?shù)，這個數(shù)就是函數(shù)的最?。ù螅┲?因此求函數(shù)的

最值與值域，其實(shí)質(zhì)是相同的，只是提問的角度不同.求函數(shù)值域與最值的常用方

法：

①觀察法：對于比較簡單的函數(shù)，我們可以通過觀察直接得到值域或最值.

②配方法：將函數(shù)解析式化成含有自變量的平方式與常數(shù)的和，然后根據(jù)變量的取

值范圍確定函數(shù)的值域或最值.

③判別式法：若函數(shù)可以化成一個系數(shù)含有的關(guān)于的二次方程，則在時，由于為實(shí)

數(shù)，故必須有，從而確定函數(shù)的值域或最值.

④不等式法：利用基本不等式確定函數(shù)的值域或最值.

⑤換元法：通過變量代換達(dá)到化繁為簡、化難為易的目的，三角代換可將代數(shù)函數(shù)

的最值問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題.

⑥反函數(shù)法：利用函數(shù)和它的反函數(shù)的定義域與值域的互逆關(guān)系確定函數(shù)的值域或

最值.

⑦數(shù)形結(jié)合法：利用函數(shù)圖象或幾何方法確定函數(shù)的值域或最值.

⑧函數(shù)的單調(diào)性法.

[1.2.2]函數(shù)的表示法

（5）函數(shù)的表示方法

表示函數(shù)的方法，常用的有解析法、列表法、圖象法三種.

解析法：就是用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系.列表法：就是列出表格

來表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系.圖象法：就是用圖象表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)

系.

（6）映射的概念

①設(shè)、是兩個集合，如果按照某種對應(yīng)法則，對于集合中任何一個元素，在集合中

都有唯一的元素和它對應(yīng)，那么這樣的對應(yīng)(包括集合，以及到的對應(yīng)法則)叫做

集合到的映射，記作.

②給定一個集合到集合的映射，且.如果元素和元素對應(yīng)，那么我們把元素叫做元

素的象，元素叫做元素的原象.

H1.33函數(shù)的基本性質(zhì)

[1.3.1]單調(diào)性與最大(小)值

(1)函數(shù)的單調(diào)性

①定義及判定方法

函數(shù)的

定義圖象判定方法

性質(zhì)

如果對于屬于定義域I(1)利用定義

內(nèi)某個區(qū)間上的任意兩(2)利用已知函

個自變量的值土、X2,當(dāng)數(shù)的單調(diào)性

xX乎時，都有(3)利用函數(shù)圖

象(在某個區(qū)間圖

f(X,)<f(X2),那么就說

象上升為增)

f(x)在這個區(qū)間上是覆

(4)利用復(fù)合函

函數(shù)的明數(shù)數(shù)

單調(diào)性如果對于屬于定義域I(1)利用定義

內(nèi)某個區(qū)間上的任意兩(2)利用已知函

個自變量的值XI、X2,當(dāng)數(shù)的單調(diào)性

X!<乎時，都有(3)利用函數(shù)圖

f(Xl)>f(X2),那么就說象(在某個區(qū)間圖

象下降為減)

f(x)在這個區(qū)間上是誠

(4)利用復(fù)合函

速裝.數(shù)

②在公共定義域內(nèi)，兩個增函數(shù)的和是增函數(shù)，兩個減函數(shù)的和是減函數(shù)，增函數(shù)

減去一個減函數(shù)為增函數(shù)，減函數(shù)減去一個增函數(shù)為減函數(shù).

③對于復(fù)合函數(shù)，令，若為增，為增，則為增；若為減，為減，則為增；若為增，

為減，則為減；若為減，為增，則為減.

(2)打“函數(shù)的圖象與性質(zhì)

分別在、上為增函數(shù)，分別在、上為減函數(shù).

(3)最大(小)值定義

①一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，如果存在?shí)數(shù)滿足：(1)對于任意的，都有;y

(2)存在，使得.那么，我們稱是函數(shù)的最大

值，記作.

②一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，如果存在?shí)數(shù)滿足：(1)對

于任意的，都有；(2)存在，使得.那么，我們稱是函數(shù)的最小值，記

作.

【1.3.2】奇偶性

(4)函數(shù)的奇偶性

①定義及判定方法

函數(shù)的

定義圖象判定方法

性質(zhì)

如果對于函數(shù)f（x）定義（1）利用定義（要

域內(nèi)任意一個X,都有先判斷定義域是

f（-x）=yf（x）,那么函否關(guān)于原點(diǎn)對稱）

數(shù)f（x）叫做奇股教.（2）利用圖象（圖

函數(shù)的象關(guān)于原點(diǎn)對稱）

奇偶性如果對于函數(shù)f（x）定義（1）利用定義（要

域內(nèi)任意一個X,都有先判斷定義域是

f（―x）=f（X）,那么函數(shù)否關(guān)于原點(diǎn)對稱）

f（x）叫做偶困蓼.（2）利用圖象（圖

象關(guān)于y軸對稱）

②若函數(shù)為奇函數(shù)，且在處有定義，則.

③奇函數(shù)在軸兩側(cè)相對稱的區(qū)間增減性相同，偶函數(shù)在軸兩側(cè)相對稱的區(qū)間增減性

相反.

④在公共定義域內(nèi)，兩個偶函數(shù)（或奇函數(shù)）的和（或差）仍是偶函數(shù)（或奇函數(shù)）,

兩個偶函數(shù)（或奇函數(shù)）的積（或商）是偶函數(shù)，一個偶函數(shù)與一個奇函數(shù)的積（或

商）是奇函數(shù).

K補(bǔ)充知識力函數(shù)的圖象

（1）作圖

利用描點(diǎn)法作圖：

①確定函數(shù)的定義域；②化解函數(shù)解析式；

③討論函數(shù)的性質(zhì)（奇偶性、單調(diào)性）；④畫出函數(shù)的圖象.

利用基本函數(shù)圖象的變換作圖：

要準(zhǔn)確記憶一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、基函數(shù)、三

角函數(shù)等各種基本初等函數(shù)的圖象.

①平移變換

②伸縮變換

③對稱變換

（2）識圖

對于給定函數(shù)的圖象，要能從圖象的左右、上下分別范圍、變化趨勢、對稱性等方

面研究函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性，注意圖象與函數(shù)解析式中參數(shù)的關(guān)

系.

（3）用圖

函數(shù)圖象形象地顯示了函數(shù)的性質(zhì)，為研究數(shù)量關(guān)系問題提供了“形”的直觀性，

它是探求解題途徑，獲得問題結(jié)果的重要工具.要重視數(shù)形結(jié)合解題的思想方法.

第二章基本初等函數(shù)（I）

K2.13指數(shù)函數(shù)

[2.1.1]指數(shù)與指數(shù)塞的運(yùn)算

(1)根式的概念

①如果，且，那么叫做的次方根.當(dāng)是奇數(shù)時，的次方根用符號表示；當(dāng)是偶數(shù)

時，正數(shù)的正的次方根用符號表示，負(fù)的次方根用符號表示；0的次方根是0;負(fù)數(shù)

沒有次方根.

②式子叫做根式，這里叫做根指數(shù)，叫做被開方數(shù).當(dāng)為奇數(shù)時，為任意實(shí)數(shù)；

當(dāng)為偶數(shù)時，.

③根式的性質(zhì)：；當(dāng)為奇數(shù)時,；當(dāng)為偶數(shù)時，.

(2)分?jǐn)?shù)指數(shù)基的概念

①正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的意義是：且.0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)幕等于0.

②正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)基的意義是：且.0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)事沒有意義.注意口訣:

底數(shù)取倒數(shù)，指數(shù)取相反數(shù).

(3)分?jǐn)?shù)指數(shù)累的運(yùn)算性質(zhì)

①②

③

【2.1.2】指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

(4)指數(shù)函數(shù)

函數(shù)名稱指數(shù)函數(shù)

定義函數(shù)且叫做指數(shù)函數(shù)

圖象

定義域

1，

值域

四過定點(diǎn)，即當(dāng)時

過定點(diǎn)

奇偶性/非笥，“偶\

單調(diào)性在上看監(jiān)數(shù):減函數(shù)

函數(shù)值的

變化情況

變化對圖象的影響在第一象限內(nèi)，越大圖象越高；在第二象限內(nèi)，越大圖象越低.

12.21對數(shù)函數(shù)

【2.2.1】對數(shù)與對數(shù)運(yùn)算

(1)對數(shù)的定義

①若，則叫做以為底的對數(shù)，記作，其中叫做底數(shù)，叫做真數(shù).

②負(fù)數(shù)和零沒有對數(shù).

③對數(shù)式與指數(shù)式的互化:.

(2)幾個重要的對數(shù)恒等式

，，?

(3)常用對數(shù)與自然對數(shù)

常用對數(shù)：，即；自然對數(shù)：，即(其中…).

(4)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)如果，那么

①加法：②減法：

③數(shù)乘：④

⑤⑥換底公式：

[2.2.2]對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

(5)對數(shù)函數(shù)

函數(shù)

對數(shù)函數(shù)

名稱

定義函數(shù)且叫做對數(shù)函數(shù)

圖象

1.

1

定義域

值域/\1

過定點(diǎn)/圖象過定點(diǎn)，即當(dāng)時,

-71

奇偶性/------------?非奇非偶------------

單調(diào)性在上是增函數(shù)在上是遨函數(shù)

/

/

函數(shù)值的

變化情況

變化對圖象的影響在第一象限內(nèi)，越大圖象越靠低；在第四象限內(nèi)，越大圖象越靠高.

(6)反函數(shù)的概念

設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋涤驗(yàn)?，從式子中解出，得式?如果對于在中的任何一個

值，通過式子，在中都有唯一確定的值和它對應(yīng)，那么式子表示是的函數(shù)，函數(shù)叫做

函數(shù)的反函數(shù)，記作，習(xí)慣上改寫成.

(7)反函數(shù)的求法

①確定反函數(shù)的定義域，即原函數(shù)的值域；②從原函數(shù)式中反解出；

③將改寫成，并注明反函數(shù)的定義域.

(8)反函數(shù)的性質(zhì)

①原函數(shù)與反函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱.

②函數(shù)的定義域、值域分別是其反函數(shù)的值域、定義域.

③若在原函數(shù)的圖象上，則在反函數(shù)的圖象上.

④一般地，函數(shù)要有反函數(shù)則它必須為單調(diào)函數(shù).

K2.3R寨函數(shù)

(1)事函數(shù)的定義

一般地，函數(shù)叫做基函數(shù)，其中為自變量，是常數(shù).

(2)基函數(shù)的圖象

（3）零函數(shù)的性質(zhì)

①圖象分布：累函數(shù)圖象分布在第一、二、三象限，第四象限無圖象.基函數(shù)是偶函數(shù)

時，圖象分布在第一、二象限（圖象關(guān)于軸對稱）；是奇函數(shù)時，圖象分布在第一、三象

限（圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱）；是非奇非偶函數(shù)時，圖象只分布在第一象限.

②過定點(diǎn)：所有的事函數(shù)在都有定義，并且圖象都通過點(diǎn).

③單調(diào)性：如果，則基函數(shù)的圖象過原點(diǎn)，并且在上為增函數(shù).如果，則基函數(shù)的圖象

在上為減函數(shù)，在第一象限內(nèi)，圖象無限接近軸與軸.

④奇偶性：當(dāng)為奇數(shù)時，基函數(shù)為奇函數(shù)，當(dāng)為偶數(shù)時，器函數(shù)為偶函數(shù).當(dāng)（其中互

質(zhì)，和），若為奇數(shù)為奇數(shù)時，則是奇函數(shù)，若為奇數(shù)為偶數(shù)時，則是偶函數(shù)，若為偶

數(shù)為奇數(shù)時，則是非奇非偶函數(shù).

⑤圖象特征：幕函數(shù)，當(dāng)時，若，其圖象在直線下方，若，其圖象在直線上方，當(dāng)時，

若，其圖象在直線上方，若，其圖象在直線下方.

K補(bǔ)充知識1二次函數(shù)

（1）二次函數(shù)解析式的三種形式

①一般式：②頂點(diǎn)式：③兩根式：（2）求二次函數(shù)解析式的方法

①已知三個點(diǎn)坐標(biāo)時，宜用一般式.

②已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)或與對稱軸有關(guān)或與最大（?。┲涤嘘P(guān)時，常使用頂

點(diǎn)式.

③若已知拋物線與軸有兩個交點(diǎn)，且橫線坐標(biāo)已知時，選用兩根式求更方便.

（3）二次函數(shù)圖象的性質(zhì)

①二次函數(shù)的圖象是一條拋物線，對稱軸方程為頂點(diǎn)坐標(biāo)是.

②當(dāng)時，拋物線開口向上，函數(shù)在上遞減，在上遞增，當(dāng)時，；當(dāng)時，拋物線開口向下,

函數(shù)在上遞增，在上遞減，當(dāng)時，.

③二次函數(shù)當(dāng)時，圖象與軸有兩個交點(diǎn).

（4）一元二次方程根的分布

一元二次方程根的分布是二次函數(shù)中的重要內(nèi)容，這部分知識在初中代數(shù)中雖

有所涉及，但尚不夠系統(tǒng)和完整，且解決的方法偏重于二次方程根的判別式和根與

系數(shù)關(guān)系定理（韋達(dá)定理）的運(yùn)用，下面結(jié)合二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，系統(tǒng)地來分析

一元二次方程實(shí)根的分布.

設(shè)一元二次方程的兩實(shí)根為，且.令，從以下四個方面來分析此類問題：①開口方

向：②對稱軸位置：③判別式：④端點(diǎn)函數(shù)值符號.

①4VxiW為

②xWxKk

③汨<k<x-iaF（A）<0

④左<X1WX2<“2

⑤有且僅有一個根?。ɑ蛴茫M足左Vxi（或毛）<k2f（kJO,并同

時考慮f（%）=0或AA2）=0這兩種情況是否也符合

⑥）k\<X\VkW6<Xi<p?

此結(jié)論可直接由⑤推出.

（5）二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值

設(shè)在區(qū)間上的最大值為，最小值為，令.

（I）當(dāng)時（開口向上）

①若，則②若，則③若，則

①若，則②T則

(I"（開口商嘮

陰咿‘噲則

①若\<A

函數(shù)的應(yīng)用

程電儂段數(shù)的零點(diǎn)

豌蟠>對于函數(shù)，帳峨％的必

1、/困散關(guān)度的零點(diǎn)。

、-8F,「'''激"…的零i焉就是，-7幅.亦即函堂儲象男軸交期的

橫坐龍io中：;_

方襟君實(shí)數(shù)根函數(shù)則卦象與軸有交點(diǎn)回數(shù)者零點(diǎn)

3、函數(shù)琥點(diǎn)的求法：

求函數(shù)的零點(diǎn)：

①（代數(shù)法）求方程的實(shí)數(shù)根；

（2）（幾何法）對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù)的圖象聯(lián)系起來,

并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點(diǎn).

4、二次函數(shù)的零點(diǎn)：

二次函數(shù).

1）△>0,方程有兩不等實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與軸有兩個交點(diǎn)，二次函數(shù)

有兩個零點(diǎn).

2）A=0,方程有兩相等實(shí)根（二重根），二次函數(shù)的圖象與軸有一個交點(diǎn)，

二次函數(shù)有一個二重零占成二階零點(diǎn).

3）A<0,方程無實(shí)藍(lán)，二次函④的圖象與軸無交點(diǎn)，二次函數(shù)無零點(diǎn).

高中數(shù)學(xué)必修2知識點(diǎn)

第一章空間幾何體

1.1柱、錐、臺、球的結(jié)構(gòu)特征

1.2空間幾何體的三視圖和直觀圖

1三視圖：

正視圖：從前往后側(cè)視圖：從左往右俯視圖：從上

往下

2畫三視圖的原則：

長對齊、高對齊、寬相等

3直觀圖：斜二測畫法

4斜二測畫法的步驟：

（1）.平行于坐標(biāo)軸的線依然平行于坐標(biāo)軸；

（2）.平行于y軸的線長度變半，平行于x,z軸的線長度不變；

（3）.畫法要寫好。

5用斜二測畫法畫出長方體的步驟：（1）畫軸（2）畫底面（3）畫側(cè)棱（4）成圖

1.3空間幾何體的表面積與體積

(-)空間幾何體的表面積

1棱柱、棱錐的表面積：各個面面積之和

2圓柱的表面積3圓錐的表面積

4圓臺的表面積5球的表面積

(二)空間幾何體的體積

1柱體的體積2錐體的體積

3臺體的體積4球體的體積

第二章直線與平面的位置關(guān)系

2.1空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系

1平面含義：平面是無限延展的

2平面的畫法及表示

(1)平面的畫法：水平放置的平面通常畫成一個平行四邊形，銳角畫成45°,且橫邊畫

成鄰邊的2倍長(如圖)

(2)平面通常用希臘字母a、B、丫等表示，如平面a、平面B等，也可以用表示平

面的平行四邊形的四個頂點(diǎn)或者相對的兩個頂點(diǎn)的大寫字母來表示，如平面AC、平面

ABCD等。

3三個公理：

(1)公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)

符號表示為

AwL、/------------7

AearL°/^/

Bea

公理1作用：判斷直線是否在平面內(nèi)

(2)公理2：過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個平面。/AB―7

符號表示為：A、B、C三點(diǎn)不共線=>有且只有一個平面a,/*C-/

使AWa、BWa、Cea。(-------*----

公理2作用：確定一個平面的依據(jù)。

(3)公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公

共直線。

符號表示為：peace=>aCB=L,且PeL<\

公理3作用：判定兩個平面是否相交的依據(jù)

2.1.2空間中直線與直線之間的位置關(guān)系ZX

1空間的兩條直線有如下三種關(guān)系："

r相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個公共點(diǎn)；

z1平行直線：同一平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)；

異面直線：不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)。

2公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。

符號表示為：設(shè)a、b、c是三條直線

a〃b-1=>a〃c

c〃bJ

強(qiáng)調(diào)：公理4實(shí)質(zhì)上是說平行具有傳遞性，在平面、空間這個性質(zhì)都適用。

公理4作用：判斷空間兩條直線平行的依據(jù)。

3等角定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補(bǔ)

4注意點(diǎn)：

①a'與b’所成的角的大小只由a、b的相互位置來確定，與0的選擇無關(guān)，為簡便，

點(diǎn)O一般取在兩直線中的一條上；

②兩條異面直線所成的角9e（0,）；

③當(dāng)兩條異面直線所成的角是直角時，我們就說這兩條異面直線互相垂直，記作a，b；

④兩條直線互相垂直，有共面垂直與異面垂直兩種情形；

⑤計算中，通常把兩條異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為兩條相交直線所成的角。

2.1.3-2.1.4空間中直線與平面、平面與平面之間的位置關(guān)系

1、直線與平面有三種位置關(guān)系：

（1）直線在平面內(nèi)一一有無數(shù)個公共點(diǎn)

（2）直線與平面相交一一有且只有一個公共點(diǎn)

（3）直線在平面平行一一沒有公共點(diǎn)

指出：直線與平面相交或平行的情況統(tǒng)稱為直線在平面外，可用aa來表示

aaaAa=Aa//a

2.2.直線、平面平行的判定及其性質(zhì)

2.2.1直線與平面平行的判定

1、直線與平面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直

線與此平面平行。

簡記為：線線平行，則線面平行。

符號表示：

aa—

bB?a〃a

a/7b」

2.2.2平面與平面平行的判定

1、兩個平面平行的判定定理：一個平面內(nèi)的兩條交直線與另一個平面平行，則這兩個

平面平行。

符號表示：

aB、

bP

aDb=PAB〃a

a〃a

b〃a

2、判斷兩平面平行的方法有三種：

（1）用定義；

（2）判定定理；

（3）垂直于同一條直線的兩個平面平行。

2.2.3-2.2.4直線與平面、平面與平面平行的性質(zhì)

1、定理：一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直

線平行。

簡記為：線面平行則線線平行。

符號表示：

a//a]

aP?a//b

anB=bJ

作用：利用該定理可解決直線間的平行問題。

2、定理：如果兩個平面同時與第三個平面相交，那么它們的交線平行。

符號表示：

a〃B、

aAY=a?a〃b

0Ay=b，

作用：可以由平面與平面平行得出直線與直線平行

2.3直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)

2.3.1直線與平面垂直的判定

1、定義

如果直線L與平面a內(nèi)的任意一條直線都垂直,我們就說直線L與平面a互相垂直,

記作L，a,直線L叫做平面a的垂線，平面a叫做直線L的垂面。如圖，直線與平面

垂直時,它們唯一公共點(diǎn)P叫做垂足。

2、判定定理：一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。

注意點(diǎn)：a）定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視;

b）定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)

學(xué)思想。

2.3.2平面與平面垂直的判定

1、二面角的概念：表示從空間一直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形

A

梭]B

2、二面角的記法：二面角aB或a-AB-B

3、兩個平面互相垂直的判定定理：一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直。

2.3.3—2.3.4直線與平面、平面與平面垂直的性質(zhì)

1、定理：垂直于同一個平面的兩條直線平行。

2性質(zhì)定理：兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直。

本章知識結(jié)構(gòu)框圖

3.1直線的傾斜角和斜率

3.1傾斜角和斜率

1、直線的傾斜角的概念：當(dāng)直線1與X軸相交時，取X軸作為基準(zhǔn)，X軸正向與直線1

向上方向之間所成的角a叫做直線1的傾斜角.特別地,當(dāng)直線1與x軸平行或重合時,

規(guī)定a=0°.

2、傾斜角a的取值范圍：0°<180°.當(dāng)直線1與x軸垂直時，a=90°.

3、直線的斜率：

一條直線的傾斜角a(aW90°)的正切值叫做這條直線的斜率，斜率常用小寫字母

k表示，也就是k=tana

⑴當(dāng)直線1與x軸平行或重合時，a=0°,k=tan0°=0;

⑵當(dāng)直線1與x軸垂直時，a=90。，k不存在.

由此可知，一條直線1的傾斜角a一定存在,但是斜率k不一定存在.

4、直線的斜率公式：

給定兩點(diǎn)Pl(xl,yl),P2(x2,y2),xlWx2,用兩點(diǎn)的坐標(biāo)來表示直線P1P2的斜率：

斜率公式：k=y2-yl/x2-xl

3.1.2兩條直線的平行與垂直

1、兩條直線都有斜率而且不重合，如果它們平行，那么它們的斜率相等；反之，如果

它們的斜率相等，那么它們平行，即

注意：上面的等價是在兩條直線不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少這個前提，

結(jié)論并不成立.即如果kl=k2,那么一定有L1〃L2

2、兩條直線都有斜率，如果它們互相垂直，那么它們的斜率互為負(fù)倒數(shù)；反之，如果

它們的斜率互為負(fù)倒數(shù)，那么它們互相垂直，即

3.2.1直線的點(diǎn)斜式方程

1、直線的點(diǎn)斜式方程：直線經(jīng)過點(diǎn)，且斜率為

2、、直線的斜截式方程：已知直線的斜率為，且與軸的交點(diǎn)為

3.2.2直線的兩點(diǎn)式方程

1、直線的兩點(diǎn)式方程：已知兩點(diǎn)其中y-yl/y-y2=x-x1/x-x2

2、直線的截距式方程：已知直線與軸的交點(diǎn)為A,與軸的交點(diǎn)為B,其中

3.2.3直線的一般式方程

1、直線的一般式方程：關(guān)于的二元一次方程(A,B不同時為0)

2、各種直線方程之間的互化。

3.3直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式

3.3.1兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)

1、給出例題：兩直線交點(diǎn)坐標(biāo)

Ll：3x+4y-2=0LI：2x+y+2=0

解：解方程組得x=-2,y=2

所以L1與L2的交點(diǎn)坐標(biāo)為M(-2,2)

3.3.2兩點(diǎn)間距離

兩點(diǎn)間的距離公式

3.3.3點(diǎn)到直線的距離公式

1.點(diǎn)到直線距離公式：

點(diǎn)到直線的距離為：

2、兩平行線間的距離公式：

已知兩條平行線直線和的一般式方程為:，

:,則與的距離為

第四章圓與方程

4.1.1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

1、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：

圓心為A(a,b),半徑為r的圓的方程

2、點(diǎn)與圓的關(guān)系的判斷方法：

(1)＞，點(diǎn)在圓外(2)=，點(diǎn)在圓上

(3)〈，點(diǎn)在圓內(nèi)

4.1.2圓的一般方程

1、圓的一般方程：

2、圓的一般方程的特點(diǎn):

⑴①x2和y2的系數(shù)相同，不等于0.②沒有xy這樣的二次項(xiàng).

（2）圓的一般方程中有三個特定的系數(shù)D、E、F,因之只要求出這三個系數(shù)，圓

的方程就確定了.

（3）、與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程相比較，它是一種特殊的二元二次方程，代數(shù)特征明顯，

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程則指出了圓心坐標(biāo)與半徑大小，幾何特征較明顯。

4.2.1圓與圓的位置關(guān)系

1、用點(diǎn)到直線的距離來判斷直線與圓的位置關(guān)系.

設(shè)直線：，圓：，圓的半徑為，圓心到直線的距離為，則判別直線與圓的位置關(guān)系的

依據(jù)有以下幾點(diǎn)：

（1）當(dāng)時，直線與圓相離；（2）當(dāng)時，直線與圓相切；

（3）當(dāng)時，直線與圓相交；

4.2.2圓與圓的位置關(guān)系

兩圓的位置關(guān)系.

設(shè)兩圓的連心線長為，則判別圓與圓的位置關(guān)系的依據(jù)有以下幾點(diǎn)：

（1）當(dāng)時，圓與圓相離；（2）當(dāng)時，圓與圓外切；

（3）當(dāng)時，圓與圓相交；

（4）當(dāng)時，圓與圓內(nèi)切；（5）當(dāng)時，圓與圓內(nèi)含；

4.2.3直線與圓的方程的應(yīng)用

1、利用平面直角坐標(biāo)系解決直線與圓的位置關(guān)系；

2、過程與方法

用坐標(biāo)法解決幾何問題的步驟：

第一步：建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，用坐標(biāo)和方程表示問題中的幾何元素，將平

面幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題；

第二步：通過代數(shù)運(yùn)算，解決代數(shù)問題；

第三步：將代數(shù)運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何結(jié)論.

4.3.1空間直角坐標(biāo)系

1、點(diǎn)M對應(yīng)著唯一確定的有序?qū)崝?shù)組，、、分別是P、Q、R在、、軸上的坐標(biāo)

2、有序?qū)崝?shù)組，對應(yīng)著空間直角坐標(biāo)系中的一點(diǎn)

3、空間中任意點(diǎn)M的坐標(biāo)都可以用有序?qū)崝?shù)組來表示，該數(shù)組叫做點(diǎn)M在此空間直角

坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記M,叫做點(diǎn)M的橫坐標(biāo)，叫做點(diǎn)M的縱坐標(biāo)，叫做點(diǎn)M的豎坐標(biāo)。

4.3.2空間兩點(diǎn)間的距離公式

1、空間中任意一點(diǎn)到點(diǎn)之間的距離公式

高中數(shù)學(xué)必修3知識點(diǎn)

第一章算法初步

i.i.i算法的概念

1、算法概念：

在數(shù)學(xué)上，現(xiàn)代意義上的“算法”通常是指可以用計算機(jī)來解決的某一類問題是程序或

步驟，這些程序或步驟必須是明確和有效的，而且能夠在有限步之內(nèi)完成.

2.算法的特點(diǎn)：

(1)有限性：一個算法的步驟序列是有限的，必須在有限操作之后停止，不能是無限的.

(2)確定性：算法中的每一步應(yīng)該是確定的并且能有效地執(zhí)行且得到確定的結(jié)果，而不

應(yīng)當(dāng)是模棱兩可.

(3)順序性與正確性：算法從初始步驟開始，分為若干明確的步驟，每一個步驟只能有

一個確定的后繼步驟，前一步是后一步的前提，只有執(zhí)行完前一步才能進(jìn)行下一步，并

且每一步都準(zhǔn)確無誤，才能完成問題.

(4)不唯一性：求解某一個問題的解法不一定是唯一的，對于一個問題可以有不同的算

法.

(5)普遍性：很多具體的問題，都可以設(shè)計合理的算法去解決，如心算、計算器計算都

要經(jīng)過有限、事先設(shè)計好的步驟加以解決.

1.1.2程序框圖

1、程序框圖基本概念：

(-)程序構(gòu)圖的概念：程序框圖又稱流程圖，是一種用規(guī)定的圖形、指向線及文字說

明來準(zhǔn)確、直觀地表示算法的圖形。

一個程序框圖包括以下幾部分：表示相應(yīng)操作的程序框；帶箭頭的流程線；程序框外必

要文字說明。

(二)構(gòu)成程序框的圖形符號及其作用

程序框名稱功能

/、

表示一個算法的起始和結(jié)束，是任何流程

起止框

1)圖不可少的。

表示一個算法輸入和輸出的信息，可用在

輸入、輸出框

二算法中任何需要輸入、輸出的位置。

賦值、計算，算法中處理數(shù)據(jù)需要的算式、

處理框公式等分別寫在不同的用以處理數(shù)據(jù)的

處理框內(nèi)。

判斷某一條件是否成立，成立時在出口處

判斷框標(biāo)明“是”或“Y”；不成立時標(biāo)明“否”

或“N”。

學(xué)習(xí)這部分知識的時候，要掌握各個圖形的形狀、作用及使用規(guī)則，畫程序框圖的規(guī)則

如下：

1、使用標(biāo)準(zhǔn)的圖形符號。2、框圖一般按從上到下、從左到右的方向畫。3、除判斷框

外，大多數(shù)流程圖符號只有一個進(jìn)入點(diǎn)和一個退出點(diǎn)。判斷框具有超過一個退出點(diǎn)的唯

一符號。4、判斷框分兩大類，一類判斷框“是”與“否”兩分支的判斷，而且有且僅

有兩個結(jié)果；另一類是多分支判斷，有幾種不同的結(jié)果。5、在圖形符號內(nèi)描述的語言

要非常簡練清楚。

（三）、算法的三種基本邏輯結(jié)構(gòu)：順序結(jié)構(gòu)、條件結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)。

1、順序結(jié)構(gòu)：順序結(jié)構(gòu)是最簡單的算法結(jié)構(gòu)，語句與語句之間，框與框之間是按從上

到下的順序進(jìn)行的，它是由若干個依次執(zhí)行的處理步驟組成的，它是任何一個算法都離

不開的一種基本算法結(jié)構(gòu)。

順序結(jié)構(gòu)在程序框圖中的體現(xiàn)就是用流程線將程序框自上而]

下地連接起來，按順序執(zhí)行算法步驟。如在示意圖中，A框和B,

框是依次執(zhí)行的，只有在執(zhí)行完A框指定的操作后，才能接著執(zhí)]

行B框所指定的操作。:

2、條件結(jié)構(gòu)：J

條件結(jié)構(gòu)是指在算法中通過對條件的判斷

根據(jù)條件是否成立而選擇不同流向的算法結(jié)構(gòu)。

條件P是否成立而選擇執(zhí)行A框或B框。無論P(yáng)條件是否成立，只能執(zhí)行A框或B

框之一，不可能同時執(zhí)行A框和B框，也不可能A框、B框都不執(zhí)行。一個判斷結(jié)構(gòu)可

以有多個判斷框。

3、循環(huán)結(jié)構(gòu)：在一些算法中，經(jīng)常會出現(xiàn)從某處開始，按照一定條件，反復(fù)執(zhí)行某一

處理步驟的情況，這就是循環(huán)結(jié)構(gòu)，反復(fù)執(zhí)行的處理步驟為循環(huán)體，顯然，循環(huán)結(jié)構(gòu)中

一定包含條件結(jié)構(gòu)。循環(huán)結(jié)構(gòu)又稱重復(fù)結(jié)構(gòu)，循環(huán)結(jié)構(gòu)可細(xì)分為兩類：

（1）、一類是當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)，如下左圖所示，它的功能是當(dāng)給定的條件P成立時，執(zhí)行

A框，A框執(zhí)行完畢后，再判斷條件P是否成立，如果仍然成立，再執(zhí)行A框，如此反

復(fù)執(zhí)行A框，直到某一次條件P不成立為止，此時不再執(zhí)行A框，離開循環(huán)結(jié)構(gòu)。

（2）、另一類是直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)，如下右圖所示，它的功能是先執(zhí)行，然后判斷給定的

條件P是否成立，如果P仍然不成立，則繼續(xù)執(zhí)行A框，直到某一次給定的條件P成立

為止，此時不再執(zhí)行A框，離開循環(huán)結(jié)構(gòu)。

當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)

直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)A

A

注意：1循環(huán)結(jié)構(gòu)要

PP

在某個成條件下終止循環(huán)，這就需要條件結(jié)構(gòu)來判斷。

成“

因此，杳■立環(huán)”。2至%象結(jié)構(gòu)

結(jié)構(gòu)中一定包含條件結(jié)構(gòu)，但不允許“死循

中都有一個計數(shù)變量和累加變量。計數(shù)變量用于記錄循環(huán)次數(shù)，累加變量用于輸

出結(jié)果。計數(shù)變量和累加變量一般是同步執(zhí)行的，累加一次，計數(shù)一次。

1.2.1輸入、輸出語句和賦值語句

1、輸入語句

（1）輸入語句的一般格式

圖形計算器

格式

INPUT"提示內(nèi)容”；變量INPUT"提示內(nèi)容”，變量

（2）輸入語句的作用是實(shí)現(xiàn)算法的輸入信息功能；（3）“提示內(nèi)容”提示用戶輸入什么

樣的信息，變量是指程序在運(yùn)行時其值是可以變化的量；（4）輸入語句要求輸入的值只

能是具體的常數(shù)，不能是函數(shù)、變量或表達(dá)式；（5）提示內(nèi)容與變量之間用分號“；”

隔開，若輸入多個變量，變量與變量之間用逗號“，”隔開。

2、輸出語句

（1）輸出語句的一般格式

圖形計算器

格式

PRINT"提示內(nèi)容”；表達(dá)式Disp“提示內(nèi)容”，變量

（2）輸出語句的作用是實(shí)現(xiàn)算法的輸出結(jié)果功能；（3）“提示內(nèi)容”提示用戶輸入什么

樣的信息，表達(dá)式是指程序要輸出的數(shù)據(jù)；（4）輸出語句可以輸出常量、變量或表達(dá)式

的值以及字符。

3、賦值語句

（1）賦值語句的一般格式圖形計算器

（2）賦值語句的作用是變量=表達(dá)式格式表達(dá)式變量

將表達(dá)式所代表的值賦---------------

給變量；（3）賦值語句中的“="稱作賦值號，與數(shù)學(xué)中的等號的意義是不同的。賦值

號的左右兩邊不能對換，它將賦值號右邊的表達(dá)式的值賦給賦值號左邊的變量；（4）賦

值語句左邊只能是變量名字，而不是表達(dá)式，右邊表達(dá)式可以是一個數(shù)據(jù)、常量或算式;

（5）對于一個變量可以多次賦值。

注意：①賦值號左邊只能是變量名字，而不能是表達(dá)式。如：2=X是錯誤的。②賦值號

左右不能對換。如“A=B”“B=A”的含義運(yùn)行結(jié)果是不同的。③不能利用賦值語句進(jìn)行

代數(shù)式的演算。（如化簡、因式分解、解方程等）④賦值號“=”與數(shù)學(xué)中的等號意義不

同。

1.2.2條件語句

1、條件語句的一般格式有兩種：（1）IF—THEN—ELSE語句；（2）IF—THEN語句。2、

IF—THEN—ELSE語句

IF-THEN-ELSE語句的一般格式為圖1,對應(yīng)的程序框圖為圖2。

3、IF—THEN語句

的語句，若條件不符合則直接結(jié)束該條件語句，轉(zhuǎn)而執(zhí)行其它語句。

1.2.3循環(huán)語句

循環(huán)結(jié)構(gòu)是由循環(huán)語句來實(shí)現(xiàn)的。對應(yīng)于程序框圖中的兩種循環(huán)結(jié)構(gòu)，一般程序

設(shè)計語言中也有當(dāng)型（WHILE型）和直到型（UNTIL型）兩種語句結(jié)構(gòu)。即WHILE語句

和UNTIL語句。

1、WHILE語句

(1)WHILE語句的一般格式是對應(yīng)的程序框圖是

循環(huán)體

(2)當(dāng)tWHILE條件時，先判斷條件的真假，如果的件符合，就執(zhí)行陽埠E

行循隔，感

與WEND；循環(huán)體檢查上述條件，女

滿足條件？

個過程反WEND件不符合為止。這時，i+1執(zhí)行循環(huán)體，直接跳

到WEND語句后，接著執(zhí)行WEND之后的語句。因此，當(dāng)型循西寸也稱為“前測試型”

循環(huán)。

2、UNTIL語句

(1)UNTIL語句的一般格式是對應(yīng)的程序框圖是

分析：當(dāng)型循環(huán)與直到型循環(huán)的區(qū)別：(先由學(xué)生討論再歸納)

(1)當(dāng)型循環(huán)先判斷后執(zhí)行，直到型循環(huán)先執(zhí)行后判斷；

在WHILE語句中，是當(dāng)條件滿足時執(zhí)行循環(huán)體，在UNTIL語句中，是當(dāng)條件不滿足時執(zhí)

行循環(huán)

1.3.1輾轉(zhuǎn)相除法與更相