（新人教版）數(shù)學(xué)八年級下冊 第十八章 四邊形 單元復(fù)習(xí)講義學(xué)案

人教版初中數(shù)學(xué)八年級下冊

第十八章四邊形章節(jié)復(fù)習(xí)教學(xué)設(shè)計(jì)

一、教學(xué)目標(biāo)：

1.進(jìn)一步理清平行四邊形（特殊四邊形）之間的聯(lián)系與區(qū)別；（重點(diǎn)）

2.對本章知識結(jié)構(gòu)、知識要點(diǎn)進(jìn)行復(fù)習(xí)梳理；（重點(diǎn)）

3.分考點(diǎn)歸納常見題型的解題方法與策略.（難點(diǎn)）

三、教學(xué)過程：

知識網(wǎng)絡(luò)

判定：1.有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形;

兩組對邊分別①平行的2.對角線?相等的平行四初形是矩形:

四邊形叫做平行四邊形.3.有三個(gè)角是0直角的四邊形是矩形.

性質(zhì)：\—矩形一有一組鄰勃?相等

1.對邊②相等：I

性質(zhì)：1.四個(gè)角都是⑨直角：正的矩形或有一個(gè)角

方

2.對角③相等：A平2.對角線⑩相等.是僅直向的菱形是

形

行

3.對角線④互相平分正方形.

四性質(zhì)：1.四條勁都?相等：

判定：邊2.兩條對角線僅比切-垂3.判定：

形

1.兩組對邊分別并且每一條對角線?平分一1.一組鄰邊?相等

⑤相等的四勁形是組對角.的平行四邊形是菱形;

平行四邊形；2.對角線?互相垂直

2.兩組對角分別⑥」的四邊形是平行四邊形;，^的平行四邊形是菱形;

、3.四條邊相等的四邊

3.對角線⑦互相平分的四勁形是平行四勃形:

4.一組什??開?行且相等的四邊形是平行四邊形.形是菱形.

、幾種特殊四邊形的性質(zhì)

項(xiàng)目

向?qū)恰?

對q平行且

*T*和等王相千分

桐一

對必平四個(gè)角都

互和平分H和珍

和可

療邊干行工和?立從平智一

k*4n甘

HE9通相—條時(shí)乃遂子分一坦對》

對楊平平四個(gè)向■互相*平分.智一

■M火弗條時(shí)向ML平才一姐時(shí)向

二、幾種特殊四邊形的常用判定方法

判定條件

B9迎力

平行1.XX：兩旭對速分JW平行；2.k旭對q分別和等；3.而組紂*分別

四迄趨粕一；4.對浦城五*?平》;5.一纏對短平行且知一.

1.定義：有一個(gè)A是成角妁平行四迄后；2.對??強(qiáng)和等妁平行四邊

熄彩

后；3.有三個(gè)*見或內(nèi)的四袋鶴.

1.XX：一蛆林通和書?的平■什西皿部;2.對向田至相，*的平乃■四邊

芟彩

*；3.舊務(wù)通都樹等的網(wǎng)域形.

1.XX：一俎鄰q和韋"J0■無一個(gè)向Jt—的平行四必影；

正方形

2.有一也坪山和分的旭和：3.有一個(gè)角是直角的Jt和.

三、平行四邊形、矩形、菱形、正方形之間的關(guān)系

四、其他重要概念及性質(zhì)

1.兩條平行線之間的距離:

兩條平行線中，一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線的距離，叫做兩條平行線間的距離.兩條平

行線間的距離處處相等.

2.三角形的中位線定理:

三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半.

幾何符號語言：

DE是4ABC的中位線

-1

/.DE/7BC,且DE』BC.

2

直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.

幾何符號語言：

在RtZXABC中,OA=OC

...OB』AC.

2

考點(diǎn)梳理

考點(diǎn)解析

考點(diǎn)1:平行四邊形的性質(zhì)與判定

例1.如圖，點(diǎn)B,E分別在AC,DF上，AF分別交BD,CE于點(diǎn)M,N,ZA=ZF,Z1=Z2.

(1)求證：四邊形BCED是平行四邊形；

⑵已知DE=2,連接BN.若BN平分NDBC,求CN的長.

(1)證明：VZA=ZF,

，DE〃BC.

VZ1=Z2,且N1=NDMF,

.,.ZDMF=Z2,

，DB〃EC.

四邊形BCED為平行四邊形.

(2)解:「BN平分NDBC,

,,.ZDBN=ZCBN.

?.?EC〃DB,

/.ZCNB=ZDBN.

/.ZCNB=ZCBN./.CN=BC.

由⑴可知四邊形BCED是平行四邊形.

.,.BC=DE=2.ACN=2.

例2.如圖，O1BCD的對角線AC,BD相交于點(diǎn)0,AE平分NBAD交BC于點(diǎn)E,且NADC=60°,

AB=BC,連接0E.下列結(jié)論：①NCAD=30。；②S口阪D=AB?AC；③0B=AB；④0E=^BC.其中

4

成立的有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【遷移應(yīng)用】

[1-1]已知UABCD的對角線AC,BD的長分別為12,8,則AB長的范圍是（）

A.AB>2B.AB<10C.2<AB<10D.2WABW10

[1-2]如圖，在口ABCD中，AB=13,AD=5,AC±BC,則％BCD的面積為（）

A.30B.60C.65D.—

2

[1-3]如圖，在。ABCD中，BN=DM,BE=DF,求證：四邊形MENF是平行四邊形.

AMD

zw

0Nc

證明：???四邊形ABCD是平行四邊形

/.BC//AD

/.ZEBN=ZFDM

VBN=DM,BE=DF

/.△EBN^AFDM(SAS)

，EN=FM,ZBEN=ZDFM

ZFEN=ZEFM

AEN//FM

，四邊形MENF是平行四邊形

[1-4]如圖，在四邊形ABCD中，NACB=NCAD=90°,點(diǎn)E在BC上，AE〃DC,EF1AB,垂

足為F.

⑴求證：四邊形AECD是平行四邊形；

⑵若AE平分NBAC,BE=5,BF=4,求AD的長.

(1)證明：VZACB=ZCAD=90°,

，AD〃CE.

?.?AE〃DC,

...四邊形AECD是平行四邊形.

(2)解:在RSBEF中,

VBE=5,BF=4,

/.EF=VBE2-BF2=V52-42=3.

VAEWZBAC,EFLAB,ZACE=90°,

.,.EC=EF=3.

由（1）得四邊形AECD是平行四邊形，

/.AD=EC=3.

考點(diǎn)2：三角形的中位線的應(yīng)用

例3.如圖，在aABC中，點(diǎn)M,N分別是AB,AC的中點(diǎn)，連接MN,點(diǎn)E是CN的中點(diǎn)，連接ME

并延長，交BC的延長線于點(diǎn)D.若BC=4,求CD的長.

解：???!《,N分別是AB和AC的中點(diǎn)，

.,.MN>AABC的中位線.

.*.MN=Xc=2,MN/7BC.

2

/.ZNME=ZD,ZMNE=ZDCE.

?.?點(diǎn)E是CN的中點(diǎn)，

.\NE=CE.

,,.△MNE^ADCE(AAS).

/.CD=MN=2.

例4.如圖，在aABC中，AB=AC,E為AB的中點(diǎn)，在AB的延長線上取一點(diǎn)D,使BD=AB,求

證：CD=2CE.

E

證明：取AC的中點(diǎn)F,連接BF.

VBD=AB,

ABF為AADC的中位線，，DC=2BF.

YE為AB的中點(diǎn)，AB=AC,

/.BE=CF,ZABC=ZACB.

VBC=CB,/.AEBC^AFCB,

；.CE=BF,

/.CD=2CE.

例5.如圖，在Rtz^ABC中，NBAC=90°,點(diǎn)E,F分別是BC,AC的中點(diǎn)，延長BA到點(diǎn)D,使

得AB=2AD,連接DE,DF,AE,EF,AF與DE相交于點(diǎn)0.

⑴求證：AF與DE互相平分;

⑵如果AB=6,BC=10,求DO的長.

（1）證明：???點(diǎn)E,F分別是BC,AC的中點(diǎn),

，EF〃AB,AB=2EF.

VAB=2AD,

點(diǎn)D是BA延長線上的一點(diǎn)，

，AD=EF,AD〃EF.

四邊形ADFE是平行四邊形.

...AF與DE互相平分.

(2)解：在Rt^ABC中,VZBAC=90°,AB=6,BC=10,

/.AC=V102-62=8.

?.?EF〃AD,

/.ZEF0=180o-ZBAC=90°.

VEF=-AB=3,0A=0F=-AC=2,

24

.?.在RtZ\OEF中，OE=VEF2+OF2=V13.

/.DO=OE=V13.

【遷移應(yīng)用】

[2-1]如圖，在四邊形ABCD中,AB=CD,M、N、P分別是AD、BC>BD的中點(diǎn),ZABD=20°,

ZBDC=70°,求NPMN的度數(shù).

解：「M、N、P分別是AD、BC、BD的中點(diǎn),

，PN,PM分別是aCDB與aDAB的中位線，

PN」DC,PM〃AB,PN〃DC,

22

VAB=CD,

.,.PM=PN,

.?.△PMN是等腰三角形，

?.?PM〃AB,PN〃DC,

AZMPD=ZABD=20°,ZBPN=ZBDC=70°,

/.ZMPN=ZMPD+(180°-ZNPB)=130°,

.,.ZPMN=(180°-130°)4-2=25°.

[2-2]如圖I,E、F、G、〃分別為四邊形4靦四邊之中點(diǎn).求證：四邊形反'團(tuán)為平行四邊形.

證明：如圖，連接BD.

VE.F、G、H分別為四邊形ABCD四邊之中點(diǎn)，

，EH是4ABD的中位線，

FG是4BCD的中位線，

，EH〃BD且EH」BD,

2

FG〃BD且FG=3D,

2

，EH〃FG且EH=FG,

...四邊形EFGH為平行四邊形.

【2-3】如圖，在△力比'中，"是8c的中點(diǎn)，ANIBN于N點(diǎn),4V平分/歷IC,且AS=12,力僅16,

求腑的長.

解:延長BN交AC于D.

VAN±BN

/.ZBNA=ZDNA=90o

VZBAN=ZDAN,AN=AN

.".△ABN^AADN(ASA)

/.AB=AD=12,BN=DN

又YM是BC的中點(diǎn)

AMN是ABCD的中位線，且CD=AC-AD=16-12=4

...MN」CD=2

2

考點(diǎn)3：矩形的性質(zhì)與判定

例6.如圖，在矩形ABCD中，AE_LBD于E,ZDAE：ZBAE=3：1,求NBAE和NEAO的度數(shù).

解：?.?四邊形ABCD是矩形，

11

AZDAB=90°，A0=iAC,B0=-BD,AC=BD,

22

.,.ZBAE+ZDAE=90°,A0=B0.

XVZDAE：ZBAE=3：1,

/.ZBAE=22.5°,ZDAE=67.5°.

VAE1BD,

.".ZABE=90°-ZBAE=90°-22.5°=67.5°,

/.Z0AB=ZABE=67.5°/.ZEA0=67.5°-22.5°=45°.

例7.如圖，在矩形ABCD中，￡是BC上一點(diǎn)，缶AD,DF1AE,垂足為F.

求證：DADC.

八

VAD=AE,

Z.ZAED=ZADE.

?.?四邊形ABCD是矩形，

...AD〃BC,ZC=90°.

ZADE=ZDEC,

ZDEC=ZAED.

又「DFLAE,

.,.ZDFE=ZC=90°.

XVDE=DE,

/.△DFE^ADCE,

；.DF=DC.

例&在矩形ABCD中，AB=4,BC=3.若點(diǎn)P是CD上任意一點(diǎn)，如圖①，PELBD于點(diǎn)E,PF±AC

于點(diǎn)F.

(1)猜想PE和PF之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出你的理由.

(2)當(dāng)點(diǎn)P是AD上任意一點(diǎn)時(shí)，如圖②，猜想PE和PF之間的數(shù)量關(guān)系

⑶當(dāng)點(diǎn)P是DC上任意一點(diǎn)時(shí)，如圖③,猜想PE和PF之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出推理過程.

(1)解：連接OP,如圖,

設(shè)點(diǎn)C到BD的距離為％.

在RtABCD中，BD=VBC2+CD2=<32+42=5,

由SABCDEBD^/BJCD,得

】BCCD3X412

%=b=甘=不

???四邊形ABCD是矩形，

??.0C=0D,

由SACOD=SADOP+S^COP，得，

-ODhi=-OD-PE+-OC-PF,

2122

化簡得PE+PF=hx=y.

(2)解：PE+PF=Y，理由見解析,

連接OP,如下圖:

②

設(shè)點(diǎn)。到AD的距離為h2，

(1)

由得0D=OA=|,h2=2,

VSAAOD=SAOPD+SAOPA,

A-x3x2=-x-PE+-x-PF,

22222

PE+PF=—.

5

(3)解：PE—PF=當(dāng)，理由如下：

連接OP、BP,如圖.

由SABPD=S^COD+S四邊形B0CP

=SACOD+SACOP+SABOP?

-2BDPE=2-OD-h1+-2OC-PF+2-OB-PE,

化簡得2PE=hi+PE+PF,

即PE-PF=%=^.

【遷移應(yīng)用】

【37］如圖，在矩形/BCD中，對角線AC,BD相交于點(diǎn)。，乙4DF/FDC=3:2,DFJ.AC交

BC于-F,垂足為反求NBDP的度數(shù).

解：?.?四邊形/BCD是矩形，

C.Z.ADC=90°,AC=BD,CO=-AC,OD=-BD,

22

?:乙ADF:乙FDC=3:2,

.,.ZFDC=-x90°=36°.

5

\'DF1AC,

:.乙DEC=90°.

."DC。=90°-"DC=90°-36°=54°.

ii

'：AC=BD,CO=-AC,OD=-BD,

22

：.CO=OD,

:.乙ODC=乙DCO=54°,

:.乙BDF=乙ODC-乙FDC=54°-36°=18°.

[3-2]如圖，一張矩形紙片口，點(diǎn)“在邊46上，將△腔1沿直線四對折，點(diǎn)8落在對角

線4。上，記為點(diǎn)尸.

(1)若48=4,BC=3,求的長.

(2)連接加，若點(diǎn)〃F,后在同一條直線上，且加'=2,求四的長.

(1)解：如圖，矩形紙片ABCD中,

VAB=4,BC=3,

故由勾股定理可得AC=5.

由折疊知：FC=BC=3,ZEFC=ZB=90°,BE=FE.

.\AF=AC-FC=5-3=2.

設(shè)AE=x,則BE=4-x=FE.

在RtZXAFE中,22+(4-x)2=x2,

解得：x=j.

AAE=

2

(2)如圖,矩形紙片ABCD中,

：DC〃AB,.*.ZDCE=ZBEC,

由折疊知：ZBEC=ZFEC,

/.ZDCE=ZFEC,

/.DC=DE.

又?.?點(diǎn)D,F,E在同一條直線上，ZEFC=ZB,

.,.ZDFC=90°,

/.ZDFC=ZDAE=90o,

而CF=CB=DA,

；.△CDF四△DEA,.,.AE=DF=2.

[3-3]如圖，在四邊形ABCD中，AD〃BC,zB=90°,AD=24cm,AB=8cm,BC=26cm,動(dòng)點(diǎn)P從

點(diǎn)A開始沿AD邊向點(diǎn)D以Icm/s的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C開始沿CB邊向點(diǎn)B以3cm/s的速度運(yùn)動(dòng),

動(dòng)點(diǎn)P，Q分別從點(diǎn)A,C同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)

的時(shí)間為t秒.

(1)當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形ABQP為矩形？

(2)當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形PQCD為平行四邊形？

A―>PD

/.AP=t(cm),PD=AD-AP=24-t(cm),CQ=3t(cm),BQ=BC-CQ=26-3t(cm),

如圖1,

：AD〃BC,

.?.當(dāng)PA=BQ時(shí)，四邊形ABQP是平行四邊形,

VZB=90°,

二四邊形ABQP是矩形，

即t=26-3t,

解得:t=6.5,

，t=6.5s時(shí)，四邊形ABQP是矩形；

VAD/7BC,

.?.當(dāng)QC=PD時(shí)，四邊形PQCD是平行四邊形.

此時(shí)有3t=24-3

解得t=6.

當(dāng)t=6s時(shí)，四邊形PQCD是平行四邊形.

考點(diǎn)4：直角三角形斜邊中線性質(zhì)

例9.如圖，已知BE、CF是△ABC的兩條高，M、N分別為BC、EF的中點(diǎn).求證：MN1EF.

BMC

???BE、CF是△ABC的兩條高，

:.BE1AC,CF1AB,

△BEC,aBFC是直角三角形，

???M為BC的中點(diǎn)，

???FM是Rt△BFC斜邊BC的中線，EM是Rt△BEC斜邊BC的中線，

???FM=2-BC2,EM=-BC,

FM=EM,

又???N為EF的中點(diǎn)，

???MN1EF.

【遷移應(yīng)用】

【4-1】如圖,在RtAABC中，ZACB=90°,點(diǎn)D,E、F分別是邊AB、BC、CA的中點(diǎn).若CD+EF=8,

則CD的長為

[4-2]如圖，在CABCD中，E、F、G分別為AD、OB、0C的中點(diǎn),且2AB=AC,求證：EF=GF.

?.?四邊形ABCD是平行四邊形.

.,.AD=BC,AC=2AO

V2AB=AC,

.,.AB=AO

??,F是OB的中點(diǎn)，

/.AF±OB

在RtAAFD中,EF為斜邊AD上的中線，EF=1/2AD

?.?F、G為OB、OC的中點(diǎn)

/.GF=1/2BC

.*.EF=GF

考點(diǎn)5：菱形的性質(zhì)與判定

例10.如圖，E為菱形ABCD邊BC上一點(diǎn)，且AB=AE,AE交BD于0,且NDAE=2NBAE,求證:

OA=EB.

AD

證明：???四邊形ABCD為菱形，

，AD〃BC,AD=BA,

ZABC=ZADC=2ZADB,

.,.ZDAE=ZAEB,

VAB=AE,.*.ZABC=ZAEB,

/.ZABC=ZDAE,

ZDAE=2ZBAE,ZBAE=ZADB.

又YAD=BA,

/.△AOD^ABEA,

/.AO=BE.

例11.如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC,BD交于點(diǎn)0,過點(diǎn)0作EFJ_BD,交AD于點(diǎn)E,

交BC于點(diǎn)F,連接EB,DF.

(1)求證：四邊形EBFD為菱形；

⑵若ZBAD=1O5。，ZDBF=2Z.ABE,求NABE的度數(shù).

(1)證明：???四邊形ABCD是平行四邊形,

，AD〃BC,BO=DO,

/.Z0BF=Z0DE,

VEF1BD,

.,.ZB0F=ZD0E=90°，

.".△BOF^ADOE(ASA),

，BF=DE,

???BF〃DE,.?.四邊形EBFD為平行四邊形，

YEF_LBD,...四邊形EBFD為菱形；

(2)解：...四邊形EBFD為菱形,

Z.zDBF="BE,

?."DBF=2ZABE,

."DBF=ZDBE=2ZABE,

."ABC=ZABE4-ZDBE+zDBF=5NABE,

?.?四邊形ABCD是平行四邊形，

，AD〃BC,

AzDAB+zABC=180°,

A105°+5ZABE=180°,AzABE=15°.

【遷移應(yīng)用】

【5-1］如圖，AD是aABC的中線，四邊形ADCE是平行四邊形，增加下列條件，能判定OADCE

是菱形的是()

A.ZBAC=90°B.ZDAE=90°C.AB=ACD.AB=AE

【5-2】如圖，P為線段AB上的一個(gè)點(diǎn)，分別以AP,PB為邊在AB的同側(cè)作菱形APCD和菱形

PBFE,點(diǎn)P,C,E在一條直線上.若NDAP=60。，AP2+3PB2=1,M,N分別是對角線AC,BE的

中點(diǎn)，則MN的長為（）

A.iB-C.1D.4

24

【5-3】如圖，四邊形ABCD是菱形，對角線AC,BD相交于點(diǎn)0,DHLAB于H,連接0H,求證:

ZDH0=ZDC0.

D

B

證明：?.?四邊形ABCD是菱形

AACIBD,AB//CD,0B=0D

.,.ZDC0+ZCD0=90°,ZCD0=ZHB0

VDH±AB

，0H是RtABDH斜邊BD上的中線

.\OH=OB

/.Z0HB=ZHB0/.Z0HB=ZCD0

VZDH0+Z0HB=90°/.ZDH0=ZDC0

【5-4】如圖，四邊形ABCD是菱形，ZBAD=60°,點(diǎn)H為對角線AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在AB的延

長線上，CE_LAB,點(diǎn)F在AD的延長線上，CF±AD.

⑴求證：四邊形CEHF是菱形；

⑵若四邊形CEHF的面積為18,求菱形ABCD的面積.

E

F

(1)證明：?.?四邊形ABCD是菱形，ZBAD=60°

.,.ZEAC=ZFAC=30°

VCE±AB,CF±AD

.?.CE=CF』AC

2

?.?點(diǎn)H為對角線AC的中點(diǎn)

.?.EH=FH」AC

2

/.CE=CF=EH=FHJ四邊形CEHF是菱形

(2)解：由題意得Sz^AEH—SACEH=~S菱形CEHF=9

??SAACE=18

在RtACBE中，ZCBE=ZBAD=60°

JZECB=30°

.\BC=AB=2BE

2c

??S/\ABC二S&\CE=12

??S菱形ABCD=2S/\ABC=24

考點(diǎn)6：正方形的性質(zhì)與判定

例12.如圖，在正方形ABCD中，P為BD上一點(diǎn)，PELBC于E,PFLDC于F.試說明：AP=EF.

?.?四邊形ABCD是正方形，

.,.ZFCE=90°,AC垂直平分BD,

/.AP=PC.

XVPE1BC,PF1DC,

...四邊形PECF是矩形，

/.PC=EF.

.\AP=EF.

例13.如圖，正方形ABCD,動(dòng)點(diǎn)E在AC上，AF1AC,垂足為A,AF=AE.

(1)求證：BF=DE；

(2)當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到AC中點(diǎn)時(shí)(其他條件都保持不變)，問四邊形AFBE是什么特殊四邊形？說

明理由.

B

(1)證明:?.?正方形ABCD,

；.AB=AD,ZBAD=90°,

VAF±AC,.,.ZEAF=90°,

ZBAF=ZEAD,

在△ADE和△ABF中，

AD=AB,ZDAE=ZBAF,AE=AF,

.,.△ADE^AABF(SAS),，BF=DE；

(2)解：當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí)四邊形AFBE是正方形，

理由：?.?點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)，AB=BC,

ABE±AC,BE=AE=-AC,

2

VAF=AE,

.?.BE=AF=AE.

又YBELAC,ZFAE=ZBEC=90°,

；.BE〃AF,

VBE=AF,

???得平行四邊形AFBE,

VZFAE=90°,AF=AE,

四邊形AFBE是正方形.

【遷移應(yīng)用】

【6-1】如圖，正方形ABCD的兩條對角線AC,BD交于點(diǎn)0,點(diǎn)E在BD上，且BE=CD,則NBEC

的度