2022-2023學(xué)年浙江省寧波市鄞州中學(xué)9校聯(lián)考高三上學(xué)期1月高考適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題

2022-2023學(xué)年浙江省寧波市九校聯(lián)考高三上學(xué)期1月高考適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的姓名、考生號、考場號和座位號填寫在答題卡上.用2B鉛筆將試卷類型（A）填涂在答題卡相應(yīng)位置上.將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處”.2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上.3．非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無效.4．考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.第I卷（選擇題）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A B. C. D.2.設(shè)，則（）A. B. C. D.3.已知的邊所在直線上有一點滿足，則可以表示為（）A. B.C. D.4.在直角梯形中，，，，，，則梯形繞著旋轉(zhuǎn)而成幾何體的體積為（）A. B. C. D.5.盒中有6個相同型號的螺絲釘，其中有3個是壞的，從盒中任取2個，則等于（）A.恰有1個是壞螺絲釘?shù)母怕?B.恰有2個是壞螺絲釘?shù)母怕蔆.2個全是好螺絲釘?shù)母怕?D.至少1個是壞螺絲釘?shù)母怕?.若函數(shù)，且，，的最小值是，則的單調(diào)遞增區(qū)間是A B.C. D.7.若，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（）．A. B.C. D.8.已知，則在區(qū)間上的最大值最小值之和為（）A.2 B.3 C.4 D.8二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.在正方體中，點是底面的中心，則（）A.平面 B.與成角為30oC. D.平面10.已知函數(shù)，若函數(shù)有4個零點，則的可能的值為（）A. B. C. D.11.已知點，為坐標(biāo)原點，A，B為曲線C：上的兩點，F(xiàn)為其焦點.下列說法正確的是（）A.點的坐標(biāo)為B.周長的最小值為C.若P為線段AB的中點，則直線AB的斜率為－2D.若直線AB過點F，且是與等比中項，則12.已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，記，若，均為偶函數(shù)，則（）A. B. C. D.第II卷（非選擇題）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.設(shè)為非零常數(shù)，已知的展開式中各項系數(shù)和為，則展開式中常數(shù)項等于________.14.已知圓：和：恰好有三條公切線，則的取值范圍是___________.15.過點作曲線的兩條切線，則這兩條切線的斜率之和為______.16.已知橢圓C：的左?右焦點分別是，，過點的直線交橢圓于A，B兩點，則的內(nèi)切圓面積的最大值為___________.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.函數(shù)，數(shù)列滿足.（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）令，若對一切成立，求最小正整數(shù)m．18.在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且．（Ⅰ）求角B大小；（Ⅱ）若，求b和的值．19.如圖，直三棱柱的底面是邊長為的正三角形，分別是的中點（1）證明：平面平面（2）若直線與平面所成的角為，求點到面的距離.20.為了解某校學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的情況，采用按性別分層抽樣的方法進行調(diào)查．已知該校共有學(xué)生960人，其中男生560人，從全校學(xué)生中抽取了容量為n的樣本，得到一周參加社區(qū)服務(wù)的時間的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表：超過1小時不超過1小時男208女12m（1）求m，n；（2）能否有95%的把握認為該校學(xué)生一周參加社區(qū)服務(wù)時間是否超過1小時與性別有關(guān)？（3）以樣本中學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)時間超過1小時的頻率作為該事件發(fā)生的概率，現(xiàn)從該校學(xué)生中隨機調(diào)查6名學(xué)生，試估計6名學(xué)生中一周參加社區(qū)服務(wù)時間超過1小時的人數(shù)．附：0001k21.已知拋物線和的焦點分別為,,,,交于,兩點(為坐標(biāo)原點),且.（1）求拋物線的方程;（2）過點的直線交,下半部分于點,交的左半部分于點,點的坐標(biāo)為,求面積的最小值.22.已知函數(shù)，．其中．．（1）討論的單調(diào)性；（2）設(shè)曲線與軸正半軸的交點為，曲線在點處的切線方程為，求證：對于任意的正實數(shù)，都有；（3）設(shè)，若關(guān)于的方程為實數(shù)）有兩個正實根，，求證：．2023年1月高三年級普通高等學(xué)校招生適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的姓名、考生號、考場號和座位號填寫在答題卡上.用2B鉛筆將試卷類型（A）填涂在答題卡相應(yīng)位置上.將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處”.2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上.3．非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無效.4．考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.第I卷（選擇題）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題知，，再求交集即可.【詳解】解：，，所以故選：B2.設(shè)，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)，利用共軛復(fù)數(shù)的定義以及復(fù)數(shù)的加減法可得出關(guān)于、的等式，解出這兩個未知數(shù)的值，即可得出復(fù)數(shù).【詳解】設(shè)，則，則，所以，，解得，因此，.故選：C.3.已知邊所在直線上有一點滿足，則可以表示為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)在所在直線上且滿足,可確定的位置.由向量的線性運算和平面向量基本定理,即可用作為基底表示出.【詳解】因為在所在直線上且滿足所以可確定的位置如下圖所示:根據(jù)向量的線性運算及平面向量基本定理可知故選:A【點睛】本題考查了平面向量基本定理的應(yīng)用,向量的加法與減法的線性運算,屬于基礎(chǔ)題.4.在直角梯形中，，，，，，則梯形繞著旋轉(zhuǎn)而成的幾何體的體積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】易得梯形繞著旋轉(zhuǎn)而成的幾何體為圓臺,再根據(jù)圓臺的體積公式求解即可.【詳解】易得梯形繞著旋轉(zhuǎn)而成的幾何體為圓臺,圓臺的高,上底面圓半徑,下底面圓半徑.故該圓臺的體積故選：A【點睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)體中圓臺的體積公式,屬于基礎(chǔ)題.5.盒中有6個相同型號的螺絲釘，其中有3個是壞的，從盒中任取2個，則等于（）A.恰有1個是壞螺絲釘?shù)母怕?B.恰有2個是壞螺絲釘?shù)母怕蔆.2個全是好螺絲釘?shù)母怕?D.至少1個是壞螺絲釘?shù)母怕省敬鸢浮緼【解析】【分析】分別求出個選項對應(yīng)事件的概率，即可得出答案.【詳解】解：恰有1個是壞螺絲釘?shù)母怕蕿?，恰?個是壞螺絲釘?shù)母怕蕿椋?個全是好螺絲釘?shù)母怕蕿椋辽?個是壞螺絲釘?shù)母怕蕿?故選：A.6.若函數(shù)，且，，的最小值是，則的單調(diào)遞增區(qū)間是A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】將解析式化為，然后根據(jù)題意得到函數(shù)的周期為，從而得到，故．最后根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間可得所求的增區(qū)間．【詳解】由題意得．∵，且的最小值是，∴，∴，∴，∴．由，得，∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為．故選A．【點睛】（1）解答本題的關(guān)鍵是正確理解“，且的最小值是”的含義，即該函數(shù)相鄰的最值點與零點間的距離為，也為四分之一周期．（2）解決函數(shù)的問題時，可把看作一個整體，然后結(jié)合正弦函數(shù)的相應(yīng)性質(zhì)求解即可，解題時注意的符號對結(jié)果的影響．7.若，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（）．A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用對數(shù)運算的性質(zhì)將化簡為，從而和c比較大小，同理比較a,c的大小關(guān)系，再根據(jù)兩個指數(shù)冪的大小結(jié)合對數(shù)的運算性質(zhì)可比較a,b大小，即可得答案.【詳解】由題意：，，故．又，即，所以，即，因為，所以．因為，故，即，所以，所以，所以，所以，故選：B.8.已知，則在區(qū)間上的最大值最小值之和為（）A.2 B.3 C.4 D.8【答案】A【解析】【分析】求導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，再求最值．【詳解】，，，∵，∴，∴在上是增函數(shù)，∴，，最大值和最小值的和為2.故選：A.【點睛】本題考查函數(shù)的最值．用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)單調(diào)性，再求最值是常用方法．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.在正方體中，點是底面的中心，則（）A.平面 B.與成角為30oC. D.平面【答案】ABC【解析】，得到是平行四邊形，從而，再利用線面平行的判定定理判斷；B.根據(jù)，得到為所成的角判斷；C.由正方體的特征，得到平面判斷；【詳解】如圖所示：，是平行四邊形，所以，因為平面，平面，所以平面，故正確；B.因為，所以為所成的角，又平面，則，設(shè)棱長為a，則，因為，則，故正確；C.因為，所以平面，則，故正確；D.因為，，所以不垂直，則與平面不垂直，故錯誤；故選：ABC10.已知函數(shù)，若函數(shù)有4個零點，則的可能的值為（）A. B. C. D.【答案】CD【解析】【分析】求得解析式，令，將問題轉(zhuǎn)化為的圖象與的圖象有四個不同的交點來求解出的取值范圍，由此確定正確選項.【詳解】當(dāng)時，，所以，所以.令，得，依題意，的圖象與的圖象有四個不同的交點，畫出和的圖象如下圖所示.當(dāng)時，，則，所以，，所以過的切線方程為，即與只有個公共點，不符合題意.所以由圖可知，要使的圖象與的圖象有四個不同的交點，需，即，故CD正確，AB錯；故選：CD.【點睛】方法點睛：已知函數(shù)有零點(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.11.已知點，為坐標(biāo)原點，A，B為曲線C：上的兩點，F(xiàn)為其焦點.下列說法正確的是（）A.點的坐標(biāo)為B.周長的最小值為C.若P為線段AB的中點，則直線AB的斜率為－2D.若直線AB過點F，且是與等比中項，則【答案】BD【解析】【分析】由曲線方程可判斷A，利用拋物線定義可判斷B，利用點差法可判斷C，利用焦點弦公式及韋達定理可判斷D.【詳解】由曲線C：，則焦點為，故A錯誤；由曲線C：，可知其準(zhǔn)線為，設(shè)到準(zhǔn)線的距離為，則，所以周長為，當(dāng)時，取得最小值，周長取得的最小值為，故B正確；若P為線段AB的中點，設(shè)，則，，所以，所以，故C錯誤；若直線AB過點F，且是與等比中項，則，設(shè)，則，，∴，設(shè)，代入，得，所以，∴，即，∴，故D正確.故選：BD.12.已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，記，若，均為偶函數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】方法一：轉(zhuǎn)化題設(shè)條件為函數(shù)的對稱性，結(jié)合原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)圖象的關(guān)系，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)逐項判斷即可得解.【詳解】[方法一]：對稱性和周期性的關(guān)系研究對于，因為為偶函數(shù)，所以即①，所以，所以關(guān)于對稱，則，故C正確；對于，因為為偶函數(shù)，，，所以關(guān)于對稱，由①求導(dǎo)，和，得，所以，所以關(guān)于對稱，因為其定義域為R，所以，結(jié)合關(guān)于對稱，從而周期，所以，，故B正確，D錯誤；若函數(shù)滿足題設(shè)條件，則函數(shù)（C為常數(shù)）也滿足題設(shè)條件，所以無法確定的函數(shù)值，故A錯誤.故選：BC.[方法二]：【最優(yōu)解】特殊值，構(gòu)造函數(shù)法.由方法一知周期為2，關(guān)于對稱，故可設(shè)，則，顯然A，D錯誤，選BC.故選：BC.[方法三]：因為，均為偶函數(shù)，所以即，，所以，，則，故C正確；函數(shù)，的圖象分別關(guān)于直線對稱，又，且函數(shù)可導(dǎo)，所以，所以，所以，所以，，故B正確，D錯誤；若函數(shù)滿足題設(shè)條件，則函數(shù)（C為常數(shù)）也滿足題設(shè)條件，所以無法確定的函數(shù)值，故A錯誤.故選：BC.【整體點評】方法一：根據(jù)題意賦值變換得到函數(shù)的性質(zhì)，即可判斷各選項的真假，轉(zhuǎn)化難度較高，是該題的通性通法；方法二：根據(jù)題意得出的性質(zhì)構(gòu)造特殊函數(shù)，再驗證選項，簡單明了，是該題的最優(yōu)解．第II卷（非選擇題）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.設(shè)為非零常數(shù)，已知的展開式中各項系數(shù)和為，則展開式中常數(shù)項等于________.【答案】【解析】【分析】利用已知條件可得出的值，可寫出二項展開式通項，令的指數(shù)為，求出參數(shù)的值，代入通項即可得解.【詳解】，由于展開式中各項系數(shù)和為，則，，解得（舍去）或，則，的展開式通項為，的展開式通項為，的展開式通項為，的展開式通項為.令，解得，因此，展開式中的常數(shù)項為.故答案為：.【點睛】方法點睛：兩個二項式乘積的展開式中的特定項問題：（1）分別對每個二項展開式進行分析，發(fā)現(xiàn)它們各自項的特點；（2）找到構(gòu)成展開式中特定項的組成部分；（3）分別求解在相乘、求和即可.14.已知圓：和：恰好有三條公切線，則的取值范圍是___________.【答案】【解析】【分析】首先結(jié)合已知條件和圓與圓的位置關(guān)系求出與的關(guān)系式，從而得到為上一點，再利用的幾何意義以及定點到圓上一點的最值求法即可求解.【詳解】由題意，：的方程可化為，故是以圓心為，半徑為2的圓；因為圓和圓恰好有三條公切線，所以圓和圓相外切，又因為圓：，所以圓的圓心為，半徑為1，從而，化簡得，，即為上一點，不妨令由兩點間距離公式可知，可表示為上一點到的距離，因為是以圓心為，半徑為3的圓，所以圓心到的距離為，故的最大值為，最小值為，從而，因，所以，即的取值范圍是.故答案為：.15.過點作曲線的兩條切線，則這兩條切線的斜率之和為______.【答案】【解析】【分析】考慮與時，設(shè)出切點坐標(biāo)，求出相應(yīng)的切線方程，將代入，得到相應(yīng)的斜率，相加得到答案.【詳解】時，，設(shè)切點，則，切線過，，，時，，切點，，切線過，，，故.故答案為：.16.已知橢圓C：的左?右焦點分別是，，過點的直線交橢圓于A，B兩點，則的內(nèi)切圓面積的最大值為___________.【答案】【解析】【分析】設(shè)直線AB的方程為，，，直線方程代入橢圓方程應(yīng)用韋達定理得，由示面積，并變形后應(yīng)用基本不等式得最大值，從而可得內(nèi)切圓半徑最大值，即得面積最大值．【詳解】解：直線AB的斜率不能為0，但可不存在.設(shè)直線AB的方程為，，，由，得，，，則（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立）.設(shè)的內(nèi)切圓半徑為r，，則，，則的內(nèi)切圓面積的最大值為.故答案為：．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.函數(shù)，數(shù)列滿足.（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）令，若對一切成立，求最小正整數(shù)m．【答案】（1）詳見解析（2）2012【解析】【分析】（1）通過兩邊取倒數(shù)進行變形構(gòu)造，再利用定義法證明.（2）利用裂項相消法求和，再利用函數(shù)方法研究最值來處理恒成立問題.【詳解】（1），，兩邊取倒數(shù)得：，所以，所以數(shù)列為等差數(shù)列，公差為，首項為.（2）因為數(shù)列為等差數(shù)列，公差為，首項為所以，所以.所以，，又，也滿足上式.所以，所以所以，因為對一切成立，所以，解得.所以最小正整數(shù)m為2012.18.在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且．（Ⅰ）求角B的大?。唬á颍┤?，求b和的值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ），.【解析】【分析】（1）由正弦定理，結(jié)合已知可得得，即可求角B；（2）由余弦定理求，再結(jié)合已知求，應(yīng)用同角三角函數(shù)關(guān)系、三角形內(nèi)角和性質(zhì)求即可.【詳解】（Ⅰ）在中，由正弦定，可得，又由，得，即．又，所以．（Ⅱ）在中，，由余弦定理，有，則．又，有，得．由即，故.【點睛】本題考查了正余弦定理，應(yīng)用正弦定理邊角互化、同角三角函數(shù)關(guān)系、三角形內(nèi)角和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.19.如圖，直三棱柱的底面是邊長為的正三角形，分別是的中點（1）證明：平面平面（2）若直線與平面所成的角為，求點到面的距離.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）可通過證明平面得到要求證的面面垂直.（2）設(shè)的中點為，連接，可得，利用可得，從而，利用等積法可求到平面的距離.【小問1詳解】如圖，因為三棱柱是直三棱柱，所以平面，因為平面，所以，又是正三角形的邊的中點，所以，，平面，因此平面，而平面，所以平面平面.【小問2詳解】設(shè)的中點為，連接，因為是正三角形，所以，又三棱柱是直三棱柱，面，面，所以，而，平面，因此平面，于是直線與平面所成的角.由題設(shè)知，所以.在中，，所以.由（1）知為直角三角形，且，故，又，所以.20.為了解某校學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的情況，采用按性別分層抽樣的方法進行調(diào)查．已知該校共有學(xué)生960人，其中男生560人，從全校學(xué)生中抽取了容量為n的樣本，得到一周參加社區(qū)服務(wù)的時間的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表：超過1小時不超過1小時男208女12m（1）求m，n；（2）能否有95%的把握認為該校學(xué)生一周參加社區(qū)服務(wù)時間是否超過1小時與性別有關(guān)？（3）以樣本中學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)時間超過1小時的頻率作為該事件發(fā)生的概率，現(xiàn)從該校學(xué)生中隨機調(diào)查6名學(xué)生，試估計6名學(xué)生中一周參加社區(qū)服務(wù)時間超過1小時的人數(shù)．附：k【答案】（1），（2）沒有95%的把握認為該校學(xué)生一周參加社區(qū)服務(wù)時間是否超過1小時與性別有關(guān)（3）估計這6名學(xué)生中一周參加社區(qū)服務(wù)時間超過1小時的人數(shù)是4人【解析】【分析】（1）根據(jù)分層抽樣比例列方程求出n的值，再計算m的值；（2）根據(jù)題意完善2×2列聯(lián)表，計算K2，對照臨界值表得出結(jié)論；（3）計算參加社區(qū)服務(wù)時間超過1小時的頻率，用頻率估計概率，計算所求的頻數(shù)即可．【詳解】（1）根據(jù)分層抽樣法，抽樣比例為，∴n＝48；∴m＝48﹣20﹣8﹣12＝8；（2）根據(jù)題意完善2×2列聯(lián)表，如下；超過1小時不超過1小時合計男生20828女生12820合計321648計算K2＜，所以沒有95%的把握認為該校學(xué)生一周參加社區(qū)服務(wù)時間是否超過1小時與性別有關(guān)；（3）參加社區(qū)服務(wù)時間超過1小時的頻率為，用頻率估計概率，從該校學(xué)生中隨機調(diào)查6名學(xué)生，估計這6名學(xué)生中一周參加社區(qū)服務(wù)時間超過1小時的人數(shù)為64（人）．【點睛】本題考查了列聯(lián)表與獨立性檢驗的應(yīng)用問題及用頻率估計概率的應(yīng)用問題，考查了運算能力，屬于中檔題．21.已知拋物線和的焦點分別為,,,,交于,兩點(為坐標(biāo)原點),且.（1）求拋物線的方程;（2）過點的直線交,下半部分于點,交的左半部分于點,點的坐標(biāo)為,求面積的最小值.【答案】（1）（2）8【解析】【詳解】試題分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出，由，解得，結(jié)合點在拋物線上得到P=2.（2）設(shè)過O的直線方程為y=kx，聯(lián)立，得M（），聯(lián)立，得N（4k，4k2），由此利用點到直線的距離公式能求出△PMN面積表達式，再換元法求得函數(shù)的最值．（1）設(shè)，有①，由題意知，，，∴∵，∴，有，解得，將其代入①式解得，從而求得，所以的方程為.（2）聯(lián)立得，聯(lián)立得，從而，點到直線距離，進而