2019-2020學(xué)年高中數(shù)學(xué)課時(shí)分層作業(yè)4正弦定理余弦定理的應(yīng)用含解析蘇教版必修

PAGE課時(shí)分層作業(yè)(四)正弦定理、余弦定理的應(yīng)用(建議用時(shí)：60分鐘)[基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練]一、選擇題1．學(xué)校體育館的人字屋架為等腰三角形，如圖所示，測(cè)得AC的長(zhǎng)度為4m，A＝30°，則其跨度AB的長(zhǎng)為()A．12mB．8mC．3eq\r(3)m D．4eq\r(3)mD[由題意知，A＝B＝30°，所以C＝180°－30°－30°＝120°，由正弦定理得，eq\f(AB,sinC)＝eq\f(AC,sinB)，即AB＝eq\f(AC·sinC,sinB)＝eq\f(4·sin120°,sin30°)＝4eq\r(3).]2．如圖所示，要測(cè)量河對(duì)岸A，B兩點(diǎn)間的距離，今沿河岸選取相距40米的C，D兩點(diǎn)，測(cè)得∠ACB＝60°，∠BCD＝45°，∠ADB＝60°，∠ADC＝30°，則A，B間距離是()A．20eq\r(2)米 B．20eq\r(3)米C．20eq\r(6)米 D．40eq\r(2)米C[可得DB＝DC＝40，由正弦定理得AD＝20(eq\r(3)＋1)，∠ADB＝60°，所以在△ADB中，由余弦定理得AB＝20eq\r(6)(米)．]3．在地面上點(diǎn)D處，測(cè)量某建筑物的高度，測(cè)得此建筑物頂端A與底部B的仰角分別為60°和30°，已知建筑物底部高出地面D點(diǎn)20m，則建筑物高度為()A．20mB．30mC．40mD．60mC[如圖，設(shè)O為頂端在地面的射影，在Rt△BOD中，∠ODB＝30°，OB＝20，BD＝40，OD＝20eq\r(3)，在Rt△AOD中，OA＝OD·tan60°＝60，∴AB＝OA－OB＝40(m)．]4．如圖，兩座相距60m的建筑物AB，CD的高度分別為20m，50m，BD在水平面上，則從建筑物AB的頂端A看建筑物CD的張角∠CAD的大小是()A．30°B．45°C．60°D．75°B[∵AD2＝602＋202＝4000，AC2＝602＋302＝4500，在△ACD中，由余弦定理得cos∠CAD＝eq\f(AD2＋AC2－CD2,2AD·AC)＝eq\f(\r(2),2)，∠CAD∈(0°，180°)，∴∠CAD＝45°.]5．如圖所示，在地面上共線的三點(diǎn)A，B，C處測(cè)得一建筑物的仰角分別為30°，45°，60°，且AB＝BC＝60m，則建筑物的高度為()A．15eq\r(6)m B．20eq\r(6)mC．25eq\r(6)m D．30eq\r(6)mD[設(shè)建筑物的高度為h，由題圖知，PA＝2h，PB＝eq\r(2)h，PC＝eq\f(2\r(3),3)h，∴在△PBA和△PBC中，分別由余弦定理，得cos∠PBA＝eq\f(602＋2h2－4h2,2×60×\r(2)h)，①cos∠PBC＝eq\f(602＋2h2－\f(4,3)h2,2×60×\r(2)h).②∵∠PBA＋∠PBC＝180°，∴cos∠PBA＋cos∠PBC＝0.③由①②③，解得h＝30eq\r(6)或h＝－30eq\r(6)(舍去)，即建筑物的高度為30eq\r(6)m．]二、填空題6．若兩人用大小相等的力F提起重為G的貨物，且保持平衡，則兩力的夾角θ的余弦值為_(kāi)_______．eq\f(G2－2F2,2F2)[如圖，由平行四邊形法則可知，|eq\o(OA,\s\up12(→))|＝G，在△AOB中，由余弦定理可得|eq\o(OA,\s\up12(→))|2＝F2＋F2－2F·Fcos(π－θ)．∵|eq\o(OA,\s\up12(→))|＝G，∴2F2(1＋cosθ)＝G2，∴cosθ＝eq\f(G2－2F2,2F2).]7．如圖所示，從氣球A上測(cè)得正前方的河流的兩岸B，C的俯角分別是75°，30°，此時(shí)氣球的高是60m，則河流的寬度BC等于________m.120(eq\r(3)－1)[由題意可知，AC＝eq\f(60,sin30°)＝120.∠BAC＝75°－30°＝45°，∠ABC＝180°－45°－30°＝105°，所以sin∠ABC＝sin105°＝sin(60°＋45°)＝sin60°cos45°＋cos60°sin45°＝eq\f(\r(6)＋\r(2),4).在△ABC中，由正弦定理得eq\f(AC,sin∠ABC)＝eq\f(BC,∠BAC)，于是BC＝eq\f(120×\f(\r(2),2),\f(\r(2)＋\r(6),4))＝eq\f(240\r(2),\r(2)＋\r(6))＝120(eq\r(3)－1)(m)．]8.如圖，在△ABC中，已知點(diǎn)D在BC邊上，AD⊥AC，sin∠BAC＝eq\f(2\r(2),3)，AB＝3eq\r(2)，AD＝3，則BD的長(zhǎng)為_(kāi)_______．eq\r(3)[∵sin∠BAC＝sin(90°＋∠BAD)＝cos∠BAD＝eq\f(2\r(2),3)，∴在△ABD中，有BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos∠BAD，∴BD2＝18＋9－2×3eq\r(2)×3×eq\f(2\r(2),3)＝3，∴BD＝eq\r(3).]三、解答題9．如圖所示，一條河自西向東流淌，某人在河南岸A處看到河北岸兩個(gè)目標(biāo)C，D分別在北偏東45°和北偏東30°方向，此人向東走300米到達(dá)B處之后，再看C，D，則分別在北偏西15°和北偏西60°方向，求目標(biāo)C，D之間的距離．[解]由題意得，在△ABD中，因?yàn)椤螪AB＝60°，∠DBA＝30°，所以∠ADB＝90°，在Rt△ABD中，因?yàn)锳B＝300，所以BD＝300·sin60°＝150eq\r(3)，在△ABC中，因?yàn)椤螩AB＝45°，∠ABC＝75°，所以∠ACB＝60°.由正弦定理得eq\f(AB,sin∠ACB)＝eq\f(BC,sin∠CAB)，所以BC＝eq\f(300,\f(\r(3),2))×eq\f(\r(2),2)＝100eq\r(6)，在△BCD中，因?yàn)锽C＝100eq\r(6)，BD＝150eq\r(3)，∠CBD＝45°，由余弦定理得CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD·cos∠CBD＝37500，所以CD＝50eq\r(15).所以目標(biāo)C，D之間的距離為50eq\r(15)米．10．如圖，在△ABC中，已知BC＝15，AB∶AC＝7∶8，sinB＝eq\f(4\r(3),7)，求BC邊上的高AD.[解]在△ABC中，由已知設(shè)AB＝7x，AC＝8x，由正弦定理，得eq\f(7x,sinC)＝eq\f(8x,sinB)，∴sinC＝eq\f(7,8)×eq\f(4\r(3),7)＝eq\f(\r(3),2)，∴C＝60°(C＝120°舍去，否則由8x>7x，知B也為鈍角，不符合要求)．由余弦定理，得(7x)2＝(8x)2＋152－2×8x×15cos60°，∴x2－8x＋15＝0.∴x＝3或x＝5，∴AB＝21或AB＝35.在△ABC中，AD＝ABsinB＝eq\f(4\r(3),7)AB，∴AD＝12eq\r(3)或AD＝20eq\r(3).[能力提升練]1．甲船在島A的正南B處，以每小時(shí)4千米的速度向正北航行，AB＝10千米，同時(shí)乙船自島A出發(fā)以每小時(shí)6千米的速度向北偏東60°的方向駛?cè)?，?dāng)甲、乙兩船相距最近時(shí)，它們所航行的時(shí)間為()A.eq\f(150,7)分鐘 B.eq\f(15,7)分鐘C．21.5分鐘 D．2.15小時(shí)A[如圖，設(shè)t小時(shí)后甲行駛到D處，則AD＝10－4t，乙行駛到C處，則AC＝6t.∵∠BAC＝120°，∴DC2＝AD2＋AC2－2AD·AC·cos120°＝(10－4t)2＋(6t)2－2×(10－4t)×6t×cos120°＝28t2－20t＋100＝28eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(5,14)))2＋eq\f(675,7).當(dāng)t＝eq\f(5,14)時(shí)，DC2最小，即DC最小，此時(shí)它們所航行的時(shí)間為eq\f(5,14)×60＝eq\f(150,7)分鐘．]2．如圖所示，要測(cè)量底部不能到達(dá)的某電視塔AB的高度，在塔的同一側(cè)選擇C，D兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)，且在C，D兩點(diǎn)測(cè)得塔頂?shù)难鼋欠謩e為45°，30°，在水平面上測(cè)得∠BCD＝120°，C，D兩地相距500m，則電視塔AB的高度是()A．100eq\r(2)m B．400mC．200eq\r(3)m D．500mD[設(shè)AB＝x，在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，∴BC＝AB＝x.在Rt△ABD中，∠ADB＝30°，∴BD＝eq\r(3)x.在△BCD中，∠BCD＝120°，CD＝500m，由余弦定理得(eq\r(3)x)2＝x2＋5002－2×500xcos120°，解得x＝500m．]3.如圖所示，某住宅小區(qū)的平面圖呈圓心角為120°的扇形AOB，C是該小區(qū)的一個(gè)出入口，且小區(qū)里有一條平行于AO的小路CD.已知某人從O沿OD走到D用了2min，從D沿著DC走到C用了3min.若此人步行的速度為每分鐘50m，則該扇形的半徑為_(kāi)_______m.50eq\r(7)[連結(jié)OC，在△OCD中，OD＝100，CD＝150，∠CDO＝60°，由余弦定理可得OC2＝1002＋1502－2×100×150×eq\f(1,2)＝17500，∴OC＝50eq\r(7).]4．臺(tái)風(fēng)中心從A地以每小時(shí)20千米的速度向東北方向移動(dòng)，離臺(tái)風(fēng)中心30千米內(nèi)的地區(qū)為危險(xiǎn)區(qū)，城市B在A的正東40千米處，B城市處于危險(xiǎn)區(qū)內(nèi)的時(shí)間為_(kāi)_______小時(shí)．1[設(shè)A地東北方向上存在點(diǎn)P到B的距離為30千米，AP＝x，在△ABP中，PB2＝AP2＋AB2－2AP·AB·cosA，即302＝x2＋402－2x·40cos45°，化簡(jiǎn)得x2－40eq\r(2)x＋700＝0，|x1－x2|2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝400，|x1－x2|＝20，即圖中的CD＝20(千米)，故t＝eq\f(CD,v)＝eq\f(20,20)＝1(小時(shí))．]5．如圖，在△ABC中，BC邊上的中線AD長(zhǎng)為3，且cosB＝eq\f(\r(10),8)，cos∠ADC＝－eq\f(1,4).(1)求sin∠BAD的值；(2)求AC邊的長(zhǎng)．[解](1)因?yàn)閏osB＝eq\f(\r(10),8)，所以sinB＝eq\f(3\r(6),8).又cos∠ADC＝－eq\f(1,4)，所以sin∠ADC＝eq\f(\r(15),4).所以sin∠BAD＝sin(∠ADC－B)＝sin∠ADCcosB－cos∠ADCsinB＝eq\f(\r(15),4)×eq\f(\r(10),8)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)))×eq