2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 三角函數(shù) 1.2.2 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系（2）教學(xué)教案 新人教A版必修4

2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章三角函數(shù)1.2.2同角三角函數(shù)的基本關(guān)系（2）教學(xué)教案新人教A版必修4授課內(nèi)容授課時數(shù)授課班級授課人數(shù)授課地點授課時間教學(xué)內(nèi)容分析本節(jié)課的主要教學(xué)內(nèi)容是高中數(shù)學(xué)第一章三角函數(shù)1.2.2節(jié)中，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系（2）。教學(xué)內(nèi)容主要包括：正弦、余弦、正切函數(shù)的定義及其相互關(guān)系；運用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式進行函數(shù)值轉(zhuǎn)換；以及通過圖像加深理解同角三角函數(shù)間的關(guān)系。

教學(xué)內(nèi)容與學(xué)生已有知識的聯(lián)系在于，學(xué)生在之前的課程中已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角函數(shù)的基本概念，包括銳角三角函數(shù)的定義和簡單性質(zhì)，以及1.2.1節(jié)中同角三角函數(shù)的基本關(guān)系（1）。在此基礎(chǔ)上，本節(jié)課將幫助學(xué)生進一步深化對同角三角函數(shù)關(guān)系的理解，學(xué)會在實際問題中靈活運用這些關(guān)系，提高解題能力。通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生將能夠更好地掌握三角函數(shù)的理論體系，為后續(xù)學(xué)習(xí)三角恒等變換、解三角形等內(nèi)容打下堅實基礎(chǔ)。核心素養(yǎng)目標(biāo)本節(jié)課的核心素養(yǎng)目標(biāo)在于培養(yǎng)學(xué)生在數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運算方面的能力。通過學(xué)習(xí)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，使學(xué)生能夠抽象出數(shù)學(xué)概念，形成對三角函數(shù)關(guān)系的深刻理解；在推理過程中，學(xué)會運用邏輯思維，分析并推導(dǎo)出三角函數(shù)間的關(guān)系式，提升邏輯推理素養(yǎng)。同時，通過解決具體問題，培養(yǎng)學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型，運用數(shù)學(xué)運算解決問題的能力，增強數(shù)學(xué)在實際應(yīng)用中的意識。此外，注重培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)美的鑒賞力，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和綜合素質(zhì)。學(xué)情分析在本節(jié)課的教學(xué)中，學(xué)生層次主要針對高中一年級學(xué)生，他們在知識、能力、素質(zhì)方面具備以下特點：

1.知識層面：學(xué)生已掌握了銳角三角函數(shù)的定義、圖像和簡單性質(zhì)，以及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系（1）。這為學(xué)習(xí)本節(jié)課內(nèi)容奠定了基礎(chǔ)。然而，學(xué)生在對三角函數(shù)關(guān)系的理解和運用方面可能還不夠熟練，需要教師在教學(xué)過程中加以引導(dǎo)和鞏固。

2.能力層面：學(xué)生在邏輯推理、數(shù)學(xué)運算和問題解決方面具備一定的基礎(chǔ)，但在數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模方面可能存在不足。本節(jié)課的教學(xué)將有助于提升學(xué)生在這些方面的能力。

3.素質(zhì)層面：學(xué)生在團隊合作、探究學(xué)習(xí)方面表現(xiàn)出較好的素質(zhì)，但在自主學(xué)習(xí)、自律性方面存在一定程度的不足。這可能會影響學(xué)生對課程學(xué)習(xí)的投入和效果。

（1）知識方面：

學(xué)生在初中階段已經(jīng)接觸過正弦、余弦、正切函數(shù)的概念，但對其理解可能還停留在表面。本節(jié)課將引導(dǎo)學(xué)生深入探討同角三角函數(shù)之間的關(guān)系，使他們在知識層面有更深入的認(rèn)識。

（2）能力方面：

①邏輯推理能力：學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問題時，邏輯推理能力有待提高。本節(jié)課通過推導(dǎo)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，有助于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力。

②數(shù)學(xué)運算能力：學(xué)生在進行數(shù)學(xué)運算時，可能會出現(xiàn)失誤。本節(jié)課的教學(xué)將強化學(xué)生對三角函數(shù)關(guān)系的記憶，提高數(shù)學(xué)運算的準(zhǔn)確性。

③數(shù)學(xué)建模能力：學(xué)生在面對實際問題時，可能不知道如何運用所學(xué)知識建立數(shù)學(xué)模型。本節(jié)課通過實際問題的引入，引導(dǎo)學(xué)生運用同角三角函數(shù)關(guān)系進行建模，提升數(shù)學(xué)建模能力。

（3）素質(zhì)方面：

①自主學(xué)習(xí)能力：學(xué)生在自主學(xué)習(xí)方面存在一定的依賴性，需要教師在教學(xué)過程中關(guān)注學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力培養(yǎng)，提高學(xué)生的自律性和主動性。

②團隊合作能力：學(xué)生在小組討論、合作解決問題時，表現(xiàn)出較好的團隊合作能力。教師可利用這一點，組織學(xué)生進行課堂討論，提高教學(xué)效果。

③探究學(xué)習(xí)能力：學(xué)生對新知識具有較強的探究欲望，教師可引導(dǎo)學(xué)生通過自主探究、合作交流等方式，發(fā)現(xiàn)并掌握同角三角函數(shù)的基本關(guān)系。

4.行為習(xí)慣方面：

學(xué)生在課堂上的注意力、筆記習(xí)慣、作業(yè)完成情況等方面存在差異，這些行為習(xí)慣將直接影響課程學(xué)習(xí)效果。教師需關(guān)注學(xué)生的行為習(xí)慣，引導(dǎo)他們養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，以提高學(xué)習(xí)效果。教學(xué)資源準(zhǔn)備1.教材：

確保每位學(xué)生都有本節(jié)課所需的教材或?qū)W習(xí)資料，即新人教A版必修4數(shù)學(xué)課本。教師在課前需檢查學(xué)生的教材是否已提前準(zhǔn)備好，避免影響課堂教學(xué)的順利進行。

2.輔助材料：

（1）圖片：準(zhǔn)備三角函數(shù)的圖像，如正弦、余弦、正切函數(shù)的圖像，以直觀展示各函數(shù)之間的關(guān)系。

（2）圖表：準(zhǔn)備同角三角函數(shù)基本關(guān)系表格，方便學(xué)生對比記憶。

（3）視頻：收集與三角函數(shù)相關(guān)的教學(xué)視頻，如三角函數(shù)的推導(dǎo)過程、實際應(yīng)用案例等，幫助學(xué)生更深入地理解知識點。

（4）PPT：制作包含本節(jié)課重要知識點的PPT，以動畫、圖片等形式展示，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

3.實驗器材：

（1）三角板：用于繪制三角函數(shù)圖像，便于學(xué)生觀察和探究。

（2）計算器：學(xué)生在解決問題時，可以使用計算器進行數(shù)學(xué)運算，提高解題效率。

（3）多媒體設(shè)備：用于播放PPT、視頻等教學(xué)資源，豐富課堂教學(xué)形式。

4.教室布置：

（1）分組討論區(qū)：將學(xué)生分為若干小組，每組配備一張桌子，便于學(xué)生進行課堂討論和合作學(xué)習(xí)。

（2）實驗操作臺：在教室的一角設(shè)置實驗操作臺，方便學(xué)生進行三角函數(shù)圖像的繪制和觀察。

（3）黑板：在黑板上提前書寫本節(jié)課的重要知識點，方便學(xué)生隨時查看。

（4）投影儀：將多媒體設(shè)備與投影儀連接，確保課堂教學(xué)的順利進行。

為確保教學(xué)資源準(zhǔn)備的充分性和實用性，教師應(yīng)在課前認(rèn)真檢查各項資源，并根據(jù)學(xué)生的實際情況進行調(diào)整。同時，注意資源的使用順序和時機，使之與課堂教學(xué)緊密結(jié)合，提高教學(xué)效果。教學(xué)實施過程1.課前自主探索

教師活動：

-發(fā)布預(yù)習(xí)任務(wù)：通過學(xué)校的學(xué)習(xí)平臺或班級微信群，發(fā)布預(yù)習(xí)資料，包括PPT、視頻和預(yù)習(xí)指導(dǎo)文檔，明確預(yù)習(xí)目標(biāo)和要求。

-設(shè)計預(yù)習(xí)問題：圍繞“同角三角函數(shù)的基本關(guān)系”，設(shè)計問題，如“正弦和余弦函數(shù)的關(guān)系是什么？”、“如何利用這些關(guān)系進行函數(shù)值轉(zhuǎn)換？”

-監(jiān)控預(yù)習(xí)進度：通過學(xué)習(xí)平臺的數(shù)據(jù)分析功能，監(jiān)控學(xué)生的預(yù)習(xí)進度，及時提醒未完成預(yù)習(xí)的學(xué)生。

學(xué)生活動：

-自主閱讀預(yù)習(xí)資料：學(xué)生按照預(yù)習(xí)要求，自主閱讀資料，了解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系。

-思考預(yù)習(xí)問題：學(xué)生嘗試回答預(yù)習(xí)問題，記錄自己的理解和疑問。

-提交預(yù)習(xí)成果：學(xué)生將筆記、思維導(dǎo)圖或疑問提交至平臺或直接反饋給老師。

教學(xué)方法/手段/資源：

-自主學(xué)習(xí)法：培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力和獨立思考能力。

-信息技術(shù)手段：利用在線平臺、微信群等，實現(xiàn)預(yù)習(xí)資源的共享和監(jiān)控。

作用與目的：

-幫助學(xué)生提前接觸同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，為課堂學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備。

-培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力和解決問題的初步嘗試。

2.課中強化技能

教師活動：

-導(dǎo)入新課：通過實際生活中的例子，如建筑設(shè)計中的三角測量，引出同角三角函數(shù)的基本關(guān)系。

-講解知識點：詳細(xì)講解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，如sin2θ+cos2θ=1，結(jié)合具體例子幫助學(xué)生理解。

-組織課堂活動：設(shè)計小組討論，讓學(xué)生探討如何在不同情況下應(yīng)用這些關(guān)系。

-解答疑問：針對學(xué)生在討論中產(chǎn)生的疑問，進行解答和指導(dǎo)。

學(xué)生活動：

-聽講并思考：學(xué)生認(rèn)真聽講，思考老師提出的問題。

-參與課堂活動：學(xué)生積極參與小組討論，體驗知識的應(yīng)用。

-提問與討論：學(xué)生針對不懂的問題勇敢提問，參與討論。

教學(xué)方法/手段/資源：

-講授法：通過講解，幫助學(xué)生理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系。

-實踐活動法：通過小組討論，讓學(xué)生在實踐中掌握知識。

-合作學(xué)習(xí)法：培養(yǎng)學(xué)生的團隊合作意識和溝通能力。

作用與目的：

-加深學(xué)生對同角三角函數(shù)基本關(guān)系的理解，掌握轉(zhuǎn)換技巧。

-通過實踐活動，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用能力和解決問題的能力。

-通過合作學(xué)習(xí)，增強學(xué)生的團隊協(xié)作能力。

3.課后拓展應(yīng)用

教師活動：

-布置作業(yè)：根據(jù)本節(jié)課內(nèi)容，布置適量的課后作業(yè)，如相關(guān)的計算題和應(yīng)用題。

-提供拓展資源：推薦相關(guān)的學(xué)術(shù)文章、在線課程等，供學(xué)生深入學(xué)習(xí)。

-反饋作業(yè)情況：及時批改作業(yè)，給予學(xué)生反饋和指導(dǎo)。

學(xué)生活動：

-完成作業(yè)：學(xué)生認(rèn)真完成作業(yè)，鞏固學(xué)習(xí)效果。

-拓展學(xué)習(xí)：學(xué)生利用提供的資源，進行深入學(xué)習(xí)。

-反思總結(jié)：學(xué)生對自己的學(xué)習(xí)過程和作業(yè)完成情況進行反思，提出改進建議。

教學(xué)方法/手段/資源：

-自主學(xué)習(xí)法：引導(dǎo)學(xué)生自主完成作業(yè)和拓展學(xué)習(xí)。

-反思總結(jié)法：幫助學(xué)生認(rèn)識到自己的不足，促進自我提升。

作用與目的：

-鞏固學(xué)生對同角三角函數(shù)基本關(guān)系的理解和應(yīng)用。

-通過拓展學(xué)習(xí)，拓寬學(xué)生的知識視野。

-通過反思總結(jié)，幫助學(xué)生形成自我監(jiān)控和自我提升的習(xí)慣。知識點梳理1.三角函數(shù)的定義

-正弦函數(shù)：在直角三角形中，銳角的對邊與斜邊的比值。

-余弦函數(shù)：在直角三角形中，銳角的鄰邊與斜邊的比值。

-正切函數(shù)：在直角三角形中，銳角的對邊與鄰邊的比值。

2.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系

-正弦和余弦函數(shù)的關(guān)系：sin2θ+cos2θ=1。

-正弦和余弦函數(shù)的平方和關(guān)系：sin2θ=(1-cos(2θ))/2，cos2θ=(1+cos(2θ))/2。

-正弦和余弦函數(shù)的和差關(guān)系：sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ，sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ。

-正弦和余弦函數(shù)的積的關(guān)系：sinαsinβ=(cos(α-β)-cos(α+β))/2，cosαcosβ=(cos(α-β)+cos(α+β))/2。

3.正弦和余弦函數(shù)的圖像

-正弦函數(shù)的圖像：一個周期函數(shù)，周期為2π，最大值為1，最小值為-1，在0到π/2區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在π/2到π區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減。

-余弦函數(shù)的圖像：一個周期函數(shù)，周期為2π，最大值為1，最小值為-1，在0到π/2區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，在π/2到π區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增。

4.正弦和余弦函數(shù)的應(yīng)用

-利用正弦和余弦函數(shù)進行函數(shù)值轉(zhuǎn)換。

-利用正弦和余弦函數(shù)解決實際問題，如測量高度、計算角度等。典型例題講解例題1：證明同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式sin2θ+cos2θ=1。

證明：

考慮一個直角三角形，設(shè)銳角為θ，對邊為a，鄰邊為b，斜邊為c。

根據(jù)三角函數(shù)的定義，有sinθ=a/c，cosθ=b/c。

將這兩個等式平方并相加，得到：

(sinθ)2+(cosθ)2=(a/c)2+(b/c)2

由于根據(jù)勾股定理，有a2+b2=c2，所以：

(sinθ)2+(cosθ)2=(a2+b2)/c2=c2/c2=1

因此，證明了sin2θ+cos2θ=1。

例題2：已知sinθ=3/5，求cosθ的值。

解答：

由于sin2θ+cos2θ=1，代入sinθ的值，得到：

(3/5)2+cos2θ=1

9/25+cos2θ=1

cos2θ=1-9/25

cos2θ=16/25

cosθ=±√(16/25)

由于θ是銳角，cosθ為正，所以：

cosθ=√(16/25)=4/5

例題3：證明sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ。

證明：

考慮兩個直角三角形，一個銳角為α，另一個銳角為β。

設(shè)第一個三角形的對邊為a，鄰邊為b，斜邊為c；第二個三角形的對邊為a'，鄰邊為b'，斜邊為c'。

根據(jù)三角函數(shù)的定義，有sinα=a/c，cosα=b/c，sinβ=a'/c'，cosβ=b'/c'。

考慮一個新的直角三角形，銳角為α+β，其對邊為a+a'，鄰邊為b'-b，斜邊為c。

根據(jù)三角函數(shù)的定義，有sin(α+β)=(a+a')/c。

現(xiàn)在計算sinαcosβ+cosαsinβ：

sinαcosβ+cosαsinβ=(a/c)(b'/c')+(b/c)(a'/c')

=(ab'+ba')/(cc')

=(a+a')c/(cc')

=(a+a')/c

=sin(α+β)

因此，證明了sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ。

例題4：已知cosα=1/2，求sin(α+π/3)的值。

解答：

首先，由于cosα=1/2，我們可以知道α=π/3（因為cos(π/3)=1/2）。

現(xiàn)在我們需要求sin(α+π/3)的值。

根據(jù)sin(α+β)的公式，有：

sin(α+π/3)=sinαcos(π/3)+cosαsin(π/3)

=sin(π/3)cos(π/3)+cos(π/3)sin(π/3)

=(√3/2)(1/2)+(1/2)(√3/2)

=(√3/4)+(√3/4)

=√3/2

例題5：已知sinα=4/5，求sin(2α)的值。

解答：

根據(jù)sin(2α)的公式，有：

sin(2α)=2sinαcosα

由于sin2α+cos2α=1，我們可以求出cosα的值：

cosα=√(1-sin2α)

=√(1-(4/5)2)

=√(1-16/25)

=√(9/25)

=3/5

現(xiàn)在我們可以計算sin(2α)：

sin(2α)=2sinαcosα

=2(4/5)(3/5)

=24/25課堂-提問：教師在課堂上提出與同角三角函數(shù)的基本關(guān)系相關(guān)的問題，如“sin2θ+cos2θ=1是如何推導(dǎo)出來的？”、“如何利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系進行函數(shù)值轉(zhuǎn)換？”等，以檢查學(xué)生對知識點的理解和掌握程度。

-觀察：教師觀察學(xué)生在課堂上的表現(xiàn)，如參與討論的積極性、回答問題的準(zhǔn)確性等，以評估學(xué)生的學(xué)習(xí)效果。

-測試：教師設(shè)計一些與同角三角函數(shù)的基本關(guān)系相關(guān)的練習(xí)題，讓學(xué)生在課堂上完成，以檢測學(xué)生對知識點的掌握程度。

2.作業(yè)評價：

-批改：教師認(rèn)真批改學(xué)生的作業(yè)，包括課堂練習(xí)和課后作業(yè)，了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況。

-點評：教師對學(xué)生的作業(yè)進行點評，指出其優(yōu)點和不足，給予鼓勵和建議。

-反饋：教師及時反饋學(xué)生的學(xué)習(xí)效果，對學(xué)生的進步給予表揚，對存在的問題給予指導(dǎo)，鼓勵學(xué)生繼續(xù)努力。板書設(shè)計【本節(jié)課主題】

同角三角函數(shù)的基本關(guān)系

【板書結(jié)構(gòu)】

1.三角函數(shù)定義

-正弦函數(shù)：對邊/斜邊

-余弦函數(shù)：鄰邊/斜邊

-正切函數(shù)：對邊/鄰邊

2.同角三角函數(shù)基本關(guān)系

-sin2θ+cos2θ=1

-sin2θ=(1-cos(2θ))/2

-cos2θ=(1+cos(2θ))/2

-sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ

-sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ

3.函數(shù)值轉(zhuǎn)換示例

-已知sinθ，求cosθ

-已知cosθ，求sinθ

-已知sinα和cosα，求sin(2α)

4.實際應(yīng)用

-測量角度

-計算高度

-解決其他實際問題

【板書特點】

-結(jié)構(gòu)清晰：按照定義、基本關(guān)系、轉(zhuǎn)換示例和實際應(yīng)用四個部分進行組織，條理分明。

-重點突出：通過加粗或使用不同顏色標(biāo)記重要公式和關(guān)鍵點，使學(xué)生一目了然。

-簡潔明了：使用簡練的文字和符號表達，避免冗長和復(fù)雜。

-趣味性：加入一些與三角函數(shù)相關(guān)的趣味性內(nèi)容或?qū)嶋H應(yīng)用案例，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣。

【板書示例】

1.三角函數(shù)定義

sinθ=a/c

cosθ=b/c

tanθ=a/b

2.同角三角函數(shù)基本關(guān)系

sin2θ+cos2θ=1

sin2θ=(1-cos(2θ))/2

cos2θ=(1+cos(2θ))/2

sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ

sin(α-β)