新高考數(shù)學一輪復習知識清單+鞏固練習專題01 集合與常用邏輯用語（解析版）

專題01集合與常用邏輯用語一、知識速覽二、考點速覽知識點1集合與元素1、集合元素的三個特性：確定性、互異性、無序性；2、元素與集合的關系：屬于或不屬于，用符號SKIPIF1<0或SKIPIF1<0表示3、集合的表示法：列舉法、描述法、圖示法4、常見數(shù)集的記法與關系圖集合自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集符號NN*(或N＋)ZQR知識點2集合間的基本關系表示關系文字語言符號語言圖形語言基本關系子集集合A的所有元素都是集合B的元素（SKIPIF1<0則SKIPIF1<0）SKIPIF1<0或SKIPIF1<0真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一個元素不屬于ASKIPIF1<0或SKIPIF1<0相等集合A，B的元素完全相同SKIPIF1<0空集不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集SKIPIF1<0知識點3集合的基本運算1、集合交并補運算的表示集合的并集集合的交集集合的補集圖形語言符號語言SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<02、集合運算中的常用二級結論（1）并集的性質：A∪?＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A?B?A.（2）交集的性質：A∩?＝?；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A?A?B.（3）補集的性質：A∪(?UA)＝U；A∩(?UA)＝?．?U(?UA)＝A；?U(A∪B)＝(?UA)∩(?UB)；?U(A∩B)＝(?UA)∪(?UB)．知識點4充分條件與必要條件1、充分條件與必要條件“若p，則q”為真命題“若p，則q”為假命題推出關系p?qp?q條件關系p是q的充分條件q是p的必要條件p不是q的充分條件q不是p的必要條件定理關系判定定理給出了相應數(shù)學結論成立的充分條件性質定理給出了相應數(shù)學結論成立的必要條件2、充要條件（1）充要條件的定義如果“若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0”和它的逆命題“若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0”均為真命題，即既有SKIPIF1<0，又有SKIPIF1<0，就記作SKIPIF1<0。此時，SKIPIF1<0既是SKIPIF1<0的充分條件，也是SKIPIF1<0的必要條件，我們說SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的充分必要條件，簡稱充要條件。（2）充要條件的含義若SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的充要條件，則SKIPIF1<0也是SKIPIF1<0的充要條件，雖然本質上是一樣的，但在說法上還是不同的，因為這兩個命題的條件與結論不同。（3）充要條件的等價說法：SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的充要條件又常說成是SKIPIF1<0成立當且僅當SKIPIF1<0成立，或SKIPIF1<0與SKIPIF1<0等價。知識點5全稱量詞與存在量詞1、全稱量詞與全稱量詞命題（1）全稱量詞：短語“所有的”“任意一個”在邏輯中通常叫作全稱量詞，并用符號“SKIPIF1<0”表示．【注意】（1）全稱量詞的數(shù)量可能是有限的，也可能是無限的，由有題目而定；（2）常見的全稱量詞還有“一切”、“任給”等，相應的詞語是“都”（2）全稱量詞命題：含有全稱量詞的命題，稱為全稱量詞命題．符號表示：通常，將含有變量SKIPIF1<0的語句用SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…表示，變量SKIPIF1<0的取值范圍用SKIPIF1<0表示，那么，全稱量詞命題“對SKIPIF1<0中任意一個SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成立”可用符號簡記為SKIPIF1<0【注意】（1）從集合的觀點看，全稱量詞命題是陳述某集合中所有元素都具有某種性質的命題；（2）一個全稱量詞命題可以包含多個變量；（3）有些全稱量詞命題中的全稱量詞是省略的，理解時需要把它補出來。如：命題“平行四邊形對角線互相平行”理解為“所有平行四邊形對角線都互相平行”。2、存在量詞與存在量詞命題（1）存在量詞：短語“存在一個”“至少有一個”在邏輯中通常叫作存在量詞，并用符號“SKIPIF1<0”表示．【注意】常見的存在量詞還有“有些”、“有一個”、“對某些”、“有的”等；（2）存在量詞命題：含有存在量詞的命題，叫作存在量詞命題。符號表示：存在量詞命題“存在SKIPIF1<0中的元素SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0成立”可用符號簡記為SKIPIF1<0【注意】（1）從集合的觀點看，存在量詞命題是陳述某集合中有一些元素具有某種性質的命題；（2）一個存在量詞命題可以包含多個變量；（3）有些命題雖然沒有寫出存在量詞，但其意義具備“存在”、“有一個”等特征都是存在量詞命題3、命題的否定：對命題p加以否定，得到一個新的命題，記作“SKIPIF1<0”，讀作“非p”或p的否定．（1）全稱量詞命題的否定：一般地，全稱量詞命題“SKIPIF1<0”的否定是存在量詞命題：SKIPIF1<0．（2）存在量詞命題的否定：一般地，存在量詞命題“SKIPIF1<0”的否定是全稱量詞命題：SKIPIF1<0．（3）命題與命題的否定的真假判斷：一個命題和它的否定不能同時為真命題，也不能同時為假命題，只能一真一假．即：如果一個命題是真命題，那么這個命題的否定是假命題，反之亦然．（4）常見正面詞語的否定：正面詞語等于（＝）大于（＞）小于（＜）是都是否定不等式（≠）不大于（≤）不小于（≥）不是不都是正面詞語至多有一個至少有一個任意所有至多有n個否定至少有兩個一個都沒有某個某些至少有n+1個一、子集的個數(shù)問題如果集合A中含有n個元素，則有（1）A的子集的個數(shù)有2n個．（2）A的非空子集的個數(shù)有2n－1個．（3）A的真子集的個數(shù)有2n－1個（4）A的非空真子集的個數(shù)有2n－2個．【典例1】（2023·重慶·校聯(lián)考三模）數(shù)集SKIPIF1<0的非空真子集個數(shù)為（）A．32B．31C．30D．29【答案】C【解析】因為集合SKIPIF1<0中含有SKIPIF1<0個元素，所以集合SKIPIF1<0的非空真子集個數(shù)為SKIPIF1<0.故選：C【典例2】（2023·福建泉州·泉州五中?？寄M預測）若集合SKIPIF1<0，集合SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的子集個數(shù)為（）A．5B．6C．16D．32【答案】C【解析】由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解不等式SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的子集個數(shù)為SKIPIF1<0.故選：C二、已知一個元素屬于集合，求集合中所含的參數(shù)值．（1）確定性的運用：利用集合中元素的確定性解出參數(shù)的所有可能值；（2）互異性的運用：根據(jù)集合中元素的互異性對集合中元素進行檢驗．【典例1】（2022秋·廣東廣州·高三校聯(lián)考階段練習）已知集合SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則a等于（）A．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．3D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】因為SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，不合題意，故舍去.當SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0(舍去)或SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0，滿足.故選：D【典例2】（2022秋·陜西商洛·高三陜西省山陽中學校聯(lián)考期中）設集合SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則實數(shù)SKIPIF1<0．【答案】2【解析】當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0，不符合條件；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0，符合條件；若SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，無實根，不符合條件．所以SKIPIF1<0．故答案為：2.三、利用兩個集合之間的關系確定參數(shù)的取值范圍第一步：弄清兩個集合之間的關系，誰是誰的子集；第二步：看集合中是否含有參數(shù)，若，且A中含參數(shù)應考慮參數(shù)使該集合為空集的情形；第三步：將集合間的包含關系轉化為方程(組)或不等式(組)，求出相關的參數(shù)的值或取值范圍.常采用數(shù)形結合的思想，借助數(shù)軸解答.【典例1】（2023·全國·模擬預測）設集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則實數(shù)a的取值范圍是（）A．SKIPIF1<0B．（3,4）C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】由已知可得，集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，（注意端點值是否能取到），解得SKIPIF1<0，故選：B．【典例2】（2023·全國·高三專題練習）（多選）已知集合A＝SKIPIF1<0，B＝{x|ax＋1＝0}，且B?A，則實數(shù)a的取值可能為（）A．－3B．－2C．0D．3【答案】BCD【解析】由題知B?A，B＝{x|ax＋1＝0}，A＝SKIPIF1<0.所以B＝SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.當B＝SKIPIF1<0時，此種情況不可能，所以舍去；當B＝SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，解得a＝3；當B＝SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，解得a＝－2；當B＝SKIPIF1<0時，a＝0.綜上可得實數(shù)a的可能取值為3，0，－2.故選：BCD.四、根據(jù)集合運算的結果確定參數(shù)的取值范圍法一：根據(jù)集合運算結果確定集合對應區(qū)間的端點值之間的大小關系，確定參數(shù)的取值范圍.法二：（1）化簡所給集合；（2）用數(shù)軸表示所給集合；（3）根據(jù)集合端點間關系列出不等式（組）；（4）解不等式（組）；（5）檢驗.【注意】（1）確定不等式解集的端點之間的大小關系時，需檢驗能否取“=”；（2）千萬不要忘記考慮空集?！镜淅?】（2023·海南海口·校聯(lián)考一模）已知集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】解不等式SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍為SKIPIF1<0.故選：B【典例2】（2023·河南開封·開封高中校考模擬預測）設集合SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍是（）A．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】由集合SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，又集合SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<02或SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.故選：B.五、利用充分必要條件求參數(shù)的策略1、巧用轉化法求參數(shù)：把充分條件、必要條件轉化為集合之間的關系，然后根據(jù)集合之間的關系列出關于參數(shù)的不等式（不等式組）求解；2、端點取值需謹慎：在求參數(shù)范圍時，要注意邊界或區(qū)間端點值的檢驗，從而確定取舍。【典例1】（2023·全國·高三專題練習）已知集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．若“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的充分不必要條件，則SKIPIF1<0的取值范圍是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】若“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的充分不必要條件，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0.故選：B.【典例2】（2023·全國·高三專題練習）已知“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”成立的必要不充分條件，則實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.因為SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的必要不充分條件，即SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是SKIPIF1<0或SKIPIF1<0的真子集，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.故選：A易錯點1對集合表示方法的理解存在偏差點撥：對集合表示法的理解不能只流于形式上的“掌握”，要對本質進行剖析，需要明確集合中的代表元素類型（點集或者數(shù)集）及代表元素的含義?！镜淅?】（2023·安徽安慶·安徽省桐城中學校考一模）集合SKIPIF1<0，集合SKIPIF1<0，全集SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】對于集合A，由SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.故選：B【典例2】（2023·黑龍江哈爾濱·哈師大附中?？寄M預測）已知集合SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】解方程組SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.故選：D.易錯點2忽視（漏）空集導致錯誤點撥：空集不含任何元素，在解題過程中容易被忽略，特別是在隱含有空集參與的集合問題中，往往容易因忽略空集的特殊性而導致漏解?！镜淅?】（2023·全國·高三專題練習）已知集合SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0SKIPIF1<0，則實數(shù)SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0或1B．0或1C．1D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】由集合SKIPIF1<0，對于方程SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，此時方程無解，可得集合SKIPIF1<0，滿足SKIPIF1<0SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0時，解得SKIPIF1<0，要使得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，則滿足SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以實數(shù)SKIPIF1<0的值為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.故選：B.【典例2】（2023·全國·高三對口高考）設集合SKIPIF1<0若SKIPIF1<0，則實數(shù)p的取值范圍是．【答案】SKIPIF1<0【解析】若N為空集，即SKIPIF1<0，若N不為空集，則SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，綜上：SKIPIF1<0.易錯點3忽視集合元素的互異性點撥：集合元素的互異性是集合的特征之一，集合中不可出現(xiàn)相同的元素?！镜淅?】（2023·全國·高三專題練習）由實數(shù)SKIPIF1<0所組成的集合，最多可含有（）個元素A．2B．3C．4D．5【答案】B【解析】由題意，當SKIPIF1<0時所含元素最多，此時SKIPIF1<0分別可化為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以由實數(shù)SKIPIF1<0所組成的集合，最多可含有3個元素．故選：B【典例2】（2023·江西·金溪一中校聯(lián)考模擬預測）已知集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．0C．1D．2【答案】A【解析】由題意SKIPIF1<0可知，兩集合元素全部相等，得到SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，又根據(jù)集合互異性，可知SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0(舍)，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0(舍)，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故選：A易錯點4判斷充分性必要性位置顛倒點撥：需要多注意倒裝句的標志，解題時先翻譯成正常的結構再判斷計算。【典例1】（2023·四川成都·四川省成都市玉林中學?？寄M預測）使SKIPIF1<0成立的一個充分不必要條件是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．x<2D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】由SK