高中數(shù)學(xué) 2.3第2課時(shí)數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用同步檢測(cè) 蘇教版選修2-2

2.3第2課時(shí)數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用eq\a\vs4\al\co1(雙基達(dá)標(biāo)限時(shí)20分鐘)1．用數(shù)學(xué)歸納法證明eq\f(an＋bn,2)≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))n(a，b是非負(fù)實(shí)數(shù)，n∈N＋)時(shí)，假設(shè)n＝k命題成立之后，證明n＝k＋1命題也成立的關(guān)鍵是__________________．解析要想辦法出現(xiàn)ak＋1＋bk＋1，兩邊同乘以eq\f(a＋b,2)，右邊也出現(xiàn)了要證的eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))k＋1.答案兩邊同乘以eq\f(a＋b,2)2．?dāng)?shù)列{an}中，已知a1＝2，an＋1＝eq\f(an,3an＋1)(n∈N*)，依次計(jì)算出a2，a3，a4后，歸納、猜測(cè)得出an的表達(dá)式為_(kāi)_______．解析a1＝2，a2＝eq\f(2,7)，a3＝eq\f(2,13)，a4＝eq\f(2,19)，猜測(cè)an＝eq\f(2,6n－5).答案an＝eq\f(2,6n－5)3．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a1＝1，Sn＝n2an(n∈N*)．依次計(jì)算出S1，S2，S3，S4后，可猜想Sn的表達(dá)式為_(kāi)___________．解析S1＝1，S2＝eq\f(4,3)，S3＝eq\f(3,2)＝eq\f(6,4)，S4＝eq\f(8,5)，猜想Sn＝eq\f(2n,n＋1).答案Sn＝eq\f(2n,n＋1)4．若f(n)＝12＋22＋32＋…＋(2n)2，則f(k＋1)與f(k)的遞推關(guān)系式是________．解析∵f(k)＝12＋22＋…＋(2k)2，∴f(k＋1)＝12＋22＋…＋(2k)2＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2，∴f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2.答案f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)25．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n×3n－1＝3n(na－b)＋c對(duì)一切n∈N*都成立，則a、b、c的值為_(kāi)_______．解析∵等式對(duì)一切n∈N*均成立，∴n＝1,2,3時(shí)等式成立，即：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＝3a－b＋c，,1＋2×3＝322a－b＋c，,1＋2×3＋3×32＝333a－b＋c，))整理得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a－3b＋c＝1，,18a－9b＋c＝7，,81a－27b＋c＝34，))解得a＝eq\f(1,2)，b＝c＝eq\f(1,4).答案a＝eq\f(1,2)，b＝c＝eq\f(1,4)6．已知n∈N*，n＞2時(shí)，求證：1＋eq\f(1,\r(2))＋eq\f(1,\r(3))＋…＋eq\f(1,\r(n))＞eq\r(n＋1).證明(1)當(dāng)n＝3時(shí)，左邊＝1＋eq\f(1,\r(2))＋eq\f(1,\r(3))，右邊＝eq\r(3＋1)＝2，左邊＞右邊，不等式成立．(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*，k＞2)時(shí)，不等式成立，即1＋eq\f(1,\r(2))＋eq\f(1,\r(3))＋…＋eq\f(1,\r(k))＞eq\r(k＋1).當(dāng)n＝k＋1時(shí)，1＋eq\f(1,\r(2))＋eq\f(1,\r(3))＋…＋eq\f(1,\r(k))＋eq\f(1,\r(k＋1))＞eq\r(k＋1)＋eq\f(1,\r(k＋1))＝eq\f(k＋1＋1,\r(k＋1))＝eq\f(k＋2,\r(k＋1)).∵eq\f(k＋2,\r(k＋1))＞eq\f(k＋2,\r(k＋2))＝eq\r(k＋2)＝eq\r(k＋1＋1)，∴1＋eq\f(1,\r(2))＋eq\f(1,\r(3))＋…＋eq\f(1,\r(k))＋eq\f(1,\r(k＋1))＞eq\r(k＋1＋1)，∴當(dāng)n＝k＋1時(shí)，不等式也成立．由(1)，(2)知對(duì)這一切n∈N*，n＞2，不等式成立．eq\a\vs4\al\co1(綜合提高限時(shí)25分鐘)7．在數(shù)列{an}中，a1＝eq\f(1,3)，且Sn＝n(2n－1)an，通過(guò)求a2，a3，a4，猜想an的表達(dá)式為_(kāi)___________________．解析由a1＝eq\f(1,3)，Sn＝n(2n－1)an，得S2＝2(2×2－1)a2，即a1＋a2＝6a2，∴a2＝eq\f(1,15)＝eq\f(1,3×5)，S3＝3(2×3－1)a3，即eq\f(1,3)＋eq\f(1,15)＋a3＝15a3.∴a3＝eq\f(1,35)＝eq\f(1,5×7)，同理，a4＝eq\f(1,7×9).所以猜想an＝eq\f(1,2n－12n＋1).答案an＝eq\f(1,2n－12n＋1)8．用數(shù)學(xué)歸納法證明1＋2＋3＋…＋n2＝eq\f(n4＋n2,2)時(shí)，當(dāng)n＝k＋1時(shí)左端在n＝k時(shí)的左端加上________．解析n＝k時(shí)左端為1＋2＋3＋…＋k2，n＝k＋1時(shí)左端為1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2.答案(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)29．用數(shù)學(xué)歸納法證明“1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋……＋eq\f(1,2n－1)＜n(n∈N*，n＞1)”時(shí)，由n＝k(k＞1)不等式成立，推證n＝k＋1時(shí)，左邊應(yīng)增加的項(xiàng)數(shù)是________．解析增加的項(xiàng)數(shù)為(2k＋1－1)－(2k－1)＝2k＋1－2k＝2k.答案2k10.124357681012911131517…………某同學(xué)做了一個(gè)如上圖所示的等腰直角三角形形狀的數(shù)表，且把奇數(shù)和偶數(shù)分別依次排在了數(shù)表的奇數(shù)行和偶數(shù)行，若用a(i，j)表示第i行從左數(shù)第j個(gè)數(shù)，如a(4,3)＝10，則a(21,6)＝________.解析觀察數(shù)表可知，數(shù)表中的第21行為奇數(shù)行，如果刪去偶數(shù)行，原數(shù)表中的第21行為奇數(shù)行數(shù)表中的第11行．新數(shù)表中第10行最后一個(gè)數(shù)為2(1＋3＋5＋…＋19)－1＝2·eq\f(101＋19,2)－1＝199.所以第21行的第6個(gè)數(shù)為199＋2×6＝211.答案21111．已知f(x)＝eq\f(2x,x＋2)，x1＝1，xn＝f(xn－1)(n≥2，n∈N*)，則x2，x3，x4分別為多少？猜想xn，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．證明∵f(x)＝eq\f(2x,x＋2)，x1＝1，xn＝f(xn－1)，∴x2＝f(x1)＝f(1)＝eq\f(2,3)，x3＝f(x2)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))＝eq\f(2×\f(2,3),\f(2,3)＋2)＝eq\f(1,2)＝eq\f(2,4)，x4＝f(x3)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\f(2×\f(1,2),\f(1,2)＋2)＝eq\f(2,5)，猜想：xn＝eq\f(2,n＋1).用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝x1＝1，右邊＝eq\f(2,1＋1)＝1，左邊＝右邊，等式成立．(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*，k≥1)時(shí)，等式成立，即xk＝eq\f(2,k＋1)，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，xk＋1＝f(xk)＝eq\f(2xk,xk＋2)＝eq\f(\f(4,k＋1),\f(2,k＋1)＋2)＝eq\f(4,2k＋4)＝eq\f(2,k＋2)＝eq\f(2,k＋1＋1)，∴當(dāng)n＝k＋1時(shí)，命題成立．由(1)，(2)可知原命題成立．12．?dāng)?shù)列{an}中，a1＝1，Sn＝n2an.(1)求a2，a3，a4；(2)猜想{an}的通項(xiàng)公式，并證明你的猜想．解(1)∵Sn＝n2an，∴Sn＋1＝(n＋1)2an＋1，兩式相減得an＋1＝(n＋1)2an＋1－n2an，∴an＋1＝eq\f(n,n＋2)an.由a1＝1得a2＝eq\f(1,3)，由a2＝eq\f(1,3)得a3＝eq\f(1,6)，由a3＝eq\f(1,6)得a4＝eq\f(1,10).(2)由a1，a2，a3，a4的值猜想：an＝eq\f(2,nn＋1)(n∈N*)．以下用數(shù)學(xué)歸納法證明：an＝eq\f(2,nn＋1)(n∈N*)：①當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝1＝eq\f(2,1×2)成立．②假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*)時(shí)，ak＝eq\f(2,kk＋1).那么ak＋1＝eq\f(k,k＋2)·ak＝eq\f(k,k＋2)·eq\f(2,kk＋1)＝eq\f(2,k＋1[k＋1＋1]).這表明當(dāng)n＝k＋1時(shí)猜想正確．根據(jù)①②可知對(duì)任意n∈N*，an＝eq\f(2,nn＋1).13．(創(chuàng)新拓展)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知對(duì)任意的n∈N*，點(diǎn)(n，Sn)均在函數(shù)y＝bx＋r(b＞0且b≠1，b，r均為常數(shù))的圖象上．(1)求r的值；(2)當(dāng)b＝2時(shí)，記bn＝2(log2an＋1)(n∈N*)，證明：對(duì)任意的n∈N*，不等式eq\f(b1＋1,b1)·eq\f(b2＋1,b2)·…·eq\f(bn＋1,bn)＞eq\r(n＋1)成立．(1)解由題意，Sn＝bn＋r，當(dāng)n≥2時(shí)，Sn－1＝bn－1＋r，所以an＝Sn－Sn－1＝bn－1(b－1)，由于b＞0且b≠1，所以n≥2時(shí)，{an}是以b為公比的等比數(shù)列．又a1＝b＋r，a2＝b(b－1)，eq\f(a2,a1)＝b，即eq\f(bb－1,b＋r)＝b，解得r＝－1.(2)證明當(dāng)b＝2時(shí)，由(1)知an＝2n－1，因此bn＝2n(n∈N*)，所證不等式為eq\f(2＋1,2)·eq\f(4＋1,4)·…·eq\f(2n＋1,2n)＞eq\r(n＋1).①當(dāng)n＝1時(shí)，左式＝eq\f(3,2)，右式＝eq\r(2).左式＞右式，所以結(jié)論成立．②假設(shè)n＝k(k∈N*)時(shí)結(jié)論成立，即eq\f(2＋1,2)·eq\f(4＋1,4)·…·eq\f(2k＋1,2k)＞eq\r(k＋1)，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，eq\f(2＋1,2)·eq\f(4＋1,4)·…·eq\f(2k＋1,2k)·eq\f(2k＋3,2k＋1)＞eq\r(k＋1)·eq\f(2k＋3,2k＋1)＝eq\f(2k＋3,2\r(k＋1)).要證當(dāng)n＝k＋