2019-2020學(xué)年高中數(shù)學(xué)人教A版必修2學(xué)案：-直線與平面平行的判定-平面與平面平行的判定

PAGE2．2直線、平面平行的判定及其性質(zhì)2.2.1直線與平面平行的判定2.2.2平面與平面平行的判定知識導(dǎo)圖學(xué)法指導(dǎo)1.在進(jìn)行線面平行、面面平行的判定時(shí)，一般遵循從“低維”到“高維”的轉(zhuǎn)化，即從線線平行到線面平行，再到面面平行．2．使用線面平行、面面平行的判定定理時(shí)，一定要特別注意定理的使用條件，這些條件有很強(qiáng)的制約性，但它們也是我們解題時(shí)打開思路的突破口．高考導(dǎo)航1.判定直線與平面平行：在高考中常有考查，多在解答題的第一問出現(xiàn)，難度不大，分值5～7分．2．判定平面與平面平行：在高考中較少單獨(dú)考查，一般以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，以符號語言為載體，綜合考查直線與平面、平面與平面等的位置關(guān)系，難度中等，分值5分.知識點(diǎn)一直線與平面平行的判定文字語言平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行圖形語言符號語言a?α，b?α，且a∥b?a∥α用該定理判斷直線a和平面α平行時(shí)，必須同時(shí)具備三個(gè)條件：(1)直線a在平面α外，即a?α；(2)直線b在平面α內(nèi)，即b?α；(3)兩直線a，b平行，即a∥b.知識點(diǎn)二平面與平面平行的判定文字語言一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行圖形語言符號語言eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a?β,b?β,a∩b＝P,a∥α,b∥α))?β∥α1．平面與平面平行的判定定理中的平行于一個(gè)平面內(nèi)的“兩條相交直線”是必不可少的．2．面面平行的判定定理充分體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，即把面面平行轉(zhuǎn)化為線面平行．[小試身手]1．判斷下列命題是否正確.(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)若直線l上有兩點(diǎn)到平面α的距離相等，則l∥平面α.()(2)若直線l與平面α平行，則l與平面α內(nèi)的任意一條直線平行．()(3)兩條平行線中的一條直線與一個(gè)平面平行，那么另一條也與這個(gè)平面平行．()答案：(1)×(2)×(3)×2．若一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線分別平行于另一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線，則這兩個(gè)平面的位置關(guān)系是()A．一定平行B．一定相交C．平行或相交D．以上都不對解析：當(dāng)每個(gè)平面內(nèi)的兩條直線都是相交直線時(shí)，可推出兩個(gè)平面一定平行，否則，兩個(gè)平面有可能相交．答案：C3．下列結(jié)論正確的是()A．過直線外一點(diǎn)，與該直線平行的平面只有一個(gè)B．過直線外一點(diǎn)，與該直線平行的直線有無數(shù)條C．過平面外一點(diǎn)，與該平面平行的直線有無數(shù)條D．過兩條平行線中的一條的任一平面均與另一條直線平行解析：過平面外一點(diǎn)，與該平面平行的直線有無數(shù)條，只要直線與平面無公共點(diǎn)，就是直線與平面平行．答案：C4．如果直線a∥平面α，那么直線a與平面α內(nèi)的()A．一條直線不相交B．兩條直線不相交C．無數(shù)條直線不相交D．任意一條直線都不相交解析：因?yàn)閍∥平面α，直線a與平面α無公共點(diǎn)，因此a和平面α內(nèi)的任意一條直線都不相交，故選D.答案：D類型一直線與平面平行的判定例1如圖，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D是AB的中點(diǎn)．證明：BC1∥平面A1CD.【證明】如圖，連接AC1交A1C于點(diǎn)F，則F為AC1的中點(diǎn)．又D是AB的中點(diǎn)，連接DF，則DF∥BC1.因?yàn)镈F?平面A1CD，BC1?平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD.在平面A1CD內(nèi)找到與BC1平行的直線，利用直線與平面平行的判定定理證明．方法歸納(1)直線與平面平行的判定定理的應(yīng)用步驟①線與線平行；②一條線在已知平面內(nèi)；③一條線在已知平面外．(2)中點(diǎn)的應(yīng)用在題目中出現(xiàn)中點(diǎn)時(shí)，常見的證線線平行的兩種途徑：①中位線→線線平行；②平行四邊形→線線平行．跟蹤訓(xùn)練1如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是棱BC，C1D1的中點(diǎn)，求證：EF∥平面BDD1B1.證明：如圖，取D1B1的中點(diǎn)O，連接OF，OB.∵OF綊eq\f(1,2)B1C1，BE綊eq\f(1,2)B1C1，∴OF綊BE，∴四邊形OFEB是平行四邊形，∴EF∥BO.∵EF?平面BDD1B1，BO?平面BDD1B1，∴EF∥平面BDD1B1.要證EF∥平面BDD1B1，從平面BDD1B1中尋找一條直線與EF平行是證明的關(guān)鍵．類型二平面與平面平行的判定例2如圖，在長方體ABCD－A′B′C′D′中，E，F(xiàn)，E′，F(xiàn)′分別是AB，CD，A′B′，C′D′的中點(diǎn)．求證：平面A′EFD′∥平面BCF′E′.【證明】∵E，E′分別是AB，A′B′的中點(diǎn)，∴A′E′綊BE，∴四邊形A′EBE′為平行四邊形，∴A′E∥BE′.∵A′E?平面BCF′E′，BE′?平面BCF′E′，∴A′E∥平面BCF′E′.同理，A′D′∥平面BCF′E′.又A′E∩A′D′＝A′，∴平面A′EFD′∥平面BCF′E′.由平面與平面平行的判定定理知，要證明兩個(gè)平面平行，只需在其中一個(gè)平面內(nèi)找兩條相交直線與另一個(gè)平面平行即可．方法歸納利用判定定理證明兩個(gè)平面平行的一般步驟第一步：在一個(gè)平面內(nèi)找出兩條相交直線；第二步：證明這兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面；第三步：利用平面與平面平行的判定定理得出結(jié)論．跟蹤訓(xùn)練2如圖所示，點(diǎn)B為△ACD所在平面外一點(diǎn)，點(diǎn)M，N，G分別為△ABC，△ABD，△BCD的重心．求證：平面MNG∥平面ACD.證明：連接BM，BN，BG并延長分別交AC，AD，CD于點(diǎn)P，F(xiàn)，H.∵點(diǎn)M，N，G分別為△ABC，△ABD，△BCD的重心，∴eq\f(BM,MP)＝eq\f(BN,NF)＝eq\f(BG,GH)＝2.連接PF、FH，PH，則有MN∥PF.又PF?平面ACD，MN?平面ACD，∴MN∥平面ACD.同理可得MG∥平面ACD，又∵M(jìn)G∩MN＝M，∴平面MNG∥平面ACD.類型三線面平行、面面平行的綜合應(yīng)用例3在正方體ABCD－A′B′C′D′中，E，F(xiàn)，G，H分別為CC′，C′D′，DD′，CD的中點(diǎn)，N為BC的中點(diǎn)，試在E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)中找兩點(diǎn)，使這兩個(gè)點(diǎn)與點(diǎn)N確定一個(gè)平面α且平面α∥平面BB′D′D.【解析】如圖，連接HN，由中位線定理得，HN∥BD.∵BD?平面BB′D′D，HN?平面BB′D′D，∴HN∥平面BB′D′D.連接HF，則HF∥DD′，∵DD′?平面BB′D′D，HF?平面BB′D′D，∴HF∥平面BB′D′D.又HN∩HF＝H，連接FN，則平面HFN∥平面BB′D′D，∴H，F(xiàn)，N三點(diǎn)確定的平面α與平面BB′D′D平行．由平面與平面平行的判定定理知，只需所找的兩點(diǎn)與點(diǎn)N構(gòu)成的直線中，有兩條相交直線與平面BB′D′D平行即可．方法歸納線面、面面平行綜合應(yīng)用的策略(1)在立體幾何中常見的平行關(guān)系有線線平行、線面平行和面面平行，這三種平行關(guān)系不是孤立的，而是相互聯(lián)系，并且可以相互轉(zhuǎn)化的．(2)因?yàn)閑q\x(線線平行)eq\o(→,\s\up12(判定),\s\do10(定理))eq\x(線面平行)eq\o(→,\s\up12(判定),\s\do10(定理))eq\x(面面平行)，所以對于平行關(guān)系的綜合問題的解決，必須要靈活運(yùn)用三種平行關(guān)系的判定定理．跟蹤訓(xùn)練3如圖所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，D是棱CC1的中點(diǎn)，問在棱AB上是否存在一點(diǎn)E，使DE∥平面AB1C1？若存在，請確定點(diǎn)E的位置；若不存在，請說明理由．解析：存在點(diǎn)E，且E為AB的中點(diǎn)時(shí)，DE∥平面AB1C1.下面給出證明：如圖，取BB1的中點(diǎn)F，連接DF，DE，EF，則DF∥B1C1，∵DF?平面AB1C1，B1C1?平面AB1C1，∴DF∥平面AB1C1.∵E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為BB1的中點(diǎn)，∴EF∥AB1，∵EF?平面AB1C1，AB1?平面AB1C1，∴EF∥平面AB1C1.又EF∩DF＝F，∴平面DEF∥平面AB1C1.而DE?平面DEF，∴DE∥平面AB1C1.先借助圖形確定E為AB的中點(diǎn)，再給出證明.2.2.1-2[基礎(chǔ)鞏固](25分鐘，60分)一、選擇題(每小題5分，共25分)1．下列命題正確的是()A．一條直線與一個(gè)平面平行，它就和這個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線平行B．平行于同一個(gè)平面的兩條直線平行C．與兩個(gè)相交平面的交線平行的直線，必平行于這兩個(gè)平面D．平面外兩條平行直線中的一條與這個(gè)平面平行，則另一條也與這個(gè)平面平行解析：對于A，平面內(nèi)還存在直線與這條直線異面，錯(cuò)誤；對于B，這兩條直線還可以相交、異面，錯(cuò)誤；對于C，這條直線還可能在其中一個(gè)平面內(nèi)，錯(cuò)誤．故選D.答案：D2．使平面α∥平面β的一個(gè)條件是()A．存在一條直線a，a∥α，a∥βB．存在一條直線a，a?α，a∥βC．存在兩條平行直線a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥αD．α內(nèi)存在兩條相交直線a，b分別平行于β內(nèi)的兩條直線解析：A，B，C中的條件都不一定使α∥β，反例分別為圖①②③(圖中a∥l，b∥l)；D正確，因?yàn)閍∥β，b∥β，又a，b相交，從而α∥β.答案：D3．在正方體EFGH－E1F1G1H1中，下列四對截面彼此平行的是()A．平面E1FG1與平面EGH1B．平面FHG1與平面F1H1GC．平面F1H1E與平面FHE1D．平面E1HG1與平面EH1G解析：根據(jù)面面平行的判定定理，可知A正確．答案：A4．[2019·大連校級檢測]如圖，△ABC的邊BC在平面α內(nèi)，EF是△ABC的中位線，則()A．EF與平面α平行B．EF與平面α不平行C．EF與平面α可能平行D．EF與平面α可能相交解析：∵EF∥BC，BC?α，EF?α，∴EF∥平面α.答案：A5．[2019·遼寧省葫蘆島市校級月考]已知在如圖所示的長方體ABCD－A1B1C1D1中，E為AA1的中點(diǎn)，F(xiàn)為BB1的中點(diǎn)，G為CC1的中點(diǎn)，則在該長方體中，與平面EFG平行的面有()A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)解析：∵長方體ABCD－A1B1C1D1中，E為AA1的中點(diǎn)，F(xiàn)為BB1的中點(diǎn)，G為CC1的中點(diǎn)，∴EF∥AB，F(xiàn)G∥BC，又EF?平面ABCD，F(xiàn)G?平面ABCD，∴EF∥平面ABCD，F(xiàn)G∥平面ABCD，又EF∩FG＝F，∴由平面與平面平行的判定定理得：平面EFG∥平面ABCD.同理，平面EFG∥平面A1B1C1D1.即在該長方體中，與平面EFG平行的平面有2個(gè)．答案：B二、填空題(每小題5分，共15分)6．如果直線a，b相交，直線a∥平面α，則直線b與平面α的位置關(guān)系是________．解析：根據(jù)線面位置關(guān)系的定義，可知直線b與平面α的位置關(guān)系是相交或平行．答案：相交或平行7．已知點(diǎn)S是正三角形ABC所在平面外一點(diǎn)，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是SA，SB，SC的中點(diǎn)，則平面DEF與平面ABC的位置關(guān)系是________．解析：由D，E，F(xiàn)分別是SA，SB，SC的中點(diǎn)，知EF是△SBC的中位線，∴EF∥BC.又∵BC平面ABC，EF?平面ABC，∴EF∥平面ABC.同理DE∥平面ABC.又∵EF∩DE＝E，∴平面DEF∥平面ABC.答案：平行8．已知正三棱柱ABC－A1B1C1中，G是A1C1的中點(diǎn)，過點(diǎn)G的截面與側(cè)面ABB1A1平行，若側(cè)面ABB1A1是邊長為4的正方形，則截面周長為________．解析：如圖，取B1C1的中點(diǎn)M，BC的中點(diǎn)N，AC的中點(diǎn)H，連接GM，MN，HN，GH，則GM∥HN∥AB，MN∥GH∥AA1，所以有GM∥平面ABB1A1，MN∥平面ABB1A1.又GM∩MN＝M，所以平面GMNH∥平面ABB1A1，即平面GMNH為過點(diǎn)G且與平面ABB1A1平行的截面．易得此截面的周長為4＋4＋2＋2＝12.答案：12三、解答題(每小題10分，共20分)9．[2019·廣東佛山質(zhì)檢]如圖所示，四棱錐P－ABCD的底面是邊長為1的正方形，E為PC的中點(diǎn)，PF＝2FD，求證：BE∥平面AFC.證明：如圖，連接BD，交AC于點(diǎn)O，取PF的中點(diǎn)G，連接EG，ED，ED交CF于點(diǎn)M，連接MO.在△PCF中，E，G分別為PC，PF的中點(diǎn)，則EG∥FC.在△EDG中，MF∥EG，且F為DG的中點(diǎn)，則M為ED的中點(diǎn)．在△BED中，O，M分別為BD，ED的中點(diǎn)，則BE∥MO.又MO?平面AFC，BE?平面AFC，所以BE∥平面AFC.10．在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G分別是BC，CD，AC的中點(diǎn)．求證：平面EFG∥平面ABD.證明：因?yàn)镋，F(xiàn)分別是BC，CD的中點(diǎn)，所以EF∥BD.又BD?平面ABD，EF?平面ABD，所以EF∥平面ABD.同理可得EG∥平面ABD.又EF∩EG＝E，EF，EG平面EFG，所以平面EFG∥平面ABD.[能力提升](20分鐘，40分)11.如圖，在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AB，AD上的點(diǎn)，且AEEB＝AFFD＝14，H，G分別為BC，CD的中點(diǎn)，則()A．BD∥平面EFGH，且四邊形EFGH是平行四邊形B．EF∥平面BCD，且四邊形EFGH是梯形C．HG∥平面ABD，且四邊形EFGH是平行四邊形D．EH∥平面ADC，且四邊形EFGH是梯形解析：由題意，知EF∥BD，且EF＝eq\f(1,5)BD，HG∥BD，且HG＝eq\f(1,2)BD，∴EF∥HG，且EF≠HG，∴四邊形EFGH是梯形．又EF∥平面BCD，EH與平面ADC不平行，故選B.答案：B12．如圖所示的四個(gè)正方體中，A，B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M，N，P分別為其所在棱的中點(diǎn)，能得出AB∥平面MNP的圖形是________．(填序號)解析：①中連接點(diǎn)A與點(diǎn)B上面的頂點(diǎn)，記為C，則易證平面ABC∥平面MNP，所以AB∥平面MNP；④中AB∥NP，根據(jù)空間直線與平面平行的