高考數(shù)學(xué) 14直角三角形的射影定理知能演練 新人教A版選修41

【創(chuàng)新設(shè)計(jì)】屆高考數(shù)學(xué)1-4直角三角形的射影定理知能演練新人教A版選修4-1一、選擇題1．在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC邊上的高，則相似三角形共有()．A．0對B．1對C．2對D．3對解析如圖所示，△ACD∽△BAD，△ACD∽△BCA，△ABD∽△CBA，共有3對．答案D2．在Rt△ACB中，∠C＝90°，CD⊥AB于D，若BD∶AD＝1∶4，則tan∠BCD的值是()．A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2)D．2解析如圖所示，由射影定理得CD2＝AD·BD，又∵BD∶AD＝1∶4，令BD＝x，則AD＝4x(x>0)．∴CD2＝AD·BD＝4x2，∴CD＝2x，在Rt△CDB中，tan∠BCD＝eq\f(BD,CD)＝eq\f(x,2x)＝eq\f(1,2).答案C3．如圖，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AD＝3，CD＝2，則eq\f(AC,BC)的值為()．A.eq\f(3,2)B.eq\f(9,4)C.eq\f(2,3)D.eq\f(4,9)解析由題意得，CD2＝AD·BD，∴BD＝eq\f(4,3).又AC2＝AD·AB，BC2＝BD·AB，則eq\f(AC2,BC2)＝eq\f(AD,BD)＝eq\f(9,4)，故eq\f(AC,BC)＝eq\f(3,2).答案A4．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足為D.若BC＝m，∠B＝α，則AD長為()．A．msin2αB．mcos2αC．msinαcosαD．msinαtanα解析由射影定理，得AB2＝BD·BC，AC2＝CD·BC，即m2cos2α＝BD·m，m2sin2α＝CD·m，即BD＝mcos2α，CD＝msin2α.又∵AD2＝BD·DC＝m2cos2αsin2α，∴AD＝mcosαsinα.故選C.答案C二、填空題5．如圖所示，四邊形ABCD是矩形，∠BEF＝90°，①②③④這四個(gè)三角形能相似的是__________．解析因?yàn)樗倪呅蜛BCD為矩形，所以∠A＝∠D＝90°.因?yàn)椤螧EF＝90°，所以∠1＋∠2＝90°.因?yàn)椤?＋∠ABE＝90°，所以∠ABE＝∠2.又因?yàn)椤螦＝∠D＝90°，所以△ABE∽△DEF.答案①③6．已知圓的直徑AB＝13，C為圓上一點(diǎn)，過C作CD⊥AB于D(AD＞BD)，若CD＝6，則AD＝________.解析如圖，連接AC，CB，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°設(shè)AD＝x，∵CD⊥AB于D，∴由射影定理得CD2＝AD·DB，即62＝x(13－x)，∴x2－13x＋36＝0，解得x1＝4，x2＝9.∵AD＞BD，∴AD＝9.答案97．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a－b＝1，tanA＝eq\f(3,2)，其中a、b分別是∠A和∠B的對邊，則斜邊上的高h(yuǎn)＝________.解析由tanA＝eq\f(a,b)＝eq\f(3,2)和a－b＝1，∴a＝3，b＝2，故c＝eq\r(13)，∴h＝eq\f(ab,c)＝eq\f(6\r(13),13).答案eq\f(6\r(13),13)8．如圖所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，AD＝4，sin∠ACD＝eq\f(4,5)，則CD＝________，BC＝________.解析在Rt△ADC中，AD＝4，sin∠ACD＝eq\f(AD,AC)＝eq\f(4,5)，得AC＝5，又由射影定理AC2＝AD·AB，得AB＝eq\f(AC2,AD)＝eq\f(25,4).∴BD＝AB－AD＝eq\f(25,4)－4＝eq\f(9,4)，由射影定理CD2＝AD·BD＝4×eq\f(9,4)＝9，∴CD＝3.又由射影定理BC2＝BD·AB＝eq\f(9,4)×eq\f(25,4)，∴BC＝eq\f(15,4).答案3eq\f(15,4)三、解答題9．如圖所示，AD、CE是△ABC的高，AD和CE相交于點(diǎn)F.求證：AF·FD＝CF·FE.證明因?yàn)锳D⊥BC，CE⊥AB，所以△AFE和△CFD都是直角三角形．又因?yàn)椤螦FE＝∠CFD，所以Rt△AFE∽Rt△CFD.所以AF∶FE＝CF∶FD.所以AF·FD＝CF·FE.10．如圖所示，D為△ABC中BC邊上的一點(diǎn)，∠CAD＝∠B，若AD＝6，AB＝10，BD＝8，求CD的長．解在△ABD中，AD＝6，AB＝10，BD＝8，滿足AB2＝AD2＋BD2，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC.又∵∠CAD＝∠B，且∠C＋∠CAD＝90°.∴∠C＋∠B＝90°，即∠BAC＝90°，故在Rt△BAC中，AD⊥BC，由射影定理知AD2＝BD·CD，即62＝8·CD，∴CD＝eq\f(9,2).11．(拓展深化)已知直角三角形周長為48cm，一銳角平分線分對邊為3∶5兩部分．(1)求直角三角形的三邊長；(2)求兩直角邊在斜邊上的射影的長．解(1)如圖，設(shè)CD＝3x，BD＝5x，則BC＝8x，過D作DE⊥AB，由題意可得，DE＝3x，BE＝4x，∴AE＋AC＋12x＝48，又AE＝AC，∴AC＝24－6x，AB＝24－2x，∴(24－6x)2＋(8x)2＝(24－2x)2，解得：x1＝0(舍去)，x2＝2，∴AB＝20，AC＝12，BC＝16，∴三邊長分別為：20cm,12cm,16cm.(2)作CF⊥AB于F點(diǎn)，∴AC2＝AF·AB，∴AF＝eq\f(AC2,AB)