高考數(shù)學(xué)解題技巧 教師版

更多逆襲資料，關(guān)注公眾號(hào)：高中領(lǐng)域目錄第一講函數(shù)相關(guān)技巧一、技巧知識(shí)點(diǎn)二、技巧訓(xùn)練技巧1分式函數(shù)求值域技巧2口算奇偶性求參數(shù)技巧3形如f(x)=奇函數(shù)+常數(shù)第二講平面向量一、技巧知識(shí)點(diǎn)二、技巧訓(xùn)練技巧1奔馳定理技巧2三角形的四心技巧3極化恒等式解三角形一、技巧知識(shí)點(diǎn)二、技巧訓(xùn)練技巧一三角形的射影定理技巧2三角形的中線定理技巧3角平分線的定理數(shù)列一、技巧知識(shí)點(diǎn)二、技巧訓(xùn)練技巧1等比數(shù)列前n項(xiàng)和規(guī)律技巧2單一條件口算結(jié)果技巧3公式法口算通項(xiàng)技巧4錯(cuò)位相減法口算結(jié)果技巧5斐波那數(shù)列第五講焦點(diǎn)三角形一、技巧知識(shí)點(diǎn)二、技巧訓(xùn)練技巧1焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)技巧2焦點(diǎn)三角形的面積技巧3焦點(diǎn)三角形的離心率第六講離心率一、技巧知識(shí)點(diǎn)二、技巧訓(xùn)練技巧1焦點(diǎn)三角形中的離心率技巧2點(diǎn)差法中的離心率技巧3漸近線與離心率技巧4焦點(diǎn)弦與離心率第七講點(diǎn)差法一、技巧知識(shí)點(diǎn)二、技巧訓(xùn)練技巧1點(diǎn)差法在橢圓在的應(yīng)用技巧2點(diǎn)差法在雙曲線在的應(yīng)用技巧3點(diǎn)差法在拋物線在的應(yīng)用更多逆襲資料，關(guān)注公眾號(hào)：高中領(lǐng)域外接球與內(nèi)切球一、技巧知識(shí)點(diǎn)二、技巧訓(xùn)練技巧1外接球之墻角模型技巧2外接球之漢堡模型技巧3外接球之斗笠模型技巧4外接球之折疊模型技巧5外接球之切瓜模型技巧6外接球之麻花模型技巧7外接球之矩形模型技巧8內(nèi)切球半徑第九講法向量秒求一、技巧知識(shí)點(diǎn)二、技巧訓(xùn)練第十講導(dǎo)數(shù)一、技巧知識(shí)點(diǎn)二、技巧訓(xùn)練技巧1常見的函數(shù)構(gòu)造技巧2秒殺解導(dǎo)函數(shù)不等式第十講不等式一、技巧知識(shí)點(diǎn)二、技巧訓(xùn)練技巧1配湊法技巧2分類常數(shù)法技巧3對(duì)勾函數(shù)第十一講小專題技巧大集合一、技巧知識(shí)點(diǎn)二、技巧訓(xùn)練技巧1集合點(diǎn)元素技巧2特征與全稱量詞技巧3穿根引線解不等式技巧4復(fù)數(shù)的幾何意義幾何化函數(shù)相關(guān)技巧一、技巧知識(shí)點(diǎn)分式函數(shù)求值域分子分母為同類型函數(shù)（一）注意事項(xiàng)求值域前先求定義域，如果給出區(qū)間則不用求定義域幾個(gè)極限值（二）模式二.奇偶性常見函數(shù)的奇偶性（前提定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱）

有對(duì)稱軸函數(shù)解不等式或比較大小比較的是兩個(gè)自變量與對(duì)稱軸距離的遠(yuǎn)近當(dāng)函數(shù)的對(duì)稱軸為x=a，則f(x1)>f(x2)當(dāng)函數(shù)的先增后減時(shí)，當(dāng)函數(shù)的先減后增時(shí)，奇偶性的運(yùn)算同性相加減的同性，異性相加減為非奇非偶同性乘除為偶函數(shù)，異性乘除為奇函數(shù)函數(shù)模型為f(x)=g(x)+k，其中g(shù)(x)為奇函數(shù)，所給區(qū)間要關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱f(x)+f(-x)=2k推導(dǎo)：f(x)+f(-x)=g(x)+k+g(-x)+k=g(x)-g(-x)+2k=2kf(x)max+f(x)min=2k推導(dǎo):f(x)max+f(x)min=g(x)max+k+g(x)min+k=2k(奇函數(shù)的最大值與最小值成相反數(shù)）如何找kf(0)=k推導(dǎo):f(0)=g(0)+k=k二、技巧訓(xùn)練技巧1分式函數(shù)求值域【例1】（1）（2020山西省太原市實(shí)驗(yàn)中學(xué)）已知函數(shù)的取值范圍（2）（2020湖南省長(zhǎng)沙市第一中學(xué)）函數(shù)的值域?yàn)??！窘馕觥?，則其值域【，】（2）【常規(guī)法】分離常數(shù)由已知:,.【技巧法】t=x2,t≥0，則函數(shù)y=f(x)=t?1t+1,f(0)=-1,f(∞)=1(取不到，開區(qū)間），

變式1．（2019上海市普陀區(qū)曹楊第二中學(xué)函數(shù)），的值域是______【技巧法】f(0)=32,f(2)=74【常規(guī)法】,因?yàn)?故，故變式2．（2020廣東省東莞市北師大東莞石竹附屬學(xué)校）函數(shù)的值域是【技巧法】t=x2,t≥0，則y=f(x)=?t+2t+2,f(0)=1,f(∞)=-1(取不到，開區(qū)間），即∈，【常規(guī)法】，，則，，即函數(shù)的值域是，變式3.（2020陜西省西安市高新一中）函數(shù)的值域?yàn)開____【技巧法】的定義域?yàn)?，則y≠f(?1)=4【常規(guī)法】由題.因?yàn)榈闹涤驗(yàn)?故的值域?yàn)?故的值域?yàn)?，技?口算奇偶性求參數(shù)【例2】（1）若函數(shù)是偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)（）A． B．0 C．1 D．（2）已知是奇函數(shù)，且實(shí)數(shù)滿足，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【解析】（1）【技巧法】因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，正弦為奇函數(shù)，所以對(duì)數(shù)為奇函數(shù)，根據(jù)常見函數(shù)可知【常規(guī)法】因?yàn)槭桥己瘮?shù)，是奇函數(shù)，所以是奇函數(shù)，所以，所以，所以，所以，所以，選C.（2）因?yàn)槭嵌x域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，所以，可得，此時(shí)，易知在上為減函數(shù).又因?yàn)?，所以，所?選D.變式1．（2020·沙坪壩·重慶南開中學(xué)高三月考（理））已知函數(shù)，則不等式的解集為（）A． B． C． D．【技巧法】根據(jù)常見奇偶性函數(shù)可知f(x)為偶函數(shù)，根據(jù)對(duì)勾函數(shù)已知二次函數(shù)可知x>0函數(shù)為單調(diào)遞增，則x<0函數(shù)為單調(diào)遞減，，即，解得，選D.【常規(guī)法】設(shè)，由，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，所以為偶函數(shù).由可知，，即，解得，選D.

變式2．（2020·河北桃城·衡水中學(xué)高三其他（文））若函數(shù)，則不等式的解集為（）A． B． C． D．【技巧法】根據(jù)常見函數(shù)可知f(x)為奇函數(shù)求為單調(diào)遞增則可化為所以原不等式等價(jià)于不等式.①當(dāng)時(shí)，可化為，所以；②當(dāng)時(shí)，可化為，所以.綜上，原不等式的解集為.【常規(guī)法】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，且滿足，所以為上的奇函數(shù)，則可化為，因?yàn)楹愠闪?，所以為上的增函?shù).所以原不等式等價(jià)于不等式.①當(dāng)時(shí)，可化為，所以；②當(dāng)時(shí)，可化為，所以.綜上，原不等式的解集為.選A.變式3．（2020·河南羅山·高三月考（理））已知函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，且f(x)在(－∞，0]上單調(diào)遞減，則滿足的實(shí)數(shù)x的取值范圍是（）A．B．C．D．【解析】由題意是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，∴不等式可變?yōu)?，∴，解得．選B．技巧3形如f(x)=奇函數(shù)+常數(shù)【例3】（1）（2020·河南平頂山·高三月考（文））已知函數(shù)，若，則（） B． C．1 D．2（2）（2019秋?市中區(qū)校級(jí)月考）已知，，，若的最大值為，的最小值為，則等于A．0 B．2 C． D．（3）（2020·五華·云南師大附中高三月考（文））已知函數(shù)，則（）A．2019 B．2020 C．4038 D．4040【解析】（1）因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，∴.選C（2）函數(shù)為奇函數(shù)，，即，即．選（3）所以.選C變式1．（2019秋?椒江區(qū)校級(jí)期中）已知函數(shù)的最大值為，最小值為，則的值等于A．2 B．4 C． D．【解析】設(shè)，則是奇函數(shù)的最大值和最小值互為相反數(shù)，且的最大值為，最小值為，選

變式2．（2021·寧夏銀川二十四中高三月考）若，且，則（）A． B． C． D．【解析】設(shè)，則，所以，則，所以.選B.變式3．已知函數(shù)f（x）=In（x+）+1，若實(shí)數(shù)a滿足f（-a）=2，則f（a）等于（）A．1 B．0 C． D．【解析】∵函數(shù)f（x）=In（x+）+1，實(shí)數(shù)a滿足f（-a）=2，∴，∴，∴=-1+1=0．選B．變式4．已知函數(shù)，則（）A．2019 B．2020 C．4038 D．4040【解析】，令，則，所以為奇函數(shù)，所以關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，則關(guān)于成中心對(duì)稱，則，，選C變式5．已知函數(shù)，則（）A．2 B．0 C． D．【解析】設(shè)則所以，即為奇函數(shù)，所以所以．選D鞏固1．（2019江蘇省鹽城市）函數(shù)的值域?yàn)開_____．【技巧法】t=x2,t≥0則f(t)=3t+2018t+1,f(0)=2018,f(∞鞏固2．函數(shù)的值域是______．【技巧法】【常規(guī)法】由題知因?yàn)?所以，所以,則，因此鞏固3．（2020黑龍江省哈爾濱師范大學(xué)附中）函數(shù)的值域?yàn)開_______.【技巧法】令，則故【常規(guī)法】令，則，故由于，∴，∴，即函數(shù)的值域?yàn)殪柟?．（2020·江西省信豐中學(xué)高三月考（文））已知函數(shù)，且，則函數(shù)的值是A． B． C． D．【技巧法】，令，得，解得，【常規(guī)法】，令，其中，所以函數(shù)為奇函數(shù)，即，可得，令，得，解得鞏固5．（2020·山西大同·高三月考（文））設(shè)函數(shù)的最大值為5，則的最小值為【技巧法】f(x)max+f(X)min=6,則f(x)的最小值為1【常規(guī)法】由題可知，，設(shè)，其定義域?yàn)椋?，即，由于，即，所以是奇函?shù)，而，由題可知，函數(shù)的最大值為5，則函數(shù)的最大值為：5-3=2，由于是奇函數(shù)，得的最小值為-2，所以的最小值為：-2+3=1..鞏固6（2020·廣東霞山·湛江二十一中高三月考）已知函數(shù)的最大值為M，最小值為m，則【技巧法】f(x)max+f(X)min=4【常規(guī)法】設(shè)，因?yàn)?，所以為奇函?shù)，則的最大值為，最小值為，由奇函數(shù)對(duì)稱性知，兩者相加為0，即，∴.鞏固7．（2019·杏花嶺·山西實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三月考）已知函數(shù)，其中為函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，則【解析】令，則有因?yàn)榈亩x域是R，所以是奇函數(shù)，所以是偶函數(shù)所以，所以選A鞏固8．（2019·山東任城·濟(jì)寧一中高三月考）設(shè)函數(shù)，若，.【解析】因?yàn)?，所以因此函?shù)為奇函數(shù)，又，所以鞏固9．（2019·湖南婁底·高三期末（文））已知函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，則的值為.【解析】函數(shù)，，，.鞏固10．（2019秋?渝中區(qū)校級(jí)月考）已知，則在區(qū)間，上的最大值最小值之和為.【技巧法】f(0)=1,則最大值和最小值的和為2【常規(guī)法】由令，可得是奇函數(shù)，可得區(qū)間，上的最大值最小值之和為0．那么在區(qū)間，上的最大值為，最小值為；在區(qū)間，上的最大值最小值之和為2．．鞏固11（2020秋?廣東月考）已知函數(shù)在，上的最大值為，最小值為，則）【技巧法】所給區(qū)間不管原點(diǎn)對(duì)稱需要換元，令t=x-1,則t∈f(t)=(t2-1)sint+t+1t,f(0)=1,則f(x)的最大和最小值為2k【常規(guī)法】由令，，上，可得，；那么轉(zhuǎn)化為由于是奇函數(shù)可得，，的最大值與最小值之和為0，那么的最大值與最小值之和為2．．鞏固12．（2019秋?寧波期中）已知函數(shù)的最大值為，最小值為，則【解析】，令，則，即為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，，，且，，則．鞏固13．（2020·陜西西安·高三月考（理））已知：，：函數(shù)為奇函數(shù)，則是成立的（）．A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【技巧法】根據(jù)常見函數(shù)可知【常規(guī)法】當(dāng)時(shí)，，即有，故有即為奇函數(shù)：當(dāng)為奇函數(shù)時(shí)，有，即，有：∴綜上，知：，選C

鞏固14．設(shè)函數(shù)，則使得成立的的取值范圍是【解析】，所以，為上的偶函數(shù)又，當(dāng)時(shí)，，故在上為增函數(shù)因，由得到故，或鞏固15．已知函數(shù)是奇函數(shù)，則的值等于【技巧法】可知當(dāng)時(shí)，函數(shù)的解析式為：，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的解析式為：，綜上可得：的值等于或3【常規(guī)法】函數(shù)為奇函數(shù)，則：，即：恒成立整理可得：，即恒成立，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的解析式為：，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的解析式為：，綜上可得：的值等于或3

鞏固16．若函數(shù)為奇函數(shù),則=【解析】由函數(shù)f（x）為奇函可得，f（﹣x）=﹣f（x）∴=∴﹣5x（4x﹣3）（x+a）=﹣5x（4x+3）（x﹣a）∴（4a﹣3）x2=0∴4a﹣3=0即a=鞏固17.若函數(shù)是奇函數(shù)，則【解析】技巧法:由常見函數(shù)可知a=0【常規(guī)法】由得，∴，∴鞏固18.已知函數(shù)為偶函數(shù)，則【技巧法】由常見函數(shù)可知所以【常規(guī)法】由題意，函數(shù)為偶函數(shù)，又由函數(shù)為奇函數(shù)所以函數(shù)為奇函數(shù)，則，得所以，得，所以

第二講平面向量一、技巧知識(shí)點(diǎn)一：奔馳定理1：奔馳定理內(nèi)容三角形的面積比等于其所對(duì)應(yīng)的系數(shù)比已知是內(nèi)的一點(diǎn)，的面積分別為，，，求證：2.推導(dǎo)過程證明方法一：如圖延長(zhǎng)與邊相交于點(diǎn)則推論是內(nèi)的一點(diǎn)，且，則二.極化恒等式2.推導(dǎo)過程：三角形的四心1.推論重心：中線的交點(diǎn)，①是的重心②中線長(zhǎng)度分成2：1③=內(nèi)心：角平分線的交點(diǎn)（內(nèi)切圓的圓心），角平分線上的任意點(diǎn)到角兩邊的距離相等是的內(nèi)心②外心：①是的外心②垂心：高線的交點(diǎn)，高線與對(duì)應(yīng)邊垂直①是的垂心:證明：如圖為三角形的垂心，同理得，②由，得，即，所以．同理可證，．二、技巧訓(xùn)練技巧1奔馳定理【例1】是內(nèi)一點(diǎn)，滿足，則（）A． B． C． D．【技巧法】公共點(diǎn)P，三角形ABC，則【常規(guī)法】是內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，延長(zhǎng)到，使得，延長(zhǎng)到，使得連結(jié)、、，則是的重心，設(shè)，則，，．選技巧法注意事項(xiàng)技巧法注意事項(xiàng)條件一般是3個(gè)同起點(diǎn)的向量相加減且等于零向量，若系數(shù)有正有負(fù)則公共點(diǎn)在三角形外，系數(shù)都為正則公共點(diǎn)在三角形內(nèi)三角形所對(duì)應(yīng)的向量的找法圖像法：三角形頂上的向量頂點(diǎn)法：公共點(diǎn)即起點(diǎn)，剩余3點(diǎn)構(gòu)成三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的向量?jī)蓚€(gè)點(diǎn)其中一個(gè)點(diǎn)為公共點(diǎn)，另外一點(diǎn)則是三角形的頂點(diǎn)。變式1.已知所在平面內(nèi)一點(diǎn)，滿足，則與的面積的比值為（）A． B． C． D．【技巧法】,所以,即公共點(diǎn)為P，三角形ABC，則所對(duì)應(yīng)的向量，其系數(shù)為2，為整個(gè)三角形，其所對(duì)應(yīng)的系數(shù)為三個(gè)向量的系數(shù),6，所以面積比為【常規(guī)法】如圖所示,,所以,即,所以,設(shè)和的中點(diǎn)分別為,則由可得,即,即點(diǎn)是的中位線上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn),所以,選:C變式2.（廣東省深圳外國(guó)語(yǔ)學(xué)校2020）點(diǎn)是所在平面上一點(diǎn)，若，則與的面積之比是（）A．3 B．2 C． D．【技巧法】公共點(diǎn)為A，三角形為PCB，則與對(duì)應(yīng)的向量為，則與的面積之比為【常規(guī)法】點(diǎn)是所在平面上一點(diǎn)，過作，如下圖所示：由，故，所以與的面積之比為，選D．變式3.已知點(diǎn)O是內(nèi)一點(diǎn)，滿足，，則實(shí)數(shù)m為（）A．2 B．-2 C．4 D．-4【技巧法】，【常規(guī)法】由得：設(shè)，則，三點(diǎn)共線如下圖所示：與反向共線本題正確選項(xiàng)：

技巧2三角形的四心【例1】點(diǎn)O是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，滿足，則點(diǎn)O是的__________心．【解析】，即同理可得：，點(diǎn)為的垂心本題正確結(jié)果：垂【例2】在中，設(shè)，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡必通過的（）A．垂心 B．內(nèi)心 C．重心 D．外心【解析】設(shè)為中點(diǎn)，則，為的垂直平分線軌跡必過的外心本題正確選項(xiàng)：變式1.（河北省保定市）過內(nèi)一點(diǎn)任作一條直線，再分別過頂點(diǎn)作的垂線，垂足分別為，若恒成立，則點(diǎn)是的（）A．垂心 B．重心 C．外心 D．內(nèi)心【解析】本題采用特殊位置法較為簡(jiǎn)單.因?yàn)檫^內(nèi)一點(diǎn)任作一條直線，可將此直線特殊為過點(diǎn)A，則，有.如圖：則有直線AM經(jīng)過BC的中點(diǎn)，同理可得直線BM經(jīng)過AC的中點(diǎn)，直線CM經(jīng)過AB的中點(diǎn)，所以點(diǎn)是的重心，選B.變式2．（遼寧朝陽(yáng)柳城高中）設(shè)點(diǎn)P是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，，則點(diǎn)P是△ABCA．內(nèi)心 B．外心 C．重心 D．垂心【解析】由于點(diǎn)P是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，同理可知,則說明點(diǎn)P是三角形ACB的垂心，選D.變式3．設(shè)點(diǎn)O是三角形ABC所在平面上一點(diǎn)，若，則點(diǎn)O是三角形ABC的______心．【解析】由可得點(diǎn)到三角形各頂點(diǎn)的距離相等，所以點(diǎn)是三角形的外心故答案為外心.變式4．設(shè)是平面內(nèi)一定點(diǎn)，為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，若，則為的（）A．內(nèi)心 B．外心 C．重心 D．垂心【解析】若可得，即為即有，則，故O為的外心，選B.

技巧3極化恒等式【例3】（1）（2020福建省南平市）在中，若，邊上中線長(zhǎng)為3，則（）A．-7 B．7 C．-28 D．28（2）（2020屆河南省八市重點(diǎn)高中聯(lián)盟領(lǐng)軍）在中，，點(diǎn)在上，且，若，則的值是（）A． B． C． D．【解析】（1）在中，設(shè)的中點(diǎn)為，則.由題意知：.則選A.（2）如圖，設(shè)的中點(diǎn)為.因?yàn)?因?yàn)?，所?又因?yàn)?，所以，，所?選A.

變式1.（2018?天津）如圖，在平面四邊形中，，，，．若點(diǎn)為邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為A． B． C． D．3【解析】如圖所示，以為原點(diǎn)，以所在的直線為軸，以所在的直線為軸，過點(diǎn)做軸，過點(diǎn)做軸，，，，，，，，，，，，，，，設(shè)，，，，，，當(dāng)時(shí)，取得最小值為，選．變式2.已知是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，為平面內(nèi)一點(diǎn)，則的最小值是【解析】則A（0，2），B（﹣2，0），C（2，0），設(shè)P（x，y），則=（﹣x，2﹣y），=（﹣2﹣x，﹣y），=（2﹣x，﹣y），所以?（+）=﹣x?（﹣2x）+（2﹣y）?（﹣2y）=2x2﹣4y+2y2=2[x2+（y﹣）2﹣3]所以當(dāng)x=0，y=時(shí)，?（+）取得最小值為2×（﹣3）=﹣6變式3．已知等邊△ABC內(nèi)接于圓：x2+y2=1，且P是圓τ上一點(diǎn)，則的最大值是【解析】如圖所示建立直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)，則當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立

鞏固1．（2020上海市控江中學(xué)）點(diǎn)在△內(nèi)部，且滿足，則△的面積與△、△面積之和的比為________【技巧法】由奔馳定理可得【常規(guī)法】作，則，以為鄰邊作平行四邊形，連接，交于，如圖所示：，根據(jù)與相似得：，，，，的面積與、面積之和的比為鞏固2．已知點(diǎn)P在△ABC所在的平面內(nèi)，若2＋3＋4＝3，則△PAB與△PBC的面積的比值為__________．【解析】由2＋3＋4＝3，得2＋4＝3＋3，∴2＋4＝3，即4＝5.∴鞏固3．（2020屆山西省太原市第五中學(xué)校）設(shè)點(diǎn)在的外部，且，則?！炯记煞ā坑斜捡Y定理可得3:1【常規(guī)法】連接并延長(zhǎng)至，滿足，連接并延長(zhǎng)至，滿足，連接并延長(zhǎng)至，滿足，如圖所示.所以可得，，.因?yàn)?，所以，即為的重心，所以可得，因?yàn)?，所以而所以，同理，，所以，所?鞏固4．(2020·哈爾濱三模)已知O為正三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，若△OAB的面積與△OAC的面積比值為3，則λ的值為?！窘馕觥吭O(shè)AC、BC邊的中點(diǎn)為E、F，則由，得∴點(diǎn)O在中位線EF上，∵△OAB的面積與△OAC的面積比值為3，∴點(diǎn)O為EF上靠近E的三等分點(diǎn)，∴λ＝鞏固5．設(shè)點(diǎn)是的重心，且滿足，則【解析】因?yàn)辄c(diǎn)是的重心，所以,因?yàn)?由正弦定理可得,所以,即,故,則,則由余弦定理可得.

鞏固6．若在△中,，其外接圓圓心滿足，則__________.【解析】由，得為△的重心，又為外接圓圓心，所以可得△為等邊三角形，故.鞏固7．已知是銳角的外心，．若，則實(shí)數(shù)______．【解析】設(shè)外接圓的半徑為，∵，∴∵，，∴即，即故，故，故鞏固8．（2020湖北省重點(diǎn)高中聯(lián)考協(xié)作）已知是平面上一定點(diǎn)，滿足，，，則的軌跡一定通過的（外心 、垂心、重心、內(nèi)心）【技巧法】由四心可知為垂心【常規(guī)法】，，即，，，，∴與垂直，即，點(diǎn)P在BC的高線上，即P的軌跡過的垂心.選B鞏固9．已知O，N，P在所在平面內(nèi)，且，，且，則點(diǎn)O，N，P依次是的（填三角形的四心）【解析】由題：，所以O(shè)是外接圓的圓心，取中點(diǎn)，，，即所在直線經(jīng)過中點(diǎn)，與中線共線，同理可得分別與邊的中線共線，即N是三角形三條中線交點(diǎn)，即重心，，，，，即，同理可得，即P是三角形的垂心.鞏固10．（2020河南省八市重點(diǎn)高中聯(lián)盟）已知是半徑為1的圓的一條直徑，點(diǎn)是圓上一動(dòng)點(diǎn)，則的最大值等于?！窘馕觥?，當(dāng)為圓直徑時(shí)取等號(hào)，鞏固11．（2020屆江蘇省無(wú)錫市）正方形的邊長(zhǎng)為2，圓內(nèi)切于正方形，為圓的一條動(dòng)直徑，點(diǎn)為正方形邊界上任一點(diǎn)，則的取值范圍是______.【解析】由題可得：，

鞏固12．（2020屆江蘇省蘇州市張家港市）已知正方形的邊長(zhǎng)為4，是的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在正方形的內(nèi)部或其邊界移動(dòng)，并且滿足，則的最小值是______．【解析】如圖所示，由，則動(dòng)點(diǎn)在以為直徑的半圓上，取的中點(diǎn)所以又動(dòng)點(diǎn)在以為直徑的半圓上，設(shè)圓心為，半徑為1.所以的最小值為，所以．鞏固13．如圖所示，在中，，則的最小值是__________【解析】.設(shè),易得，故,因?yàn)?.故當(dāng)且僅當(dāng)反向時(shí)取得最小值,為

鞏固14．（2020屆浙江省湖州市）正方形的邊長(zhǎng)為2，，分別為，的中點(diǎn)，點(diǎn)是以為圓心，為半徑的圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在正方形的邊上運(yùn)動(dòng)，則PM?PN的最小值是______.【解析】易得,,當(dāng)且僅當(dāng)同向時(shí)取等號(hào).即考慮的最小值即可.當(dāng)與重合時(shí),.當(dāng)與不重合時(shí)，設(shè)夾角為,由圖易得當(dāng)在上時(shí)取最小值為,當(dāng)在時(shí),取最大值為,故,利用向量模長(zhǎng)不等式有,且兩次“”不能同時(shí)取“=”.故此時(shí).綜上所述,的最小值是

解三角形一、技巧知識(shí)點(diǎn)射影內(nèi)容中線定理1.中線定理推導(dǎo)由2AD=AB+AC得24AD2=AB2+AC2+2AB?AC=|AB|22.三角形面積由2AD=AB+AC得24AD2=AB2+AC2+2AB?AC=|AB|2≥2bc+2bccosA=2bc（1+cosAbc≤2|AD|2S?ABCmax=12bcsin3.三角形的周長(zhǎng)角平分線定理角平分線上的點(diǎn)到兩邊的距離相等三角形一個(gè)角的角平分線,這個(gè)角平分線其對(duì)邊所成兩條線段與這個(gè)角兩鄰邊成比例即二、技巧訓(xùn)練技巧一三角形的射影定理【例1】（2017?新課標(biāo)Ⅱ）的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，若，則．【技巧法】由射影定理可得，，，故答案為：【常規(guī)法】，由正弦定理可得，，，，，變式1.（2020?青島模擬）在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別是，，，若，且，則B=【技巧法】由射影定理可得，因?yàn)椋瑒t．【常規(guī)法】因?yàn)?，由正弦定理可得，，因?yàn)椋?，所以，因?yàn)?，則．變式2（2020?安徽模擬）在中，角，，的對(duì)邊分別為，，．若，，，則的面積為?！炯记煞ā坑缮溆岸ɡ砜傻?，，得．，解得．則的面積．【常規(guī)法】，，，即，，解得，，解得．，解得，則的面積．變式3（2020?南充模擬）的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，若，則內(nèi)角C=?！炯记煞ā坑缮溆岸ɡ砜傻霉?，又，所以．【常規(guī)法】由正弦定理得：，即，即，由于，故，又，所以技巧2三角形的中線定理【例2】（2020·梅河口市第五中學(xué)高三（理））在中，，已知邊上的中線，則面積的最大值為__________．【技巧法】【常規(guī)法】在△ABC中，，BC邊上的中線AD=3，，設(shè)AB＝c，AC＝b平方可得9＝化簡(jiǎn)可得，，∴bc≤36，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立故△ABC的面積S＝變式1．（2020·廣東高三月考（理））在中，，已知BC邊上的中線，則面積的最大值為______【技巧法】【常規(guī)法】中，，邊上的中線長(zhǎng)為3，設(shè)，平方可得：化簡(jiǎn)可得，可得：，故的面積

變式2．（2020·全國(guó)）在銳角三角形中，角、、的對(duì)邊分別為、、，向量，，且.（1）求角；（2）若，且的面積為，求邊上的中線的大小.【解析】（1）因?yàn)?，，，所以，由正弦定理?因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)椋?；?）因?yàn)榈拿娣e為，所以，因?yàn)?，，所?在中，為的中點(diǎn)，，由余弦定理得.所以.技巧3角平分線的定理【例3】（2020·梅河口市第五中學(xué)）已知中，．是的角平分線，交于．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的長(zhǎng)．【解析】（Ⅰ）在中，，在中，因?yàn)槭堑慕瞧椒志€，所以（Ⅱ）法一：由題知，所以，所以法二：所以變式1．（2019·江蘇）在中，，，角A的角平分線，則______.【解析】由題意，，，角的角平分線，在中，由正弦定理：，可得，則，所以，那么，則，所以．在中，由正弦定理：，所以.可得

變式2．（2020·梅河口市第五中學(xué)高一期末（文））已知中，是的角平分線，交于.（1）求的值；（2）若，求.【解析】（1）在中，在中，，因?yàn)槭堑慕瞧椒志€，所以（2）設(shè)，則，所以，所以，所以變式3．在中，，，為的內(nèi)角平分線，.（Ⅰ）求的值（Ⅱ）求角的大小【解析】（Ⅰ）在三角形ABD中,由正弦定理得：在三角形ACD中,由正弦定理得：因?yàn)椋á颍┰谌切蜛BD中,由余弦定理得在三角形ACD中,由余弦定理得又解得，又鞏固1.（2020春?上饒?jiān)驴迹┰谥?，角，，的?duì)邊分別是，，，且面積為，若，，則角等于【技巧法】由射影定理可得所以，故，，，，故，則角．【常規(guī)法】因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻?，，即，因?yàn)?，所以，故，，，，故，則角．鞏固2.（2020春?路南區(qū)校級(jí)月考）在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，且．若，的面積為，則b+c=【技巧法】由射影定理可得所以即，所以，，所以，因?yàn)?，由余弦定理可得，，故．【常?guī)法】因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻?，．因?yàn)?，所以即，所以，，所以，因?yàn)?，由余弦定理可得，，故．鞏?．（2019·福建高三（理））已知為等腰三角形，，邊上的中線的長(zhǎng)為7，則的面積為__________．【分析】先設(shè)等腰三角形的腰長(zhǎng)為，進(jìn)而可得底邊的長(zhǎng)，再由余弦定理列出方程，即可求出，從而可得結(jié)果.【解析】設(shè)等腰三角形的腰長(zhǎng)為，因?yàn)?，所以，由余弦定理可得：，，因?yàn)榕c互補(bǔ)，所以，即，解得，所以，所以鞏固4．已知三角形兩邊長(zhǎng)分別為和，第三邊上的中線長(zhǎng)為，則三角形的外接圓半徑為________.【分析】設(shè)AB=1，AC=，AD=1，D為BC邊的中點(diǎn)，BC=2x，則BD=DC=x，由余弦定理求出cos∠ADB，cos∠ADC通過cos∠ADB=﹣cos∠ADC，代入可求BC，則A=90°，外接圓的直徑2R=BC，從而可求結(jié)果．【解析】設(shè)AB=1，AC=，AD=1，D為BC邊的中點(diǎn)，BC=2x，則BD=DC=x△ABD中，由余弦定理可得cos∠ADB=△ADC中，由余弦定理可得，cos∠ADC=因?yàn)閏os∠ADB=﹣cos∠ADC所以=﹣∴x=1∴BC=2∴AB2+AC2=BC2即A=90°∴外接圓的直徑2R=BC=2，從而可得R=1

鞏固5．（2020·浙江省杭州第二中學(xué)高三）中，，，，則邊上的中線長(zhǎng)_______.【解析】設(shè)，，，由余弦定理得：，所以，或（舍去），在中，，由余弦定理得：，所以.故答案為：.鞏固6．在中，，．邊上的中線，則_____．【技巧法】【常規(guī)法】設(shè)，中，，中，，,，解得：，，中，,，鞏固7．（2020·新疆高三月考（理））在中，已知,，BC邊上的中線，則________．【解析】如圖所示，由中線長(zhǎng)定理可得：，由余弦定理得到：，即．聯(lián)立成方程組，解得：，故由，可得．鞏固8．（2019·浙江）若銳角的面積為，則邊上的中線為_________．【技巧法】銳角的面積為，，，則：，解得：，所以：，所以：，解得：．根據(jù)中線定理可得

【常規(guī)法】銳角的面積為，，，則，解得：，所以：，所以：，解得：．在中，利用余弦定理：，在中，利用余弦定理：得：，解得：鞏固9．（2019·遼寧高三（理））已知△，，，是邊上的中線，且，則的長(zhǎng)為__________．【解析】取AB中點(diǎn)E，因?yàn)镈為BC中點(diǎn)，所以,由余弦定理得，即鞏固10．在中，角的平分線長(zhǎng)，角，，則__________．【解析】設(shè)角B的平分線為，由正弦定理得，即，得，，，鞏固11．中，，，的角平分線，則________.【解析】由正弦定理可得，所以．在中，所以，所以在中．又因?yàn)椋裕运裕?，所以鞏?2．（2020·全國(guó)）在中，，的角平分線交于點(diǎn)，若，，則______.【解析】在△ABC中，由余弦定理得.所以.所以.在△ABD中，由正弦定理得.故答案為：.鞏固13．（2020·安徽高三月考（理））在中，已知，，，角的平分線交邊于，則______.【解析】作出圖形，如下圖，分別過點(diǎn)和點(diǎn)作的垂線，垂足為，因?yàn)闉榻堑钠椒志€，，所以，則，，則，又，所以，即

數(shù)列一、技巧知識(shí)點(diǎn)等比數(shù)列前n項(xiàng)和規(guī)律二．單一條件口算結(jié)果實(shí)質(zhì)考查等比或等差中項(xiàng)1.無(wú)論是等差還是等比數(shù)列，如果只知道一個(gè)條件是取法確定具體的數(shù)列，那么可以處理為非0的常數(shù)數(shù)列，因?yàn)榉?的常數(shù)數(shù)列即是等差也是等比數(shù)列。（常數(shù)數(shù)列：每一項(xiàng)都是相同的）三．公式法口算通項(xiàng)an=Sn-Sn-1(n≥2)四．口算錯(cuò)位相減法的結(jié)果五．斐波那數(shù)列黃金分割數(shù)列數(shù)列特點(diǎn)：0112358132134...三個(gè)數(shù)據(jù)為一組，第一數(shù)據(jù)為偶數(shù)，第二、三個(gè)數(shù)據(jù)為奇數(shù)二、技巧訓(xùn)練技巧1等比數(shù)列前n項(xiàng)和規(guī)律【例1】（2020·福建省廈門第六中學(xué)）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和（為常數(shù)），則（）A． B． C．1 D．2【技巧法】【常規(guī)法】∵等比數(shù)列的前項(xiàng)和（為常數(shù)），∴，，成等比數(shù)列，∴，解得或∵時(shí)，是常數(shù)，不成立，故舍去.選C變式1．（2020·安徽含山（理））已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝3n+2+3t，則t＝（）A．1 B．﹣1 C．﹣3 D．﹣9【技巧法】Sn＝3nx9+3t,3t+9=0,t＝﹣3【常規(guī)法】因?yàn)榈缺葦?shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝3n+2+3t，則a1＝S1＝33+3t＝27+3t，a2＝S2﹣S1＝（34+3t）﹣（33+3t）＝54，a3＝S3﹣S2＝（35+3t）﹣（34+3t）＝162，則有（27+3t）×162＝542，解得t＝﹣3，選C.變式2．（2020·安徽屯溪一中）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，則的值為()A． B． C． D．【技巧法】【常規(guī)法】，，，選C.技巧2單一條件口算結(jié)果【例1】（1）（2020·寧夏高三其他（文））為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（）.A．-1 B．0 C．1 D．2（2）（2020·山西省長(zhǎng)治市第二中學(xué)校高三月考（理））已知各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列滿足﹐則的值為（）A． B． C． D．【解析】（1）技巧法：【常規(guī)法】因?yàn)椋?，選B.技巧法：由等比中項(xiàng)的性質(zhì)可得，【常規(guī)法】已知各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列滿足，由等比中項(xiàng)的性質(zhì)可得，，由對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得，選D.【例2】（2020·河南）已知等差數(shù)列，的前項(xiàng)和分別為和，且，則（）A． B． C． D．【技巧法】【常規(guī)法】因?yàn)榈炔顢?shù)列，的前項(xiàng)和分別為和，且，所以可設(shè)，，所以，，所以選A變式1．設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和,若,則A． B． C． D．【解析】，，選A.變式2．（2020·廣東云浮·）在正項(xiàng)等比數(shù)列中，若，則（）．A．5 B．6 C．10 D．11【技巧法】【常規(guī)法】因?yàn)?，且為等比?shù)列，所以，所以.選D.變式3．（2020·浙江寧波）已知數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列是等比數(shù)列，若，，則的值是（）A． B． C． D．【解析】由等差中項(xiàng)的性質(zhì)可得，，由等比中項(xiàng)性質(zhì)得，，.選C.變式4．已知數(shù)列，為等差數(shù)列，其前項(xiàng)和分別為，，，則（）A． B． C． D．2【技巧法】【常規(guī)法】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得，設(shè)，，則，，所以，選D.技巧3公式法口算通項(xiàng)【例3】（2020·南京市秦淮中學(xué)高三其他）已知數(shù)列的前項(xiàng)和，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為______．【技巧法】【常規(guī)法】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，又適合上式，所以變式1．（2020·湖南湘潭·高考模擬（文））已知數(shù)列的前項(xiàng)和公式為，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為___．【技巧法】【常規(guī)法】由題意，可知當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.又因?yàn)椴粷M足，所以.變式2．（2020·山西大同·高三一模（文））已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為___________.【解析】【常規(guī)法】為數(shù)列的前項(xiàng)和，①時(shí)，②①②，得：，數(shù)列的通項(xiàng)公式為.

技巧4錯(cuò)位相減法口算結(jié)果【例4】（2020·江西東湖·南昌二中高三其他（文））已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，點(diǎn)，在函數(shù)的圖象上，數(shù)列滿足，（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【解析】（2）數(shù)列滿足，整理得，即，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列．所以，故．①，②，①②得：，整理得．【常規(guī)法】（1）數(shù)列的前項(xiàng)和為，點(diǎn)，在函數(shù)的圖象上，所以，①當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，②，①②得（首項(xiàng)符合通項(xiàng)）．故．（2）數(shù)列滿足，整理得，即，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列．所以，故．①，②，①②得：，整理得．變式1．（2020·河南高三其他（文））已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）如果數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【解析】（1）數(shù)列的前項(xiàng)和為，且①．所以：②②①得：．（用技巧法口算結(jié)果，減少計(jì)算量）（2）數(shù)列，所以，所以①，②①②得：，整理得：．（用技巧法口算結(jié)果，減少計(jì)算量）變式2．（2019·甘肅天水·高考模擬（文））在正項(xiàng)等比數(shù)列{}中，且成等差數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列{}滿足，求數(shù)列{}的前項(xiàng)和．【解析】（1）設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的公比為(，∵∴，所以∴q＝2，(舍去)所以；（2）∵，∴，①，②①﹣②得＝，∴.（用技巧法口算結(jié)果，減少計(jì)算量）.技巧5斐波那數(shù)列【例5】（2020·吉林前郭爾羅斯縣第五中學(xué)）“斐波那契”數(shù)列是由十三世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家斐波那契發(fā)現(xiàn)的．?dāng)?shù)列中的一系列數(shù)字常被人們稱為神奇數(shù)．具體數(shù)列為：1，1，2，3，5，8，13，…，即從該數(shù)列的第三項(xiàng)開始，每個(gè)數(shù)字都等于前兩個(gè)相鄰數(shù)字之和．已知數(shù)列為“斐波那契”數(shù)列，為數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（）A． B． C． D．【解析】【常規(guī)法】因?yàn)閿?shù)列為“斐波那契”數(shù)列，所以，，所以，，，，，將以上2017個(gè)等式相加可得，，即，所以，所以所以.選C.變式1．（2020·河北高三月考）數(shù)列、、、、、、、、、稱為斐波那契數(shù)列，是意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契于年在他撰寫的《算盤全書》中提出的，該數(shù)列的特點(diǎn)是：從第三項(xiàng)起，每一項(xiàng)都等于它前面兩項(xiàng)的和.在該數(shù)列的前項(xiàng)中，偶數(shù)的個(gè)數(shù)為（）A． B． C． D．【解析】由斐波那契數(shù)列的特點(diǎn)，可得此數(shù)列只有第項(xiàng)為偶數(shù)，由于，所以前項(xiàng)中偶數(shù)的個(gè)數(shù)為．選B.變式2．（2019·福建高三（理））斐波那契螺旋線，也稱“黃金螺旋線”.如圖，矩形是以斐波那契數(shù)為邊長(zhǎng)的正方形拼接而成的，在每個(gè)正方形中作一個(gè)圓心角為的圓弧，這些圓弧所連成的弧線就是斐波那契螺旋線的一部分.在矩形內(nèi)任取一點(diǎn)，該點(diǎn)取自陰影部分的概率為（）A． B． C． D．【解析】由圖可知各正方形的邊長(zhǎng)為：1，1，2，3，5，8，矩形的面積為：陰影部分面積為：所求概率為：，選B

鞏固1．（2020·湖北黃州·黃岡中學(xué)高三其他（理））已知數(shù)列為等差數(shù)列，為其前項(xiàng)和，，則（）A． B． C． D．【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，.選B.鞏固2．（2020·甘肅高三其他（文））已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，則a=（）A．0 B． C． D．1【解析】因?yàn)?，所以，，，，求?選C．鞏固3．（2020·遼源市田家炳高級(jí)中學(xué)校高二期末（理））斐波那契螺旋線，也稱“黃金螺旋線”，是根據(jù)斐波那契數(shù)列1，1，2，3，5，畫出來的螺旋曲線.如圖，白色小圓內(nèi)切于邊長(zhǎng)為1的正方形，黑色曲線就是斐波那契螺旋線，它是依次在以1，2，3，5為邊長(zhǎng)的正方形中畫一個(gè)圓心角為的扇形，將其圓弧連接起來得到的.若在矩形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率是（）A． B． C． D．【解析】因?yàn)榫匦蔚倪呴L(zhǎng)為和5，故矩形面積；又陰影部分的面積為；故在矩形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率.選D.

鞏固4．（2020·安徽高三月考（理））裴波那契數(shù)列（Fibonaccisequence）又稱黃金分割數(shù)列，因?yàn)閿?shù)學(xué)家列昂納多·裴波那契以兔子繁殖為例子引入，故又稱為“兔子數(shù)列”，在數(shù)學(xué)上裴波那契數(shù)列被以下遞推方法定義：數(shù)列滿足：，，現(xiàn)從該數(shù)列的前40項(xiàng)中隨機(jī)抽取一項(xiàng)，則能被3整除的概率是（）A． B． C． D．【解析】裴波那契數(shù)列為：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，觀察發(fā)現(xiàn)前12項(xiàng)中，第4項(xiàng)，第8項(xiàng)，第12項(xiàng)都能被3整除.以此類推前40項(xiàng)中，第4項(xiàng)，第8項(xiàng)，第12項(xiàng)，第16項(xiàng)，第20項(xiàng)，第24項(xiàng)，第28項(xiàng)，第32項(xiàng)，第36項(xiàng)，第40項(xiàng)，共10項(xiàng)，能被3整除.所以能被3整除的概率為.選A鞏固5．（2020·黑龍江哈爾濱市第六中學(xué)校高三（文））意大利數(shù)學(xué)家斐波那契的《算經(jīng)》中記載了一個(gè)有趣的問題：已知一對(duì)兔子每個(gè)月可以生一對(duì)兔子，而一對(duì)兔子出生后在第二個(gè)月就開始生小兔子.假如沒有發(fā)生死亡現(xiàn)象，那么兔子對(duì)數(shù)依次為：，，，，，，，，，，，……，這就是著名的斐波那契數(shù)列，它的遞推公式是，其中，.若從該數(shù)列的前項(xiàng)中隨機(jī)地抽取一個(gè)數(shù)，則這個(gè)數(shù)是偶數(shù)的概率為（）A． B． C． D．【解析】數(shù)列第1個(gè)，第2個(gè)為奇數(shù)，故第3個(gè)為偶數(shù)，第4個(gè)，第5個(gè)為奇數(shù)，第6個(gè)為偶數(shù).根據(jù)規(guī)律：共有偶數(shù)個(gè)，故.選.鞏固6．（2020·江西高三（文））意大利數(shù)學(xué)家斐波那契的《算經(jīng)》中記載了一個(gè)有趣的問題：已知一對(duì)兔子每個(gè)月可以生一對(duì)兔子，而一對(duì)兔子出生后在第二個(gè)月就開始生小兔子.假如沒有發(fā)生死亡現(xiàn)象，那么兔子對(duì)數(shù)依次為：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144……，這就是著名的斐波那契數(shù)列，它的遞推公式是，其中，.若從該數(shù)列的前120項(xiàng)中隨機(jī)地抽取一個(gè)數(shù)，則這個(gè)數(shù)是奇數(shù)的概率為（）A． B． C． D．【解析】由題意可得，該數(shù)列依次每3項(xiàng)中，有2項(xiàng)是奇數(shù)，另外1項(xiàng)是偶數(shù)所以前120項(xiàng)中有80項(xiàng)是奇數(shù)所以這個(gè)數(shù)是奇數(shù)的概率為選B鞏固7．（2020·嘉祥縣第一中學(xué)高三其他）設(shè)數(shù)列，均為等差數(shù)列，它們的前項(xiàng)和分別為，，若，則（）A． B． C． D．【解析】數(shù)列，均為等差數(shù)列，它們的前項(xiàng)和分別為，，，選鞏固8．（2020·合肥一六八中學(xué)高三其他（理））已知數(shù)列為等差數(shù)列，且滿足，則數(shù)列的前11項(xiàng)和為（）A．40 B．45 C．50 D．55【解析】因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，故等價(jià)于，故可得，又根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和性質(zhì).選D.鞏固9．兩等差數(shù)列，的前n項(xiàng)和分別為，，且，則A． B． C． D．2【解析】由等差數(shù)列的前項(xiàng)和，依題意有，所以，所以，選C.鞏固10．(多選）（2020·福建省永泰縣第一中學(xué)高三月考）斐波那契數(shù)列，又稱黃金分割數(shù)列、兔子數(shù)列，是數(shù)學(xué)家列昂多·斐波那契于1202年提出的數(shù)列.斐波那契數(shù)列為1，1，2，3，5，8，13，21，……，此數(shù)列從第3項(xiàng)開始，每一項(xiàng)都等于前兩項(xiàng)之和，記該數(shù)列為，則的通項(xiàng)公式為（）A．B．且C．D．【解析】斐波那契數(shù)列為1，1，2，3，5，8，13，21，……，顯然，，，，，所以且，即B滿足條件；由，所以所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，所以，令，則，所以，所以以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，所以；即C滿足條件；選BC鞏固11．（2020·福建漳州·高三其他（文））若是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且，則__________.【解析】因?yàn)?，所以，解得鞏?2．（2020·陜西渭南·（理））已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n(n+1)+2,其中,則an=_____.【解析】當(dāng)n=1時(shí)，S1=a1=4，當(dāng)n≥2時(shí)，由Sn=n(n+1)+2，①得Sn﹣1=(n﹣1)n+2，②①﹣②，得an=2n，其中n≥2，所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=.鞏固13．（2020·湖北高三月考（理））設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則____【解析】當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，兩式相減可得，即，即，故數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以.鞏固14．（2020·浙江高三其他）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，則____________；數(shù)列的通項(xiàng)公式為____________．【解析】由題意易得，當(dāng)時(shí)，，而，所以鞏固15．（2020·浙江高三月考）十三世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家列昂納多·斐波那契從兔子繁殖規(guī)律中發(fā)現(xiàn)了“斐波那契數(shù)列”，斐波那契數(shù)列滿足以下關(guān)系：，，，記其前項(xiàng)和為，設(shè)(為常數(shù))，則______；______.【解析】因?yàn)殪巢瞧鯏?shù)列滿足，，，∴；；；…；所以，因?yàn)椋柟?6．（2020·陜西西安中學(xué)）斐波那契數(shù)列(Fibonaccisequence)，又稱黃金分割數(shù)列，因數(shù)學(xué)家列昂納多斐波那契(LeonardodaFibonacci)以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數(shù)列”.它是這樣一個(gè)數(shù)列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55……在數(shù)學(xué)上，斐波那契數(shù)列以如下遞推的方法定義：a1=1，a2=1，(n≥3，n∈N*)，記其前n項(xiàng)和為Sn，設(shè)a2019=t(t為常數(shù))，則________(用t表示)，________(用常數(shù)表示).【解析】斐波那契數(shù)列滿足：，，，設(shè)，則：根據(jù)可得，所以，所以鞏固17．（2020·全國(guó)高三其他（理））已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，不適合.綜上所述，；（2）由（1）可得.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，得，上式下式得，滿足，因此，.鞏固18．（2020·河南高二其他（文））設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，得，解得，因此（2）由題意知：，所以，則兩式相減得因此，

焦點(diǎn)三角形一、技巧知識(shí)點(diǎn)一．技巧內(nèi)容橢圓雙曲線圖形周長(zhǎng)2a+2c22離心率二．技巧推導(dǎo)過程1.

2.橢圓中焦點(diǎn)三角形的面積公式橢圓中的離心率4.

5.雙曲線中焦點(diǎn)三角形的面積公式6.雙曲線中的離心率二、技巧訓(xùn)練技巧1焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)【例1】（2020·黑龍江）已知點(diǎn)分別是橢圓的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)在此橢圓上,則的周長(zhǎng)等于（）A．20 B．16 C．18 D．14【解析】根據(jù)橢圓方程可知，根據(jù)橢圓的定義可知，的周長(zhǎng)為選C變式1．（2020·西藏南木林縣第一中學(xué)高三月考）若橢圓（其中a＞b＞0）的離心率為，兩焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，M為橢圓上一點(diǎn)，且△F1F2M的周長(zhǎng)為16，則橢圓C的方程為（）A． B． C． D．【解析】橢圓（其中a＞b＞0）的兩焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，M為橢圓上一點(diǎn)，且△F1F2M的周長(zhǎng)為16，可得2a+2c=16，橢圓（其中a＞b＞0）的離心率為，可得，解得a=5，c=3，則b=4，所以橢圓C的方程為：，選D

變式2．（2019·廣西南寧）定義：橢圓上一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形為橢圓的焦點(diǎn)三角形，已知橢圓的焦距為，焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)為，則橢圓的方程是__________．【解析】設(shè)橢圓的半焦距為，由題意得，，所以，故橢圓的方程是技巧2焦點(diǎn)三角形的面積【例1】（2020·安徽省定遠(yuǎn)中學(xué)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，為橢圓上一點(diǎn)，且，若的面積為9，則__________．【解析】（技巧法）（常規(guī)法）因?yàn)榈拿娣e為9，所以因?yàn)?，所以即，【?】（2020·山西大同）已知、為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，，則的面積為【解析】（技巧法）（常規(guī)法）雙曲線，則，所以，則，平方得，且，由余弦定理，即解得，則變式1．（2020·云南陸良）已知、為雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，∠P=，則（）A．2 B．4 C．6 D．8【解析】（技巧法）（常規(guī)法）由雙曲線的定義得①,又,由余弦定理②，由①2-②得，選B變式2（2020·廣東汕頭）若橢圓上一點(diǎn)P與橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)、的連線互相垂直，則的面積為()A．36 B．16 C．20 D．24【解析】（常規(guī)法）設(shè)則,即,又,選B變式3．（2020·上海普陀·高三三模）設(shè)為雙曲線（）的上一點(diǎn)，，（為左、右焦點(diǎn)），則的面積等于（）A． B． C． D．【解析】（技巧法）（常規(guī)法）雙曲線，則不妨設(shè)是雙曲線的右支上一點(diǎn)，則由雙曲線的定義，得，則,所以所以，即所以，所以，選C技巧3焦點(diǎn)三角形的離心率【例1】設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,是上的點(diǎn),,,則的離心率為【解析】(技巧法），選D。（常規(guī)法）設(shè)，，則，即，，【例2】（2020·河北衡水中學(xué)）已知分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若橢圓上存在點(diǎn)，使，則橢圓的離心率的取值范圍為【解析】（常規(guī)法））由橢圓上存在點(diǎn)，使可得以原點(diǎn)為圓心，以c為半徑的圓與橢圓有公共點(diǎn)，∴，∴，∴∴．由，∴，離心率的范圍為

變式1．（2020·沙坪壩·重慶一中高三月考（理））已知點(diǎn)P在以為左，右焦點(diǎn)的橢圓上，在中，若，，則（）A． B． C． D．【解析】變式2．（2020·安徽合肥·高三二模（文））記，為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，若上存在點(diǎn)滿足，則實(shí)數(shù)取值范圍是()A． B．C． D．【解析】（常規(guī)法）當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，a2＝m，b2＝1，m＞1，由對(duì)稱性可知當(dāng)M為上下頂點(diǎn)時(shí)，∠F1MF2最大，因?yàn)?，∴∠F1MF2，∠F1MO，所以tan∠F1MO1，即1，解得m≥2；當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，a2＝1，b2＝m，0＜m＜1，當(dāng)M為左右頂點(diǎn)時(shí)，∠F1MF2最大，因?yàn)?，∠F1MF2，∠F1MO，所以tan∠F1MO1，即1，解得0＜m，選A．鞏固1．（2020·全國(guó)高三單元測(cè)試）已知F1，F(xiàn)2是橢圓＋＝1的兩焦點(diǎn)，過點(diǎn)F2的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)．在△AF1B中，若有兩邊之和是10，則第三邊的長(zhǎng)度為()A．6 B．5 C．4 D．3【技巧法】△AF1B的周長(zhǎng)公式4a=16,第三邊等于16-10=6【常規(guī)法】因?yàn)楦鶕?jù)已知條件可知，橢圓＋＝1中16>9,說明焦點(diǎn)在x軸上，同時(shí)a=4,b=3,而過點(diǎn)F2的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，則點(diǎn)A到F2，F(xiàn)1的距離和為2a=8,點(diǎn)B到F2，F(xiàn)1的距離和為2a=8，結(jié)合橢圓的定義可知△AF1B的周長(zhǎng)為4a=16.在結(jié)合三角形的周長(zhǎng)公式可知，其中兩邊之和為10，則另一邊的長(zhǎng)度為16-10=6選A.鞏固2．（2020·廣西欽州一中）設(shè)橢圓C：(a>0，b>0)的左?右焦點(diǎn)分別為，，離心率為.P是C上一點(diǎn)，且⊥.若的面積為4，則a=（）A．1 B．2 C．4 D．8【解析】（技巧法）（常規(guī)法），，由橢圓定義，，由⊥得，的面積為4，則，即，，即,解得，即，選C.鞏固3．（2020·河南高三其他（文））橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，橢圓上的點(diǎn)滿足：，且，則（）A．1 B．C． D．2【解析】設(shè)，，則又（1），（2）（1）式平方減去（2）式得：，得：.選C.鞏固4．（2020·黑龍江綏化·高三其他（理））已知對(duì)任意正實(shí)數(shù)m，n，p，q，有如下結(jié)論成立：若，則有成立，現(xiàn)已知橢圓上存在一點(diǎn)P，，為其焦點(diǎn)，在中，，，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．【解析】由題意得：，所以，所以，解得.選C鞏固5．（2020·山西臨汾）已知橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，若上的點(diǎn)到的距離為，則△的面積為（）A． B． C． D．【解析】依題意知，，，所以，因?yàn)椋?，所以，在△中，，因?yàn)?，所以，所以△的面積為.選C.

鞏固6．（2020·陸川中學(xué)）已知，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若橢圓上存在點(diǎn)，使得，則該橢圓的離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．【解析】（常規(guī)法）由題設(shè)可知點(diǎn)在以為直徑端點(diǎn)的圓上，由此可得該圓的半徑，即，也即，故應(yīng)選答案A．鞏固7．（2020·全國(guó)高三一模（文））設(shè)橢圓的兩焦點(diǎn)為，，若橢圓上存在點(diǎn)，使，則橢圓的離心率的最小值為（）A． B． C． D．【解析】當(dāng)是橢圓的上下頂點(diǎn)時(shí)，最大，∴，∴，∴，，，∴，則橢圓的離心率的最小值為，選C.

鞏固8．（2019·江西南昌十中））已知點(diǎn)F1，F(xiàn)2分別是橢圓C1和雙曲線C2的公共焦點(diǎn)，e1，e2分別是C1和C2的離心率，點(diǎn)P為C1和C2的一個(gè)公共點(diǎn)，且，若，則e1的取值范圍是（）A． B． C． D．【解析】設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為,雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)為,焦點(diǎn)坐標(biāo)為，不妨設(shè)P為第一象限的點(diǎn)，做出示意圖如下圖所示，由橢圓與雙曲線的定義得，所以得，又因?yàn)?，由余弦定理得，所以得所以得即，所以，因?yàn)?，所以，，，所以，所以，所以，所以，選D

鞏固9．（2020·伊美區(qū)第二中學(xué)）設(shè)是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn),是雙曲線上的一點(diǎn),且,則的面積等于（）A． B．C．24 D．48【解析】雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為2,焦距為.根據(jù)題意和雙曲線的定義知,所以,,所以,所以.所以，選C鞏固10．（2020·四川青羊·樹德中學(xué)高二月考（文））設(shè)、分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，雙曲線上存在一點(diǎn)使得，，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．【解析】由雙曲線的定義得，又，，即，因此，即，則，解得，（舍去），因此，該雙曲線的離心率為，選B.鞏固11．（2020·吉林松原·高三其他（文））已知點(diǎn)是雙曲線上一點(diǎn)，，分別為雙曲線的左?右焦點(diǎn)，若的外接圓半徑為4，且為銳角，則（）A．15 B．16 C．18 D．20【技巧法】依題意，.在三角形中，，由正弦定理得，即，由于為銳角，所以.【常規(guī)法】依題意，.在三角形中，，由正弦定理得，即，由于為銳角，所以.根據(jù)雙曲線的定義得.在三角形中，由余弦定理得，即，即，即，所以，選B鞏固12．（2020·陜西省丹鳳中學(xué)高三一模（理））設(shè)，分別是雙曲線的左右焦點(diǎn).若點(diǎn)在雙曲線上，且，則等于（）A． B． C． D．【解析】根據(jù)題意，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線上，且，.選D

鞏固13．（2020·陜西高三其他（文））已知雙曲線：（，）的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在雙曲線的右支上，若，則的取值范圍是（）A． B． C． D．因?yàn)?，所以，，，所以，所以的取值范圍?（常規(guī)法）設(shè)，，，則由余弦定理得.又，則，解得，所以.因?yàn)?，所以，，，所以，所以的取值范圍是，選B

鞏固14．（2020·河北張家口·高三期末（理））已知雙曲線的焦點(diǎn)為，，點(diǎn)為雙曲線上一點(diǎn)，若，，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．【解析】設(shè)，，，解得，，選D.鞏固15．（2020·全國(guó)高三一模（理））已知F1，F(xiàn)2是雙曲線E：的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)M在E上，MF1與軸垂直，sin,則E的離心率為（）A． B．C． D．2【解析】由已知可得，選A.鞏固16．（2019·平羅中學(xué)高三二模（理））已知，是雙曲線E：的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)M在E上，與x軸垂直，，則雙曲線E的離心率為A． B． C．2 D．3（常規(guī)法））與x軸垂直，，設(shè)，則，由雙曲線的定義得，即，得，在直角三角形中，，即，即，即，則，則，選A．鞏固17．（2020·陜西西安·高三其他（理））已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)是、，點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，且，則的面積是______.【解析】由橢圓的定義可知，，又，聯(lián)立兩式，可得又，所以，所以是以為直角邊的直角三角形，所以的面積為.鞏固18．（2020·全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)是橢圓上一點(diǎn)，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若，則的大小_____.【解析】橢圓，可得，設(shè)，，可得，化簡(jiǎn)可得：，鞏固19．已知是橢圓的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，且，則的面積為______．【解析】（常規(guī)法）由題意，設(shè)，，則，由余弦定理可得，，又，∴，∴的面積

離心率一、技巧知識(shí)點(diǎn)焦點(diǎn)三角形中的離心率1.橢圓（1）橢圓：設(shè)橢圓焦點(diǎn)三角形兩底角分別為、，則(正弦定理)。2.雙曲線：利用焦點(diǎn)三角形兩底角來表示:。

雙曲線的漸進(jìn)線與離心率關(guān)系直線與雙曲線相交時(shí)，兩個(gè)交點(diǎn)的位置兩個(gè)交點(diǎn)在雙曲線的兩支：兩個(gè)交點(diǎn)在雙曲線的同一支:兩個(gè)交點(diǎn)在雙曲線的左支:兩個(gè)交點(diǎn)在雙曲線的右支:焦點(diǎn)弦與離心率關(guān)系，則有(為直線與焦點(diǎn)所在軸的夾角)。二、技巧訓(xùn)練技巧1焦點(diǎn)三角形中的離心率【例1】(1)．已知，是雙曲線：的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，與軸垂直，，則雙曲線的離心率為（）A．2 B．2 C． D．（2）（2020·安徽省高三三模）已知橢圓：的左右焦點(diǎn)分別為，，若在橢圓上存在點(diǎn)，使得，則橢圓的離心率的取值范圍為（）A． B． C． D．

【解析】（1）不妨設(shè)代入雙曲線方程得，.故答案選：C（2），（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），，由橢圓定義知：，又，，，，又，離心率的取值范圍為.選變式1．（2020·沙坪壩區(qū)·重慶一中高三月考）已知點(diǎn)P在以為左，右焦點(diǎn)的橢圓上，在中，若，，則（）A． B． C． D．【解析】中，所以，選B

變式2．（2020·全國(guó)高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)是以、為焦點(diǎn)的橢圓上一點(diǎn)，若，，則橢圓的離心率（）A． B． C． D．【解析】點(diǎn)是以、為焦點(diǎn)的橢圓上一點(diǎn)，，，，又，得，由勾股定理可得，即，，該橢圓的離心率為，選A變式3．（2019·遼寧沈陽(yáng)市·沈陽(yáng)二中高三月考（理））橢圓的離心率為，、是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，是圓上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（）A． B． C． D．0【解析】橢圓的離心率為，即.，故，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.根據(jù)余弦定理：，選技巧2點(diǎn)差法中的離心率【例2】（1）（2020·四川外國(guó)語(yǔ)大學(xué)附屬外國(guó)語(yǔ)學(xué)校）過點(diǎn)作直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，若是線段的中點(diǎn)，則該橢圓的離心率是（）A． B． C． D．（2）（2020·安徽省潛山第二中學(xué)）已知A，B是橢圓E：的左、右頂點(diǎn)，M是E上不同于A，B的任意一點(diǎn)，若直線AM，BM的斜率之積為，則E的離心率為A． B． C． D．【解析】（1）設(shè)，，由直線的斜率為可得，由線段的中點(diǎn)為可得，，由點(diǎn)在橢圓上可得，作差得，所以，即，所以，所以該橢圓的離心率，選B（2）由題意方程可知，，設(shè),則,，整理得：，①又，得，即，②聯(lián)立①②，得，即，解得，選D變式1．已知雙曲線：，斜率為2的直線與雙曲線相交于點(diǎn)、，且弦中點(diǎn)坐標(biāo)為，則雙曲線的離心率為（）A．2 B． C． D．3【解析】設(shè)、，則，，所以，所以，又弦中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，，又，所以，即，所以雙曲線的離心率，選B.變式2．（2020·全國(guó)高三專題）已知、是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，滿足的點(diǎn)總在橢圓內(nèi)部，則橢圓離心率的取值范圍是（）.A．B．C．D．【解析】∵，∴，∴點(diǎn)在以為直徑的圓上，又點(diǎn)在橢圓內(nèi)部，∴，∴，即，∴，即，又，∴，選B變式3．若，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，是橢圓上一點(diǎn)，當(dāng)，且，則橢圓的離心率為【解析】依題意可知，，，，由橢圓定義可知技巧3漸近線與離心率【例3】已知圓的一條切線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，則雙曲線C的離心率的取值范圍是（）A． B．C． D．【解析】由題意，圓心到直線的距離，解得，圓的一條切線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，所以，所以，所以.選D.變式1．若雙曲線（，）與直線無(wú)公共點(diǎn)，則離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．【解析】若雙曲線與直線無(wú)公共點(diǎn)，等價(jià)為雙曲線的漸近線的斜率，即，即，即，即，則，則，，離心率滿足，即雙曲線離心率的取值范圍是，選A．

變式2．已知雙曲線(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)為F，若過點(diǎn)F且傾斜角為60°的直線l與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則此雙曲線的離心率e的取值范圍是（）A． B．(1,2), C． D．【解析】已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，若過點(diǎn)且傾斜角為的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則該直線的斜率的絕對(duì)值小于等于漸近線的斜率，，離心率，，選變式3．（2020·河南新鄉(xiāng)市·高三）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，過原點(diǎn)作斜率為的直線交的右支于點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為（）A．B．C．D．【解析】題可知，，，，所以，可得.在中，由余弦定理可得，即，解得.雙曲線的離心率為，選D技巧4焦點(diǎn)弦與離心率【例4】（2020·石嘴山市第三中學(xué)高三三模）已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，過作傾斜角為的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，且，則橢圓的離心率=（）A． B． C． D．【解析】橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，過且斜率為的直線為聯(lián)立直線與橢圓方程，消后，化簡(jiǎn)可得因?yàn)橹本€交橢圓于A，B，設(shè)由韋達(dá)定理可得且，可得，代入韋達(dá)定理表達(dá)式可得，即，化簡(jiǎn)可得，所以，選D變式1．（2020·河南省高三月考）傾斜角為的直線經(jīng)過橢圓右焦點(diǎn)，與橢圓交于、兩點(diǎn)，且，則該橢圓的離心率為（）A． B． C． D．【解析】設(shè)到右準(zhǔn)線距離為，則，因?yàn)?，則，所以到右準(zhǔn)線距離為，從而傾斜角為，，選B.

變式2．已知、是雙曲線(，)的左、右焦點(diǎn)，過作雙曲線一條漸近線的垂線，垂足為點(diǎn)，交另一條漸近線于點(diǎn)，且，則該雙曲線的離心率為【解析】（1）當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，設(shè)，由題意可知，，，，則，，，代入得，即，解得，則，（2）當(dāng)時(shí)，設(shè)，，設(shè)，則，，由題意可知，，，，則，，，則，則，代入得，即，解得，則，選B.變式3．（2019·浙江高三其他模擬）已知過雙曲線的右焦點(diǎn)F，且與雙曲線的漸近線平行的直線l交雙曲線于點(diǎn)A，交雙曲線的另一條漸近線于點(diǎn)B（A，B在同一象限內(nèi)），滿足，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．2【解析】雙曲線的漸近線方程為，如圖，不妨設(shè)在第一象限，直線的方程為，與聯(lián)立，得；直線與聯(lián)立，得．由，得，即，得，即，則，選B．鞏固1．已知傾斜角為的直線與雙曲線C：（，）相交于A，B兩點(diǎn)，是弦的中點(diǎn)，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．【解析】因?yàn)閮A斜角為的直線與雙曲線C：（，）相交于A，B兩點(diǎn)，所以直線的斜率，設(shè)，則①②由①②得則因?yàn)槭窍业闹悬c(diǎn)，因?yàn)橹本€的斜率為1即所以，則，選D鞏固2．設(shè)F是雙曲線的右焦點(diǎn).過點(diǎn)F作斜率為-3的直線l與雙曲線左、右支均相交.則雙曲線離心率的取值范圍為（）A． B． C． D．【解析】因?yàn)殡p曲線的兩條漸近線方程為，當(dāng)過點(diǎn)F且斜率為-3的直線l與漸近線平行時(shí).直線l只與雙曲線右支有一個(gè)交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合可知，當(dāng)漸近線的斜率滿足，即時(shí)，直線l與雙曲線左、右支均相交，所以，選C鞏固3．（2019·黑龍江佳木斯市·佳木斯一中高三月考）已知，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，P是此橢圓上一點(diǎn)，若為直角三角形，則這樣的點(diǎn)P有（）.A．2個(gè) B．4個(gè) C．6個(gè) D．8個(gè)【解析】由題意，則，當(dāng)為橢圓短軸頂點(diǎn)時(shí)，，，，即，短軸頂點(diǎn)有2個(gè)，過或作軸垂直與橢圓相交的點(diǎn)在4個(gè)，都是直角三角形，因此共有6個(gè)，選C鞏固4．（2020·廣東廣州市）已知,分別是橢圓的左、右焦點(diǎn),橢圓上存在點(diǎn)使為鈍角,則橢圓的離心率的取值范圍是A． B． C． D．【解析】設(shè)橢圓的上頂點(diǎn)為，則∵橢圓上存在點(diǎn)，使為鈍角,故答案為A鞏固5．（2020·河北石家莊市）已知橢圓，點(diǎn)M,N為長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)，若在橢圓上存在點(diǎn)H，使,則離心率e的取值范圍為A．B．C．D．【解析】由題意設(shè)，則可得：，選A．鞏固6．（2020·全國(guó)高三專題練習(xí)）橢圓C：的左焦點(diǎn)為F，若F關(guān)于直線x＋y＝0的對(duì)稱點(diǎn)A是橢圓C上的點(diǎn)，則橢圓C的離心率為（）A．B．C． D．－1【解析】設(shè)F（－c,0）關(guān)于直線x＋y＝0的對(duì)稱點(diǎn)為A（m，n），則，解得m＝，n，代入橢圓方程可得化簡(jiǎn)可得e4－8e2＋4＝0，又0＜e＜1，解得e＝－1，選D鞏固7．已知橢圓（a>b>0）的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2．P是橢圓上一點(diǎn)．PF1F2為以F2P為底邊的等腰三角形，當(dāng)60°<PF1F2<120°，則該橢圓的離心率的取值范圍是（）A．（） B．（） C．（） D．（0）【解析】由題意可得，即，所以，又，則，所以，則，即，選B鞏固8．（2020·廣東肇慶市）已知橢圓的左右頂點(diǎn)分別為，是橢圓上異于的一點(diǎn)，若直線的斜率與直線的斜率乘積，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．【解析】依題意可知.設(shè)，代入橢圓方程得.代入得，即，與對(duì)比后可得，所以橢圓離心率為.選D.鞏固9．（2020·全國(guó)高三專題練習(xí)）已知雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為，，焦距為2c，直線與雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)M滿足，則雙曲線的離心率為（）A． B． C．2 D．【解析】由題意，直線過左焦點(diǎn)且傾斜角為60°，∴，，∴，即∴，∴，雙曲線定義有，∴離心率.鞏固10．（2020·全國(guó)）若、為橢圓：()長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)，垂直于軸的直線與橢圓交于點(diǎn)、，且，則橢圓的離心率為______【解析】設(shè)、，因?yàn)?，，所以，所以，所?鞏固11．（2020·全國(guó)高三專題練習(xí)）已知橢圓的離心率為，過右焦點(diǎn)作傾斜角60°的直線交于，兩點(diǎn)（A在第一象限），則________.【解析】因?yàn)殡x心率為，所以,設(shè)直線的方程代入橢圓方程：，得又∵點(diǎn)在第一象限，故，所以鞏固12．（2020·全國(guó)高三專題練習(xí)）設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，若在雙曲線的右支上存在一點(diǎn)，使得，則雙曲線的離心率的取值范圍是____.【解析】由雙曲線的定義可得，又，則，，所以，.因此，雙曲線的離心率的取值范圍是.鞏固13．（2020·臺(tái)州市書生中學(xué)高三其他）已知橢圓，，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，是橢圓的下頂點(diǎn)，直線交橢圓于另一點(diǎn)，若，則橢圓的離心率為【解析】如圖，點(diǎn)在橢圓上，所以，由，代入上式得，在，，又，所以，即，

鞏固14．（2020·開魯縣第一中學(xué)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，是橢圓上一點(diǎn)，是以為底邊的等腰三角形，若，則該橢圓的離心率的取值范圍是【解析】由題意可得

PF2=F1F2=2c，再由橢圓的定義可得PF1=2a-PF2=2a-2c．設(shè)∠PF2F1=，則，△PF1F2中，由余弦定理可得

cos=由-1＜cosθ

可得3e2+2e-1＞0，e＞，由cosθ＜，可得2ac＜a2，e=綜上鞏固15．（2020·四川省綿陽(yáng)南山中學(xué)高三）設(shè)，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，過的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，且，，則橢圓的離心率為【解析】設(shè)，則由橢圓的定義，可以得到,在中，有，解得，在中，有，整理得，

鞏固16．（2020·河北省高三）已知橢圓，，，過點(diǎn)的直線與橢圓交于，，過點(diǎn)的直線與橢圓交于，，且滿足，設(shè)和的中點(diǎn)分別為，，若四邊形為矩形，且面積為，則該橢圓的離心率為【解析】如圖，不妨設(shè)，兩條直線的斜率大于零時(shí)，連結(jié)，由題意知，解得，，或，（舍），，在中，因?yàn)椋?，故此時(shí)，．設(shè)，，則，兩式相減得，即，即，因此離心率，所以．

鞏固17．（2020·廣東省高三月考）已知是橢圓：的左焦點(diǎn)，經(jīng)過原點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，若，且，則橢圓的離心率為【解析】設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)，連接，，根據(jù)橢圓對(duì)稱性可知四邊形為平行四邊形，則，且由，可得，所以，則，由余弦定理可得，即，∴橢圓的離心率，

點(diǎn)差法一、技巧知識(shí)點(diǎn)點(diǎn)差法適用范圍中點(diǎn)弦圓錐曲線有三點(diǎn)P、A、B且A、B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱2.點(diǎn)差法在中點(diǎn)弦中推導(dǎo)過程3點(diǎn)差法在對(duì)稱中的推導(dǎo)過程4.點(diǎn)差法在圓錐曲線中的結(jié)論【小結(jié)】小題可以直接利用結(jié)論解題，解答題需要寫推導(dǎo)過程

二、技巧訓(xùn)練技巧1點(diǎn)差法在橢圓在的應(yīng)用【例1】（1）（2020·全國(guó)高三專題練習(xí)）直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，若中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則=（）A． B． C． D．(2)2．（2020·高密市教育科學(xué)研究院高三其他模擬）已知橢圓的右焦點(diǎn)為F(3,0)，過點(diǎn)F的直線交橢圓于A,B兩點(diǎn).若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-1），則G的方程為（）A． B． C． D．（3）．（2020·黑龍江哈爾濱市·哈九中高三三模（文））已知斜率為的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，直線（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的斜率為，則（）A． B． C． D．（4）．（2020·全國(guó)高三專題練習(xí)）已知橢圓與直線交于A，B兩點(diǎn)，過原點(diǎn)與線段AB中點(diǎn)所在的直線的斜率為，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．【解析】（1）設(shè)把代入得，，因?yàn)橹悬c(diǎn)的橫坐標(biāo)為，所以，解得.選:C（2）設(shè)，則，兩式相減并化簡(jiǎn)得，即,由于且，由此可解得，故橢圓的方程為.選D.（3）設(shè)，，的中點(diǎn)，則，.因?yàn)?，兩點(diǎn)在橢圓上，所以，.兩式相減得：，，，，即，解得.選B（4）設(shè)，，中點(diǎn)坐標(biāo)，代入橢圓方程中，得到，，兩式子相減得到，，結(jié)合，，，且，代入上面式子得到，，選B.

變式1．（2020·廣東珠海市·高三一模）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，離心率，過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，若中點(diǎn)為，則直線的斜率為（）A．2 B． C． D．【解析】由題得.設(shè)，由題得，所以，兩式相減得，所以，所以，所以，選C變式2．（2020·安徽安慶市·高三其他模擬）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，若的中點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-1），則橢圓的方程為（）A． B． C． D．【解析】設(shè)，，所以，相減得，∴，即，又∵，，所以，即，解得，又，∴．即橢圓的方程為.選A．變式3．（2020·全國(guó)高三專題練習(xí)）橢圓與直線交于兩點(diǎn)，過原點(diǎn)與線段中點(diǎn)的直線的斜率為，則的值為（）A． B． C． D．【解析】設(shè)，，由題知：，.設(shè)線段中點(diǎn)為，則.將代入得到.因?yàn)?，故，選B變式4．（2019·北大附中深圳南山分校高三）已知橢圓，作傾斜角為的直線交橢圓于兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為為坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線的斜率為，則（）A． B． C． D．【解析】設(shè)，則，，兩式相減，得，兩點(diǎn)直線的傾斜角為，，即，①直線的斜率為②由①②可得得．選B．變式5．（2020·湖南長(zhǎng)沙市·瀏陽(yáng)一中高三）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)F的直線交E于A、B兩點(diǎn)．若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則橢圓E的離心率為（）A． B． C． D．【解析】令A(yù)B的中點(diǎn)為M，坐標(biāo)為，則，因?yàn)锳、B兩點(diǎn)是直線與橢圓的交點(diǎn)，且焦點(diǎn)在x軸，所以則，選B技巧2點(diǎn)差法在雙曲線在的應(yīng)用【例2】（1）（2020·全國(guó)高三專題練習(xí)）已知雙曲線E