二輪復(fù)習(xí)3：阿氏圓反演變換秒殺

第第頁(yè)中考二輪復(fù)習(xí)03：阿氏圓反演變換秒殺反演變換：若有兩個(gè)點(diǎn)在圓心同側(cè)，與圓心三點(diǎn)共線，且到圓心O之距離的乘積，等于半徑r的平方，則稱(chēng)它們互為反演點(diǎn)，O稱(chēng)為反演中心，r稱(chēng)為反演半徑．從A變到B或從B變到A的變換，稱(chēng)為反演變換．①反演變換求坐標(biāo)本題的思考：①反演點(diǎn)成對(duì)出現(xiàn)，一內(nèi)一外或者內(nèi)外合一②為什么要先求比值再求坐標(biāo)？③本題不需要求比值就可求出坐標(biāo)的原因是什么？帶著上面的思考，我們來(lái)看例2②利用反演變換構(gòu)造子母型相似轉(zhuǎn)化比值本題的思考：①求比值的目的是為了在反演點(diǎn)所在直線不平行坐標(biāo)軸時(shí)，利用化斜為直求出反演點(diǎn)坐標(biāo)②反演點(diǎn)、圓上點(diǎn)、圓心4個(gè)點(diǎn)恰好能組成子母型相似，每組反演點(diǎn)對(duì)應(yīng)一組子母型相似三角形③反演點(diǎn)到圓上同一個(gè)點(diǎn)的距離比值等于定值本題思路：圓C半徑已知，弦長(zhǎng)AB已知→弦心距C到AB的距離可求→CD=CB勾股可求→C坐標(biāo)可求→OA，OB，ON可求此時(shí)，恰好發(fā)現(xiàn)r2=AO·BO，即A、B、N、O可構(gòu)造子母型相似本題的思考：①通過(guò)線段長(zhǎng)度計(jì)算，發(fā)現(xiàn)反演變換中的等積式:r2=OA·OB，思考構(gòu)造子母型相似實(shí)現(xiàn)邊比轉(zhuǎn)化。②定圓所在平面內(nèi)任一個(gè)非圓心的定點(diǎn)一定有關(guān)于定圓的唯一確定的反演點(diǎn)與之對(duì)應(yīng)；③借助定圓的一組反演點(diǎn)可構(gòu)造子母型相似三角形.相關(guān)拓展（有興趣的可以自行嘗試證明）：線段的反演圖形是過(guò)反演中心的圓的一段?。贿^(guò)反演中心的圓的反演圖形是直線；不過(guò)反演中心的圓的反演圖形都是圓；由于定圓平面內(nèi)一個(gè)非圓心的定點(diǎn)必有一個(gè)關(guān)于該定圓的反演點(diǎn)與之對(duì)應(yīng)，而且這種對(duì)應(yīng)關(guān)系是一一對(duì)應(yīng)的。因此，mPA+nPB最值問(wèn)題是一種刻意制造的產(chǎn)物。若將所求代數(shù)式中PC的系數(shù)記為m，PD的系數(shù)記為n，則本題中每題的m與n的比值恰好等于反演點(diǎn)到圓上點(diǎn)的距離比或距離比的倒數(shù)。

當(dāng)發(fā)現(xiàn)這個(gè)細(xì)節(jié)后，我們可以將上一篇的解法總結(jié)更進(jìn)一步：

1.找反演點(diǎn)

2.根據(jù)m與n的比值或倒數(shù)選擇符合的反演點(diǎn)構(gòu)造子母型相似

3.轉(zhuǎn)化比值解決最值問(wèn)題

我們也可以用同樣的思路進(jìn)行構(gòu)造，比如上一份材料的例2：由于以上的兩個(gè)特性，為了避免教育資源的不公平，加權(quán)線段和問(wèn)題在中考中出現(xiàn)的頻率極低，即使有出現(xiàn)，也基本是在隱藏圓上加大難度，很少在比值上加大難度，即使在