2021-2022學(xué)年滬教版必修一數(shù)學(xué)暑假提升第1講 集合的概念集合的表示方法集合之間的關(guān)系

第1講集合的概念，集合的表示方法集合之間的關(guān)系

【基礎(chǔ)知識(shí)】

一、集合的意義

1.集合：某些指定的對(duì)象集在一起就形成一個(gè)集合(簡稱集)。.

2.元素：集合中每個(gè)對(duì)象叫做這個(gè)集合的元素。.

3.屬于：如果a是集合A的元素，就說a屬于A,記作aGA

4.不屬于：如果a不是集合A的元素，就說a不屬于A,記作。eA

5.有限集：含有有限個(gè)元素的集合。

6.無限集：含有無限個(gè)元素的集合。

7.集合相等：一般地，對(duì)于兩個(gè)集合A與B,如果集合A的任何一個(gè)元素都是集合B的元素，同時(shí)集合B的

任何一個(gè)元素都是集合A的元素，我們就說集合A等于集合B,記作A=B。

8.數(shù)學(xué)上，常常需要用到數(shù)的集合.數(shù)的集合簡稱數(shù)集

數(shù)集符號(hào)

自然數(shù)集N

整數(shù)集Z

有理數(shù)集Q

實(shí)數(shù)集R

9.空集：我們把不含任何元素的集合，記作。。

二、集合的表示方法

1)列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，寫在大括號(hào)內(nèi)表示集合。通常元素個(gè)數(shù)較少時(shí)用列舉法。

2)描述法：用確定的條件表示某些對(duì)象是否屬于這個(gè)集合，并把這個(gè)條件寫在大括號(hào)內(nèi)表示集合的方法。

有些集合的元素不能無遺漏地一一列舉出來，或者不便于、不需要一一列舉出來，常用描述法。

區(qū)間：在數(shù)學(xué)上，常常需要表示滿足一些不等式的全部實(shí)數(shù)所組成的集合.為了方便起見，我們引入?yún)^(qū)間

(interval)的概念.

abxabx

[a,6](a,b)

閉區(qū)間在數(shù)軸上表示開區(qū)間在數(shù)軸上表示

abxabx

[a,6）（a,b~\

半開半閉區(qū)間在數(shù)軸上表示

這里的實(shí)數(shù)a,b統(tǒng)稱為這些區(qū)間的端點(diǎn).

三、集合之間的關(guān)系

1、子集：

定義：對(duì)于兩個(gè)集合A與B,如果集合A的任何一個(gè)元素都是集合B的元素，我們就說集合A包含于集合B,

或集合B包含集合A,此時(shí)我們稱A是B的子集。即：若任意veAnxeB,貝必仁3

記作：A或'衛(wèi)A；讀作：A包含于B或B包含A；

注意：有兩種可能：（1）A是B的一部分；（2）A與B是同一集合

2、真子集：

定義對(duì)于兩個(gè)集合A與B,如果且B中至少在有些資料中，

集合A是B的真子

有一個(gè)元素不屬于A（即B不是A的子集），那么稱集合A集也被記作A些B

（或B*A）.

是B的真子集，記作AUB（或BZ）A）,讀作“A真包含于

（或“8真包含A"）.

【考點(diǎn)剖析】

考點(diǎn)一：集合的意義

1.下列所給對(duì)象不能構(gòu)成集合的是

（1）高一數(shù)學(xué)課本中所有的難題；

（2）某一班級(jí)16歲以下的學(xué)生；

（3）某中學(xué)的大個(gè)子；

（4）某學(xué)校身高超過1.80米的學(xué)生；

（5）1,2,3,1.

【難度】★

【答案】⑴⑶（5）

八z為非零實(shí)數(shù),代數(shù)式方十卡十方十》的值所組成的集合是〃,則下列判斷

例2.已知x、

正確的是（）

A.O^MB.2GMC.-4^MD.4eAf

【難度】★

【答案】D

例3.用“e”或“生”填空

(1)-3N；(2)3.14Q；(3)1Z；

(4)—(R；(5)1N*；(6)0N.

【難度】★

【答案】⑴仁(2)e⑶e(4)e⑸e(6)e

例4.已知集合4={耳依2+23+1=0,。6氏},且A中只有一個(gè)元素，求x的值.

【難度】★★

【答案】。=1或。=0

例5.已知x2e{1,0,x},求實(shí)數(shù)x的值.

【難度】★

【答案】-1

例6.已知集合S的三個(gè)元素a.、b、。是△/肉的三邊長，那么一定不是()

A.銳角三角形B.直角三角形

C.鈍角三角形D.等腰三角形

【難度】★

【答案】D

［、1例7.設(shè)/為實(shí)數(shù)集，且滿足條件：若a.G4則(a.W1).

求證：(1)若2G4則/中必還有另外兩個(gè)元素；

(2)集合/不可能是單元素集.

證明.

【難度】★★

【答案】⑴若a.W4則」一G4,又

1-a1-2

V-ie?!!A-~二4中另外兩個(gè)元素為一1,

1—1—1；ZN1N

1——

2

(2)若/為單元素集，則,=,，即a.2—a.+1=0,方程無解.

1—Q

；.a.W—1一，???/不可能為單元素集

1—Q

I、1例&設(shè)'、0為兩個(gè)非空實(shí)數(shù)集合，,中含有0,2,5三個(gè)元素，0中含有1,2,6三個(gè)元素，定義

集合9+0中的元素是a+A其中adRbRQ,則2+0中元素的個(gè)數(shù)是多少？

【難度】★★

【答案】8

考點(diǎn)二：集合的表示方法

例L寫出下列集合中的元素（并用列舉法表示）：

（1）既是質(zhì)數(shù)又是偶數(shù)的整數(shù)組成的集合

（2）大于10而小于20的合數(shù)組成的集合

【難度】★

【答案】⑴{2}；（2）{12,14,15,16,18}

例2.用描述法表示下列集合：

⑴被5除余1的正整數(shù)所構(gòu)成的集合

(2)平面直角坐標(biāo)系中第一、第三象限的點(diǎn)構(gòu)成的集合

(3)函數(shù)y=2/一x+1的圖像上所有的點(diǎn)

12345

(4)

3,4,5,6,7

【難度】★★

【答案】(1){可1=5左+1,左eN}；(2){(x,y)|xy>0,xe7?,ye7?)：

〃*

(3){(尤,y),=2尤2-x+L尤eR,yeR}；(4){xx=------N,n<5}

〃+2

例3用列舉法表示下列集合:(1){(x,y)|x+y=5,XGN,ycN}

(2){x|x2-2X-3=0,XG7?}

(3){xlx2-2x+3=O,XG7?}

(4){xeN.xeZ}

5-x

【難度】★

【答案】（1）{（0,5）,（1,4）,（2,3）,（3,2）,（4,1）,（5,0）}；（2）{3,-1}；（3）0；(4){-7,-1,1,3,4}

例4.用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑?/p>

（1）大于0且不超過6的全體偶數(shù)組成的集合A

（2）被3除余2的自然數(shù)全體組成的集合B

（3）直角坐標(biāo)平面上第二象限的點(diǎn)組成的集合C

【難度】★★

【答案】⑴{2,4,6}；(2){RX=3〃+2,〃￡N}；(3){(x,y)|x<0,y>0,xG7?,yG/?)

G］例5.下列表示同一個(gè)集合的是()

A.M={(3,2)},N={(2,3)}B.M={3,2},N={2,3}

C.A/={3,2},N={(2,3)}D.M={0},N=。

【難度】★

【答案】B

例6.已知集合A={x|W<2,xeZ},3={y，=x2—LxeA},用列舉法分別表示集合A、B

【難度】★★

【答案】A={—2,—1,0,1,2},3={-1,0,3}

111例7.設(shè)V是R上的一個(gè)運(yùn)算，A是R的非空子集，若對(duì)任意a/eA,有aVbeA,則稱A對(duì)運(yùn)算

VM,下列數(shù)集對(duì)加法、減法、乘法和除法（除法不等于零）四則運(yùn)算都封閉的是（）

A.自然數(shù)集B.整數(shù)集

C.有理數(shù)集D.無理數(shù)集

【難度】★★

【答案】C

例&（2021,上海曹楊二中高一期末）已知集合/=卜.2—2x—3<o},N={x|x>a},若

則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

【答案】（一夕―1]

【分析】由已知得/={止l<x<3},M匚N,故a4—1.

【詳解】由河={%,2一2X_3<。},得"={R—1<X<3}

又雙={%|%>1},且M=

故。<一1,

故答案為：（-8,-1].

考點(diǎn)三：集合之間的關(guān)系

例1.已知/={0,1},B={^|A],則4與6的關(guān)系正確的是（）

A.AQBB.A=BC.B^AD.AwB

【難度】★

【答案】D

例2.已知集合A={Q,Q+Z?,Q+2Z?},集合5={o,ac,ac2},若A=5,求實(shí)數(shù)。的值

【難度】★★

【答案】c=~-

2

3.已知集合4={%,2+*—6=0},3=同"+1=0}且8三A,求。的值.

【難度】★★

【答案】0,-

32

例4?定義月法={.且若力={1,3,4,6),B=[2,4,5,6},則4*3的子集個(gè)數(shù)為

【難度】★★

【答案】4

也2］例5.設(shè)A={1,2,3,4},

B={1,2},試求集合C,使CuA且B^C

【難度】★★

【答案】。={1,2}或。={1,2,3}或。={1,2,4}

[例6一設(shè)集合4=3X2+4X=。XGR},B={X\x+2(a+1)a2—1=0},若住4求實(shí)數(shù)a的取

彳贏圍.

【難度】★★

【答案】1,或

例7已知集合/={引一2Wx<5},8={x|/+lWx<20—1},若醫(yī)4求實(shí)數(shù)必的取值范圍.

【難度】★★

【答案】E4W3}

例8.若集合—{x|/+x—6=0),〃={x|(x—2)(x—a)=0},且短〃，求實(shí)數(shù)a的值.

【難度】★★

【答案】2)-3

0^2］例9.已知A={(x,y)IJx-1+1y+11=o},3={(x,y)|x=1或y=-1}

則A與B之間的包含關(guān)系

為；

【難度】★★

【答案】AuB

10.已知集合4={中>3},集合3={木+1〉加}，若實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是.若

A—czB,實(shí)數(shù)加的取值范圍是---------

【難度】★★

【答案】m>4;m<4

【過關(guān)檢測(cè)】

一、單選題

1.（2021?上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校高一期末）設(shè)Q是有理數(shù)，集合X={x|x=a+b形,a,b￡Q,xwO},在下列

集合中；

x1

(1){yly=2x,xeX}；(2){y\y=-j=,x&X}-(3){y|y=—,xeX}；(4){y\y=x1,x&X}-,

與X相同的集合有()

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

【答案】B

【分析】將x=a+6后分別代入（1）、（2）、（3）中，化簡并判斷。應(yīng)與是否一一對(duì)應(yīng)，再舉反

例判斷（4）.

【詳解】對(duì)于（1）,由2（a+b6）=p+q垃,彳導(dǎo)p=2a,q=2b,---對(duì)應(yīng)，則{y|y=2x,xeX}=X

對(duì)于(2),由巴繆2=人+@.夜=.+彳近，得p=d,q=0,一一對(duì)應(yīng)，貝U{y[y=：,xwX}=X

y/222V2

1aba-b

對(duì)于（3）,由--------------------------------F-41=p+qyfl，得p=

a+by/2a2-2b2a1-2b1

對(duì)應(yīng)，貝iHy|y=±xeX}=X

對(duì)于（4）,_1一后ex，但方程一1一血=尤2無解，貝U{y|y=x2,xeX}與X不相同

故選：B

2.（2021?上海高一期末）已知“非空集合〃的元素都是集合戶的元素”是假命題，給出下列四個(gè)命題:

①〃的元素不都是尸的元素；②〃的元素都不是產(chǎn)的元素；

③存在工￡2且工￡加；④存在M且xeP;

這四個(gè)命題中，真命題的個(gè)數(shù)為（）.

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】B

【分析】根據(jù)題意，由子集的定義分析“、P元素的關(guān)系分析4個(gè)命題是否正確，綜合即可得答案.

【詳解】根據(jù)題意，“非空集合”的元素都是集合尸的元素”是假命題.則其否定為真，

則非空集合〃的元素不都是集合尸的元素，

據(jù)此分析4個(gè)命題：

①”的元素不都是P的元素，正確，

②”的部分元素可以為P的元素，不正確，

③可能〃的元素都不是P的元素，故存在XGP且xeM,不正確，

④存在xe"且xeP,正確，

其中正確的命題有2個(gè)，

故選：B.

3.(2020?上海高一專題練習(xí))下列各對(duì)象可以組成集合的是()

A.與1非常接近的全體實(shí)數(shù)

B.某校2015-2016學(xué)年度笫一學(xué)期全體高一學(xué)生

C.高一年級(jí)視力比較好的同學(xué)

D.與無理數(shù)萬相差很小的全體實(shí)數(shù)

【答案】B

【分析】根據(jù)集合定義與性質(zhì)一一判斷即可.

【詳解】A中對(duì)象不確定，故錯(cuò)；B中對(duì)象可以組成集合；C中視力比較好的對(duì)象不確定，故錯(cuò)；D中相差

很小的對(duì)象不確定，故錯(cuò).

故選：B

4.(2020?上海高一專題練習(xí))下面每一組的兩個(gè)集合，相等的是()

A.M={(1,2)},TV={(2,1)}B.M=[1,2],N={(1,2)}

C.M=0,N={0}D.M={X\X2~2X+1=0],N={1}

【答案】D

【分析】由相等集合的概念一一分析每個(gè)選項(xiàng)中的集合，然后進(jìn)行比較即可得出答案.

【詳解】A選項(xiàng)中(1,2),(2,1)表示兩個(gè)不同的點(diǎn)，N,...該選項(xiàng)不符合;

B選項(xiàng)中集合M有兩個(gè)元素1,2是實(shí)數(shù)，N有一個(gè)元素(1,2)是點(diǎn)，,ATN,.?.該選項(xiàng)不符合;

C選項(xiàng)中集合M是空集，集合N是含有一個(gè)元素。的集合，N,.?.該選項(xiàng)不符合;

D選項(xiàng)中由X2—2x+1=0得%々=1，；?M={1}=N,該選項(xiàng)符合.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了相等集合的判斷，屬于基礎(chǔ)題.

x+y=2

5.(2020?上海高一專題練習(xí))方程組,八的解構(gòu)成的集合是

[x-y=0

A.{1}B.(1,1)C.{(U)}D.{1,1}

【答案】C

【分析】求出二元一次方程組的解，然后用集合表示出來.

x+y=2

【詳解】："八

[x-y=0

(x=l

「?<b=1

x+y=2

???方程組《八的解構(gòu)成的集合是{(1,1)}

[x-y=0

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查集合的表示法：注意集合的元素是點(diǎn)時(shí)，一定要以數(shù)對(duì)形式寫.

6.(2020?上海高一專題練習(xí))下列命題中正確的()

①。與{0}表示同一個(gè)集合；

②由1,2,3組成的集合可表示為{1,2,3}或{3,2,1)；

③方程(x—1尸(x—2)=0的所有解的集合可表示為口,1,2)；

④集合34〈矛<5}可以用列舉法表示.

A.只有①和④B.只有②和③

C.只有②D.以上語句都不對(duì)

【答案】C

【分析】由集合的表示方法判斷①，④；由集合中元素的特點(diǎn)判斷②，③.

【詳解】①{0}表示元素為0的集合，而0只表示一個(gè)元素，故①錯(cuò)誤；

②符合集合中元素的無序性，正確；

③不符合集合中元素的互異性，錯(cuò)誤；

④中元素有無窮多個(gè)，不能一一列舉，故不能用列舉法表示.

故選：C.

abc

7.（2020?上海高一課時(shí)練習(xí)）已知非零實(shí)數(shù)a,b,c,則代數(shù)式n+in+n表示的所有的值的集合是（）

同回lcl

A.{3}B.{-3}C.{3,-3}D.{3,-3,1,-1}

【答案】D

【分析】根據(jù)絕對(duì)值的定義分類討論，按”,仇。中正負(fù)數(shù)分類.

XX

【詳解】當(dāng)x>0時(shí)，同=1,當(dāng)x<0時(shí)，同=一1

abc

---1---1—

因此，若a,仇c都為正數(shù)，則同網(wǎng)Id=3；

abc

若c兩正一負(fù)，則n+iu+n=i；

回\b\|c|

abc

若一正兩負(fù)，則1+畝+1=-1；

回\b\|c|

abc

若a,4c都為負(fù)數(shù),則卬葉干-3

abc

所以代數(shù)式同+同+,表示的所有的值的集合是｛3,-3,1,-1｝.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查絕對(duì)值的定義，對(duì)于含多個(gè)絕對(duì)值的式子，根據(jù)絕對(duì)值的定義分類討論去絕對(duì)值符號(hào)后

可得結(jié)論.

8.（2020?上海高一課時(shí)練習(xí)）集合｛（%,丁）|孫,,0,%￡昆丁6尺｝是指（）

A.第二象限內(nèi)的所有點(diǎn)B.第四象限內(nèi)的所有點(diǎn)

C.第二象限和第四象限內(nèi)的所有點(diǎn)D.不在第一、第三象限內(nèi)的所有點(diǎn)

【答案】D

x<0fx>0

【分析】根據(jù)孫<0可得1c或1C，再分析點(diǎn)的集合即可.

b>0[y<Q

x<0x>0

【詳解】因?yàn)閷OK。，故八或八，故集合{（x,y）|孫,,。,％￡尺》￡尺}是指第二、四象限中的點(diǎn),

y>0[y<0

以及在％,y軸上的點(diǎn)，即不在第一、第三象限內(nèi)的所有點(diǎn).

故選：D

【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合中的元素的理解、象限的理解與辨析.屬于基礎(chǔ)題.

9.（2020?上海高一專題練習(xí)）如果A={%[%>-1},那么錯(cuò)誤的結(jié)論是（）

A.0eAB.{0}cAC.D.cA

【答案】C

【分析】利用元素與集合的關(guān)系，集合與集合關(guān)系判斷選項(xiàng)即可.

【詳解】解：A={x\x>-1},由元素與集合的關(guān)系，集合與集合關(guān)系可知：

。與A是集合與集合關(guān)系，應(yīng)是A,故C錯(cuò)

故選：C

10.（2020?上海高一專題練習(xí)）以下六個(gè)關(guān)系式：0e{。},{0}30,0.30。，QEN,[a,b]^[b,a],

{x|無2—2=0,尤eZ}是空集，錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)是（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】D

【分析】根據(jù)元素與集合間的關(guān)系、集合與集合間的關(guān)系可判定排除得到答案.

【詳解】根據(jù)元素與集合間的關(guān)系可判定0e{0}、OeN正確，0.3c。不正確，根據(jù)集合與集合之間的關(guān)

系可判定{0}30、{a,b}^{b,a},{削無？-2=0,九eZ}是空集正確

故選：D

二、填空題

11.（2021?上海高一期末）10的所有正因數(shù)組成的集合用列舉法表示為.

【答案】{1,2,5,10}

【分析】由因數(shù)分解知：正因數(shù)的分解形式有10=1x10=2x5,列舉法寫出正因數(shù)集合即可.

【詳解】???對(duì)于正因數(shù)分解，<10=1x10=2x5,

.??其正因數(shù)組成的集合為{1,2,5,10）.

故答案為：{1,2,5,10}

12.（2021?上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校高一期末）集合/3={劃上一€2且％62},用列舉法表示集合P=______

x—3

【答案】{—3,0,1,2,4,5,6,9}

A

【分析】由已知可得——eZ,則—6<x—3<6,解得一3<x<9且］￡Z,結(jié)合題意，逐個(gè)驗(yàn)證，即可

x—3

求解.

【詳解】由題意，集合p='x|-JeZ且aeZ},可得—9—eZ,則—6Wx—3W6,

Ix-3x-3

解得—3W%W9且xeZ,

當(dāng)x=—3時(shí)，—^―=-leZ,滿足題意；

-3-3

當(dāng)x=—2時(shí)，」一=—96Z,不滿足題意；

-2-35

Aa

當(dāng)x=—1時(shí)，-----=——0Z,不滿足題意；

-1-32

當(dāng)x=0時(shí)，-^―=-2eZ,滿足題意；

0-3

當(dāng)x=l時(shí)，-9—=—3eZ,滿足題意；

1-3

當(dāng)x=2時(shí)，——=-6eZ,滿足題意；

2-3

當(dāng)x=3時(shí)，一打，此時(shí)分母為零，不滿足題意；

3-3

當(dāng)x=4時(shí)，一9一=6eZ,滿足題意；

4-3

當(dāng)x=5時(shí)，-9—=3eZ,滿足題意；

5-3

當(dāng)x=6時(shí)，-9—=2eZ,滿足題意；

6-3

Aa

當(dāng)x=7時(shí)，——=—GZ,不滿足題意；

7-32

當(dāng)％=8時(shí)，=不滿足題意；

8-35

當(dāng)x=9時(shí)，-9—=leZ,滿足題意；

9-3

綜上可得，集合P={-3,0,1,2,4,5,6,9}.

故答案為：{—3,0,1,245,6,9}.

13.（2021?上海市西南位育中學(xué)高一期末）已知集合4=卜|（機(jī)-l）V+3x-2=0}有且僅有兩個(gè)子集,

則實(shí)數(shù)加=.

【答案】—或1

8

【分析】考慮僅有兩個(gè)子集，則集合為單元素集，分類討論求集合為單元素集時(shí)用的取值即可.

【詳解】解：集合A={x［（根-1）必+3%-2=0}有且僅有兩個(gè)子集，則集合A為單元素集.

當(dāng)m=1時(shí)，A=|||,有且僅有兩個(gè)子集，復(fù)合條件；

當(dāng)"zwl時(shí)，A=9+8（m-l）=O,止匕時(shí)〃z=—g,復(fù)合條件；

故答案為：-G或1.

【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：討論二次型函數(shù)的解的情況，時(shí)刻注意最高次項(xiàng)系數(shù)為0的情況.

14.（2021?上海市南洋模范中學(xué)高一期末）已知集合A={xeN|y=lg（4-力},則A的子集個(gè)數(shù)為.

【答案】16

【分析】求出集合A，確定集合A的元素個(gè)數(shù)，利用集合的子集個(gè)數(shù)可求得集合A的子集個(gè)數(shù).

【詳解】A={xeN|y=lg（4—x）}={xeN|x<4}={0』,2,3},則A的子集個(gè)數(shù)為24=16.

故答案為：16.

【點(diǎn)睛】本題考查集合子集個(gè)數(shù)的求解，同時(shí)也考查了對(duì)數(shù)函數(shù)定義域的求解，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)

題.

15.（2021?上海市西南位育中學(xué)高一期末）設(shè)A={〃|〃=3左一1,左eN},B={n\n=6k-l,keN},

則AB.（填"u”、"n"、"=”或“w”）

【答案】n

【分析】分別求出集合A和集合3的元素，即可求解.

【詳解】由A={"I"=34-1,左eN}可知集合A是由3的自然數(shù)倍減去1的數(shù)構(gòu)成的，

即4={-1,2,5,8,11,…},

3={川〃=6左一1,左6?/}={〃|〃=3*2左一1,左€?/}可知集合3是由3的非負(fù)偶數(shù)倍減去1的數(shù)構(gòu)成的，

即3={—1,5,11,…},

自然數(shù)包括非負(fù)偶數(shù),

所以AnB,

故答案為：n.

16.（2020?上海高一課時(shí)練習(xí)）已知集合走{1,2,a-2a},若3G/,則實(shí)數(shù)a=.

【答案】3或一1

【分析】根據(jù)3G/即可得出a2-2a=3,解方程得到a即可.

【詳解】V3EJ,A={1,2,a2-2a},

a2-2a=3,

解得a=T或3

故答案為-1或3.

【點(diǎn)睛】本題考查了列舉法的定義，元素與集合的關(guān)系，考查了推理和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

17.（2020?上海高一專題練習(xí)）用符號(hào)“e”或“三”填空

（1）0N,后N,V16N

（2）。，乃Q

2—

（3）^2-73+72+73______{x|x=a+向,

【答案】eeeeee

【分析】（1）0是自然數(shù)，、后不是自然數(shù)，標(biāo)=4是自然數(shù)，分別可得元素與集合的關(guān)系；

（2）-工是有理數(shù)，萬不是有理數(shù)，分別可得元素與集合的關(guān)系；

2

（3）52-6+可化簡為％=4+新"aeQ/eQ的形式,可得元素與集合的關(guān)系-

【詳解】（1）0是自然數(shù)，則OeN；、后不是自然數(shù)，則、后@N；標(biāo)=4是自然數(shù)，則Ji石eN；

（2）―；是有理數(shù)，則—geQ；乃不是有理數(shù)，則乃比。；

（3）

=^-(>/3-1+A/3+1)=V6=0+>/6X1G^x\x=a+y/6b,a^Q,beQ

故答案為：(1)e，仁，e；(2)e,e；(3)e.

18.（2020?上海高一專題練習(xí)）集合4={》|內(nèi)2+5-6）大+2=0}是單元素集合，則實(shí)數(shù)。=

【答案】0,2或18

【分析】集合A是單元素集合，即方程只有一個(gè)根，分。=0和兩種情況，求出實(shí)數(shù)。即可.

【詳解】當(dāng)。=0時(shí)，A=符合題意；

當(dāng)a/0時(shí)，令△=（a—6）一一8。=0,即a?—20a+36=0，解得a=2或18

故答案為：0,2或18

19.（2020?上海高一1專題練習(xí)）le{a~-a-1,a,—1},則a的值是.

【答案】2

【分析】分片—“—1=1和。=1兩種情況求出a的值，并檢驗(yàn)是否符合集合的互異性，可得答案.

【詳解】當(dāng)片_。_1=1時(shí)，解得。=2或-1

若a=2,則集合為{1,2,—1},符合題意；

若a=-1,不滿足集合的互異性，舍去；

當(dāng)a=l時(shí)，不滿足集合的互異性，舍去；

則a的值是2

故答案為：2

20.（2020?上海高一專題練習(xí)）已知集合"={*|%2—3%+2=。},集合N={x|2/+2%+左=0,左e7?}

非空，若McN=0,則左的取值范圍是—；

【答案】伙左且左且左，一12}

【分析】首先求解集合再根據(jù)條件，列出關(guān)于左的不等式，求解左的取值范圍.

【詳解】爐―3x+2=0,解得：x=l或x=2,

.??"={1,2},

?.?Nw0,r.A=4—8左20,解得：k<~,

2

若leN,則2+2+左=0nk=Y,

若2GN,則8+4+左=0=>左=—12,

■.■MC\N=0,

:.kw—4旦kw—12,

綜上可知質(zhì)左＜5且左wT,且左W—12}.

故答案為：伙左且左hT,且左，一12}

【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)集合的關(guān)系求參數(shù)的取值范圍，重點(diǎn)考查轉(zhuǎn)化與化歸的思想，屬于基礎(chǔ)題型.

21.(2020?上海高一專題練習(xí))定義集合運(yùn)算4。3={2|2=取(%+y),龍^4,丁63},集合

4={0,1},8={2,3},則集合AO3所有元素之和為

【答案】18

【分析】由題意可得z=0,6,12,進(jìn)而可得結(jié)果.

【詳解】當(dāng)x=0,y=2,.?筌=()

當(dāng)x=l,y=2,「.z=6

當(dāng)x=0,y=3,z=0

當(dāng)x=1,y=3,z=12

和為0+6+12=18

故答案為：18

22.(2020?上海高一專題練習(xí))集合{1,4,9,16,25}用描述法來表示為.

【答案】卜卜=/水eN+』KkK5}

【分析】因?yàn)?=仔,4=22,9=32,16=42,25=5?滿足為=/,即可得到結(jié)果.

【詳解】因?yàn)?=12,4=22,9=32,16=42,25=52

所以集合{1,4,9,16,25}=1k=左2,丘叱,1?上45}

故答案為：卜卜=/，左eN+,14左＜5}

23.(2020?上海高一專題練習(xí))已知集合加={x|(x-a)(x2—ax+a—l)=0}各元素之和等于3,則實(shí)數(shù)

a—.

3

【答案】2或大

2

【分析】由題意知河中各元素為描述中方程的解，由集合的性質(zhì)討論馬，43是否相等即可求實(shí)數(shù)〃.

【詳解】由題意知：M={X［（X-Q）（九2一QX+Q-1）=0}中元素，即為（元一。）（x2一。工+。一1）=0的解，

:?x—〃=0或％2—依+〃—i=o，可知：玉二〃或犬2+九3=〃

3

???當(dāng)X2。退時(shí)，2〃=3；當(dāng)％2=%3時(shí)，=3，

3

，a=2或。=一，

2

3

故答案為：2或不

2

【點(diǎn)睛】本題考查了集合的性質(zhì)，根據(jù)集合描述及元素之和，結(jié)合互異性討論求參數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.

24.（2020?上海高一課時(shí)練習(xí)）定義“義”的運(yùn)算法則為：集合Ax5={（%,y）|x￡Ay￡3},設(shè)集合

尸={1,2,3},Q={2,4,6,8},則集合尸xQ中的元素個(gè)數(shù)為.

【答案】12

【分析】根據(jù)自定義運(yùn)算求出集合尸xQ,即可得解；

【詳解】解：因?yàn)镻={1,2,3},2={2,4,6,8}

所以PXQ={（1,2）,（L4）,（1,6）,（L8）,（2,2）,（2,4）,（2,6）,（2,8）,（3,2）,（3,4）,（3,6）,（3,8）}

故集合尸xQ中含有12個(gè)元素

故答案為：12

【點(diǎn)睛】本題考查描述法表示集合，自定義運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

25.（2020?上海高一課時(shí)練習(xí)）已知集合4={丁|丁=%2+1,|刈,,2,%€2},用列舉法表示為.

【答案】{1,2,5}

【分析】解不等式1x1,,2,由xeZ,確定》的值，再由丁=必+1,得出y的值，從而確定集合A.

【詳解】由1x1,,2,解得—2KxW2

因?yàn)閤eZ,所以x可取—2,-1,0,1,2

當(dāng)x取—2,—1,0,1,2時(shí)，V對(duì)應(yīng)的值分別為5,2,1,2,5

根據(jù)集合的互異性可知，A={1,2,5}

故答案為：{1,2,5}

【點(diǎn)睛】本題主要考查了用列舉法表示集合，屬于基礎(chǔ)題.

26.（2020?上海高一專題練習(xí)）滿足{1}口AR{1,2,3}的集合A的個(gè)數(shù)為個(gè).

【答案】4

【分析】根據(jù)子集的定義即可得到集合A的個(gè)數(shù)；

【詳解】V{1}^Ac{1,2,3}.

A={1}或{1,2}或{1,3}或{1,2,3},

故答案為：4.

【點(diǎn)睛】本題考查子集的定義，屬于基礎(chǔ)題.

27.（2020?上海高一專題練習(xí)）已知48是兩個(gè)集合，下列四個(gè)命題：

①A不包含于80對(duì)任意xe4有

②A不包含于604口3=0

③A不包含于BOA不包含B

④A不包含于方O存在xe4,x史B

其中真命題的序號(hào)是

【答案】④

【分析】利用兩個(gè)集合的包含關(guān)系，理解不包含于的含義，判斷選項(xiàng).

【詳解】①4不包含于6,指mxeA,x史B,故①②不正確，④正確；反例：A={1,2,3},8={2,3,4},

對(duì)于③A={1,2,3},3={1,2},此時(shí)A不包含于3,但A包含3,故③不正確.

故答案為：④

28.（2020?上海高一專題練習(xí)）集合/={x|ax_6-0},B={x\3/-2^=0},且418則實(shí)數(shù)。二—

【答案】0或9

【分析】分。=0和兩種情況，利用A=3列出方程，解出實(shí)數(shù)

【詳解】^U|3/^-O）=1o,|j

當(dāng)〃=0時(shí)，A=0，滿足AqB；

當(dāng)awO時(shí)，A=1—,則9=0或9=2,解得〃=9；

[aJaa3

故答案為：0或9

29.（2020?上海高一專題練習(xí)）滿足{。}￡加2{。力,。,4}的集合〃共有個(gè).

【答案】7

【分析】由題意列舉出集合弘可得集合的個(gè)數(shù).

【詳解】由題意可得，"={〃}或〃={。,"或M={a,c}或Af={a,力或Af={a,dc}或Af={a,"力

或〃={。,0,2},即集合〃共有7個(gè)

故答案為：7

30.（2020?上海高一專題練習(xí)）已知集合/中有〃個(gè)元素，則集合A的子集個(gè)數(shù)有個(gè)，真子集有

個(gè)，非空真子集個(gè).

【答案】2"2n-12"-2

【分析】根據(jù)子集，真子集以及非空真子集的定義即可求解.

【詳解】集合/中有〃個(gè)元素，則集合力的子集個(gè)數(shù)有2"個(gè)，真子集有2"-1個(gè)，非空真子集有2"-2個(gè)

故答案為：2'；2'—1；2'—2

三、解答題

31.（2020?上海高一課時(shí)練習(xí)）已知必€{1,0,%},求實(shí)數(shù)％的值.

【答案】—1

【分析】由元素與集合的關(guān)系，分類討論好=1、三=0、x2=%三種情況，得出X的值，再由集合中元

素的性質(zhì)去驗(yàn)證，進(jìn)行取舍，得出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)槿?{1,0,只

所以f=l或f=0或％2=x

解得x=±1或x=0

由集合元素的互異性可知XHO且XW1

所以，x=-l

【點(diǎn)睛】本題考查了元素與集合之間的關(guān)系，集合的性質(zhì)等基本知識(shí)，考查了理解辨析能力和邏輯推理能

力，屬于一般題目.

32.（2020?上海高一課時(shí)練習(xí)）含有3個(gè)實(shí)數(shù)的集合可表示為21],也可表示為1〃,。+6,01,求

a2009+b2aw的值.

200920W

【答案】a+b=-l

【分析】分析由集合相等的概念及集合中元素的互異性進(jìn)行求解可得答案.

【詳解】.而aw0,**.Z?=0.

此時(shí){。,0,1}={。2,。,0},，/=1.解方程，。=±]當(dāng)。=1時(shí)，與集合中元素互異性不符，—1,

b=Q.

：.a20m+b2010^-l.

【點(diǎn)睛】本題考查集合相等的概念，對(duì)于有限集相等，可知元素對(duì)應(yīng)相等，在求解注意滿足集合的元素的

互異性，屬于基礎(chǔ)題.

33.（2020?上海高一課時(shí)練習(xí)）用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑?，并判斷它是有限集還是無限集.

（1）第三象限內(nèi)所有點(diǎn)組成的集合；

（2）由大于