2021年滬教版數(shù)學(xué)初三講義17 （雙）A字相似解題方法（學(xué)生版）

專題17（雙）A型相似解題方法專練

第I卷（選擇題）

一、單選題

1.直線h〃12〃13,且h與12的距離為1,12與13的距離為3,把一塊含有45。角的直角三角

形如圖放置，頂點(diǎn)A,B,C恰好分別落在三條直線上，AC與直線12交于點(diǎn)D,則線段BD

的長(zhǎng)度為（）

k

2.如圖，△A3。的頂點(diǎn)A在函數(shù)y=—（x>0）的圖象上，ZAB6?=90°,過AO邊的三等

x

分點(diǎn)M、N分別作無(wú)軸的平行線交A8于點(diǎn)尸、Q.若△AN。的面積為1,則上的值為（）

A.9B.12C.15D.18

3.如圖.在AA8C中，DE//BC,ZB=ZACD,則圖中相似三角形有（）

4.如圖，已知VADE:VA5C,若4。：43=1:3丫45。的面積為9,則AAD石的面積為

A

5.如圖，在HfAABC中，NACB=90。，取AC的中點(diǎn)。，連接30,點(diǎn)。關(guān)于線段3。

的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)E,點(diǎn)F為線段CD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AE、BD、BE、DE,已知AC=2&，

BD//AE,當(dāng)EF+3尸的值最小時(shí)，則——的值為

￡

DF

A2占R3?「10「3

C-.—D.一

5592

6.如圖，AB//C4￡D、,EADE分P別FD交,于/點(diǎn)G、H,則下列結(jié)論中錯(cuò)

誤的是（）

4RB

Vf

K\

“ED

DHCHGECGAFHGFHBF

----____C.-D.-

FHBHFD~GBCECGAGAB

7.如圖，AABC中，AB=8,AC=6,NA=90°,點(diǎn)。在AABC內(nèi)，且。3平分NABC,

。。平分NACB,過點(diǎn)。作直線PQ,分別交A3、AC于點(diǎn)P、Q,若AAPQ與AABC

相似，則線段PQ的長(zhǎng)為（）

D

35一35

A.5B.——C.5或—D.6

66

第II卷（非選擇題）

二、填空題

8.如圖，在中，點(diǎn)。是AB邊上的一點(diǎn)，且=連接CD并取8的中

點(diǎn)E,連接3E,若ZACD=NBED=45。,且C￡>=6后，則A3的長(zhǎng)為.

9.如圖，在HsABC中，ZACB=90°,過點(diǎn)B作垂足為8,且50=3,

連接CD與AB相交于點(diǎn)M,過點(diǎn)“作腦VLCfi,垂足為N.若AC=2,則MN的長(zhǎng)

為.

10.如圖，光源P在水平橫桿A5的上方，照射橫桿A5得到它在平地上的影子為CD（點(diǎn)

尸、A、C在一條直線上,點(diǎn)、P、B、D在一條直線上），不難發(fā)現(xiàn)ABHCD.己知AB=1.5m,

CD=4.5m,點(diǎn)尸至U橫桿A3的距離是1相，則點(diǎn)P到地面的距離等于m.

八

_\B

，_/_______t、

/\

/'、

Z、

F------------------D

11.在△ABC中，/C=90。，AC=4,BC=3,D是邊AB上的一點(diǎn)，E是邊AC上的一點(diǎn)

(D、E與端點(diǎn)不重合)，如果ACDE與△ABC相似，那么CE的長(zhǎng)是.

12.如圖，BD、CE是銳角△A3C的兩條高線，則圖中與相似三角形有個(gè).

13.如圖，P是AA5C內(nèi)一點(diǎn)，過點(diǎn)尸分別作直線平行于AA5C各邊，形成三個(gè)小三角形

面積分別為H=3,S?=12,S3=27,則5AABC=

14.已知，平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E是A3的中點(diǎn)，在直線上截取AR=2ED，連

AQ

接班乙EF交AC于G,則-

15.在平面直角坐標(biāo)系中，已知4(—3,4),。(—1,0),點(diǎn)。是y軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，以AC

為直角邊構(gòu)造直角AABC,另一直角邊交X軸負(fù)半軸于點(diǎn)3,E為線段的中點(diǎn)，則OE

的最小值為.

16.平行于BC的直線DE把△ABC的面積平分，且交邊AB、AC分別于點(diǎn)D、E,則倦

的值為.

17.如圖，王華晚上由路燈A下的5處走到C處時(shí)，測(cè)得影子CD的長(zhǎng)為1米，繼續(xù)往前

走2米到達(dá)E處時(shí)，測(cè)得影子砂的長(zhǎng)為2米，已知王華的身高是1.5米，那么路燈A的高

度等于.

18.如圖，在中，ZACB=90°,AC=BC=6,。是AB上一點(diǎn)，點(diǎn)E在BC

上，連接CD,AE交于點(diǎn)尸.若NCFE=45°,BD=2AD，則CE=.

19.如圖，在中，ZACB=9Q°,AC=BC=9cm,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿A5

方向以每秒72cm的速度向終點(diǎn)3運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)。從點(diǎn)3出發(fā)沿方向以每秒1cm的

速度向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，將△PQC沿翻折，點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)尸'，設(shè)。點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為方

秒，若四邊形QPCP為菱形，則/的值為

20.如圖，在AA5c中，點(diǎn)、D、E分別在A3、AC上，ZADE=NC,如果AO=3,

△ADE的面積為9,四邊形BDEC的面積為16,則AC的長(zhǎng)為.

三、解答題

21.已知點(diǎn)尸為線段上的一點(diǎn)，將線段AP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，得到線段AC；再將

線段繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°,得到線段80；點(diǎn)〃是的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)BM、CM.

(1)如圖1,如果點(diǎn)尸在線段CM上，求證：PM//BD-,

(2)如圖1,如果點(diǎn)P在線段CM上，求證：PC=2PM；

(3)如果點(diǎn)尸不在線段CM上(如圖12),當(dāng)點(diǎn)尸在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，4QW的正切值

是否發(fā)生變化？如果發(fā)生變化，簡(jiǎn)述理由；如果不發(fā)生變化，請(qǐng)求出的正切值.

22.如圖，48為。。的直徑，C為BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)。為圓上一點(diǎn)且NAOC=/AOF,

。尸，4。于點(diǎn)E,交CD于點(diǎn)尸.

(1)判斷8與。。的位置關(guān)系；

(2)若sinC=L,BD=8,求取的長(zhǎng).

3

23.如圖，RtXAPE,ZAEP=90°,以48為直徑的。。交PE于C,且AC平分NEAP.連

接3C,PB-.PC=1：2.

(1)求證：PE是00的切線；

(2)己知。。的半徑為之，求AP的長(zhǎng).

2

24.求證：一個(gè)人在兩個(gè)高度相同的路燈之間行走，他前后的兩個(gè)影子的長(zhǎng)度之和是一個(gè)定

值.

25.如圖，小軍、小麗、小華利用晚間放學(xué)時(shí)間完成一個(gè)綜合實(shí)踐活動(dòng)，活動(dòng)內(nèi)容是測(cè)量人

行路上的路燈高度.小軍和小麗分別站在路燈的兩側(cè)，小軍站在水平地面上的點(diǎn)A處，小

麗站在點(diǎn)C處，這時(shí)小軍的身高A5形成的影子為AE,小麗身高CD形成的影子為。尸.

BD

I

EACF

(1)請(qǐng)畫圖確定燈泡P的位置

(2)已知小軍和小麗的身高分別為1.8米和1.6米，小華測(cè)得小軍和小麗在路燈下的影子AE

和CK分別為1米和2米，小軍和小麗之間的距離AC為10米，點(diǎn)、E，A,C,尸在同一

條直線上，請(qǐng)幫助他們3人求出路燈的高度.

26.小明想測(cè)量在太陽(yáng)光下一棟樓高，他設(shè)計(jì)了一種測(cè)量方案如下：如圖，小明站到點(diǎn)E

處時(shí)，剛好使自己落在墻上的影子與這棟樓落在墻上的影子重疊，且高度恰好相同；此時(shí)，

小明測(cè)得落在墻上的影子高度CD=1.2m,CE=0.8m,C4=30m(點(diǎn)A、E、C在同一

直線上)，已知小明的身高EF是1.7m,請(qǐng)你幫小明求出樓高AB(結(jié)果精確到1m).

27.如圖，AABC中，中線A。，BE交于點(diǎn),EG/IBC交AD千點(diǎn)、G.

(1)求三三的值.

GF

(2)如果5。=4百，DF=4,請(qǐng)找出與VBZM相似的三角形，并挑出一個(gè)進(jìn)行證明.

28.如圖，正方形EFGH內(nèi)接于△ABC,ADJ_BC于點(diǎn)D,交EH于點(diǎn)M,BC=10cm,AD

=20cm.求正方形EFGH的邊長(zhǎng).

29.如圖，△A笈。中，點(diǎn)。在AC邊上，且/或＞。=90°+!//1￡。.

2

（2）點(diǎn)E在邊上，連接AE交5。于點(diǎn)孔且NAFD=NABC,BE=CD,求NACB

的度數(shù).

（3）在（2）的條件下，若3C=16,戶的周長(zhǎng)等于30,求的長(zhǎng).

30.如圖，已知矩形ABCD的邊長(zhǎng)AB=4an,BC-8cm,動(dòng)點(diǎn)M從A出發(fā)在邊A3上

以lan/s的速度向8點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)N從。出發(fā)在邊D4上以2cm/s的速度向4

點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，MN與AC相交于點(diǎn)。.

備用圖

（1）經(jīng)過多少時(shí)間，AAAW的面積等于矩形ABC。面積的（？

（2）是否存在時(shí)刻3使以A、M、N為頂點(diǎn)的三角形與八48相似？若存在，求r的值;

若不存在，請(qǐng)說明理由.

（3）當(dāng)r=1時(shí)，求NQ的長(zhǎng).

31.大雁塔是現(xiàn)存最早規(guī)模最大的唐代四方樓閣式磚塔，被國(guó)務(wù)院批準(zhǔn)列入第一批全國(guó)重點(diǎn)

文物保護(hù)單位，某校社會(huì)實(shí)踐小組為了測(cè)量大雁塔的高度，在地面上。處垂直于地面豎立

了高度為2米的標(biāo)桿CD,這時(shí)地面上的點(diǎn)E,標(biāo)桿的頂端點(diǎn)。，大雁塔的塔尖點(diǎn)3正好

在同一直線上，測(cè)得EC=4米，將標(biāo)桿向后平移到點(diǎn)G處，這時(shí)地面上的點(diǎn)尸，標(biāo)桿的頂

端點(diǎn)、H,大雁塔的塔尖點(diǎn)B正好在同一直線上(點(diǎn)b，點(diǎn)G,點(diǎn)E,點(diǎn)C與大雁塔底處

的點(diǎn)A在同一直線上)，這時(shí)測(cè)得FG=6米，CG=60米，請(qǐng)你根據(jù)以上數(shù)據(jù)，計(jì)算大雁

塔的高度A3.

B

32.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為A(4,0)、B(4,

3),動(dòng)點(diǎn)M、N分別從點(diǎn)0、B同時(shí)出發(fā)，以1單位/秒的速度運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)M沿OA向終點(diǎn)A運(yùn)

動(dòng)，點(diǎn)N沿BC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng))，過點(diǎn)N作M7/AB交AC于點(diǎn)P,連結(jié)MP.

(1)直接寫出OA、AB的長(zhǎng)度；

(2)試說明ACPN?

3

(3)在兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中，求的面積S與運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式,并求出S=-

2

時(shí)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間/的值.

33.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)AA3C的頂點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別為(0,6),

(-2,0).頂點(diǎn)A在x軸的正半軸上，AB=10,ZBAC=2ZCBO.

(1)求AC的長(zhǎng)度.

(2)動(dòng)點(diǎn)。從A出發(fā)，沿x軸負(fù)方向以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，設(shè)。的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為/秒，

ABCD的面積為S,請(qǐng)用含￡的式子表示S,并直接寫出相應(yīng)t的取值范圍.

(3)在(2)的條件下，在射線80上取一點(diǎn)尸，使BF=CD,過。作。G//BC交直線

A3于點(diǎn)G,當(dāng)NCB￡>=45°時(shí)，求/值和G點(diǎn)坐標(biāo).

34.如圖已知正方形DEFG的頂點(diǎn)D、E在AABC的邊BC上，頂點(diǎn)G、F分別在邊AB、

35.(教材呈現(xiàn))下圖是華師版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)教材第77頁(yè)的部分內(nèi)容.

猜想

如圖23.4.2,在△ABC中，點(diǎn)0、E分別是AB與AC

的中點(diǎn).根據(jù)畫出的圖形，可以猜想：

DE〃BC,且DE=yBC.

圖23.4.2

對(duì)此，我們可以用演繹推理給出證明.

(定理證明)請(qǐng)根據(jù)教材內(nèi)容，結(jié)合圖①，寫出證明過程.

(定理應(yīng)用)如圖②，在矩形A8CD中，AC為矩形ABC。的對(duì)角線，點(diǎn)E在邊上，且

AE=2BE,點(diǎn)F在邊CB上,CF=2BF.。為AC的中點(diǎn)，連結(jié)ER0E、OF.

(1)EF與AC的數(shù)量關(guān)系為.

(2)△(?跖與AA3c的面積比為.

36.陜西省西安市羅漢洞村觀音禪寺內(nèi)有一棵千年銀杏樹，據(jù)傳是當(dāng)年唐太宗李世民親手裁

種，距今已有1400多年歷史，已被國(guó)家列為古樹名木保護(hù)名錄.小華是一位數(shù)學(xué)愛好者，

想利用所學(xué)的知識(shí)測(cè)量這棵銀杏樹的高度.陽(yáng)光明媚的一天，小華站在點(diǎn)。處利用測(cè)傾器

測(cè)得銀杏樹頂端A的仰角為39。，然后著。M方向走了19米到達(dá)點(diǎn)廠處，此時(shí)銀杏樹的影

子頂端與小華的影子頂端恰好重合，小華身高斯=1.7米，測(cè)得FG=3米，測(cè)傾器的高度

CZ)=0.8米，已知AB_L8G,CD±BG,EF±BG.請(qǐng)你根據(jù)以上信息，計(jì)算銀杏樹的高

度.(參考數(shù)據(jù)：sin39°~0.6,cos39°~0.8,tan39°~0.8)

A

37.如圖，點(diǎn)O是△ABC邊BC上一點(diǎn)，過點(diǎn)O的直線分別交AB,AC所在直線于點(diǎn)M,

ABAC

N,且=m,=n.

AM~AN

（1）若點(diǎn)O是線段BC中點(diǎn).

①求證：m+n=2；

②求mn的最大值;

*co

(2)若——=k(k#0)求m,n之間的關(guān)系（用含k的代數(shù)式表示）.

OB

AI7AR

38.如圖，在AA6C中，點(diǎn)E,尸分別在上，且——=——

AFAC

(1)求證：AAEF-AABC；

EGFG

（2）若點(diǎn)。在BC上，AD與EF交于點(diǎn)、G,求證：一=—

BDCD

39.如圖，在△ABC中，AD、BE分另I］是BC、AC邊上的高.求證：△DCEs/\ACB.

D

E.

40.如圖，P為。O的直徑AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C在AB上，連接PC,過點(diǎn)A作PC的

垂線交。。于點(diǎn)Q.已知AB=5cm,AC=3cm,設(shè)A,P兩點(diǎn)間的距離為xcm,A,Q兩點(diǎn)間

的距離為ycm.

某同學(xué)根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)函數(shù)y隨自變量x的變化而變化的規(guī)律進(jìn)行探究.下面是該

同學(xué)的探究過程，請(qǐng)補(bǔ)充完整：

(1)通過取點(diǎn)、畫圖、測(cè)量及分析，得到了x與y的幾組值，如下表：

x(cm)01.02.53.03.54.05.0

y(cm)4.04.75.04.84.13.7

(說明：補(bǔ)全表格時(shí)的相關(guān)數(shù)值保留一位小數(shù))

(2)建立平面直角坐標(biāo)系，描出以補(bǔ)全后的表中各對(duì)對(duì)應(yīng)值為坐標(biāo)的點(diǎn)，畫出該函數(shù)的圖

象；

(3)結(jié)合畫出的函數(shù)圖象，解決問題：當(dāng)AQ=2AP時(shí)，AP的長(zhǎng)度約為cm.

41.如圖，把邊長(zhǎng)為=6C=4且4=45°的平行四邊形ABC。對(duì)折，使點(diǎn)3

和。重合，求折痕"N的長(zhǎng).

42.雯雯和笑笑想利用皮尺和所學(xué)的幾何知識(shí)測(cè)量學(xué)校操場(chǎng)上旗桿的高度，他們的測(cè)量方案

如下：當(dāng)雯雯站在旗桿正前方地面上的點(diǎn)。處時(shí)，笑笑在地面上找到一點(diǎn)G,使得點(diǎn)G、

雯雯的頭頂C以及旗桿的頂部A三點(diǎn)在同一直線上，并測(cè)得OG=2.8m；然后雯雯向前移動(dòng)

1.5相到達(dá)點(diǎn)P處，笑笑同樣在地面上找到一點(diǎn)打，使得點(diǎn)》、雯雯的頭頂E以及旗桿的頂

部A三點(diǎn)在同一直線上，并測(cè)得GH=1.7?7,已知圖中的所有點(diǎn)均在同一平面內(nèi)，A3L8區(qū)

CD±BH,EF1BH,雯雯的身高CZ)=EP=16w.請(qǐng)你根據(jù)以上測(cè)量數(shù)據(jù)，求該校旗桿的

身度AB.

43.矩形ABC。中，AB=8,AD=12.將矩形折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)尸處，折痕為DE.

(1)如圖①，若點(diǎn)P恰好在邊8C上，連接AP,求——的值；

DE

(2)如圖②，若E是A8的中點(diǎn)，"的延長(zhǎng)線交8C于點(diǎn)F,求8月的長(zhǎng).

44.如圖，在AABC中，AB=AC,以AC為直徑的O。交3c于點(diǎn)。，交A3于點(diǎn)E,

過點(diǎn)。作。尸，AB,垂足為尸，連接OE.

(1)求證：直線止與O。相切;

(2)若AE=7,BC=6,求AC的長(zhǎng).

45.如圖，A8是。。的直徑，。為AB上